SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp Câu Cho hàm số y x 14 x 20 x có đồ thị tuyến song song với đường thẳng : y 4 x 15 Câu Giải phương trình: cos x 1 sin x cos x sin x sin x Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số khoảng y 3 x m 1 x 3mx m đồng biến 1; � y x3 3x m m Câu Tìm tất giá trị thực tham số để hàm số có năm điểm cực trị Câu Cho dãy số un � � un ln � 1 , n ��* � n 1 � � � � có số hạng tổng quát Tính giá trị biểu thức H 2019.eu1 eu2 eu2018 Câu Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 11 ba học sinh lớp 10 ngồi vào hàng ngang gồm 10 ghế đánh số từ đến 10 Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Câu Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau, vng góc với nhận đoạn AB làm đoạn vng góc chung Hai điểm M , N di động Ax, By cho AM BN MN Gọi O trung điểm đoạn AB Chứng minh tam giác OMN tam giác tù khoảng cách từ O đến đường thẳng MN không đổi M , N di động Ax, By Câu Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P thuộc cạnh BD, BC , AC cho BD BM , BC BN , AC AP Mặt phẳng MNP cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần MNP khối tứ diện ABCD chia mặt phẳng G 3; Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, điểm trọng tâm tam E 1; giác ABD Đường thẳng qua A vng góc với BG cắt BD điểm Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết đỉnh A có tung độ lớn �3 � �2 � �4 � 1� 1� � � � 1� 0;3 x y x , y , z � � �z � Tìm giá trị nhỏ � � Câu 10 Cho ba số thực thuộc khoảng thỏa mãn biểu thức P x2 y z 16 Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - THPT (HDC gồm 05 trang) Lưu ý - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý hướng dẫn chấm điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Trong lời giải câu 7, học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn C Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 14 x 20 x có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : y 4 x 15 Nội dung Điểm x 28 x 20 Ta có: y� Giả sử tiếp điểm M x0 ; y0 y�x 4 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng suy x0 � � � x0 x0 � � x0 � x0 3 � 0.5 +) Với x0 � phương trình tiếp tuyến y 4 x 15 (loại) +) Với x0 � phương trình tiếp tuyến y 4 x 12 (thỏa mãn) 0.5 0.5 +) Với x0 3 � phương trình tiếp tuyến y 4 x 113 (thỏa mãn) C Vậy, có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4 x 12 y 4 x 113 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: Phương trình cho tương đương: 0.5 2cos x 1 2sin x cos x sin x sin x Nội dung 2cos x 1 2sin x cos x sin x cos x � cos x � cos x 1 sin x cos x � � � sin x cos x0 � cos x � x � k 2 k �� +) sin x cos x � x k k �� +) x � k 2 , x k k �� Vậy, phương trình cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số 1; � đồng biến khoảng Nội dung � Tập xác định: y� x m 1 x 3m y Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 3 x m 1 x 3mx m Điểm 0.5 1;�۳� y� �0, x Hàm số cho đồng biến khoảng x 3x ۳�� 3m, x 1; x 1 x 3x f x x khoảng 1; � Xét hàm số � x � f� ; f� x x � � 2 x 1 � x � Bảng biến thiên x 1 0.5 0.5 � f x 1; � f� x � 1 m� hàm số cho đồng biến khoảng 1; � Vậy, với 0.5 y x 3x m m Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số để hàm số có năm điểm cực trị Nội dung Điểm x0 � f� x x x; f � x � � 0.5 f x x 3x m x2 � ; Xét hàm số Bảng biến thiên hàm số x f� x f x x 3x m � 0 f x m2 � � � m6 f x 0 Hàm số cho có điểm cực trị � phương trình có nghiệm phân biệt � m m � m Vậy, với m hàm số cho có điểm cực trị u Câu (2,0 điểm) Cho dãy số n u2018 u1 u2 biểu thức H 2019.e e e 0.5 0.5 0.5 � � un ln � 1 , n ��* � n � � � � có số hạng tổng quát Tính giá trị Nội dung � n n 2 � n 1 un ln � 1 ln ln 2� 2 n 1 n 1 � n 1 � � � Ta có 1.3.2.4 2018.2020 u1 u2 u2018 ln 22.32 20192 Suy Điểm 0.5 0.5 ln 2020 1010 ln 2.2019 2019 0.5 1010 ln u1 u2 u2018 0.5 2019.e 2019 1010 Khi H 2019.e Câu (2,0 điểm) Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 11 ba học sinh lớp 10 ngồi vào hàng ngang gồm 10 ghế đánh số từ đến 10 Tính xác suất để khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh Nội dung Điểm n 10! 0.5 Gọi khơng gian mẫu, Gọi A biến cố: “Mười học sinh ngồi vào hàng ngang gồm 10 ghế cho khơng có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau” 0.5 +) Số cách xếp học sinh gồm ba học sinh lớp 11 ba học sinh lớp 10 6! A4 +) Sau có cách xếp học sinh lớp 12 xen kẽ vào vị trí hai đầu học sinh xếp n A A74 6! Suy n A � p A n 0.5 0.5 Câu (2,0 điểm) Cho hai đường thẳng Ax, By chéo , vng góc với nhận đoạn AB làm đoạn vng góc chung Hai điểm M , N di động Ax, By cho AM BN MN Gọi O trung điểm đoạn AB Chứng minh tam giác OMN tam giác tù khoảng cách từ O đến đường thẳng MN không đổi M , N di động Ax, By Đặt Nội dung AM x, BN y , AB a x, y �0, a � MN AM BN x y 2 2 2 Từ AM AB, AM BN � AM AN � MN AM AN AM AB BN x y x y a � xy a Suy ra: a2 a2 2 x y x y 2 OM ON MN a 4 � cosMON 0 2OM ON 2OM ON 4OM ON Suy ra, tam giác MON tam giác tù 2 2 Kẻ OH MN , H �MN Ta có: OM OA AM OH HM (1) ON OB BN OH HN � AM BN MH NH � AM BN MH NH Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 Lại có: AM BN MH NH � AM MH a OH OA không đổi Thay vào (1) ta Câu (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P thuộc cạnh BD, BC , AC cho BD BM , BC BN , AC AP Mặt phẳng MNP cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần MNP khối tứ diện ABCD chia mặt phẳng Nội dung MN CD I Gọi giao điểm NB IC MD ID IM DB CN IM 1� 1� IC , IN DM CB IN Ta có NC ID MB AP DC QI QI IQ 1� � AC DI QP QP IP 1 � ABCD � V d A, BCD CB.CD.sin BCD V Gọi thể tích khối tứ diện 1 � 3V VPCIN d P, BCD CN CI sin BCD VIDMQ ID IM IQ � VIDMQ V VICNP IC IN IP 15 10 VCDMNPQ 13 13 � VCDMNPQ V V V 10 20 Vậy, VABMNPQ Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 G 3; 3 Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, điểm E 1; trọng tâm tam giác ABD Đường thẳng qua A vng góc với BG cắt BD điểm Tìm tọa ABCD , độ đỉnh hình vng biết rẳng đỉnh A có tung độ lớn Nội dung Gọi I tâm hình vng ABCD Khi AI BE , BG AE nên G trực tâm tam giác ABE Suy ra: GE AB � GE / / AD Từ suy tam giác IGE vuông cân I Đường : x � I 2; t trung trực GE t4 � GE IE � t 3 � � t2 � Ta có uu r uur IA 3IG � A 5; 1 I 2; t � +) Với Từ (loại A có tung độ lớn 1) uu r uur I 2; IA 3IG � A 5; +) Với t � Ta có ( thỏa mãn) uur uur ID 3IE � D 1; C 1; 1 , B 5; 1 Từ suy Vậy Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 A 5; 5 , B 5; 1 , C 1; 1 ; D 1; �3 � �2 � �4 � 1� 1� � � � 1� 0;3 x y x , y , z � � �z � Tìm � � Câu 10 (2,0 điểm) Cho ba số thực thuộc khoảng thỏa mãn x2 y z P 16 giá trị nhỏ biểu thức Nội dung x y z a ,b ,c Đặt: � 3� � 3� a �� 0; � , b � 0;1 , c �� 0; � �, thỏa mãn � � � Khi ta có Điểm �1 � �1 � �1 � � 1� � 1� � 1� �a � �b � �c � P a2 b2 c2 �1 � �1 � �1 � � 1� � 1� � 1� � ab bc ca 2abc a b c a b � � � � �c � Từ: 0.5 �a b c � � ��abc � Ta có: � P a b c ab bc ca a b c a b c 4abc 2 Do đó: a b c a b c 2 a b c 27 � 13 � t a b c, t �� 0; � P � t t 2t � � Khi đó: 27 Đặt � 0.5 � 13 � t t 2t 2, t �� 0; � 27 � 4� Xét hàm số f� t t 2t f � t � t Ta có: ; Bảng biến thiên: t f� t f t f t 0.5 t 3 13 211 216 0.5 3 f t � , t � 0;3 t Từ bảng biến thiên suy Dấu xảy 3 t abc x 1, y , z 2 ta được: suy Khi 3 P � x 1, y , z Do đó: Hết ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ MƠN: TỐN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ST T Chủ đề Nội dung Ứng dụng đạo hàm Bài toán tiếp tuyến Tính đơn điệu hàm số Cực trị hàm số Ứng dụng đạo hàm cm bất đẳng thức Hàm số mũ, Hàm số logarit Thể tích khối đa diện Xác suất Mũ lôgarit Thể tích khối đa diện Tổ hợp xác suất Lượng giác Phương pháp tọa độ mặt phẳng Tổng Phương trình lượng giác Hình tọa độ mặt phẳng Nhận biết Mức độ Thông Vận hiểu dụng thấp Câu 2đ Câu 2đ Vận dụng cao Câu 2đ Câu 2đ Câu 2đ Câu 10 2đ Câu 2đ Câu 2đ Câu 2đ Câu 2đ Câu 2đ Câu 2đ Câu Câu Tổng Câu Câu 2đ Câu 2đ Câu 4đ Câu 2đ Câu 2đ Câu 2đ 10 Câu 4đ 10 đ 6đ 20 đ ... � � Ta có 1.3.2.4 2018. 2020 u1 u2 u2018 ln 22.32 20192 Suy Điểm 0.5 0.5 ln 2020 1010 ln 2 .2019 2019 0.5 1010 ln u1 u2 u2018 0.5 2019. e 2019 1010 Khi H 2019. e Câu (2,0 điểm)... m Vậy, với m hàm số cho có điểm cực trị u Câu (2,0 điểm) Cho dãy số n u2018 u1 u2 biểu thức H 2019. e e e 0.5 0.5 0.5 � � un ln � 1 , n ��* � n � � � � có số hạng tổng... Số báo danh: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - THPT (HDC gồm 05 trang) Lưu ý - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải bao gồm ý