de thi toan thpt quoc gia chinh thuc cua bo giao duc de toan thpt qg 2016

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) Câu I(1,0 điểm) Cho số phức z   2i Tìm phần thực phần ảo số phức w  z  z Cho log2 x  Tìm giá trị biểu thức A  log x  log x3  log x Câu II(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y   x4  x2 Câu III(1,0 điểm) Tìm m để hàm số f ( x )  x3  3x2  mx  có hai điểm cực trị Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị đó, tìm m để x12  x22  Câu IV(1,0 điểm) Tính tích phân I   3x( x  x  16 )dx Câu V(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( 3; 2; 2 ), B( 1; 0;1 ) C( 2; 1; ) Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC Câu VI(1,0 điểm) Giải phương trình: sin x  sin x   Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất để B mở cửa phòng học Câu VII(1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A' B' C' có đáy ABC tam giác vuông cân B , AC  2a Hình chiếu vuông góc A' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC , đường thẳng A' B tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A' B' C' chứng minh A' B vuông góc với B' C Câu VIII(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M ,N hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC , BD P giao điểm hai đường thẳng MN , AC Biết đường thẳng AC có phương trình: x  y   , M( 0; ),N( 2; ) hoành độ điểm A nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B Câu IX(1,0 điểm) Giải phương trình log32 (  x   x )  log (  x   x ).log ( x )  (  log x )2  3 Câu IX(1,0 điểm) Xét số thực x , y thỏa mãn x  y   2( x   y  ) (*) Tìm giá trị lớn x  y Tìm m để 3x y4  ( x  y  )27 x y  3( x2  y )  m với x , y thỏa mãn (*) Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh ; Số báo danh Chữ ký cán coi thi 1: ; Chữ ký cán coi thi 1: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn GIẢI ĐỀ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2016 Câu (1,0 điểm) a Cho số phức z = + 2i Tìm phần thực phần ảo w = 2z + z w = 2(1 + 2i) + (1 – 2i) = + 4i + – 2i = + 2i Phần thực phần ảo b Cho log2 x = Tính giá trị biểu thức A = log2 x² + log1/2 x³ + log4 x A = 2log2 x – 3log2 x + (1/2)log2 x = (–1/2)log2 x = – Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = –x4 + 2x² Bạn đọc tự giải Câu (1,0 điểm) Cho hàm số f(x) = x³ – 3x² + mx – Tìm m để hàm số f(x) có hai cực trị x1, x2 Tìm m để x1² + x2² = TXĐ: D = R f’(x) = 3x² – 6x + m Hàm số f(x) có hai cực trị x1, x2 f’(x) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Δ’ = – 3m > m < Khi x1² + x2² = (x1 + x2)² – 2x1x2 = 2² – 2m/3 = m = 3/2 (nhận) Vậy m = 3/2 hàm số f(x) có hai cực trị x1, x2 thỏa x1² + x2² = 3 Câu (1,0 điểm) Tính I =  3x(x  x  16)dx 3 1/2 3/2 (x  16) d(x  16)  [x  (x  16) ]  88 0 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; –2), B(1; 0; 1) C(2; –1; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC Đường thẳng BC qua B(1, 0, 1) nhận BC = (1; –1; 2) làm vector phương (BC): {x = + t; y = –t; z = + 2t Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC Mặt phẳng (P) qua A(3; 2; –2) nhận BC (1; –1; 2) làm vector pháp tuyến (P): x – – (y – 2) + 2(z + 2) = x – y + 2z + = Gọi H hình chiếu vuông góc điểm A đường thẳng BC H thuộc đường thẳng BC => H(1 + t; –t; + 2t) H thuộc (P) => + t + t + 2(1 + 2t) + = t = –1 => H(0; 1; –1) Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình sau: 2sin² x + 7sin x – = Phương trình (2sin x – 1)(sin x + 4) = sin x = 1/2 (vì sin x + > với x) x = π/6 + k2π x = 5π/6 + k2π (k số nguyên) b Học sinh A thiết kế bảng điện tử mở cửa phòng Bảng có 10 nút khác đánh số từ đến Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số ba nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc nên nhấn ngẫu nhiên ba nút khác Tính xác suất để học sinh B mở cửa phòng Số cách nhấn ngẫu nhiên 10 số có thứ tự số phần tử không gian mẫu n(Ω) = A10 = 720 Gọi A biến cố: “Học sinh B mở cửa phòng.” Các ba số thỏa mãn điều kiện mở cửa theo thứ tự (0; 1; 9), (0; 2; 8), (0; 3; 7), (0; 4; 6), (1; 2; 7), (1; 3; 6), (1; 4; 5), (2; 3; 5) => n(A) = P(A) = n(A)/n(Ω) = 8/720 = 1/90 Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC = 2a Hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm đoạn AC Đường thẳng A’B tạo với (ABC) góc 45° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chứng minh A’B vuông góc với B’C Gọi H trung điểm đoạn AC Góc A’B (ABC) góc A’BH => góc A’BH = 45° => A’BH vuông cân H => A’H = HB = AC/2 = a I =  3x 2dx  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn SABC = (1/2)HB.AC = a² VABC.A’B’C’ = A’H.SABC = a.a² = a³ Có A’A = A'H2  HA2  a AB = a => A’A = AB Nên A’ABB’ hình thoi => AB’ vuông góc với A’B Mặt khác AC vuông góc với HB A’H => AC vuông góc với (A’HB) => AC vuông góc với A’B Suy A’B vuông góc với (ACB’) Vậy đường thẳng A’B vuông góc với đường thẳng B’C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M, N hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC, BC Gọi P giao điểm MN AC Biết đường thẳng AC có phương trình x – y – = 0, M(0; 4), N(2; 2) hoành độ điểm A nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B Đường thẳng MN qua M(0; 4) nhận MN = (2; –2) làm vector phương => MN nhận n MN = (1; 1) làm vector pháp tuyến => phương trình đường thẳng (MN): x + y – = P = (MN) ∩ (AC) => tọa độ P thỏa hệ phương trình {x + y – = 0; x – y – = x = 5/2 y = 3/2 Do P(5/2; 3/2) Gọi Q hình chiếu vuông góc A CD Vì góc AMB + góc ANC = 180° nên AMBN nội tiếp => góc ANP = góc ABM (1) Tương tự ABCD nội tiếp => góc ADC + góc ABC = 180° mặt khác góc AND = góc AQD = 90° => ANQD nội tiếp => góc ADC + góc ANQ = 180° => góc ANQ = góc ABC (2) Từ (1) (2) => góc ANP + góc ANQ = góc ABC + góc ABM = 180° => M, N, Q thẳng hàng mà AMCQ hình chữ nhật => P trung điểm MQ => Q(5; –1) 5 PM = (  0)  (  4)  2 A thuộc AC => A(t; t – 1) với t < AP = PM (5/2 – t)² + (3/2 + – t)² = 25/2 (t – 5/2)² = 25/4 t = (vì t < 2) => A(0; –1) => AM = (0; –5) => BC: y = mà AN = (2; 3) => BD: 2x + 3y – 10 = Tọa độ B thỏa mãn hệ phương trình {y = 4; 2x + 3y – 10 = => B(–1; 4) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực 3log32 (  x   x )  2log1/3 (  x   x ).log 9x  (1  log1/3 x) = Giải Điều kiện < x ≤ Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Phương trình 3log32 (  x   x )  4log (  x   x ).(1  log x)  (1  log1/3 x) = (*) Đặt a = log3 (  x   x ) b = + log3 x (*) 3a² – 4ab + b² = (a – b)(3a – b) = a = b V b = 3a Với a = b log3 (  x   x ) = + log3 x 3x =  x   x 0  x   2 4   x  9x  x (với t ≥ 0) => x² = – t² => 9t² + 2t – 32 = t = –2 V t = 16/9 17 với t = 16/9 => x² = 68/81 => x = (vì ≥ x > 0) Với b = 3a, ta có + log3 x = 3log3 (  x   x ) 3x = (  x   x )³ Đặt t = (1) (  x   x )² = +  x ≥ =>  x   x ≥ => Phương trình (1) có nghiệm 3x ≥ 2³ = x ≥ 8/3 > không thỏa mãn điều kiện xác định 17 Vậy x = ngiệm phương trình Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x y thỏa mãn x + y + = 2( x   y  ) (*) a Tìm giá trị lớn x + y b Tìm m cho 3x+y–4 + (x + y + 1).27–x–y – 3(x² + y²) ≤ m với x, y thỏa mãn (*) Giải a Áp dụng bất đẳng thức B.C.S => ( x   y  )² ≤ (1 + 1)(x – + y + 3) = 2(x + y + 1) => (1/4)(x + y + 1)² ≤ 2(x + y + 1) => x + y ≤ Dấu đẳng thức xảy x = y = Vậy max (x + y) = b (x + y + 2)² = (2x + y)² ≤ (4 + 1)(x² + y²) = 5(x² + y²) => x² + y² ≥ (x + y + 2)²/5 Mặt khác x + y + = 2( x   y  ) ≥ x  y  => x + y + ≥ => x + y ≥ => x² + y² ≥ => 3x+y–4 + (x + y + 1).27–x–y – 3(x² + y²) ≤ 3x+y–4 + (x + y + 1).27–x–y – 15 Đặt t = x + y (với ≤ t ≤ 7) => 3x+y–4 + (x + y + 1).27–x–y – 3(x² + y²) ≤ 3t–4 + (t + 1).27–t – 15 = g(t) g’(t) = 3t–4 ln + 27–t – (t + 1)27–t ln g’’(t) = 3t–4 ln² – 27–t ln – 27–t ln + (t + 1)27–t ln² = 3t–4 ln² + [(t + 1) ln² – ln 2]27–t => g’’(t) > với ≥ t ≥ g’(3) = (1/3)ln + 16 – 64 ln < g’(7) = 27 ln + – ln > => g’(t) = có nghiệm a thuộc (3; 7) g’(t) đổi dấu từ âm sang dương t qua a Mặt khác g(3) = 148/3 g(7) = 16 => g(t) ≤ g(3) = 148/3 => m ≥ 148/3 .. .Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn GIẢI ĐỀ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2016 Câu (1,0 điểm) a Cho số phức z = + 2i Tìm phần thực phần... ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M, N hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC, BC Gọi P giao điểm MN AC Biết đường thẳng AC có phương trình x – y – = 0, M(0; 4), N(2; 2) hoành độ điểm... 3x(x  x  16)dx 3 1/2 3/2 (x  16) d(x  16)  [x  (x  16) ]  88 0 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; –2), B(1; 0; 1) C(2; –1; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông