BPT vô tỉ PHẦN i BIẾN đổi TƯƠNG ĐƯƠNG

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I CÁC DẠNG CƠ BẢN A≥ Dạng : A < B ⇔  A < B Ví dụ : − − x − − x > Hướng dẫn :  1− x ≥   −2 < x ≤ ⇔ 4 − − x ≥ ⇔  x + 5x + >  − x < x +  −5 + 13 Đáp số : S=( ; 1] Dạng :  A≥0  A0 B > A  Ví dụ : 8x2 − x + − x + ≤ ⇔ −5 + 13 < x ≤1 Hướng dẫn :  4x −1 ≥  4x −1 ≥   ⇔  8x − x + ≥ ⇔ 8 x − x + ≥   8x2 − 2x ≥  8 x − x + ≤ ( x − 1) 1 Đáp số : S={ } ∪ [ ; + ∞ ) Dạng :  A ≥  BB⇔  B ≥  A > B  Ví dụ : Giải bất phương trình x2 − x + − x + > Hướng dẫn :   x−2 ( x − )   x − <   3− x≤ 2 x − x + ≥  ⇔ ⇔  x−2≥0    x >   x − x − > 3− ∪ ] (3; + ∞ ) A≥0   B≥0  A+ B > C ⇔ C≥0   AB > C − A − B  Đáp số : S=(- ∞ ; Dạng :  x = ⇔ x ≥  Ví dụ : x + − − x < − x Hướng dẫn :   ⇔   −2 ≤ x ≤ ( − x) ( − 2x) > 2x − Đáp số : S=[-2; 2) Ví dụ : Giải bất phương trình  − ≤ x <   ⇔  ≤x≤   2   2 x − x − < ⇔ −2 ≤ x < x − 3x + + x − x + ≥ x − x + (1) Hướng dẫn : - TXĐ : D=(- ∞ ; 1] ∪ [4; + ∞ ) - TH1 : x ∈ (- ∞ ; 1]  x =1 x =1 x =1        x < ⇔ x ≤ x < x <   ⇔ ⇔ ⇔ (1)     97  2 (2 − x)(3 − x) ≥ 11 − x   − x + − x ≥ − x  x ≤   24  - TH2 : x ∈ [4; + ∞ ) 11  4 ≤ x <  x≥4  x≥4  11 ⇔ ⇔   x ≥ (1) ⇔     x − + x − ≥ x − 2 ( x − ) ( x − 3) > x − 11     x ≥ 97 24   Đáp số : S=(- ∞ ; 1] ∪ [4; + ∞ ) A≥0   B≥0  Dạng : A + B < C ⇔  C≥0   AB < C − A − B  Ví dụ : Giải bất phương trình x + ≥ x − + − x Hướng dẫn : 4≤ x≤7  4≤ x≤7  4 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔  x − 11x + 30 ≥ 6 ≤ x ≤  ( x − ) ( − x ) ≤ Đáp số : S=[4; 5] ∪ [6; 7] Ví dụ : Giải bất phương trình x2 + x − + x2 + 2x − ≤ x2 + 4x − Hướng dẫn : - TXĐ : D=(- ∞ ; -5] ∪ [1; + ∞ ) - TH1 : x ∈ [1; + ∞ ) x =1 x =1     x >1 x >1 ⇔   ⇔ x =1 (1) ⇔      2 ( x + 1)( x + 3) ≤ − x  x + + x + ≤ x +   ⇔x≥4 - TH2 : x ∈ (- ∞ ; -5]  x ≤ −5  ⇔ (1) ⇔   − x − + − x − ≤ − x − 2 Đáp số : x=1 x ≤ −5 ( x + ) ( x + 3) ≤x ⇔ x ∈φ x + 11 ≥ x − + x − (1) Ví dụ : Giải bất phương trình : Hướng dẫn Điều kiện: x ³ Ta có (1) Û Vì x + 11 ³ (2) Û ( x + 11 - x- ³ x - 4, " x ³ nên x + 11 - ) 2x - (2) x + 11 - x - ³ 0, " x ³ x - ³ 2x - Û 2x + - ( x + 11) ( x - 4) ³ 2x - Û x2 + 7x - 44 £ ù Û x2 + 7x - 60 £ Û x Ỵ é ê- 12;5û ú ë ù Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho S = é ê ë4;5ú û   A co nghia  B=0  Dạng : A B ≥ ↔  B >    A ≥ Ví dụ : Giải bất phương trình ( x − 3x ) x − x − ≥ Hướng dẫn :  x ≤ −   x − 3x − =   ⇔  2 x − x − > ⇔  x ≥  x=2  x − 3x ≥    Đáp số : S=(- ∞ ; - ] ∪ { 2} ∪ [3; + ∞ ) B > Dạng : A B > ↔  A > Ví dụ : Giải bát phương trình x − 3x + − x2 > 1+ x  A   Dạng : A B ≤ ↔    co nghia B=0 B >  A ≤ x−2 Ví dụ : Giải bất phương trình − x2 Hướng dẫn x2 −1 ≤ B > Dạng : A B < ↔  A < Ví dụ : Giải bất phương trình (12 − x − x ) 2x +1 2x + 2x + − Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình 4x (1 − + x ) < 2x + ( Bài Giải bất phương trình ( x + 1) < ( x + 10 ) − x + Bài Giải bất phương trình 2x + − 2 − x > 12 x − x + 16 ) III TỔNG HỢP Ví dụ : Giải bất phương trình 9− 9 < x− x− x x Hướng dẫn:  9 − x ≥   x≥3  Điều Kiện:  x − ≥ ⇔  x  −3 ≤ x <   x≠0   *) Nếu −3 ≤ x < Thì x − x − *) Nếu x ≥ ⇒ x − x − 9 < < − Suy bất phương trình vơ nghiệm x x >0 x Nên bất phương trình tương đương với 9− 9 9 < x − x x − + x − ⇔ x − − x x − + x > x x x x x ≥  x ≥  ( x − − x) > ⇔  ⇔ ± 37 x ≠  x − ≠ x  2 1 ± 37  Vậy tập nghiệm S = [ 3; +∞ ) \     Ví dụ : Giải bất phương trình: 2( x − 1) x + x − ≤ x − x − (1) Hướng Dẫn  x ≥ −1 + 2 Điều Kiện: x + x − ≥ ⇔   x ≤ −1 − ) ( )( ( ) (1) ⇔ x − − x + x − − ( x + 1) ≥ ⇔ −2 − x + x − x − x + x − ≥ ⇔ x − x + x − ≤ (Do −2 − x + x − < ) ⇔ x ≤ x2 + 2x − (*) +) Với x ≤ −1 − Thì (*) Ln Đúng +) Với x ≥ −1 + , Bình Phương Vế Của (*) Suy Ra Vô Nghiệm Vậy, Bất phương trình có nghiệm x ≤ −1 − 2( x − 16) Ví dụ : Giải bất phương trình x−3 7−x (1) x−3 + x−3 > Hướng dẫn : - TXĐ : D=[4; + ∞ ) x≥4  ⇔ (1)   ( x − 16 ) > 10 − x x>5   ⇔  4≤ x≤5    x − 20 x + 66 < x>5   4≤ x≤5 ⇔     10 − 34 < x < 10 + 34  ⇔ x > 10 − 34 Đáp số : S=(10- 34 ; + ∞ ) Ví dụ : Giải bất phương trình x + x −1 + x − x −1 > Hướng dẫn : x ≥1   ⇔  x − − > − x −  1≤ x ≤  ⇔   x >  4 x − >  ⇔ x ≥1 Đáp số : S=[1; + ∞ ) Ví dụ 5: Giải Bất Phương Trình: Hướng dẫn x − x + − x − 3x + ≥ x −  x≥3  x2 − x + ≥  ⇔  x =1 +) Điều Kiện:  2 x − 3x + ≥  x ≤  +) Với x=1 tahy vào Bpt hiển nhiên Suy Ra x=1 Là Nghiệm +) Với x ≥ Suy Bpt ⇔ ( x − 3)( x − 1) − ( x − 1)(2 x − 1) ≥ x − Chỉ Ra Vô Nghiệm +) Với x ≤ Suy Ra Bpt ⇔ ( 1− x) ( − 2x ) − ( 1− x ) ( − x) Chỉ Ra Nghiệm x ≤ ≤ 1− x x =1 +) Kết Luận: Bpt Có Nghiệm  x ≤  Ví dụ 6: Giải bất phương trình x + x − 10 x + > x + x − 10 x + Hướng dẫn Điều Kiện x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 9; +∞) Với x + x − 10 x + > ⇔ x − 10 x + > − x Suy x − 10 x + ( ) x − 10 x + − + x >   x − 10 x + > − < x − x  x>9   Kết luận tập nghiệm S =  − ;1÷∪ ( 9; +∞ )   Ví dụ : Giải hệ phương trình x + ≤ x − x − + x x + x + Hướng dẫn  x≤−  Điều kiện  x ≥ + Bất phương trình tương đương với x + ≤ x − x − + x x + x + ( ) ( ) ⇔ 3x − x − − 3x − x − + + x − x x + x + + x + x + ≤ ⇔ ) ( ( 3x − x − − + x − x + x + ) ≤0 3x − x − =  x − x − −  1+ ⇔ ⇔ x ≥ ⇔x= 2 x − x + x + =  2  x + x + = 4x + Đáp số x = 1+ Ví dụ 8: Giải bất phương trình: x + 3x + x + ≥ x x + + x + 11 Hướng dẫn Điều kiện : x ≥ −4 Từ đk ⇒ VP > ⇒ VT > ⇒ x3 + x + x + > ⇔ ( x + 3)( x + 1) > ⇔ x > −3 Ta có : x3 + x + x + ≥ x x + + x + 11 ⇔ x3 + 3x + x + − x x + − x + 11 ≥ ⇔x ( x +3− ) ( ⇔x ( x + 3) − 4( x + 4) ) x + + x + − x + 11 ≥ x +3+ x + + ( x + 2) − (2 x + 11) x + + x + 11 ≥0 x2 + x − x2 + 2x − ⇔x + ≥0 x + + x + x + + x + 11 2   x ⇔ x + 2x −  +  x + + x + x + + x + 11 ÷ ÷≥   ( ) (*)  Vì x > −3 ⇒  x + + x + ≥ >  x + + x + 11 ≥ −1 + > ⇒ x x+3+2 x+ + x + + x + 11  Do (*) ⇔ x + x − ≥ x > −3 Ví dụ 9: Giải bất phương trình >0 ⇔ x ≥ −1 + 2 − x + 3x + − x2 − x + > Hướng dẫn ĐKXĐ: x ≤ −2 ∨ x ≥ −1 Ta có: − x − x + = − (2 x − 1) + ≤ − < với x ∈ ¡ , nên BPT ⇔ − x + x + < − x − x + ⇔ + x − x + < x + x + x > x > ⇔ ⇔ x − x + + x − x + + < x + 3x + ⇔ x − x + + < x ⇔  2 x − x +1 < 4x 3 x + x − > x > −1 + 13  ⇔ −1 + 13 −1 + 13 ⇔ x > ∨x> x <  2  −1 + 13  ; +∞ ÷ Vậy BPT có tập nghiệm S =  ÷Vậy bất phương trình có tập nghiệm   x ∈ [ − + 2; + ∞ ) Ví dụ 10 : Giải bất phương trình x − + x − ≥ x − 3x + Hướng dẫn  x −1 ≥ ⇔ x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 2; +∞ ) ∪ { 1} Điều kiện :    x − 3x + ≥ TH : Dễ thấy x = nghiệm bất phương trình (1) TH : Nếu x ≥ (1) tương đương : ( x − 1)( x + 1) + ( x − 1) ≥ ( x − 1)( x − 2) ⇔ x + + x − ≥ x − ⇔ x + x − ≥ x − ⇔ x − ≥ − x − ( Đúng với x ≥ ) TH : Nếu x ≤ −1 (1) tương đương : (1 − x )(− x − 1) − (1 − x) ≥ (1 − x )(2 − x) ⇔ − x − − − x ≥ − x ⇔ − x − ≥ − x + − x ⇔ − x − ≥ − x + (1 − x )(2 − x) ⇔ (1 − x)(2 − x) ≤ x − ( Vô nghiệm ) Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = [ 2; +∞ ) ∪ { 1} Ví dụ 11 : Giải bất phương trình: x − x − + x − + x − x − x − ≥ Hướng dẫn  x2 − x −1 ≥  1+ ĐK:  x − ≥ ⇔ x ≥ ( *) x ≥  BPT ⇔4 ⇔4 ( ) ( ) x2 − x − − + x2 − x − x − x −1 +1 + x2 − − x + x2 − x − ≥ x2 − x − x −2 + x + ( x2 − x − 2) ≥   − x − 2)  + + 1÷ ≥ 2 x −2 + x   x − x −1 +1 x ≥ dk ( *) ⇔ x2 − x − ≥ ⇔   →x≥  x ≤ −1 (x KL: Tx = [ 2; +∞ ) Ví dụ 12 : Giải bất phương trình x − − ≥ x − − x + Hướng dẫn Điều kiện xác định: x ³ Bất phương trình tương đương: x - + x +1 ³ x - + Û x - + ( x - 2)( x +1) ³ x - + x - éx ³ Û x - x +18 ³ Û ê ê x £ ë Vậy nghiệm bất phương trình x ³ £ x £ x2 + x + + x2 − ≤ Ví dụ 13 : Giải bất phương trình: x+4 x2 + Hướng dẫn Điều kiện : x>-4  x2 + x +  2 − x2 + Bpt ⇔  − 1÷+ x − ≤  ÷ x+4 x2 +   x2 + x + −1 − ( x + 1) x + ⇔2 + x −3≤ x2 + x + (2 + x + 1) x + +1 x+4 2( x − 3) x2 − ⇔ + x2 − + ≤0 ( x + 4)( x + x + 1) + x + (2 + x + 1) x +   ÷≤ ⇔ ( x − 3)  +1+ 2  ( x + 4)( x + x + 1) + x + ÷ (2 + x + 1) x +   ⇔ x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Kết hợp với điều kiện ⇒ Tập nghiệm bpt S =  − 3;  Ví dụ 14 : Giải bất phương trình sau: Hướng dẫn ĐK: x ≥ (x ) − x− x − + ( x − 2) x + ≥ 3x2 − 9x + (x ⇔ − x − ( x − 2) (x ⇔ − 5x + ( x − 2) 2 ) x − 1+ + ( x − 2) ( x − 3) ≥ 2x2 − 10x + 12 x + 1+ ) x2 − 5x + + ≥ 2(x2 − 5x + 6) x − 1+ x + 1+ BPT  x+  ⇔ x2 − x −  + − 2 ≥ x + 1+   x − 1+ ( ) ( )  ⇔ −x − 5x +    ( )   ≥ ⇔ x ∈ 1;2 ∪ 3;+ ∞ + ) [ ] [ x − 1+ x + + 2  x − 1− x2 − x Ví dụ 15 : Giải bất phương trình: x + 3x − x x ≠ Điều kiện:  x ≠ ≤1 Với x ∈ ( 0;1) ⇒ x + x − x < x + 3x − x = Khi bất phương trình cho tương đương với: x − x ≥ x + x − x ⇔ x + x ≥ x + 3x hai vế phương trình khơng âm, bình phương ta được: x ( x − 1) ≥ không thỏa mãn x ∈ ( 0;1) Với x > x < x + x − x > Khi bất phương trình cho tương đương với: x − x ≤ x + 3x − x ⇔ x + x ≤ x + 3x  −1 ≤ x <  x2 + x ≤    x > ⇔   x + x > ⇔  ⇔ x x − Bài Giải bất phương trình 5x + − 4x − ≤ x Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình x + − x +1 ≤ x 5x − − x − > x − Bài Giải bất phương trình x + − − x ≥ 3x − Bài Giải bất phương trình ( x − 3) x + ≤ x − Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình Bài 10 Giải bất phương trình Bài 11 Giải bất phương trình x2 − 3x − ≥ − x 3x − x − x + 15 + x + x − 15 > x − 18 x + 18 x + 3x + + x + x + ≤ x + x + x3 − 3x + x x4 − x2 ≤ Bài 12 Giải bất phương trình 10 + 16 x − x − x ≤ x − x − ( ) Bài 13 Giải bất phương trình x + x − x + x + ≥ x + ( ) x3 + x Bài 14 Giải bất phương trình x + x < + x + x − x ( ) Bài 15 Giải bất phương trình x − ( ) x + < x3 − x ... > x − B? ?i Gi? ?i bất phương trình 5x + − 4x − ≤ x B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình x + − x +1 ≤ x 5x − − x − > x − B? ?i Gi? ?i bất phương trình x + − − x ≥ 3x − B? ?i Gi? ?i bất phương... ? ?i? ??u Kiện:  2 x − 3x + ≥  x ≤  +) V? ?i x=1 tahy vào Bpt hiển nhiên Suy Ra x=1 Là Nghiệm +) V? ?i x ≥ Suy Bpt ⇔ ( x − 3)( x − 1) − ( x − 1)(2 x − 1) ≥ x − Chỉ Ra Vô Nghiệm +) V? ?i x ≤ Suy Ra Bpt. .. S=[-1; + ∞ ) B? ?i tập tự rèn luyện 2x < 1+ 2x −1 2x + 2x > 2x + 2x + − B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình 4x (1 − + x ) < 2x + ( B? ?i Gi? ?i bất phương trình