BPT VO TI

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng : Đưa bất phương trình A≥ A< B⇔ A < B  A ≥  BB⇔  B ≥  A > B  A≥0   B≥0  A+ B < C ⇔ C≥0   AB < C − A − B  Ví dụ : Giải bất phương trình  A≥0  A < B ⇔  B > B > A  A≥0   B≥0  A + B > C ⇔  C≥0   AB > C − A − B    A co nghia  B=0  A B ≥ ↔  B >   A ≥  8x2 − x + − x + ≤ Hướng dẫn :  4x −1 ≥  ⇔  8x2 − x + ≥  2 8 x − x + ≤ ( x − 1)  4x −1 ≥  ⇔ 8 x − x + ≥  8x2 − 2x ≥   x =  ⇔ x ≥  Đáp số : S={ 1 }∪ [ ; +∞) Ví dụ : Giải bất phương trình x2 − x + − x + > Hướng dẫn :   x−2 ( x − )   x − <  2 x − x + ≥ ⇔  x−2≥0    x − x − >  3− x≤  ⇔  x >  Đáp số : S=(- ∞ ; 3− ∪ ] (3; + ∞ ) − 1− x − − x > Ví dụ : Giải bất phương trình Hướng dẫn :  1− x ≥  ⇔ 4 − − x ≥   1− x < x +  −2 < x ≤ ⇔  x + 5x + > −5 + 13 < x ≤1 −5 + 13 Đáp số : S=( ; 1] ⇔ x + ≥ 2x − + − x Ví dụ : Giải bất phương trình Hướng dẫn : 4≤ x≤7  ⇔  ( x − ) ( − x ) ≤ 4≤ x≤7  ⇔  x − 11x + 30 ≥ 4 ≤ x ≤ ⇔ 6 ≤ x ≤ Đáp số : S=[4; 5] ∪ [6; 7] x + − − x < − 2x Ví dụ : Giải bất phương trình Hướng dẫn :   ⇔   −2 ≤ x ≤ ( − x) ( − 2x) > 2x − 3   −2 ≤ x <  ⇔  ≤x≤   2   2 x − x − < ⇔ −2 ≤ x < Đáp số : S=[-2; 2) Ví dụ : Giải bất phương trình ( x − 3x ) x − x − ≥ Hướng dẫn :  x − 3x − =  ⇔  2 x − x − >  x − 3x ≥   x ≤ −  ⇔  x≥3  x=2   Đáp số : S=(- ∞ ; - ] ∪ { 2} ∪ [3; + ∞ ) Ví dụ : Giải bất phương trình x − 3x + + x − x + ≥ x − x + Hướng dẫn : - TXĐ : D=(- ∞ ; 1] ∪ [4; + ∞ ) - TH1 : x ∈ (- ∞ ; 1] x =1   x 1 ⇔     2 ( x + 1)( x + 3) ≤ − x  ⇔ x =1 - TH2 : x ∈ (- ∞ ; -5]  (1) ⇔  x ≤ −5  − x − + − x − ≤ − x − x ≤ −5  ⇔ 2 ( x + ) ( x + 3) ≤ x ⇔ x ∈φ Đáp số : x=1 Ví dụ : Giải bất phương trình 2( x − 16) x−3 Hướng dẫn : - TXĐ : D=[4; + ∞ ) x≥4  (1) ⇔   ( x − 16 ) > 10 − x x>5   ⇔  4≤ x≤5    x − 20 x + 66 < x>5   4≤ x≤5 ⇔     10 − 34 < x < 10 + 34  + x−3 > 7−x (1) x−3 ⇔ x > 10 − 34 Đáp số : S=(10- 34 ; + ∞ ) Ví dụ 10 : Giải bất phương trình x + x −1 + x − x −1 > Hướng dẫn : x ≥1   ⇔  x − − > − x −  1≤ x ≤  ⇔   x >  4 x − >  ⇔ x ≥1 Đáp số : S=[1; + ∞ ) Bài tập tự rèn luyện Bài Giải bất phương trình x + ≥ 2( x − 1) Đáp số : S=[1; 3] ∪ {-1} Bài Giải bất phương trình Đáp số : ( x + 1)(4 − x) > x − Bài Giải bất phương trình 5x + − 4x − ≤ x Đáp số : Bài Giải bất phương trình Đáp số : x + − x +1 ≤ x Bài Giải bất phương trình Đáp số : 5x − − x − > x − Bài Giải bất phương trình Đáp số : x + − − x ≥ 3x − Bài Giải bất phương trình ( x − 3) x2 + ≤ x2 − Đáp số : Bài Giải bất phương trình Đáp số : x2 − 3x − ≥ − x 3x − x − x + 15 + x + x − 15 > x − 18 x + 18 Bài Giải bất phương trình Đáp số : x + 3x + + x + x + ≤ x + x + Bài 10 Giải bất phương trình Đáp số : Bài 11 Giải bất phương trình x3 − 3x + x x4 − x2 ≤ Đáp số : Dạng : Phân tích, liên hợp Ví dụ : Giải bất phương trình − − 4x2 Bài tập tự rèn luyện 2x < 1+ 2x −1 2x + Bài Giải bất phương trình Đáp số : 2x > 2x + 2x + −1 Bài Giải bất phương trình Đáp số : Bài Giải bất phương trình 4x (1 − + x ) < 2x + Đáp số : ( Bài Giải bất phương trình ( x + 1) < ( x + 10 ) − x + ) Đáp số : Bài Giải bất phương trình 2x + − 2 − x > 12 x − x + 16 Đáp số : Dạng : Một số bất phương trình cách giải Ví dụ : Giải bất phương trình x − + x − ≥ ( x − 3) + x − Hướng dẫn : Đáp số : Ví dụ : Giải bất phương trình x + 12 x + − x − > x + Hướng dẫn : Đáp số : Bài tập tự rèn luyện Bài Giải bất phương trình 2x2 − 6x + − x ≤ x − Đáp số : x=4 Bài Giải bất phương trình x − 10 x + 16 − x − ≤ x − Đáp số : x=5 Bài Giải bất phương trình x + 16 ≥ 2 x + + − x Đáp số : Bài Giải bất phương trình ( x + 1) x +1 x− + < 2x −1 + Đáp số : S=( ; +∞) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ : Đưa bất phương trình ẩn : Ví dụ : Giải bất phương trình x + 3x + ≥ x + 3x + Hướng dẫn : TX Đ : D=R Đặt T= x + x + , T>0 Đáp số : Ví dụ : Giải bất phương trình x + < 2x + + 2x x Hướng dẫn : TXĐ : D=(0; + ∞ ) Đặt T= x + , T≥ 2 x  3− 2 0 < x < Thay vào T2-4T>0 ⇔ T>4 Từ thay trở lại tìm   3− 2  x>  3− 2 ∪ 3+ 2 ∞ Đáp số : S=(0; ) ( ;+ ) 2 Ví dụ : Giải bất phương trình x+ x x2 − > 35 12 Hướng dẫn : Đáp số : Ví dụ : Giải bất phương trình x x +1 −2 >3 x +1 x Hướng dẫn : TXĐ : D+(- ∞ ; -1) ∪ (0; + ∞ ) Đặt T= x , T>0 x +1 Thay vào T − >3 T Biến đổi tương đương ta T>2 từ suy − Đáp số : S=( − ; -1) < x < −1 Ví dụ : Giải bất phương trình Hướng dẫn : + x − − x − < + ( x + 5)(− x − 3) Đáp số : Bài tập tự rèn luyện Bài Giải bất phương trình x2 + x + ≤ x2 + 4x + Đáp số : Bài Giải bất phương trình x + 10 x + ≥ − x − x Đáp số : 2x Bài Giải bất phương trình x + >3 x2 − Đáp số : Bài Giải bất phương trình x + < 2x + x +4 2x Đáp số : Bài Giải bất phương trình 6x 12 x 12 x − − 24 ≥0 x−2 x−2 x−2 Đáp số : S={0} ∪ (2; 8] Bài Giải bất phương trình x x + − 2x > x+ −2 x x Đáp số : S=(1+ ; + ∞ ) Lượng giác hố : Ví dụ : Giải bất phương trình ( − x2 ) + x5 ≤ Hướng dẫn : Đáp số :  2 Ví dụ : Giải bất phương trình  x + x + a ÷ ≤   5a x2 + a2 Hướng dẫn : Đáp số : III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ : Bài tốn khơng chứa tham số : Ví dụ : Giải bất phương trình Hướng dẫn : x + + x − + 49 x + x − 12 < 181 − 14 x (1) (1) ⇔ ( 7x + + 7x − ) + x + + x − − 182 < ⇔ x + + x − − 13 < Nhận thấy f(x)= 6  x + + x − − 13 đồng biến  ; +∞ ÷ Mặt khác f(6)=0 nên 7  6  x ∈  ;6 ÷ nghiệm bất phương trình 7  x − x + − x − x + 11 > − x − x − (1) Ví dụ : Giải bất phương trình Hướng dẫn : - Điều kiện : ≤ x ≤ (1) ⇔ ( x − 1) + + x − > ( x − 3) + + − x - Xét hàm f(t)= t + + t với t ≥ có f’(t)= t t2 + + t >0 với t>0 Hàm số f(t) đồng biến với t ≥ mà f(x-1)>f(3-x) suy x>2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm (2; 3] Lưu ý : Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương pháp nhân liên hợp x + x + x + 16 > + − x Ví dụ : Giải bất phương trình Hướng dẫn: - Điều kiện : − ≤ x ≤ - Xét hàm số f(x)= x + x + x + 16 − − x với − ≤ x ≤ Ta có f’(x)= 3x + 3x + x + x + x + 16 + 4− x > với − < x < suy hàm số f(x) đồng biến [-2; 4] mà f(1)=2 Vậy f(x)>f(1) suy x>1 Do tập nghiệm bất phương trình : (1; 4] Bài tập vận dụng Bài Giải bất phương trình : x + − − x ≤ 12 Đáp số : S=(- ∞ ; 4] Bài Giải bất phương trình : x − x + x − x + > x + + x + Đáp số : S=( 1− ∪ 1+ ∞ ;- ) ( ;+ ) 2 Bài Giải bất phương trình : x − + x − 29 + x > Đáp số : S=(1; + ∞ ) ( x + 2)( x − 1) − Bài Giải bất phương trình : x+ ≤ 4− ( x + 6) (2 x − 1) + x+2 Đáp số : S=[7; + ∞ ) 2.2 Bài toán chứa tham số : x − + − x < m (1) có nghiệm Ví dụ : Tìm điều kiện để bất phương trình Hướng dẫn : Xét hàm số f(x)= x − + − x [ ⇔x= 2 − x − 4x − ;4] có f’(x)= =0 − = 4x − 4−x x − − x Lập bảng : x f’(x) - + f(x) Từ bảng ta thấy để bất phương trình có nghiệm m> 14 14 Ví dụ : Tìm m để bất phương trình x + x − ≤ m( x − x − 1) (1) có nghiệm Hướng dẫn : - Điều kiện : D=[1;+ ∞ ) (1) ⇔ ( x + x − 1)( x + x − 1) ≤ m - Xét hàm số f(x)= ( x + x − 1)( x + Có f’(x)=(3x2+6x)( x + x − 1) D x − 1) + 3( x + x − 1)( x + x − 1) ( x + x −1 Suy f(x) đồng biến D suy m ≥ Ví dụ : Tìm m để bất phương trình m( x − x + + 1) + x(2 − x ) ≤ có nghiệm [0; 1+ ] Hướng dẫn : [ ] - Đặt t= x − x + với x ∈ 0;1 + t ∈ [1;2] Thay vào ta m ≤ - Xét hàm số f(t)= t2 − t +1 t + 2t + t2 − [1; 2] có f’(t)= >0 (t + 1) t +1 ) >0 Suy f(t) đồng biến [1; 2] Lập bảng : t f’(t) + f(t) Từ bảng ta thấy m ≤ bất phương trình có nghiệm Bài tập vận dụng Bài Tìm m để bất phương trình: m x + < x + m có nghiệm Đáp số : m< Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x thuộc [-5; 2] 3( + x + − x ) − m − − x − 3x + 10 ≥ Đáp số : Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm : ( − x + x ) − ( x(1 − x) ≤ m Đáp số : m ≥ Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [0; 4] ( 9( x + 1) < ( x + m ) − x + ) Đáp số : Bài Tìm m BPT nghiệm x thuộc TXĐ (1 + x)(3 − x) > m + x − x + Đáp số : IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ : Bài Giải bất phương trình x − x2 − + x + x2 − ≤ Đáp số : Bài Giải bất phương trình sin x ≥ x + Đáp số : Bài Giải bất phương trình Đáp số : 1+ x + 1− x ≤ − x2 ... để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [0; 4] ( 9( x + 1) < ( x + m ) − x + ) Đáp số : Bài Tìm m BPT nghiệm x thuộc TXĐ (1 + x)(3 − x) > m + x − x + Đáp số : IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ : Bài Giải