BPT vô tỉ PHẦN i BIẾN đổi TƯƠNG ĐƯƠNG

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I CÁC DẠNG CƠ BẢN  A 0 Dạng : A  B   A B Ví dụ :   x   x  Hướng dẫn : �  x �0 � � 2  x �1 � �4   x �0 � �2 �x  x   �  x  x  � 5  13 Đáp số : S=( ; 1] Dạng :  A 0  A B   B0  B2  A  Ví dụ : x  x   x  0 � 5  13  x �1 Hướng dẫn : � x  �0 � x  �0 � � � � � x  x  �0 �� x  x  �0 � � x  x �0 � x  x  � x  1 � 1 Đáp số : S={ } �[ ; + �) Dạng :   A 0  B0 AB    B 0  A  B  Ví dụ : Giải bất phương trình x2  x   x   Hướng dẫn : � � x2 � � 2 x  x  �0 � � �� x  �0 � � � � 2 � 2x  6x    x  2 � � Ví dụ : � � x20 � � 3 � x  x  �0 x� � � � �� � �� x  �0 � x3 �� ��x  x   3 � ] (3; + �) A �0 � � B �0 � A B  C �� C �0 � � AB  C  A  B � x    x   2x Đáp số : S=(- �; Dạng : � x � �� � x� � Hướng dẫn : � 2 �x � � �� �   x   2x  2x  � �  � x  � � �� � � �x � � � � � 2x  x   � � � 2 �x  Đáp số : S=[-2; 2) Ví dụ : Giải bất phương trình x  3x   x  x   x  x  (1) Hướng dẫn : - TXĐ : D=(- �; 1] �[4; + �) - TH1 : x �(- �; 1] �x 1 x 1 x 1 � � � � � �x  � x  x  � � � � � ۣ x (1) � � � � � � � � 97 � � x� (2  x)(3  x) �11  x �  x   x �2  x � � � � � � 24 � - TH2 : x �[4; + �) � x �4 � � �� (1) � � � x   x  �2 x  � 11 � �x  � � x �4 11 � �� x� � �  x    x  3  x  11 �� � ��x �97 �� 24 Đáp số : S=(- �; 1] �[4; + �) A �0 � � B �0 � Dạng : A  B  C � � C �0 � � AB  C  A  B � Ví dụ : Giải bất phương trình x   x    x Hướng dẫn : �x �7 � �x �5 � �x �7 � � �� � �2 �� �x �7 �x  11x  30 �0 � �  x     x  �2 Đáp số : S=[4; 5] � [6; 7] Ví dụ : Giải bất phương trình x2  x   x2  2x   x2  4x  Hướng dẫn : - TXĐ : D=(- �; -5] �[1; + �) - TH1 : x �[1; + �) x 1 x 1 � � � � x 1 x 1 � � �� � x 1 (1) � � � � � � � x 1  x  � x  ( x  1)( x  3) � x � � � � - TH2 : x �(- �; -5] ۳ x � x �5 � � �� (1) � � � x   x  � x  � Đáp số : x=1 Ví dụ : Giải bất phương trình : x �5  x    x  3 �x � x � x  11  x   x  (1) Hướng dẫn Điều kiện: x �4 Ta có (1) � x + 11 Vì x - � 2x - (2) x + 11 � x - 4, " x �4 nên (2) � ( x + 11 - ) x + 11 - x - �0, " x �4 x - �2x - � 2x + - ( x + 11) ( x - 4) �2x - � x2 + 7x - 44 �4 �12;5� � x2 + 7x - 60 �0 � x � � � 4;5� Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho S = � � � � �A � � � � Dạng : A B �0 � � � � � co nghia B0 �B  � �A �0 Ví dụ : Giải bất phương trình ( x  3x ) x  x  0 Hướng dẫn : � x � � �2 x  x   � � �� � x  x   ۳ �x � �x  � x  x �0 � � � � Đáp số : S=(- �; - ] � 2 �[3; + �) �B  Dạng : A B  � � �A  x  3x   x2  1 x � �A co nghia � � � B0 � Dạng : A B �0 � � �B  � � � � �A �0 x2 x  �0 Ví dụ : Giải bất phương trình 9 x Ví dụ : Giải bát phương trình Hướng dẫn �B  Dạng : A B  � � �A  2x  0 x2  Ví dụ : Giải bất phương trình (12  x  x ) Hướng dẫn II PHÂN TÍCH – LIÊN HỢP Ví dụ : Giải bất phương trình   x2 3 x Hướng dẫn : Đáp số : x2  x  21 Ví dụ : Giải bất phương trình (3   x ) Hướng dẫn : Đáp số : Ví dụ : Giải bất phương trình x   x2  1 1 x  Hướng dẫn : Đáp số :  Ví dụ : Giải bất phương trình  x  1 � 3x    3x   Hướng dẫn : Đáp số : Ví dụ : Giải bất phương trình x      x   3x x    Hướng dẫn : Đáp số : S=[-1; + �) Bài tập tự rèn luyện Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình 2x  1 2x 1 2x  2x  2x  2x 1  4x (1   x )  2x   Bài Giải bất phương trình  x  1   x  10   x  Bài Giải bất phương trình 2x   2  x  12 x  x  16  III TỔNG HỢP Ví dụ : Giải bất phương trình 9 9  x x x x Hướng dẫn: � 9  �0 � x � � x �3 � Điều Kiện: �x  �0 � � 3 �x  � � x � x �0 � � *) Nếu 3 �x  Thì x  x  *) Nếu x �3 � x  x  9    Suy bất phương trình vơ nghiệm x x 0 x Nên bất phương trình tương đương với 9 9 9  x  x x   x  � x   x x   x  x x x x �x �3 �x �3 � � ( x 9  x)  � � � � � 37 � x 9 � x �x � � 2 � 37 � � Vậy tập nghiệm S   3; � \ � � � � Ví dụ : Giải bất phương trình: 2( x  1) x  x  �x  x  (1) Hướng Dẫn � x �1  2 Điều Kiện: x  x  �0 � � x �1  �      (1) � x   x  x   ( x  1) �0 � 2  x  x  x  x  x  �0 � x  x  x  �0 (Do 2  x  x   )  2x ۣ x2  2x 1 (*) +) Với x �1  Thì (*) Ln Đúng +) Với x �1  , Bình Phương Vế Của (*) Suy Ra Vơ Nghiệm Vậy, Bất phương trình có nghiệm x �1  Ví dụ : Giải bất phương trình 2( x  16) x  x  7 x (1) x Hướng dẫn : - TXĐ : D=[4; + �) x �4 � � (1) � � x  16   10  x � �  x5 � � �� � �x �5 �2 � �x  20 x  66  � x5 � � �x �5 � �� � � 10  34  x  10  34 � � � x  10  34 Đáp số : S=(10- 34 ; + �) Ví dụ : Giải bất phương trình x2 x  x x  Hướng dẫn : x �1 � � �� x 1 1   x 1 � � � �x �2 � �� � x2 � � x 1  � � ۳ x Đáp số : S=[1; + �) Ví dụ 5: Giải Bất Phương Trình: x  x   x  x  �x  Hướng dẫn � �x �3 �x  x  �0 � � �x  +) Điều Kiện: � 2 x  3x  �0 � � x� � � +) Với x=1 tahy vào Bpt hiển nhiên Suy Ra x=1 Là Nghiệm +) Với x �3 Suy Bpt � ( x  3)( x  1)  ( x  1)(2 x  1) �x  Chỉ Ra Vô Nghiệm +) Với x �2 Suy Ra Bpt �  1 x  1 2x  1 x   x �1  x Chỉ Ra Nghiệm x � x 1 � +) Kết Luận: Bpt Có Nghiệm � � x� � Ví dụ 6: Giải bất phương trình x  x  10 x   x  x  10 x  Hướng dẫn Điều Kiện x � �;1 � 9; �) Với x  x  10 x   � x  10 x    x Suy x  10 x    x  10 x    x  �5 �   x 1 � x  10 x   � �3 Do � � x  10 x    x � � � x9 �5 �  ;1�� 9; � Kết luận tập nghiệm S  � �3 � Ví dụ : Giải hệ phương trình x  � x  x   x x  x  Hướng dẫn � x � � Điều kiện � x �1 � + Bất phương trình tương đương với x  �2 x  x   x x  x      � 3x  x   x  x    x  x x  x   x  x  �0 �    3x  x    x  x  x  2 � � 3x  x   �۳� x  x2  2x   � � + Đáp số x   �0 � 3x  x   � 1 �x �x �2 �x  x   x 1 Ví dụ 8: Giải bất phương trình: x  3x  x  �2 x x   x  11 Hướng dẫn Điều kiện : x �4 Từ đk � VP  � VT  � x  x  x   � ( x  3)( x  1)  � x  3 Ta có : x3  3x  x  �2 x x   x  11 � x3  3x  x   x x   x  11 �0 �x  x 3   �x ( x  3)  4( x  4) x 3 x 4 � x2  x   x   x  11 �0  ( x  2)  (2 x  11) x   x  11 �0 x2  2x  x2  2x   �0 x   x  x   x  11 � � x � x  2x  �  �x   x  x   x  11 � ��0 � �   (*) �x   x  �2  Vì x  3 � � �x   x  11 �1   � x x32 x  x   x  11 �2 x  x  �0  Do (*) �۳� x  3 � Ví dụ 9: Giải bất phương trình Hướng dẫn ĐKXĐ: x ‫ڳ‬2� x x 0 2  x2  3x   x2  x   1 Ta có:  x  x    (2 x  1)  �1   với x ��, nên BPT �  x  3x    x  x  �  x  x   x  x  �x  �x  � � � x  x   x  x    x  3x  � x  x    x � � 2 3x  x   �x  x   x � �x  1  13 � � � 1  13 1  13 � x  �x  �x  � 2 �1  13 � ; � Vậy BPT có tập nghiệm S  � � � �Vậy bất phương trình có tập nghiệm � � x �[   2;  �) Ví dụ 10 : Giải bất phương trình x   x  � x  3x  Hướng dẫn �x  �0 � � x � �; 1 � 2; � � 1 Điều kiện : � �x  3x  �0 TH : Dễ thấy x  nghiệm bất phương trình (1) TH : Nếu x �2 (1) tương đương : ( x  1)( x  1)  ( x  1) � ( x  1)( x  2) � x   x 1 � x  � x  x  �x  � x  � x  ( Đúng với x �2 ) TH : Nếu x �1 (1) tương đương : (1  x)( x  1)  (1  x) � (1  x)(2  x) �  x    x �  x �  x  �  x   x �  x  �3  x  (1  x)(2  x) � (1  x)(2  x) �x  ( Vô nghiệm ) Vậy tập nghiệm bất phương trình : S   2; � � 1 Ví dụ 11 : Giải bất phương trình: x  x   x   x  x  x  �0 Hướng dẫn �x  x  �0 �2 ĐK: �x �۳ �x �0 � BPT �4 �4  1  * x    x2  x 1 1  x2  x  x  x 1 1  x   x  x  x  �0 x2  x  x 2  x   x  x   �0 � �  x  2 �   1��0 x2   x � � x  x 1 1 x �2 � dk  * ����� x x � 0  � x x �1 � x KL: Tx   2; � Ví dụ 12 : Giải bất phương trình x   � x   x  Hướng dẫn Điều kiện xác định: x � Bất phương trình tương đương: x - + x +1 � x - + � x - + ( x - 2)( x +1) �2 x - + x - � x �6 � x - x +18 �0 � � � x �3 � Vậy nghiệm bất phương trình x �6 Ví dụ 13 : Giải bất phương trình: Hướng dẫn �x �3 x2  x  2  x 4� x4 x2  Điều kiện : x>-4 � x2  x  � 2  x2  Bpt � �  1� x  � � x4 � x2  � � x2  x  1  ( x  1) x4 �2  x2  � x2  x  (2  x  1) x  1 x4 2( x  3) x2  �  x2   �0 ( x  4)( x  x  1)  x  (2  x  1) x  � � ��0 � ( x  3) � 1 2 � ( x  4)( x  x  1)  x  � (2  x  1) x  � � � x  �0 �  �x �  3; � Kết hợp với điều kiện � Tập nghiệm bpt S  � � � Ví dụ 14 : Giải bất phương trình sau: Hướng dẫn ĐK: x �1 x �  x   x  2 x �  5x   x  2 2  x 1   x   x x    x  2 x  �3x2  9x   x  2  x  3 �2x2  10x  12 x  1 x2  5x   �2(x2  5x  6) x  1 x  1 BPT � x � � x2  x  �   2��0 x  1 � � x  1     � x  1 � � ��0 � x �1;2 � 3; � � x  5x       � x  1 x   2� � � � �   Ví dụ 15 : Giải bất phương trình: x2  x x  3x  x �1 �x �0 Điều kiện: � �x �1 Với x � 0;1 � x  x  x  x  x  x  Khi bất phương trình cho tương đương với: x  x � x  3x  x � x  x � x  3x hai vế phương trình khơng âm, bình phương ta được: x  x  1 �0 không thỏa mãn x � 0;1 Với x  x  x  x  x  Khi bất phương trình cho tương đương với: x  x � x  3x  x � x  x � x  3x 1 �x  � � x  x �0 � �� x 1 � � �x  x  �� �� � x0 �� � x  1 � � � � 2 � � � x  3x �x  x � x  x  1 �0 � � � Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: S   �;0    � x  1 � � ��0 � x �1;2 � 3; � � x  5x       � x  1 x   2� � � � �   Bài tập tự rèn luyện Bài Giải bất phương trình x   2( x  1) Bài Giải bất phương trình ( x  1)(4  x)  x  Bài Giải bất phương trình 5x   Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình x   x 1 � x 5x   x   x  Bài Giải bất phương trình 2x   x  3 x  x  3x  Bài Giải bất phương trình  x  3 x  �x  Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình Bài 10 Giải bất phương trình Bài 11 Giải bất phương trình x2  x  �1  x 3x  x  x  15  x  x  15  x  18 x  18 x  3x   x  x   x  x  x3  3x  x x x � Bài 12 Giải bất phương trình 10  16 x  x  x � x  x    Bài 13 Giải bất phương trình x  x  x  x  � x    x3  x Bài 14 Giải bất phương trình x  x   x  x  x   Bài 15 Giải bất phương trình x    2x   x3  x ...  x  B? ?i Gi? ?i bất phương trình 5x   B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình x   x 1 � x 5x   x   x  B? ?i Gi? ?i bất phương trình 2x   x  3 x  x  3x  B? ?i Gi? ?i bất phương...  +) ? ?i? ??u Kiện: � 2 x  3x  �0 � � x� � � +) V? ?i x=1 tahy vào Bpt hiển nhiên Suy Ra x=1 Là Nghiệm +) V? ?i x �3 Suy Bpt � ( x  3)( x  1)  ( x  1)(2 x  1) �x  Chỉ Ra Vô Nghiệm +) V? ?i x �2... Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình 2x  1 2x 1 2x  2x  2x  2x 1  4x (1   x )  2x   B? ?i Gi? ?i bất phương trình  x  1   x  10   x  B? ?i Giải