1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

BPT vô tỉ PHẦN i BIẾN đổi TƯƠNG ĐƯƠNG

12 12 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 1,21 MB

Nội dung

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I CÁC DẠNG CƠ BẢN A≥ Dạng : A < B ⇔  A < B Ví dụ : − − x − − x > Hướng dẫn :  1− x ≥   −2 < x ≤ ⇔ 4 − − x ≥ ⇔  x + 5x + >  − x < x +  −5 + 13 Đáp số : S=( ; 1] Dạng :  A≥0  A0 B > A  Ví dụ : 8x2 − x + − x + ≤ ⇔ −5 + 13 < x ≤1 Hướng dẫn :  4x −1 ≥  4x −1 ≥   ⇔  8x − x + ≥ ⇔ 8 x − x + ≥   8x2 − 2x ≥  8 x − x + ≤ ( x − 1) 1 Đáp số : S={ } ∪ [ ; + ∞ ) Dạng :  A ≥  BB⇔  B ≥  A > B  Ví dụ : Giải bất phương trình x2 − x + − x + > Hướng dẫn :   x−2 ( x − )   x − <   3− x≤ 2 x − x + ≥  ⇔ ⇔  x−2≥0    x >   x − x − > 3− ∪ ] (3; + ∞ ) A≥0   B≥0  A+ B > C ⇔ C≥0   AB > C − A − B  Đáp số : S=(- ∞ ; Dạng :  x = ⇔ x ≥  Ví dụ : x + − − x < − x Hướng dẫn :   ⇔   −2 ≤ x ≤ ( − x) ( − 2x) > 2x − Đáp số : S=[-2; 2) Ví dụ : Giải bất phương trình  − ≤ x <   ⇔  ≤x≤   2   2 x − x − < ⇔ −2 ≤ x < x − 3x + + x − x + ≥ x − x + (1) Hướng dẫn : - TXĐ : D=(- ∞ ; 1] ∪ [4; + ∞ ) - TH1 : x ∈ (- ∞ ; 1]  x =1 x =1 x =1        x < ⇔ x ≤ x < x <   ⇔ ⇔ ⇔ (1)     97  2 (2 − x)(3 − x) ≥ 11 − x   − x + − x ≥ − x  x ≤   24  - TH2 : x ∈ [4; + ∞ ) 11  4 ≤ x <  x≥4  x≥4  11 ⇔ ⇔   x ≥ (1) ⇔     x − + x − ≥ x − 2 ( x − ) ( x − 3) > x − 11     x ≥ 97 24   Đáp số : S=(- ∞ ; 1] ∪ [4; + ∞ ) A≥0   B≥0  Dạng : A + B < C ⇔  C≥0   AB < C − A − B  Ví dụ : Giải bất phương trình x + ≥ x − + − x Hướng dẫn : 4≤ x≤7  4≤ x≤7  4 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔  x − 11x + 30 ≥ 6 ≤ x ≤  ( x − ) ( − x ) ≤ Đáp số : S=[4; 5] ∪ [6; 7] Ví dụ : Giải bất phương trình x2 + x − + x2 + 2x − ≤ x2 + 4x − Hướng dẫn : - TXĐ : D=(- ∞ ; -5] ∪ [1; + ∞ ) - TH1 : x ∈ [1; + ∞ ) x =1 x =1     x >1 x >1 ⇔   ⇔ x =1 (1) ⇔      2 ( x + 1)( x + 3) ≤ − x  x + + x + ≤ x +   ⇔x≥4 - TH2 : x ∈ (- ∞ ; -5]  x ≤ −5  ⇔ (1) ⇔   − x − + − x − ≤ − x − 2 Đáp số : x=1 x ≤ −5 ( x + ) ( x + 3) ≤x ⇔ x ∈φ x + 11 ≥ x − + x − (1) Ví dụ : Giải bất phương trình : Hướng dẫn Điều kiện: x ³ Ta có (1) Û Vì x + 11 ³ (2) Û ( x + 11 - x- ³ x - 4, " x ³ nên x + 11 - ) 2x - (2) x + 11 - x - ³ 0, " x ³ x - ³ 2x - Û 2x + - ( x + 11) ( x - 4) ³ 2x - Û x2 + 7x - 44 £ ù Û x2 + 7x - 60 £ Û x Ỵ é ê- 12;5û ú ë ù Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho S = é ê ë4;5ú û   A co nghia  B=0  Dạng : A B ≥ ↔  B >    A ≥ Ví dụ : Giải bất phương trình ( x − 3x ) x − x − ≥ Hướng dẫn :  x ≤ −   x − 3x − =   ⇔  2 x − x − > ⇔  x ≥  x=2  x − 3x ≥    Đáp số : S=(- ∞ ; - ] ∪ { 2} ∪ [3; + ∞ ) B > Dạng : A B > ↔  A > Ví dụ : Giải bát phương trình x − 3x + − x2 > 1+ x  A   Dạng : A B ≤ ↔    co nghia B=0 B >  A ≤ x−2 Ví dụ : Giải bất phương trình − x2 Hướng dẫn x2 −1 ≤ B > Dạng : A B < ↔  A < Ví dụ : Giải bất phương trình (12 − x − x ) 2x +1 2x + 2x + − Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình 4x (1 − + x ) < 2x + ( Bài Giải bất phương trình ( x + 1) < ( x + 10 ) − x + Bài Giải bất phương trình 2x + − 2 − x > 12 x − x + 16 ) III TỔNG HỢP Ví dụ : Giải bất phương trình 9− 9 < x− x− x x Hướng dẫn:  9 − x ≥   x≥3  Điều Kiện:  x − ≥ ⇔  x  −3 ≤ x <   x≠0   *) Nếu −3 ≤ x < Thì x − x − *) Nếu x ≥ ⇒ x − x − 9 < < − Suy bất phương trình vơ nghiệm x x >0 x Nên bất phương trình tương đương với 9− 9 9 < x − x x − + x − ⇔ x − − x x − + x > x x x x x ≥  x ≥  ( x − − x) > ⇔  ⇔ ± 37 x ≠  x − ≠ x  2 1 ± 37  Vậy tập nghiệm S = [ 3; +∞ ) \     Ví dụ : Giải bất phương trình: 2( x − 1) x + x − ≤ x − x − (1) Hướng Dẫn  x ≥ −1 + 2 Điều Kiện: x + x − ≥ ⇔   x ≤ −1 − ) ( )( ( ) (1) ⇔ x − − x + x − − ( x + 1) ≥ ⇔ −2 − x + x − x − x + x − ≥ ⇔ x − x + x − ≤ (Do −2 − x + x − < ) ⇔ x ≤ x2 + 2x − (*) +) Với x ≤ −1 − Thì (*) Ln Đúng +) Với x ≥ −1 + , Bình Phương Vế Của (*) Suy Ra Vô Nghiệm Vậy, Bất phương trình có nghiệm x ≤ −1 − 2( x − 16) Ví dụ : Giải bất phương trình x−3 7−x (1) x−3 + x−3 > Hướng dẫn : - TXĐ : D=[4; + ∞ ) x≥4  ⇔ (1)   ( x − 16 ) > 10 − x x>5   ⇔  4≤ x≤5    x − 20 x + 66 < x>5   4≤ x≤5 ⇔     10 − 34 < x < 10 + 34  ⇔ x > 10 − 34 Đáp số : S=(10- 34 ; + ∞ ) Ví dụ : Giải bất phương trình x + x −1 + x − x −1 > Hướng dẫn : x ≥1   ⇔  x − − > − x −  1≤ x ≤  ⇔   x >  4 x − >  ⇔ x ≥1 Đáp số : S=[1; + ∞ ) Ví dụ 5: Giải Bất Phương Trình: Hướng dẫn x − x + − x − 3x + ≥ x −  x≥3  x2 − x + ≥  ⇔  x =1 +) Điều Kiện:  2 x − 3x + ≥  x ≤  +) Với x=1 tahy vào Bpt hiển nhiên Suy Ra x=1 Là Nghiệm +) Với x ≥ Suy Bpt ⇔ ( x − 3)( x − 1) − ( x − 1)(2 x − 1) ≥ x − Chỉ Ra Vô Nghiệm +) Với x ≤ Suy Ra Bpt ⇔ ( 1− x) ( − 2x ) − ( 1− x ) ( − x) Chỉ Ra Nghiệm x ≤ ≤ 1− x x =1 +) Kết Luận: Bpt Có Nghiệm  x ≤  Ví dụ 6: Giải bất phương trình x + x − 10 x + > x + x − 10 x + Hướng dẫn Điều Kiện x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 9; +∞) Với x + x − 10 x + > ⇔ x − 10 x + > − x Suy x − 10 x + ( ) x − 10 x + − + x >   x − 10 x + > − < x − x  x>9   Kết luận tập nghiệm S =  − ;1÷∪ ( 9; +∞ )   Ví dụ : Giải hệ phương trình x + ≤ x − x − + x x + x + Hướng dẫn  x≤−  Điều kiện  x ≥ + Bất phương trình tương đương với x + ≤ x − x − + x x + x + ( ) ( ) ⇔ 3x − x − − 3x − x − + + x − x x + x + + x + x + ≤ ⇔ ) ( ( 3x − x − − + x − x + x + ) ≤0 3x − x − =  x − x − −  1+ ⇔ ⇔ x ≥ ⇔x= 2 x − x + x + =  2  x + x + = 4x + Đáp số x = 1+ Ví dụ 8: Giải bất phương trình: x + 3x + x + ≥ x x + + x + 11 Hướng dẫn Điều kiện : x ≥ −4 Từ đk ⇒ VP > ⇒ VT > ⇒ x3 + x + x + > ⇔ ( x + 3)( x + 1) > ⇔ x > −3 Ta có : x3 + x + x + ≥ x x + + x + 11 ⇔ x3 + 3x + x + − x x + − x + 11 ≥ ⇔x ( x +3− ) ( ⇔x ( x + 3) − 4( x + 4) ) x + + x + − x + 11 ≥ x +3+ x + + ( x + 2) − (2 x + 11) x + + x + 11 ≥0 x2 + x − x2 + 2x − ⇔x + ≥0 x + + x + x + + x + 11 2   x ⇔ x + 2x −  +  x + + x + x + + x + 11 ÷ ÷≥   ( ) (*)  Vì x > −3 ⇒  x + + x + ≥ >  x + + x + 11 ≥ −1 + > ⇒ x x+3+2 x+ + x + + x + 11  Do (*) ⇔ x + x − ≥ x > −3 Ví dụ 9: Giải bất phương trình >0 ⇔ x ≥ −1 + 2 − x + 3x + − x2 − x + > Hướng dẫn ĐKXĐ: x ≤ −2 ∨ x ≥ −1 Ta có: − x − x + = − (2 x − 1) + ≤ − < với x ∈ ¡ , nên BPT ⇔ − x + x + < − x − x + ⇔ + x − x + < x + x + x > x > ⇔ ⇔ x − x + + x − x + + < x + 3x + ⇔ x − x + + < x ⇔  2 x − x +1 < 4x 3 x + x − > x > −1 + 13  ⇔ −1 + 13 −1 + 13 ⇔ x > ∨x> x <  2  −1 + 13  ; +∞ ÷ Vậy BPT có tập nghiệm S =  ÷Vậy bất phương trình có tập nghiệm   x ∈ [ − + 2; + ∞ ) Ví dụ 10 : Giải bất phương trình x − + x − ≥ x − 3x + Hướng dẫn  x −1 ≥ ⇔ x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 2; +∞ ) ∪ { 1} Điều kiện :    x − 3x + ≥ TH : Dễ thấy x = nghiệm bất phương trình (1) TH : Nếu x ≥ (1) tương đương : ( x − 1)( x + 1) + ( x − 1) ≥ ( x − 1)( x − 2) ⇔ x + + x − ≥ x − ⇔ x + x − ≥ x − ⇔ x − ≥ − x − ( Đúng với x ≥ ) TH : Nếu x ≤ −1 (1) tương đương : (1 − x )(− x − 1) − (1 − x) ≥ (1 − x )(2 − x) ⇔ − x − − − x ≥ − x ⇔ − x − ≥ − x + − x ⇔ − x − ≥ − x + (1 − x )(2 − x) ⇔ (1 − x)(2 − x) ≤ x − ( Vô nghiệm ) Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = [ 2; +∞ ) ∪ { 1} Ví dụ 11 : Giải bất phương trình: x − x − + x − + x − x − x − ≥ Hướng dẫn  x2 − x −1 ≥  1+ ĐK:  x − ≥ ⇔ x ≥ ( *) x ≥  BPT ⇔4 ⇔4 ( ) ( ) x2 − x − − + x2 − x − x − x −1 +1 + x2 − − x + x2 − x − ≥ x2 − x − x −2 + x + ( x2 − x − 2) ≥   − x − 2)  + + 1÷ ≥ 2 x −2 + x   x − x −1 +1 x ≥ dk ( *) ⇔ x2 − x − ≥ ⇔   →x≥  x ≤ −1 (x KL: Tx = [ 2; +∞ ) Ví dụ 12 : Giải bất phương trình x − − ≥ x − − x + Hướng dẫn Điều kiện xác định: x ³ Bất phương trình tương đương: x - + x +1 ³ x - + Û x - + ( x - 2)( x +1) ³ x - + x - éx ³ Û x - x +18 ³ Û ê ê x £ ë Vậy nghiệm bất phương trình x ³ £ x £ x2 + x + + x2 − ≤ Ví dụ 13 : Giải bất phương trình: x+4 x2 + Hướng dẫn Điều kiện : x>-4  x2 + x +  2 − x2 + Bpt ⇔  − 1÷+ x − ≤  ÷ x+4 x2 +   x2 + x + −1 − ( x + 1) x + ⇔2 + x −3≤ x2 + x + (2 + x + 1) x + +1 x+4 2( x − 3) x2 − ⇔ + x2 − + ≤0 ( x + 4)( x + x + 1) + x + (2 + x + 1) x +   ÷≤ ⇔ ( x − 3)  +1+ 2  ( x + 4)( x + x + 1) + x + ÷ (2 + x + 1) x +   ⇔ x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Kết hợp với điều kiện ⇒ Tập nghiệm bpt S =  − 3;  Ví dụ 14 : Giải bất phương trình sau: Hướng dẫn ĐK: x ≥ (x ) − x− x − + ( x − 2) x + ≥ 3x2 − 9x + (x ⇔ − x − ( x − 2) (x ⇔ − 5x + ( x − 2) 2 ) x − 1+ + ( x − 2) ( x − 3) ≥ 2x2 − 10x + 12 x + 1+ ) x2 − 5x + + ≥ 2(x2 − 5x + 6) x − 1+ x + 1+ BPT  x+  ⇔ x2 − x −  + − 2 ≥ x + 1+   x − 1+ ( ) ( )  ⇔ −x − 5x +    ( )   ≥ ⇔ x ∈ 1;2 ∪ 3;+ ∞ + ) [ ] [ x − 1+ x + + 2  x − 1− x2 − x Ví dụ 15 : Giải bất phương trình: x + 3x − x x ≠ Điều kiện:  x ≠ ≤1 Với x ∈ ( 0;1) ⇒ x + x − x < x + 3x − x = Khi bất phương trình cho tương đương với: x − x ≥ x + x − x ⇔ x + x ≥ x + 3x hai vế phương trình khơng âm, bình phương ta được: x ( x − 1) ≥ không thỏa mãn x ∈ ( 0;1) Với x > x < x + x − x > Khi bất phương trình cho tương đương với: x − x ≤ x + 3x − x ⇔ x + x ≤ x + 3x  −1 ≤ x <  x2 + x ≤    x > ⇔   x + x > ⇔  ⇔ x x − Bài Giải bất phương trình 5x + − 4x − ≤ x Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình x + − x +1 ≤ x 5x − − x − > x − Bài Giải bất phương trình x + − − x ≥ 3x − Bài Giải bất phương trình ( x − 3) x + ≤ x − Bài Giải bất phương trình Bài Giải bất phương trình Bài 10 Giải bất phương trình Bài 11 Giải bất phương trình x2 − 3x − ≥ − x 3x − x − x + 15 + x + x − 15 > x − 18 x + 18 x + 3x + + x + x + ≤ x + x + x3 − 3x + x x4 − x2 ≤ Bài 12 Giải bất phương trình 10 + 16 x − x − x ≤ x − x − ( ) Bài 13 Giải bất phương trình x + x − x + x + ≥ x + ( ) x3 + x Bài 14 Giải bất phương trình x + x < + x + x − x ( ) Bài 15 Giải bất phương trình x − ( ) x + < x3 − x ... > x − B? ?i Gi? ?i bất phương trình 5x + − 4x − ≤ x B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình x + − x +1 ≤ x 5x − − x − > x − B? ?i Gi? ?i bất phương trình x + − − x ≥ 3x − B? ?i Gi? ?i bất phương... ? ?i? ??u Kiện:  2 x − 3x + ≥  x ≤  +) V? ?i x=1 tahy vào Bpt hiển nhiên Suy Ra x=1 Là Nghiệm +) V? ?i x ≥ Suy Bpt ⇔ ( x − 3)( x − 1) − ( x − 1)(2 x − 1) ≥ x − Chỉ Ra Vô Nghiệm +) V? ?i x ≤ Suy Ra Bpt. .. S=[-1; + ∞ ) B? ?i tập tự rèn luyện 2x < 1+ 2x −1 2x + 2x > 2x + 2x + − B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình B? ?i Gi? ?i bất phương trình 4x (1 − + x ) < 2x + ( B? ?i Gi? ?i bất phương trình

Ngày đăng: 31/12/2020, 21:41

w