CHUYÊN đề PT HPT BPT vô tỉ

CHUYÊN ĐỀ : PT-BPT-HPT VÔ TỈ ầ ầ ổ Contents PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11 ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN 11 ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TOÀN 14 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 14 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ 15 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP 19 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CÓ SẴN TRONG PHƯƠNG TRÌNH 19 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT HẰNG SỐ 22 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT BIỂU THỨC BẬC NHẤT 25 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 26 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐƯA VỀ DẠNG f  u   f  v  32 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT ĐỂ ĐÁNH GIÁ 38 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT BUNHIACOPXKI 42 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT COSI 46 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 50 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG THẲNG 65 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 70 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CĨ THAM SỐ 71 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phƣơng pháp chung B  AB  A  B  B  A B  A  B   A   B  A  B   B     A  B B   A  B  A   A  B2  B  A B A  B   L Đố ứ ẩ ệ    B B B Đ C B ề ệ ể ế ứ ế ề ế ể x   x  3x   Bài 1: Gi ứ 1 ( Khối D – 2006) Lời giải A  B   x  3x   (1)  x    x  3x    2  2 x   ( x  3x  1) 2   x   x  3x    x  x         2 x   x  x  11 x  x   ( x  1) ( x  x  2)       Kết luậ P ã ệm x  1, x   X ng Nhận xét: P A  B Nế số ( ầ tính bỏ ú ể hai mà dễ Bài 2: Gi ng tổng quát: lũ mx  n  ax2  bx  c, (m, a  0) ợc nghiệm h u tỷ tiế H ều gi ể phân tích thành tích ới, cộng chéo) Cịn nghiệm vơ tỷ ta tiến hành sử dụng l ợng nhân tử chung bậ ợc nghiệm x3  x  x    x   x  ứ ể ợc theo d ng g table máy ề d ng tích số bậc hai nhân bậc  2 Lời giải Đ ều kiệ x ịnh: x  2   Ta có: x3  x  x    x   x   x3  x2  x    x  4  x  2 2  x6  x5  x  x3  x  22 x   Vậy:  x  3x  1 x  x3  3x  x    Vì x  x3  3x  x   x  x  x  1   x  x    0x  (*)  x2  3x    13 Với x  3x    x   13 Thử l i nghiệm ợc x  nghiệm nh t thỏa mãn  13 Kết luận: P ệm nh t x  D Nhận xét: ể phân tích ta dùng máy tính casio TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE Sử dụng máy tính Casio ta thu được: x1  3.302775638, x2  0.3027756377 Tư Viet đảo: x1  x2  3, x1 x2  1 Nhân tử thu được: x  3x  x6  x5  x  x3  x  22 x  Nhập máy tính: Calc 100 x  3x   x2  x x    x  x2 Bài 3: Gi Lời giải  3  x  x  ()   2  7  x  x x    x  x 3  x    x  (do x  không nghiệm củ  x    x P ) 3  x  3  x  2  x   x2      0  2  x     x  1  x  1 x   x3  x  16 x  16    x  4 2     x ( x  5)  ( x  2) Kết luậ P ệm nh t x  1  A  hay B  , n: A  B   A  B ã Nhận xét: P A  hay B  D B   x  x2  Bài 4: Gi ểm toán, ta nên chọ ọn n nh t, tức chọn x   x   x  Lời giải P  ã x 1  x   ới:  x   3  x  1 x  2   x 1  x    x    3  x  1 x   x  3    x   x   Thử l i ta th y giá trị x  1; x  2; x  Đ ều kiện x   P ều thỏ ã - Kết luận Tập nghiệm Bài Gi ã ã 3  T  1; 2;  2  x3   x   x - x   x  2x 1 Lời giải ã Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ ới: https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 8  2x   x2  2x   x  2x 1 x3    x3    x  1   x  x     x    x  x     x   2x 1 x   x  Thử l i ta th y nghiệm củ ã ỉ có giá trị x   x3  x  x   x3   x   x  x   x  x3 Bài Tổng nghiệm củ A C 2 B D Lời giải Đáp án: B Đ ều kiện x  1 P ã ới:  x3    x    x2  x   x    x3    x 1   x3    x  3   x  x  1   x  1  x  x  1   x  1 x3 x3    x  x   x  x    x   x3 - Tập nghiệm củ ã T   3;1  „     Vậy tổng nghiệm là:     27 x3  18 x  x   27 x  x  1 x   125  Gi sử nghiệm củ Bài 7: C trình có d ng x  a b với a, b, c số c S  abc A S  46 B S  47 a tối gi n Tính c C S  48 D S  49 Lời giải Đáp án: B Ta có: 27 x3  18 x  x   27 x  x  1 x   125    x   3x   125  x   3x  16  22 Suy ra: a  16, b  22, c  x Vậy S  47 x3  x  4  x  x2  x  2020  1009  3x2  có nghiệ Bài 8: Biết rằ nh t d ng x  a  b  c d e bằng: Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ a, b, d  , c, e số nguyên tố K abcd e https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ A 901 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE C 903 D 904 B 902 Lời giải Đáp án: C x3  x  4  x  x2  x  2020  1009  3x2    x  1   x  1  2019  2019 1 2   x  1  2019   x  1  2019  4 2 1  1 2    x  1      x  1  2019   2  2  1 2   x  1    x  1  2019  2   x  1   x  1  2018    x  1   x  1    x  1  2 1  897  1  897  x  1     x  1  1  897  Vậy a  1, b  1, c  3, d  897, e   a  b  c  d  e  904 Bài 9: Gi sử a, b, c  * K x   x  3x   có nghiêm có d ng x  a  b c a  b  c có kết qu B A C D Lời giải Đ ều kiện x  P ã ới:  x  3x     x  3x  1  x    2  x  3x  1  x   x  3x    x  3x      x  x  11 x  x     x  x  1 x  x     3  3 x  x     x 1  x      x    Vậy a  2, b  1, c   a  b  c  Bài 10: C x2  1 1  x   16 16  x2  1 1  x  x  x3  x  x  (1) 16 2 16 2018 can Tổ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ ệm củ ằng https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ A 25  16 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 49 C D 16 Lời giải 25  16 B Chọn B x3  5x  5x    x  1  x  x  1   x   ( ) Từ Ta có (1)  x  1 1  x   16 16  x2  1  1  x  16  4  x3  x  x  2018 can  x2  1 1  x   16 16  x2  1 x  x3  x  x  16 2017 can 1    x     x  1  x  x  1 4  1  x  x   x3  x  x  16  x     x  1  x  x  1    1   x  D ổ 25  16 ệm PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC x  14 x   x  10 Lời gi i Bài 1: Gi x  14 x   x  10  x  20 x  25  x  10  x  10    x  5   x  10    x   x  10  Bài 3x  x   x7 Lời giải Cách 1: Đ t t  x7  t  0 ta có: Đ t y  x  hệ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  3x  x   t  t   x   3 y   t  thành   3t   y https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 3x  21 Cách 2: P ã x2  6x   49  x  18 x   3x  21  x2  21x   3x  21  3x  21  4 2 7  1    3x     3x  21   2  2  : 1) x  x  Bài tậ Bài 4x  28 2) x  x  x3 3) 27 x  18 x  x  [phƣơng pháp nhóm thành đẳng thức] G  x  y    z  y  z  11   y  z    x  z  x  11   z  x    y  x  y  11 ệ Lời giải ĐK  x  ới cộng với vế theo vé, ta có Cách 1: Nhân vế mỗ 2x  y  2z  x   y   z    x   y   z  x  y  z  10 x  10 y  10 z  66 [Dạng toán dạng phƣơng pháp ghi mực đỏ]   x  3   y     z         x 1     y 1     x  1     y  1   z  1   z 1   x  y  z  Cách 2: Đánh giá bất đẳng thức x    x  y    y  z    z  x  x  11  y  y  11  z  z  11* Ta có:  x2  4 x   2 x    x   x    x  Suy VT *  , d u "  " x y x  y  z  M t khác, VP *  , d “=” x y x  y  z  Vậy x  y  z  x  x   x x  3x  có nghiệm x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 ) Tính Bài 4: Biế T  x1  (  1) x2  x3 ? A T  5 B T  C T  D T  Lời giải Đáp án: C Đ ều kiện : x  3x   Pt  8x2  8x   8x x  3x   4( x  x  3x  1)  (2 x  1) Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE  3 x   2 x  3x      2 x  3x   x   1 x   3 1   1  3 Vậy T  4   ( x  3)  x  8x  48  x  24 có d ng x  m  n p (với Bài 5: Nghiệm nhỏ nh t m, n  p số nguyên tố) Tính giá trị T  m  n  p A T  25 B T  27 C T  D T  Lời giải Đáp án: A Đ ều kiện: 12  x  P ới  x  3  x  x  48   x  24  ã   x2  x  9   x  3  x2  8x  48    x2  8x  48    x  3   x  x  48       x  3   x  x  48  1   x  3   x  x  48  3    x   x     x  2   x  2  (thỏa mãn) 1   2 x  x  48     x  2   x  6 x        x  5  31  x  5  31 (thỏa mãn)  2   2 x  20 x  12     x  5  31 Nghiệm nhỏ nh t x  5  31 D m  n  p  5   31  25 [Các Bài phân tích đẳng thức]   Bài x   x2  x  Bài x  9x  20  3x  10 HD: PT  3x  10  3x  10   x  x   Bài Bài x   x  3x  HD: PT  x   x    x  x    x2 HD: PT   x  1  x    x  x  x  x  10  80 x  10 HD: PT  x  x  40  80 x  40  x  2.2 x.19  192   80 x  40  80 x  400   x  19   Bài 10 x2  x     80 x  20 4x  28 HD: PT  196 x  196 x  28 x   196 x  196 x  28 x  63 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE  196 x  224 x  64  28x  63  28x  63   14 x      28 x  63   10  x  x  Bài 11  x  HD: PT    10  x  x  *       + *  3 10  3x  x  x  12 10  3x  x  16 x  10  3x   12 10  3x   x  28 x  49    10  3x    x   Bài 12  x  1 2 x2   x2  x  HD: PT   x  1 x   16 x  16 x    x  1   x  1 x2   16  x2  1  16 x  24 x    x 1  x2  Bài 13    x  3 Giải phƣơng trình x x  x   3x   x  x  1 Lời giải 1  x x  x   3x   x  x     x  x x  x   x  x   3x   3x         x  x2  x   3x     x  x  x   1  x  x     3x    x   3x    ã Vậ ệm Hệ thống tập tƣơng tự: 2 x   x  x x   x2  4x  x   x  x  x  12 x   36 x  x   x  3x   4 x  21x  22 x  x    x   x Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x  x   x  10 x  x  x3 11 x   x x  x 12  x  3   x 12  x   28  x 13 x  3x    x  3 x  14  x  1 x  3x   x  x  15  x   x  x   x  x  16  x  1 x  x   x  17 1  x  x  x   x  x  18 x  x    x  11 19 x2  x   2x2  x   x  20 2 x    x  x  16 21 x  3x   x x   2 x  22  x  x  4 x   x  x  x2 1  Bài 14: G 27 2  x  1 x  Lời giải Ý tƣởng: Sử dụng phương pháp phân tích đẳng thức + đặt ẩn phụ Đ ều kiện: x  Nhân vế với   ợc 2, x 1  x 1   x 1  x  1 x 1  x   27  x 1 x 1 27  x  1 x   x   x 1  27  x 1 x 1 (1) Chia c hai vế cho x 1 ợc x 1 27    x  1 (2) x 1  x  1  x 1  t t  0  t    2 x 1 x 1 t    Đ t Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 10 Từ 1 ,  2  f  x   f  TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 1  2x  x   x  x  hay 2 x  x 1     2 x  x 1  4x  1  x    x   1  x  Vậ ậ ệ  17   17  7  17 S   1;   a  b  8   ủ x3  x   x   x  Bài 31: Gi i b t  a, b, c    17   a a  có tập ngiệm S   ;c  với tối gi n b b  a  b  c là: K A 10 B D 11 C Lời giải Đáp án: A Đề x ệ 1   K Vớ x2  x6 2x 1    x    2 : l   2x 1    2 ú Vớ x  : Xé ố f  x   x2  x6 1   f ' x      x2 x6   f  x l  2x 1  l  2x 1    5;   ế ụ  5;   x2  x6  0; x  2x 1 f 7   2  f  x   f    x  D Kế   ợ ề ậ ệ 1  S   ;7  2  a   Vậy b   a  b  c  10 c   Bài tập luyện tập 1) x3   x  Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 64 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2)   x  3x   8x  16x  24 3) 2x   5x    5x     2x  1 4) 3 x2   2x2   x2   x  5) x  2x  1  x x x 6) 4x3  x   x  1 2x   x3  2x   y  1 3y  7)   2x   3y   3y3  2y  3x  x   x 8)    4x  3y     x  x   x   y 1  y   y  9)  2  x  y  x  y  44 x3  12y  x   8y3  8y 10)   x  8y  2y  5x 3  x  3x   y  3y 11)   3 x   y  8y PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRỊN ĐƯỜNG THẲNG Bài Tìm điều kiện số thực a để phƣơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: x  x2  a  2x (2.4) Lời gi i Điều kiện: x  x    x  Đặt y  x  x  Phƣơng trình (2.4) trở thành: 2 x  y  a 2 x  y  a  1   2 x  y  x   x     y  2 y    y   Trong m t phẳng tọ ộ ( ) ( ) Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ (1) (2) (3) ờng thẳng  : 2x  y  a , 1  ờng trịn có tâm I  ;0  , bán kính R  , thuộc phần y  2  ( ) https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 65 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE ( 4) Số nghiệm củ ể í ( 4) ố ờng thẳng  nử ểm củ ệm phân biệt ờng thẳng  cắt nử ờng trịn  I , R  Do ờng tròn  I , R  K  1 a 1    2 d  I ,     a  2a   2a 2 2     a  a  a  ệm phân biệt  a  ( 4) Vậ Bài 2: Gi i biện luận theo m ng trình Nếu m  Nếu m  Nếu m  2 m  x  m  x  11 1 ệm ệm nh t x   u  m  x  Đ t  v  m  x    K u  v  2m  1  u  v  m   u , v   Nghiêm hệ   í ểm củ ờng thẳng  d  u  v  m với cung AB củ ờng tròn  C  u  v  2m D  2 có nghiệm  OH  d (O,( D))  R ) Với R  2m bán kính củ  ờng trịn  C  ) 2m m m   2m  m   2m 2  2m  m2  4m   m  Lú u   m  u   2m  2u  2mu  m2  2m   2u  2mu  m2  2m  m  4m  m  u1,2  Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 66 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE  m  4m  m  x1,2  u  m     1,2 Vậy x1,2     m   m 4m  m 1 Nếu m  có nghiệm nh t x  1 Nếu  m  m  Nếu  0  m  có nghiệm x1,2   1 m 4m  m vô nghiệm a  x  a  x  1 Bài 3: Gi i biện luận theo a b Lời giải Ta xét a  (vì a  biểu thức a x ) y B 2a H x O 2a A u  v   PT 1  u  v  2a   u, v   u  a  x  Đ t  v  a  x ểm M  u; v  thỏa mãn Từ  C  : u  v  2a    M  u; v  thuộc phầ ờng tròn chứa tam giác OAB D ếu 2a   a  : B ếu 2a    a  : B 1 vơ nghiệm 1 có nghiệm thỏa mãn  u  a  x  2a   a  x  2a   x  a Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 67  2a  ếu 1 a  : B TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 1 có nghiệm thỏa mãn 0  u  a  x  u  u  u  a  x  2a  u    u   2a (Đã (với u1 ; u2  u1  u2  nghiệm củ v )) u    u   2a Gi 0  a  x  u  1 a  a  x  a  a  u   a  1 Có    u   a   a  x  2a u2   a   a  x  2a u2   a   a  x  a  a    a  1  x  a   a  a   a  x  2a Vậy a  a  : B   a  1: B 1 1 1 1 a  2: B Bài 4: vơ nghiệm có nghiệm  x  a có nghiệm  a  1  x  a   x y a 1 với a tham số  x  y  xy  a   )X ịnh a ể hệ có nghiệm b)Gi i biện luận theo a Lời giải u  v  a u  v  a   2a  a  2  u  x , u  Đ t  ệ  u  v  uv  a  u  v   u, v   y  y,v   u, v   Cho hệ (vì uv  u  v   u  v2   a2  u  v2   C    ) y a B H (a≥0) Δ O A a Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ x https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 68 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE a  2a  a Vì hệ 1 có nghiệm   (với R  bán kính củ OH  d  O,    R ờng tròn  R a 2   R2  a2  2R2  R  2a  a  3a   2a  a    C  )   2 a  a  a     a  a  a       2  a  3a   2a   a  1 a     a   1  a  b) Theo kết qu câu (a) u  x   a  : Hệ   có nghiệm nh t  v  y   a  : Ta có u   a  u 2  2a  a (Đã v ) 2 2  6u  6au  3a  2a  3a  3u  3au  a  a  3a  12a  3a v1,2  a  u1,2  u2,1 x  Vậy a  hệ 1 có nghiệm nh t  y   u1,2   x  u1,2 Khi  a  hệ 1 có hai nghiệm   y  u2,1 a  Khi  hệ 1 vô nghiệm 0  a  Bài 5: X 2   x   y  1  k ệm nh t  2   y   x  1  k Lời giải ịnh k ể hệ y -1 J O I x -1 Với k : Dễ th y hệ ã phẳng tọ ộ Oxy 1; có bán kính R2 ịnh hình trịn C tâm J ệ ã R1 R2 IJ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ ờng hợp k ệm, ta xé ịnh hình trịng C tâm I 0; có bán kính R1 D 1  2 k k ệm nh t C C tiếp xúc với k k Xét m t https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 69 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC HÓA Bài x3  3x  x  [Lƣợng giác hóa] G Lời giải Đ ều kiện x  2 Nếu x  ta có x3  3x  x  x  x    x  x  S ệ Nếu 2  x  Đ t x  cos        K 8cos3   6cos   2cos    2cos 3  cos  cos 3  cos   k 4     k  k      Do     nên   0;   Bài 2: Định m ể b 4 4 4 4 ;   x  0; x  2cos ; x  2cos 7 ệm cos x   cos x  cos x  cos x  m Lời giải: u   cos2 x Đ t  K v  cos x  u  v   u  v  uv  m u  v   u  v2    2 (1)  u  v   u  v  m   1  u  1  u   2 u  v  u  v    (u  v)    u  v   m  (u  v)  2(u  v)  2(m  1)    1  u  1  u   Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 70 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE  u  v  2(C )    u  v  1  2m   D1    1  u   2  u  v  2(C )  u  v  1  2m  D  2    1 u    2 Rõ ràng  D  không cắt cung ABC 1 D có nghiệm   D1 cắt cung ABC   1  2m     2m    1  m  PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CĨ THAM SỐ Phƣơng pháp chung a Bài toán T  B Độ lậ (  B Lậ  B D ắ ị  B f  x; m   ể ) ỏ ế ủ ế ế ốx ệ D f  x  Am ề ố f  x  D x ị ị ủ ố ể ẳ y  Am ằ ố y  f  x Kế l ậ ị ầ ủ f  x  Am ể ệ D Lƣu ý:  Nế ố y  f  x GTLN GTNN D ị ầ ỏ ã f  x   A  m   max f  x  D D Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 71  Nế ế ầ ị ểx ố ể ẳ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE ệ ệ ỉ ầ ắ ị ố y  f  x ể y  Am ằ ệ b Bài toán T f  x; m   ể  B Độ lậ (  B Lậ  B D ) ỏ ế ế ủ ế ốx ố f  x  D x ị ị ủ y  A  m  , ứ A  m   max f  x  ẳ D f  x  Am  Vớ ẳ ố ị ằ ầ ị ằ  max f  x   D f  x  Am ể ệ ầ T ố f  x  Am  f  x  c Bài toán D ể y  A  m  , ứ A  m   f  x  D ệ f  x  Am ề f  x  Am  Vớ f  x; m   D f  x  Am ệ ú x  D ?  B f  x  Am ệ ú x  D  f  x   A  m   B f  x  Am ệ ú x  D  max f  x   A  m  D D Lƣu ý:  C à  K ổ Các ví dụ Bài 1: T l ế ệ ầ   ệ ế ể Đ ều kiện: x  1 P ã ề ệ ủ ế ầ ế ổ ể ề ệm th c phân biệt : x   x  m Lời giải ới x   x  m Xét hàm số f  x   x   x Ta có f   x   1 x 1 1  x 1 x 1 f  x   1 x 1   x  B ng biến thiên D a vào b ng biế Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ ã ệm th c phân biệt  m  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 72 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  x   x  m có nghiệm Lời giải 3 Xét hàm số f  x    x   x Bài 2: Tìm m ể Ta có f   x   f  x   3 1  x  3 1  x  x     3 1  x  3 1  x   2 , x  1 0 x0  x   x  lim x    x  x 1  lim 1  x  lim f  x   x  x  T lim f  x   lim x   x 1  3  x  1  0 B ng biến thiên: Vậ ã ệm  m  Bài 3: Chứng minh m  x  x   m( x  2) (K B -2007) l ệm th c phân biệt: Lời giải Do m  nên x  2 (1)  ( x  2)( x  4)  m( x  2)   ( x  2)( x  4)  m( x  2) x   ( x  2) ( x  2)( x  4)  m      x  x  32  m  0(*) Yêu cầu Bài quy (*) ột nghiệm (2; ) Biế ổi (*)  m  x3  x  32 Xét hàm số f ( x)  x3  x  32 với x  Ta có f ' ( x)  3x  12 x  0, x  lim f ( x)   x  B ng biến thiên: + Từ b ng biến thiên suy m  Vậ ã ú Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ (*) ú ột nghiệm x  ệm th c phân biệt m  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 73 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Nhận xét: Sau tìm điều kiện x  việc khảo sát hàm số f ( x) dễ dàng chủ yếu dùng đạo hàm nhiên dùng định nghĩa suy tính đồng biến hàm số f ( x) Bài 4: T ể ệm nh t  1   x  x3  x   m  ;1 2  Lời giải  1  Xét hàm số f  x    x  x3  x   ;1 2    3 x 3x  x 3x    x   Ta có f ' ( x)    x2 x3  x  x3  x    1 x  1  Xét hàm số g  x   x  x   ;1 Ta có g   x   3x  x   x  2    D a vào b ng biến thiên ta th y g ( x)  1, x    ;1     x    ;1 ta có 3( )   3x   3.1    3x   2   3x    Suy   0, x   ;1    x2 x3  x  f  x   x  D B ng biến thiên: h có nghiệm nh t 4  m  Vậ 3  22 ho c m  Nhận xét :   3x   x    khâu  x2 x3  x  x3  x    1 x định đến việc xét dấu đạo hàm, mở đường cho việc sử dụng tính chất hàm số Bài 5: Tìm m ể ú ệm th c phân biệt 4 x  x   x   x  m  K A  2008 Việc sử dụng kỹ biến đổi từ 3x  3x  x Lời giải Đ ều kiện  x  Xét hàm số f   x   x  x   x   x  0;6 Ta có   1 1      3   x   2x 6 x   x     3 2                x    x    x    x  f  x  Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 74 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2    1        4           x   x  x   x    x  x  x   2x 1 4 0 x 2 2x 6 x Lập b ng biến thiên: f  x   với f     6; f  2   2; f  6   12 Từ b ng biến thiên suy giá trị cần tìm m là:   m   Đối với số Bài không sử dụng phương pháp hàm số trực tiếp mà phải sau q trình biến đổi đặt ẩn phụ thích hợp sử dụng phương pháp hàm số Ta xét Bài sau : Bài 6: Có giá trị nguyên tham số m A x  3x   m x  x  có nghiệm ể B C 15 D 27 Lời giải Chọn A Tậ x D   0;   ịnh củ Ta có: x2  3x   m x  x    x  x  1   x  x  1  m 2 Đ t t x  x  1 x  x  1 x2  x  x2  x    m 1 x2  x  x2  x  x2  x  2x  1  1 x  x 1 x  x 1 x  1 x  2x  1 2x  1 1  x  x 1    x  x 1 Do x  nên    t  1;    1 x     x   x  x  1 K Để trở ã ệ 2t  1 2t  mt    m   2t    t t   có nghiệm thuộc 1;    Xét hàm số: y  2t  ; t  1;   t Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 75 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE   t2  t1  1  1  2t2     2t1    t2  t1     t2   t1  t1.t2     Với t1; t2  1; ; t1  t2 xét tỉ số   2 0  t2  t1 t2  t1 t1.t2  Suy hàm số y  2t  t  ồng biến nửa kho ng 1;   y 1  2t   y  t     2t  1t  33 3 Do m số nguyên nên có nh t giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán 1 m  tham số m ể Bài 7: Tìm số giai trị ( x  m  x)3  ( x  m  x)3   m  1 x  m  x   4m  có nghiệm A B C D Lời giải Chọn B a  x  m  x a  b  x  m  (a  b)  x  4m Đ t:   a  0, b     b  x  m  x ab  ( x  m  x)( x  m  x)  m Kết hợp với (), ợc hệ  ab  m  3  a  b   ab  1 a  b   (a  b)   ab  m  (a  b)  (a  b)  3( a  b)   a  b   b   a    a  2a  m  ab  m a   a   m Xét hàm y  f  a   a  2a với  a  có b ng biến thiên Vậy  m  suy m  Bài 8: Biết p x  a  a  x có nghiệm a   m phân số tối gi n Tính T  n  m n A T  B T  C T  3 m với m, n số nguyên n D T  Lời giải Chọn B  x  Đ ều kiện:  a  x    Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 76 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE Đ t y a x 0  x  a  y Suy ra:   x  y  x  y   ( x  y )  ( x  y  1)  y  a  x    x  y x y Nên x  x  a ( Dễ th y với x  a  x  ) Đ t t  x  t  0 ề: t  t  a Xét hàm số f  t   t  t với t  có b ng biến thiên: Suy a   T  m x   3 x   x  , biết tập t t c giá trị tham số m ể Bài 9: C ệm nửa kho ng (a; b] Tính giá trị biểu thức S  a3  b3 ã A 28 27 B  26 27 C 1 D Lời giải Chọn B Đ ều kiện x  1, Chia hai vế cho x 1 ợc pt: x 1 x 1 x 1 Đ t t4  24  1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 Do x       1 1  t  x 1 x 1 m  3t  2t (*) T m  3 B ng biến thiên hàm f (t )  3t  2t [0;1) Theo b ng biến thiên (*) có nghiệm thuộc [0; 1)  1  m  1/ m x   x  m 1 biết tập hợp tham số th Bài 10: Cho ể ú ệ  a; b  Tính giá trị a  b ệ C 2 B 2 A D Lời giải Chọn B Tậ x ị D Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 77 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE T 1  m f ' x  Tí   x2 x2  1  Cho f '  x    B x x2   m  x  m   x2  x2  x2  x  1   f  x  ; x   x2  x2  ; x  x     x2    x2      x  biến thiên x f ' x    f  x ế    D    ể ố ệ ệ  m Vậy a  b  Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 78 ... x  20 4x  28 HD: PT  196 x  196 x  28 x   196 x  196 x  28 x  63 Chuyên đề : PT- BPT -HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE... biến  có nh t nghiệm y  Chuyên đề : PT- BPT -HPT VÔ TỈ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 33 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Bài Phƣơng trình vơ tỉ dạng: ax  bx  c  k dx... ế 1 Lời giải Đề ệ  x  x 1     x  x   0, x  Chuyên đề : PT- BPT -HPT VÔ TỈ x 1  1   x 2 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 42 TOÁN THPT - MAKE THE MATH