BAI TAP HINH HOC 9 HKI GV

BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BÀI TẬP HÌNH HỌC - HỌC KÌ I Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh: bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn b) Chứng minh: OA đường trung trực BC c) Lấy D điểm đối xứng với B qua O Gọi E giao điểm đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D) Chứng minh: DE BD  BE BA d) Tính số đo góc HEC Lời giải B O H A E C D DE BE DE DB    DB BA BE BA DC DB  (2) d) DBC  BAH  BH BA DC DE  (3) Từ (1) (2)  BH BE ˆ  Aˆ  Bˆ Mà D (4) c) DBA  DEB ( g – g)  1 (1) Từ (3) (4) suy CDE  HBE  Eˆ1  Eˆ3  HEC  Eˆ  Eˆ3  900 Eˆ1  Eˆ3  HEC  Eˆ  Eˆ3  900 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng d vng góc với OA A Trên d lấy điểm M Qua M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O; R) tiếp điểm E F Nối EF cắt OM H, cắt OA B a) Chứng minh OM vuông góc với EF b) Cho biết R = cm, OM = 10 cm Tính OH c) Chứng minh điểm A, B, H, M thuộc đường tròn d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp MEF thuộc đường tròn cố định M chuyển động d Lời giải M E I H O A B F a) Chứng minh OM vng góc với EF OM đường trung trực EF  OM  EF b) Cho biết R = cm, OM = 10 cm Tính OH OE2 = OH.OM  OH = OE2 : OM = 36 : 10 = 3,6 cm c) Chứng minh điểm A, B, H, M thuộc đường tròn d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp MEF thuộc đường tròn cố định M chuyển động d OIF  IFM  FMI  IFH  HFO  IFO  OIF cân O  OI = OF = R  I thuộc đường tròn (O; R) cố định TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho điểm M đường trịn tâm O đường kính AB Tiếp tuyến M B (O) cắt D Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD cắt MD C cắt BD N Gọi H chân đường vng góc kẻ từ M xuống AB, I trung điểm MH a) Chứng minh DC = DN b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm O c) Chứng minh B, I, C thẳng hàng d) Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt (O) K (K M nằm khác phía với đường thẳng AB) Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MHK lớn Lời giải D M C I E A H O B N H' K c) Gọi E giao điểm BC MH EH BE AC.BE   EH  (1) AC BC BC ME CE DB.CE ME / / DB    EM  (2) DB BC BC AC CE AC / / DB    AC.BE  BD.CE (3) DB BE Từ (1),(2), (3)  EH = ME  E trung điểm MH  E  I  B, I, C thẳng hàng EH / / AC  d) Kẻ KH'  MH 1 MH KH '  MH MO, (OH  KH ') 2 OH  MH R R2 R2 MH OM    SMHK   MaxSMHK  OH  OM  MOH  450 2 4 SMHK  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên tia Ax lấy điểm E  E  A, EA  R  ; nửa đường tròn lấy điểm M cho EM = EA, đường thẳng EM cắt By F a) Chứng minh EF tiếp tuyến  O  ; b) Chứng minh EOF vuông; c) Chứng minh AM.OE  BM.OF  AB.EF; d) Tìm vị trí E tia Ax cho SAMB  SEOF Lời giải y x F N M E H A I K B O c) Chứng minh AM OE  BM OF  AB.EF ; AM OE  BM OF  2MH OE  2MI  2.OM ME  2OM MF  2.OM ( ME  MF )  2.OM EF  AB.EF ; d) Tìm vị trí E tia Ax cho SAMB  SEOF Kẻ MK  AB K, kẻ ON // Ax // By, N EF  N trung điểm EF  ON đường trung tuyến EOF  ON  FE 3 S AMB  S EOF  MK AB  OM EF  MK 2R  R.2.ON  ON  MK 4 MK  AB  MK / / Ax / / ON  KMO  MON  KMO  MON MK OM    MK ON  OM  R OM ON 3 R  MK MK  R2  MK  R  KO  R  R   K trung điểm AO Vị trí E: Từ trung điểm AO dựng đường vng góc với AB cắt (O) M, từ M kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax E TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho đường trịn (O; R) đường tính AB Qua điểm A kẻ tia tiếp tuyến Ax đến đường tròn (O) Trên tai Ax lấy điểm C cho AC  R Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O) (M tiếp điểm) a) Chứng minh bốn điểm A, C, O, M thuộc đường tròn b) Chứng minh MB // OC c) Gọi K giao điểm thứ hai BC với đường tròn (O) Chứng minh BC.BK  4R2 d) Chứng minh CMK  MBC Lời giải C K M A B O b) Chứng minh MB // OC MB // OC Vì vng góc với AM c) Chứng minh BC.BK  4R2 ABC vuông A, AK đường cao  AB2 = BK.BC = 4R2 d) Chứng minh CMK  MBC ABC vuông A, AK đường cao  AC2 = KC.BC Mà AC = CM  CM2 = KC.BC  KC CM  CM BC  CKM  CMB  CMK  MBC TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (O) (C khác A, B) cho AC > BC Qua O vẽ đường thẳng vng góc với dây cung AC H tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt tia OH D Đoạn thẳng DB cắt đường tròn (O) E a) Chứng minh HA = HC DCO  900 ; b) Chứng minh DH.DO = DE.DB; c) Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho E trung điểm cạnh AF Từ F vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng AD K Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC M Chứng minh MK = MF K F M D E Q C P H A B O a) Chứng minh HA = HC DCO  900 OH phần đường kính vng góc với dây AC H  H trung điểm AC  HA = HC ADO = CDO  DCO  OAD  900 b) Chứng minh DH.DO = DE.DB DH.DO = DE.DB = AD2 c) Chứng minh MK = MF AMB có OP // MB, OA = OB  P trung điểm AM  PE // MF // AB AKM có PQ // KM , PA = PM  Q trung điểm AK  PQ // AF // AB PQ PE    PQ  PE   AO BO   MK  MF PQ PE    KM MF TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB = 5cm điểm C thuộc đường tròn cho AC = 3cm a) ABC tam giác gì? Vì sao? Tính giá trị sin CAB ? b) Đường thẳng qua C vng góc với AB H, cắt (O; R) D Tính CD, c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn (C; CH) d) Kẻ tiếp tuyến AE (C; CH) với E tiếp điểm khác H Tính diện tích tứ giác AOCE? Lời giải C E A H B O D a) ABC tam giác gì? Vì sao? Tính giá trị sin CAB ? ABC nội tiếp đường trịn (O; R), Ab đường kính  ABC vng C AC = 3cm, AB = 5cm  BC = 4cm BC Sin CAB    0,8 AB b) Tính CD, CH = 2,4 cm  CD = 2CH = 4,8 cm c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn (C; CH) AB  CH mà H  (C; CH)  AB tiếp tuyến (C; CH) d) Tính diện tích tứ giác AOCE Tứ giác AOCE hình thang AE // CO AH = 1,8 cm, EA = AH = 1,8 cm, CE = CH = 2,4 cm CO = 2,5 cm 1 S AOEC  ( EA  CO).EC  (1,8  2,5).2,  5,16(cm2 ) 2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn (C khác A B) Kẻ tiếp tuyến A đường tròn, tiếp tuyến cắt BC D Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C cắt AD E 1) Chứng minh bốn điểm A, E, C, O thuộc đường tròn 2) Chứng minh BC.BD  4R2 OE song song với BD 3) Đường thẳng kẻ qua O vng góc với BC N cắt tia EC F Chứng minh BF tiếp tuyến đường tròn (O; R) 4) Gọi H hình chiếu C AB, M giao AC OE Chứng minh điểm C di động đường tròn (O; R) thỏa mãn u cầu đề đường trịn ngoại tiếp HMN qua điểm cố định Lời giải F D C N E I M A H B O d) HM = MC , HN = NC  MHN = MCN  MHN vuông H Tứ giác OMCN hình chữ nhật  KM = KN = KC = KO HK = KM = KN ( Tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền)  KM = KN = KC = KO = KH  H, M, N, O thuộc đường (K; KO) Hay đường trịn ngoại tiếp HMN ln qua điểm cố định TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AE tới đường tròn (O) (với E tiếp điểm) Vẽ dây EH vng góc với AO M a) Cho biết bán kính R  5cm , OM  3cm Tính độ dài dây EH b) Chứng minh: AH tiếp tuyến đường tròn (O) c) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt AH B Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn (O) (F tiếp điểm) Chứng minh : điểm E, O, F thẳng hàng BF.AE = R2 d) Trên tia HB lấy điểm I  I  B  , qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O) cắt đường thẳng BF, AE C D Vẽ đường thẳng IF cắt AE Q Chứng minh AE = DQ Lời giải E O A F H C K D I B Q BH BF tiếp tuyến (O; R) H F nên ta có EOH  AOH AH AE tiếp tuyến (O; R) H E nên ta có HOF  2.HOB  EOH  HOF  AOH  2.HOB  2( AOH  HOB)  AOB  2.900  1800  Ba điểm E, O, F thẳng hàng  OAE  FOB ( phụ với góc EOA) FOB  EAO ( g – g )  BF.AE = R2 (1) BF AQ  (3) CF DQ CDO vuông O  OK  DK.CK DE, DK, CE, CF tiếp tuyến suy DE = DK, CK = CF  OK  DE.CF  R2 (2) BF / / AQ  BF DE  (4) CF AE DE AQ AQ DE AQ DE Từ (3) (4) suy       AQ  DE AE DQ AQ  DQ DE  AE AD AD Từ (1) Và (2) suy DE.CF = AE.BF  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 10 Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Gọi H trung điểm OA Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt (O) hai điểm C D 1) Tứ giác ACOD hình gì? Chứng minh ? 2) Qua điểm D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt tia OA M Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O) C MCD tam giác 3) Tính chu vi diện tích MCD theo R bán kính đường tịn tâm O 4) Gọi N trung điểm HB, đường thẳng kẻ qua H vng góc với CN cắt đường thẳng CA E Chứng minh A trung điểm CE Lời giải C I A M O H E Ta có: ECH  ADC  CBN B N D (1) CHI  HNI ( 900  IHN )  1800  CHI  1800  HNI  CHE  CNB Từ (1) (2)  CHE  BNC  (2) CE CH 2CH CD    CB NB 2CB BH Mà ECD  CBH  CED  BCH (c – g – c)  CDE  CHB  900  AH // DE CDE có H trung điểm CD AH // DE  A trung điểm EC TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 10 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 28 Cho điểm C thuộc đường trịn (O) đường kính AB (AC < BC) Gọi H trung điểm BC Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt tia OH D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) E Gọi M trung điểm AE, I trung điểm DH BI cắt đường tròn (O) F a) Chứng minh DH DO  DB2 ; b) Chứng minh DC tiếp tuyến đường tròn (O) ; c) Chứng minh điểm D, B, M, C thuộc đường tròn (O) d) Chứng minh ba điểm A, H, F thẳng hàng Lời giải D E I C F M H N A O B Gọi N trung điểm HB DHB có IN đường trung bình  IN / / DB Mà DB  AB  IN  AB Suy N trực tâm DHB  ON  BF Mà FA  BF  FA / /ON ON đường trung bình AHB  ON / / AH Suy ba điểm A, H, F thẳng hàng TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 28 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 29 Cho đường trịn (O; R) điểm A nằm ngồi (O; R) Vẽ đường thẳng d vng góc với OA A.Trên đường thẳng d lấy điểm M khác điểm A qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME MF với đường tròn (O), (E F tiếp điểm) Đường thẳng EF cắt OM OA H K a) Chứng minh H trung điểm EF ; b) Chứng minh điểm O,M, A, F thuộc đường tròn; c) Chứng minh OK OA  R d) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho OHK có điện tích lớn Lời giải M E H K O I Q A F c) OHK OAM ( g  g )  OAOK  OH OM  OE  R 2 d) Gọi HQ, HI đường cao, đường trung tuyến OHK  SOHK  HQ.OK R2 OK Mà OK  không đổi OA OK  OHK vuông cân H M thuộc d cho AOM  450 có: HQ  HI  Nên SOHK max TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 29 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 30 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) cho AM < MB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt OM S Đường cao AH SAO ( H  SO) cắt đường trịn (O) D Kẻ đường kính DE đường trịn (O) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp SAD a) Chứng minh OH OS  R ; b) Chứng minh SD tiếp tuyến đường tròn (O) ; c) Chứng minh M tâm đường trịn nội tiếp SAD Tính độ dài AE theo R, r; MD  KH KD d) Cho AM = R Gọi K giao điểm BM AD Chứng minh Lời giải S D M K H A B O E a) OH OS  A2  R b) OS phân giác góc AOD, SAO = SDO c) OAM cân  OAM  OMA  SAM  HAM ( Cùng phụ với góc nhau) suy AM tia phân giác góc SAD  Đpcm  MH = R, OH = R – r OH đường trung bình AED  AE = 2OH = 2(R – r) d) Tứ giác AMDO hình thoi 3 K trọng tâm tam giác MOD  KD  HD, KH  HD  KH KD  HD HD  MD.Sin 600  R 2 3R R  KH KD  HD   9 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 30 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 31 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi C, D hai điểm di chuyển nửa đường tròn (O; R) cho góc COD ln 900 ( C nắm A D) Tiếp tuyến C D nửa đường tròn (O; R) cắt đường thẳng AB F, G Gọi E giao điểm FC GD a) Tính chu vi ECD theo R ; AB b) Khi tứ giác FCDG hính thang cân Hãy tính tỉ số ; FG c) Chứng minh FC.DG có giá trị khơng đổi d) Tìm vị trí C, D nửa (O; R) cho tích AD.BC đạt giá trị lớn Lời giải E C A F D O B G a) Chu vi ECD R  b) Khi tứ giác FCDG hính thang cân CF  DG, Fˆ  Gˆ , CD / / FG EFG vuông cân  Fˆ  Gˆ  450 CFO vuông cân CF = CO = R Tương tự có DG = DO = R CF = CE = DE = DG = R nên C, D trung điểm EF, EG CD đường trung bình EFG  FG  2CD  2R  c) FCO  ODG  AB 2R    FG 2R 2 CF CO   CF DG  CO.DO  R OD DG d) ACI, BDI vuông cân C, D Đặt AC = x, BD = y  A.AD  ( x  y 2)( y  x 2)  3xy  ( x2  y ) 2 2 2 Ta có: AC  CB  BD  AD  8R 8R  4( x  y )  xy  8R  8xy  xy  xy  Dấu = xảy x = y 84 2 AD.BC  8R2  2xy 2 2 Tích CB.AD lớn C, D điểm cung phần tư thứ thứ hai (O) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 31 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 32 Cho điểm M nằm (O; R) cho OM = 2R Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đườngg tròn (O) (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đườngg trịn (O) Gọi H giao điểm AB OM a) Chứng minh bốn điểm A, O, B, M thuộc đường trịn ; OH b) Tính tỉ số ; OM c) Gọi E giao điểm CM đườngg tròn (O) Chứng minh HE  BE Lời giải A O M D H E C B b Vì MA, MB tiếp tuyến (O) kẻ từ M  M cách A,B mà O cách A, B  MO trung trực AB  MO  AB H , H trung điểm AB OAM vng A có đường cao AH R2 R OH  OA  OH OM  OH     2R OM MAB đều, R AB  AM  R 3, AH  , BC  R 12 4R AE  R , CE  7 AE AH AE AH   ,     HAE BCE (c  g  c) CE BC CE BC  E  E1  E  E  E1  E  900  HE  BE TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 32 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 33 Cho đường trịn tâm O, bán kính 3cm Từ điểm A cách O 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) a) Chứng minh: AO vng góc với BC b) Kẻ đường kính BD Chứng minh DC song song với OA; c) Tính chu vi diện tích tam giác ABC d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng cắt tia DC E Đường thẳng AE OC cắt I; đường thẳng OE AC cắt G Chứng minh IG trung trực đoạn thẳng OA Lời giải B A O G D E C I c.Tính chu vi diện tích tam giác ABC Tính AB = AC = 4(cm); BC = 4,8(cm) Tính chu vi tam giác ABC = 12,8 (cm) d Chứng minh IG trung trực đoạn thẳng OA Chứng minh tứ giác OAEC hình thang cân Suy ra: COA  EAO  IOA cân I (1) Chứng minh G trực tâm IOA  IG đường cao (2) Vậy IG đồng thời đường trung trực  IG trung trực OA TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 33 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 34 Lấy điểm A  O; R  , vẽ tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm B ,  O; R  lấy điểm C cho BC  AB a) CMR: CB tiếp tuyến  O  b) Vẽ đường kính AD  O  , kẻ CK  AD CMR: CD / / OB BC.DC  CK.OB c) Lấy M cung nhỏ AC  O  , vẽ tiếp tuyến M cắt AB, AC E, F Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE CMR: MAC   IFE Lời giải D C K F O I M B E A a) Chứng minh CB tiếp tuyến  O  (HS tự chứng minh) b) Chứng minh CD / / OB (HS tự chứng minh) Chứng minh BC.DC  CK.OB Chứng minh COB ∽ KDC  g  g   BC OB   BC.DC  CK.OB  dpcm  CK DC c) Chứng minh MAC   IFE       Có ACM  ACB  MCB   90  ABC    90    CFM  CFM ABC    2  BEF CFM  ABC   IEF (1) 2 Cmtt CAM  IFE (2) Từ (1) (2) suy MAC   IFE TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 34 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 35 Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn Trên tia Ax lấy điểm M cho AM > R Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường (O) ( C tiếp điểm) Tia MC cắt tia By D a) Chứng minh MD = MA+BD OMD vuông b) Cho AM = 2R Tính BD chu vi tứ giác ABDM c) Tia AC cắt tia By K Chứng minh OK  BM Lời giải x y K M C D H A O B a) Chứng minh MD = MA+BD OMD vuông MA, MC tiếp tuyến cắt M với tiếp điểm A C  MA = MC DC, DB tiếp tuyến cắt D với tiếp điểm B C  DB = DC Mà MD = MC + CD  MD = MA + DB OM tia phân giác AOC OD tia phân giác COB Mà AOC COB hai góc kề bù  OM  OD O  MOD  900  ∆OMD vuông O b) AM = 2R  MC = 2R Xét ∆OMD  MC.C D  OM ( hệ thức lượng tam giác vuông)  R.CD  R  CD  R R  CD  BD  2 Chu vi tứ giác ABDM là: AB + BD + DM + MA = AB+ DB + DC + CM + AM = 2R + R R + + 2R + 2R=7R 2 * Chứng minh: ∆AMO  ∆BAK ( MAO  ABK  900 ; AOM  BKA phụ với KAB )  AM AO AM BO     tan MBA  tan OKB  MBA  OKB AB BK AB BK Gọi H giao điểm OK BM Ta có: MBA  OKB  HBO  OKB Mà OKB  KOB  900 ( ∆OBK vuông B)  HBO  KOB  900 Hay HBO  HOB  900  OHB  900  OK  BM H TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 35 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 36 Cho đường trịn (O, R), điểm A nằm ngồi đường trịn (O ; R) Vẽ đường thẳng d vng góc với OA A Trên đường thẳng d lấy điểm M khác điểm A Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME MF với đường tròn (O) ( E F tiếp điểm ) EF cắt OM OA H K a) Chứng minh : H trung điểm EF b) Chứng minh : điểm O, M, A, F thuộc đường tròn c) Chứng minh : OK.OA = R d) Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để t OHK có diện tích lớn Lời giải 2) Ta có: AM  OA (gt) ⇒∆OAM vng A⇒∆OAM nội tiếp đường trịn đường kính OM ⇒O,A,M thuộc đường trịn đường kính OM OF  MF (MF tiếp tuyến (O) ⇒∆OFM vuông F ∆OFM nội tiếp đường trịn đường kính OM ⇒O,F,M thuộc đường trịn đường kính OM Vậy O,M,A,F thuộc đường trịn đường kính OM 3) Chứng minh : OK.OA = R  OHK đồng dạng ∆OAM  OK OA  OH OM OEM: OH OM  OE  R2  OK.OA = R 4) Xác định vị trí điểm M HQ,HI đường cao trung tuyến  OHK , SOHK  HQ.QK Ta có HQ  HI  SOHK max  OK R2 OK mà OK  không đổi nên SOHK max  OA OK  OHK vuông cân H, M thuộc d cho AOM  45 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 36 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 37 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn AO  BC b) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm M  M  B, M  C, M  AO Tiếp tuyến M cắt AB, AC D, E Chứng minh: Chu vi ADE AB c) Đường thẳng vng góc với AO O cắt AB AC P Q Chứng minh: PD.QE = PQ Lời giải P B D M K O A N E C Q Theo tính chất hai tiếp tuyến đường trịn, ta có; DOM  1 BOM , MOE  MOC 2 Cộng vế theo vế, ta được: DOE  BOC Mà BOC  AOC  OQE (vì AOC OQE phụ với QAO ) Nên DOE  OQE Xét ODE QOE ta có: DOE  OQE (cmt) OED  OEQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do ODE  QOE (g.g) Chứng minh tương tự: ODE  PDO Suy QOE  PDO (tính chất bắc cầu) QO QE PQ PQ PQ2  PD.QE  PQ    PD.QE  PO.QO   PD PO 2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 37 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 38 Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) ( A B hai tiếp điểm) Gọi I giao điểm OM AB Kẻ đường kính BC (O) Qua O vẽ đường thẳng vng góc với MC E cắt đường thẳng BA F a) Chứng minh điểm M, A, O, B thuộc đường tròn b) Chứng minh:OI.OM = OA2 c) Chứng minh: FC tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải F C A E M I O B a) - Vẽ hình đến câu a - Chỉ OAM= 900 (đủ cứ)  Ađường trịn đường kính OM - Chỉ OBM= 900 (đủ cứ)  Bđường trịn đường kính OM Kết luận: A, O, B, M nằm đ.tròn b) Chứng minh được: OIAB Tam giác OAM có: OAM= 900; AIOM OA2 = OI.OM c) Chứng minh được: OE.OF = OI.OM Mà OI.OM = OC2 ( OC2 = OA2) Suy ra: OE.OF = OC2 Chứng minh: ΔOCE ΔOFC (c.g.c)  OCF = OEC = 900  FCBC, mà C(O) FC tiếp tuyến(O) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 38 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 39 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC với đườngg tròn (O), (B, C tiếp điểm) Kẻ đường thẳng d nằm hai tia AB , AO qua A cắt đường tròn (O) E, F ( E nằm A, F) Gọi H giao điểm AO BC Đường thẳng qua O vng góc với EF cắt BC S Đường thẳng SF cắt đường thẳng AB AC P Q, đường thẳng OF cắt BC điểm K a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn ; b) Chứng minh OH OA  OE ; c) Chứng minh SF tiếp tuyến đườngg trịn (O) d) Chứng rằng: đường thẳng AK qua trung điểm PQ Lời giải S P B F G D M O E H K A N C I Q c) Chứng minh SF tiếp tuyến đườngg tròn (O) Gọi D giao điểm OS EF  OHS  ODA OD OF   OH.OA = OD.OS = OF2  OD.OS = OF2  OF OS  ODF  OFS  ODF  OFS  900  SF tiếp tuyến đườngg tròn (O) d) Gọi M trung điểm PQ, Gọi K' giao điểm AM BC Từ K' kẻ đường thẳng song song với PQ cắt AB, AC G N  GN // PQ GK ' AK ' NK '     GK '  NK '  K' trung điểm NG MP AM MQ Từ G kẻ đường thẳng // BC cắt AC I  BGIC hình thang cân  BG = CI GNI có K' trung điểm CN Mà IG // BC  CK' // IG  C trung điểm IN  CN = CI BOG = CON  OG = ON  ONG cân O  OK' trung tuyến đồng thời đường cao  OK'  GN Mà OK  GN ( GN // PQ)  K trùng với K'  ĐPCM TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 39 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 40 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A B) Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O I trung điểm AD Từ C kẻ CH vng góc với AB (H thuộc AB), BI cắt CH K a) Chứng minh BC.BD = 4R2 b) Chứng minh IC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O c) Chứng minh K trung điểm CH Lời giải D C I K A H B O AB   ABC vuông C  AC  BC a) Xét  ABC có OA = OB =OC = Ta có AD tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O nên AD  AB Trong  ABD vng A có AC  BD  BC BD =AB2 Mà AB = 2R nên BC BD = 4R2 b) Tam giác ACD vng C có I trung điểm AD AD  AOI =  COI   IAO =  ICO Mà  IAO = 900 nên  ICO = 900 Hay IC  OC  IC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O  AI = DI = CI = c) Ta có AD//CH (cùng vng góc với AB) BK KH = BI AI CK BK Trong tam giác BDI có CK//DI  = DI BI KH CK Suy = DI AI Trong tam giác BAI có KH// AI  Mà AI = DI nên KH = CK hay K trung điểm CH TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 40 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 41 Cho đường tròn (O, R) đường thẳng d cố định không cắt đường trịn Từ điểm A đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AO H, tia đối tia HB lấy điểm C cho HC = HB a) Chứng minh C thuộc đường tròn (O, R) AC tiếp tuyến đường tròn (O, R) b) Từ O kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng d I, OI cắt BC K Chứng minh OH.OA = OI.OK = R2 c) Chứng minh A thay đổi đường thẳng d đường thẳng BC ln qua điểm cố định Lời giải B K I O H A C a) +) Chứng minh  BHO =  CHO  OB = OC  OC = R  C thuộc (O, R) +) Chứng minh  ABO =  ACO  ABO  ACO Mà AB tiếp tuyến (O, R) nên AB  BO  ABO  900  ACO  900  AC  CO  AC tiếp tuyến (O, R) b) Chứng minh OHK OIA  OH OK   OH OA  OI OK OI OA ABO vuông B có BH vng góc với AO  BO2  OH OA  OH OA  R2  OH OA  OI OK  R2 c) Theo câu c ta có OI OK  R  OK  R2 không đổi OI Mà K thuộc OI cố định nên K cố định Vậy A thay đổi đường thẳng d đường thẳng BC ln qua điểm K cố định TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 41 PHONE 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 42 Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Qua điểm A vẽ đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn (O; R) C điểm thuộc đường thẳng d Qua C vẽ tiếp tuyến thứ hai đường tròn (O; R), tiếp xúc với đường tròn (O; R) điểm M Gọi H giao điểm AM OC Qua O vẽ đường thẳng vng góc với OC, đường thẳng cắt CM D 1) Chứng minh AM  OC OH.OC  R 2) Chứng minh OBH  OCB 3) Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn (O; R) Lời giải C M D H A B O 1) Chứng minh AM  OC OH.OC  R AOC vuông A  OA2  OH.OC  R 2) Chứng minh OBH  OCB OH.OC  R  OH.OC  OB2  OH OB   OHB  OBC  OBH  OCB OB OC 3) Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn (O; R) OD / /AM    OD  BM  OMD = OBD  OMD  OBD  90 AM  BM   BD  OB, Mà B  (O; R)  DB tiếp tuyến đường tròn (O; R) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 42 PHONE 0983.265.289 ... OKB  KOB  90 0 ( ∆OBK vuông B)  HBO  KOB  90 0 Hay HBO  HOB  90 0  OHB  90 0  OK  BM H TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 35 PHONE 098 3.265.2 89 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG... MCB   90   ABC    90     CFM  CFM ABC    2  BEF CFM  ABC   IEF (1) 2 Cmtt CAM  IFE (2) Từ (1) (2) suy MAC   IFE TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 34 PHONE 098 3.265.2 89 BÀI TẬP... OIA OA OI Mà AIO  OIM  90 0 Nên MIO '  OIM  90 0  OI vng góc với O’I  OI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp IMN TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 11 PHONE 098 3.265.2 89 BÀI TẬP HÌNH HỌC HỌC KÌ