Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, dạy tốn trường phổ thơng dạy hoạt động toán học Luyện tập cho học sinh giải tập tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư logic, lực giải vấn đề cách sáng tạo Để học sinh giải tập Toán trước tiên phải rèn luyện kỹ giải Toán, giúp người học cách suy nghĩ, phương pháp giải khả vận dụng kiến thức, cách hệ thống dạng tập Thực tiễn dạy học cho thấy học Hình học không gian (HHKG) nhiều học sinh e ngại đa số học sinh nữ em có học lực mức trung bình Nhưng em rèn luyện kỹ vẽ hình, kỹ giải tốn hình học khơng gian cách có hệ thống, giáo viên xây dựng số dạng tập toán nhằm rèn luyện kỹ giải tốn học sinh có khả tốt để giải tốn khơng gian, em thấy hứng thú u thích mơn học bớt ngại khó làm tập, góp phần nâng cao hiệu dạy học trường phổ thông Những kỹ cần rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình, kỹ vận dụng định lý, quy tắc, phương pháp, kỹ sử dụng ngơn ngữ tốn học,…hình thành cho em số kỹ phương pháp giải tập, thông qua việc lựa chọn dạng tập để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh Thực tế có số đề tài nghiên cứu rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh theo vấn đề khác chương trình Tốn Trung học phổ thơng, chưa có đề tài đề cập đến vấn đề cụ thể việc tập hợp cách có hệ thống kỹ dạng tập cần thiết rèn luyện cho học sinh dạy học Hình khơng gian lớp 11 Với lí tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần rèn luyện kỹ giải tập Hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 thông qua số dạng tập bản” Mục đích nhiệm vụ đề tài +) Nghiên cứu sở lý luận kỹ giải toán +) Nghiên cứu kỹ giải số dạng tập tốn Hình học khơng gian lớp 11 +) Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện số kỹ giải tốn Hình học khơng gian chương trình hình học 11 THPT cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thông Đối tượng, phạm vị nghiên cứu Quá trình dạy học tiết luyện tập ôn tập chương trình Hình Học không gian cho học sinh lớp 11 Phương pháp nghiên cứu 3.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận - Khái niệm + “Kỹ năng lực sử dụng kiện, tri thức hay khái niệm có, lực vận dụng chúng để phát thuộc tính chất vật giải thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” + “Kỹ nghệ thuật, khả vận dụng hiểu biết có bạn để đạt mục đích mình, kỹ cịn đặc trưng tồn thói quen định, kỹ khả làm việc có phương pháp” + “Kỹ khả vận dụng kiến thức thu nhận lĩnh vực vào thực tế” + “Trong Toán học kỹ khả giải toán, thực chứng minh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhận được” Như vậy, dù phát biểu góc độ nào, kỹ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải nhiệm vụ đặt Nói đến kỹ nói đến cách thức thủ thuật trình tự thực thao tác hành động để đạt mục đích định Kỹ kiến thức hành động 3.2 Phương pháp điều tra quan sát - Dạy Hình học khơng gian chương trình Tốn THPT có hai SGK: SGK Hình học 11 nâng cao SGK Hình học 11 Ở trường THPT Lê Viết Thuật: dạy học sinh theo SGK Hình học 11 dành cho học sinh học ban Trong chương trình lớp 11, học sinh học đầy đủ có hệ thống mơn HHKG Đây phần nội dung khó, phong phú đa dạng loại tập địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả suy đốn, trí tưởng tượng khơng gian, kỹ vẽ hình, kỹ tính tốn có nhiều tập địi hỏi học sinh phải có khiếu tốn giải Cũng mà dạy học địi hỏi GV có khả rèn luyện kỷ giải dạng tập phương pháp giải tương ứng dạng tập toán cho học sinh - Khi dạy học tốn HHKG nói chung GV học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân là: +) Học sinh có trí tưởng tượng khơng gian chưa tốt +) Do đặc thù môn học nên việc tiếp thu sử dụng kiến thức HHKG vấn đề khó học sinh +) Học sinh quen với HHP nên dễ nhầm lẫn sử dụng tính chất hình học phẳng mà khơng HHKG để giải Tốn HHKG +) Vẫn cịn số học sinh chưa xác định động học tập nên chưa chăm học chưa ý học làm tập +) Vẫn nhiều GV chưa chịu đổi phương pháp dạy học, dạy học cịn mang tính chất đối phó, truyền thụ chiều 3.3 Rèn luyện kỹ giải số dạng tập Hình khơng gian chương trình hình học 11 THPT * Về kiến thức: Vận dụng kiến thức học chương trình * Về phương pháp: Gv cần phải tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo Chú trọng cho học sinh biết phương pháp khác nhau, biết lựa chọn phương pháp để giải toán GV lựa chọn ưu điểm phương pháp dạy học đàm thoại, phương pháp dạy học vấn đáp, phương pháp dạy học phát giải vấn đề…để hướng dẫn, rèn luyện kỹ giải Toán cho học sinh * Về phát triển lực tư phẩm chất trí tuệ cho học sinh: Rèn luyện trí tưởng tượng không gian, khả chứng minh suy diễn, khả lập luận có cứ, tư logic chặt chẽ * Về kỹ năng: Đề tài có ý tưởng thông qua số dạng tập nhằm rèn luyện cho học sinh số kỹ sau: - Kỹ vẽ hình, dựng thiết diện - Kỹ chứng minh quan hệ đối tượng hình học học - Kỹ tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng - Kỹ chuyển đổi từ hình học tổng hợp sang cơng cụ véc tơ PHẦN II NỘI DUNG I Rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình, dựng thiết diện tính diện tích thiết diện Kỹ vẽ hình Để giải tập Hình học không gian, trước hết phải rèn cho học sinh đọc đề hiểu đề từ vẽ hình biểu diễn 1.1 Hình biểu diễn hình vẽ qua phép chiếu song song từ không gian lên mặt phẳng, hình biểu diễn cần thỏa mãn tính chất phép chiếu song song + Phép chiếu song song biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm + Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến đường thẳng song song thành đường thẳng song song trùng + Không làm thay đổi tỷ số độ dài hai đoạn thẳng nằm đường thẳng hoạc hai đường thẳng song song 1.2 Hình biểu diễn Do tính chất nêu phép chiếu song song nên hình biểu diễn vẽ sau: - Hình tam giác => Hình tam giác có dạng tùy ý (tam giác thường, tam giác cân, tam giác vng) - Hình bình hành => Hình bình hành tùy ý (Hình bình hành , hình chữ nhật, hnh vng, hình thoi) - Thường dùng e líp để biểu diễn đường trịn Do hình biểu diễn tập hình khơng gian phải thỏa mãn tính chất nêu nên việc vẽ hình biểu diễn khó nhiều so với hình học phẳng, địi hỏi học sinh phải hiểu đề biết cách vẽ hình biểu diễn học hình học khơng gian Người dạy qua tập hướng dẫn học sinh vẽ hình biểu diễn qua hình thành kỹ vẽ hình cho học sinh, thao tác để đến bước hoàn thành lời giải tập tốn Hình học khơng gian Ví dụ minh họa Ví dụ Vẽ hình biểu diễn tứ diện ABCD - Bước 1: Vẽ tam giác BCD (một cạnh khuất) - Bước 2: Lấy điểm A tam giác BCD - Bước 3: Nối A với điểm B: B; D Ví dụ 2: Vẽ hình biểu diễn hình chóp tam giác S.ABC, có đường cao SH Vì hình chóp tam giác nên học sinh phải hiểu tính chất hình chóp tam giác vẽ hình biểu diễn - Vẽ đáy tam giác ABC có nét khuất AB (mặc dầu đáy tam giác đều) - Do đường cao SH hình chóp tam giác có H trùng với tâm tam giác ABC, nên vẽ H giao ba đường trung tuyến tam giác ABC (do tam giác ABC đều) - Vẽ SH (nhìn vng góc với AB) - Nối SA; SB; SC Ví dụ Vẽ hì hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ - Vẽ đáy ABCD hình bình hành - Vẽ hình chữ nhật AA’B’B - Từ đỉnh C, D kẻ đoạn thẳng CC’, DD’, song song AA’ - Nối A’B’, B’D’, D’B’ Qua trình luyện tập thêm tập cho học sinh luyện tập từ hình thành kỹ vẽ hình, lưu ý học sinh cố gắng vẽ hình biểu diễn phần khuất hình vẽ cáng trực quan trình sử dụng để tìm lời giải tập tốn Kỹ xác định thiết diện Để xác định thiết diện mặt phẳng với khối đa diện quy xác định giao tuyến đôi hai mặt phẳng thiết diện cắt khối đa diện 2.1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Để xác định giáo tuyến hai mặt phẳng cần phải xác định cho học sinh cách xác định giao tuyến - Hướng 1: Xác định giao điểm - thường kéo dài hai đường thẳng mặt phẳng - Hướng 2: Xác định điểm phương đường thẳng giao tuyến 2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho tam giác ABC nằm mp (P) a mộtđường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB Ac không cắt cạnh tam giá ABC S điểm mặt phẳng ( P) A’ điểm thuộc SA Xác định thiết diện giao mặt phẳng mp (A’,a) tứ diện SABC Phân tích: Để xác định thiết diền ta phải xác định giao tuyến cặp mặt phẳng: mp (A’,a) (SAB); mp (A’,a) (SAC) mp (A’,a) (SBC) Lời giải - Xác định giao tuyến mp (A’,a) (SAB) Ta có: A’  SA mà SA  ( SAB)  A’ ( SAB) A’  ( A’,a)  A’ điểm chung ( A’,a) (SAB ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AB Gọi E = a  AB => E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB ) => E  ( A’,a)  E điểm chung ( A’,a) (SAB ) Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) (SAB ) - Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAC) Ta có: A’  SA mà SA  ( SAC) => A’ ( SAC) A’  ( A’,a) => A’ điểm chung (A’,a) (SAC) Trong (P), ta có a khơng song song với AC Gọi F = a  AC F AC mà AC  (SAC )  F  (SAC ) E  ( A’,a) => F điểm chung ( A’,a) (SAC ) Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) (SAC ) - Xác giao tuyến (A’,a) (SBC) Trong (SAB) , gọi M = SB  A’E M  SB mà SB  ( SBC) => M ( SBC) M  A’E mà A’E  ( A’,a) => M ( A’,a) => M điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F N  SC mà N  A’F mà SC  ( SBC) => N ( SBC) A’F  ( A’,a) => N ( A’,a)  N điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Vậy: MN giao tuyến ( A’,a) (SBC ) Ta có thiết diện cần xác định là: A’MN Ví dụ Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Xác định thiết diện giao mặt phẳng ( MNP) với tứ diện ABCD Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến mp MNP với mặt tứ diện Dể thấy MN, MP giao tuyến (MNP) với (ABC) (ABD) Chỉ cần xác định hai giao tuyến (MNP) với (BCD) (ACD) Lời giải: - Kéo dài MN cắt BC kéo dài E => E điểm chung (BCD) (MNP)  ME giao tuyến (ABC) (MNP) - Nối E với P cắt CD Q => EQ giao tuyến (BCD) với (MNP) Ví dụ Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy hai điểm M, N cho MN không song song với CD, gọi O điểm bên tam giác BCD Xác định thiết diện giao mặt phẳng (OMN) với tứ diện ABCD Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến mp(OMN) với mặt tứ diện.Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng: (OMN) với (BCD); (OMN) với(ABC) (OMN) với (ABD) Lời giải: - Tìm giao tuyến (OMN) (BCD) Ta có: O điểm chung (OMN) (BCD) Trong (ACD), MN không song song CD Gọi I = MN  CD => I điểm chung (OMN ) (BCD) Vậy : OI  (OMN )  (BCD ) - Tìm giao điểm BC với (OMN) Trong (BCD), gọi P = BC  OI Vậy : P = BC  ( OMN) - Tìm giao điểm BD với (OMN) a Trong (BCD), gọi Q = BD  OI Vậy : Q = BD  ( OMN ) Nối QN; MP ta có thiết diện là: MNQP Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, gọi O giao điểm AC BD, điểm M, N, P điểm SA, SB, SD Xác định giao tuyến mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD Phân tích: Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao điểm mặt phẳng (MNP) với SC Lời giải: - Nối BD AC cắt O - Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng (MNP) Nối MN, SO tao có giao điểm SO BD điểm I - Trong mặt phẳng (SAC) nối MI kéo dài cắt SC Q - Nối PQ, NQ ta có: thiết diện MNQP cần xác định ** Xác định thiết diện qua giao tuyến biết điểm phương đường thẳng, đòi hỏi học sinh phải nắm kiến thức quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng khơng gian Ví dụ Cho hình vng cạnh a, tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x, mặt phẳng () qua M song song với SA BD a Xác đinh thiết diện giao mặt phẳng () với hình chóp SABO b Cho SA = a Tính diện tích thiết diện theo a x, tìm giá trị x để diện tích lớn Phân tích: Để xác định thiết diện cần tìm, ta phải xác định giao tuyến mặt phẳng () với mặt phẳng (ABO); (SAB); (SBO) Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a; � ASB = 60o , � ASC = 90o , � = 120o Gọi I trung điểm AC , M điểm thay đổi đường thằng BSC AB Gọi a góc tạo SM ( ABC ) Xác định vị trí M để cosa đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Lời giải uur r uur r uur r Đặt SA = a, SB = b, SC = c Ta có: r r r r r a2 r r a2 r r a = b = c = a, a.b = , b.c =, a.c = 2 r uuu r � r r r r u AB =0 � Giả sử u = xa + yb + zc mà �r uuur � u AC = � � suy ra: �xar + ybr + zcr � � �r r r � � xa + yb + zc � � ( ( r r )( b - a ) = � x- y +z =0 � x =0 �� �� � � r r �x + y - z = � �y = z )( c - a) = � r r r Chọn y = � z = suy u = b + c Giả sử uuur uur uur r r SM = k SA +( 1- k ) SB = k a +( 1- k ) b ; r uuur r r r r a2 r � � k a +( - k ) b�b + c = Khi u.SM = � ; u= � � ( ) ( r r b +c ) =a ; uuur r r2 �= k - k +1.a SM = � k a + k b ( ) � � � � Khi uuur r SM u uuur r 1 sin ( SM , ( ABC ) ) = cos SM , u = uuur r = = k - k +1 SM u ( Do cos ( SM ,( ABC ) ) ) nhỏ 55 � 1� � k- � + � � � � � 2� � sin ( SM ,( ABC ) ) lớn � đạt hay uuur uur uur �k= SM = SA + SB � M 2 � sin ( SM , ( ABC ) ) = trung điểm AB Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc ASB = 2j A = 600 ; mặt bên SAB tam giác cân S , góc � � p� ,� Gọi H hình chiếu vng góc C1 lên AA1 Ta có: A1B1 = a A1C1 = A1 H + HC12 = ( 2a - x) + a = 5a - 4ax + x , uuur r uuu r r uuu r r Đặt AA1 = a, AB = b, AC = c , rr rr r r a2 a b = a c = 0, b c = ta có r r r a = a , b = c = a Ta có: uuur uuur uuur uuur ( uuu r uuur +) A1 B1 = AA1 - AB1 = AA1 - AB + BB1 ) r r BB uuur r r r r r =a- bAA1 = a - b - a = a - b AA1 2 uuuu r uuur uuur ( uuu r uuur uuur ) +) AC 1 = AC1 - AA1 = AC + CC1 - AA1 uuu r uuur CC uuur r r x r r �x = AC - AA1 + AA1 = c - a + a = c +� � � � AA1 2a 2a uuur uuuu r � r �x � r r� � � A1 B1 A1C1 = � a - b� c +� � � � � � � � � � 2a � � �x = � � � 2� 2a �r r r �x 1� a - b.c = � � � � � � 2� 2a 1 1 a = 2( 5a - 4ax + x2 ) ( AB 1 r� � � 1� a � �� � � � a 2 x - 5a 1� 4a = a � � � 2 ( ) Khi S A B C = r � 1� a � � � uuur uuuu r A1C12 ) - A1 B1 A1C1 ( ) 2 �2 x - 5a � a a a2 2 2 � � = 15 a 12 ax + x = x a + a � ( ) � � � � � � 4 2 a 2 ��2x - 5a �� a 2 a a = 2( 5a - 4ax + x ) - � ��= 15a - 12ax +4x = ( 2x - 3a) +6a � �� � 4 3a a2 đạt � x = � S A B C = Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cạnh có độ dài a nằm mặt phẳng ( P) 1 Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với  ( P ) , S điểm di động d 61 không trùng với A; K hình chiếu vng góc C lên SB Xác định vị trí S d để tam giác KAB có diện tích lớn (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Nghệ An 2014) Lời giải uur r uuu r r uuu r r Giả sử AS = x > Đặt AS = a ; AB = b ; AC = c   uur uur uuu r r r Ta có BS = AS - AB = a - b   1 ( ) uur uuu r BA2 BK - BA.BK uuu r Lại có: BK = BK = k ( x + a )   ( 5) ; ( Ta có S KAB = ) ( ) uur uuu r ur r r BA.BK = k b b - a = ka  ( 6) ( ) 2 Từ ( 5) , ( 6) � S KAB =   ( k a )( x + a ) - ( ka ) = k ( ax )   ( 7) (Để ý ΔSBC cân S nên k > ) Từ ( 3) , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta a2 ‫�ޣ‬+= kx ka 2 2k ( ax ) k ( ax ) a2 Dấu “=” xảy � kx = ka � x = a   hay AS = a Vậy S KAB   lớn a2   AS = a Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) � = 300 Gọi M điểm SA = 2a; ABC tam giác vuông C với AB = 2a, BAC di động cạnh AC , H hình chiếu vng góc S BM ( ) Đặt AM = x �x �a Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng cách có giá trị nhỏ nhất, lớn Lời giải Ta có AC = AB.cos300 = a 62 uur r uuu r r uuu r r rr rr rr Đặt AS = a, AB = b, AC = c Ta có a.b = a.c = , b.c = 3a ; đồng thời r r r a = b = 2a, c = a uuur uuu r uuur r r Ta có MB = AB - AM = b - kc với uur uuu r uur r r x k = , �k � ; SB = AB - AS = b - a a ( ) Suy uur uuur r r r r rr SB.MB = b - kc b - a = b - kb.c = 4a - 3ka ( )( ) uur uuur SB = 2a; MB = ( r r b - kc ) = a 3k - 6k + Lại có uur uuur uur uuur 1 SB MB - SB.MB 2 S MSB = SB MB - SB.MB = SH MB � SH = 2 MB ( =a ( ) 8( 3k - 6k + 4) - ( - 3k ) =a 3k - 6k + Xét hàm số y = ) 15k - 24k +16 3k - 6k + 15k - 24k +16 � k ( y - 15) - 2k ( y - 12) + y - 16 = ( *) 3k - 6k + Phương trình ( *) có nghiệm � D ' = ( y - 12) - ( y - 15) ( y - 16) �0 � �y �8 Vậy y = � k = max y = � k = 2a x Vậy SH ‫=�=ޣ‬ M A max SH = 2a � x = a Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SA = a; ABCD hình thang vng đường cao AB = a, BC = 2a Biết đường thẳng SC vng góc với BD Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM = x ( �x �a ) Tính độ dài đường cao DE tam giác BDM theo a x Tìm x để DE có giá trị nhỏ nhất, lớn 63 Lời giải uur r uuu r u r uuu r r Đặt AS = x, AB = y , AD = z uur uuu r uur uuu r uuu r uur uuur uuur uuur Ta có SC = AC - AS = AB + BC - AS BD = AD - AB uur uuu r ( uuu r uuu r uur uuu r uuu r )( ) Từ SC ^ BD � SC.BD = � AB + BC - AS AD - AB = uuu r2 AB uuu r uuu r uuu r2 uuu r a � AD.BC - AB = � AD = uuu r = BC uur r uuu r r uuu r r Đặt AS = a, AB = b, AD = c , ta có rr rr rr r r r a a.b = b.c = c.a = 0, a = b = a, c = uuur uur r x a uuur uuur uuu r r r uuur BM = AM AB = k a b � BM = a + k +) Giả sử AM = k AS = k a, với k = � �k �1 Ta có: uuuu r uuur uuu r r uuuu r r +) DM = AM - AD = k a - c � DM = a k + uuur uuuu r r r r r BM DM = k a - b k a - c = k a Lại có ( S DBM a = )( ) uuur uuuu r 1 = BM DM - BM DM = DE.BM � DE = 2 ( ( + k )( 4k 2 +1) - 4k 1+ k ) a + 5k = 1+k + 5k ,0 �k �1 ta có Xét hàm số y = 1+ k �‫ޣ‬-�=�y ( 0) +1 5- k +1 ( 1) +1 64 y uuur uuuu r BM DM - BM DM ( BM ) a Vậy y = � k = max y = � k = hay DE = � x = max DE = a � x = a 4.6 Xây dựng tốn cực trị hình học khơng gian từ quy trình giải tốn phương pháp vectơ Để xây dựng tốn cực trị hình học khơng gian từ quy trình giải tốn phương pháp vectơ ta cần lựa chọn tốn có sẵn “hệ vectơ gốc” làm sở, chẳng hạn ta xét số mơ hình sau: �ar = a, br = b, cr = c r r r � Mơ hình 1: Lựa chọn hệ vectơ gốc a, b, c thỏa mãn � �r r r r r r � � a.b = b.c = c.a = � { } Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy ABCD trùng với trung điểm cạnh AD r r r Mơ hình 2: Lựa chọn hệ vectơ gốc a, b, c thỏa mãn { } r r r � a = a , b = b , c =c � � �r r rr rr � � a b = x ; b c = y ; c a = z � Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) lấy điểm S khác A Kết luận: Trong dạy học giải tập tốn nói chung dạy học giải tập tốn cực trị hình học khơng gian nói riêng, việc xây dựng toán riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự logic có đặt phương pháp quy trình giải tốn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư học toán tạo niềm vui hứng thú học toán 65 PHẦN II KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kêt luận sau: - Trong nhiệm vụ mơn Tốn trường THPT, với truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ giải tập toán cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Để rèn luyện kỹ giải Toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập thích hợp, xếp cách hợp lí từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng Toán học vào thực tiễn - Người giáo viên phải người dẫn kỹ giải toán cho học sinh cách định hướng cụ thể qua lời giải tập toán cho học sinh, qua góp phần tạo niềm tin hứng thú học tập - Đề tài trích dẫn khái niệm kỹ kỹ giải Toán - Đề tài hệ thống kỹ cần phải rèn luyện cho học sinh giải tập tốn dạy học phần Hình học khơng gian chương trình hình học 11 - Đề tài xây dựng dạng tập toán nhằm rèn luyện kỹ cho học sinh dạy học phần Hình học khơng gian chương trình hình học 11 - Chúng tơi thiết nghĩ đề tài áp dụng để giảng dạy phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh từ học sinh trung bình đến em giỏi Có thể vận 66 dụng cho việc dạy khóa ngoại khóa tiết luyện tập, đề tài sử dụng để dạy làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi ĐH - CĐ, tính ứng dụng thực tiễn đề tài Vinh, tháng 02 năm 2020 Tác giả Mai Thị Khánh Xuân MỤC LỤC Trang PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ .1 Lí chọn đề tài 1 Mục đích nhiệm vụ đề tài 2 Đối tượng, phạm vị nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 - Khái niệm 3.3 Rèn luyện kỹ giải số dạng tập Hình khơng gian chương trình hình học 11 THPT PHẦN II NỘI DUNG .5 I Rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình, dựng thiết diện tính diện tích thiết diện .5 Kỹ vẽ hình 1.1 Hình biểu diễn hình vẽ qua phép chiếu song song từ không gian lên mặt phẳng, hình biểu diễn cần thỏa mãn tính chất phép chiếu song song 1.2 Hình biểu diễn .5 Kỹ xác định thiết diện 2.1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng 2.2 Các ví dụ minh họa 67 II Kỹ chứng minh quan hệ đối tượng hình học học 19 2.1 Rèn luyện kỹ chứng minh quan hệ vng góc 19 2.2.1 Rèn luyện kỹ chứng minh hai đường thẳng vng góc 19 2.2.2 Rèn luyện kỹ chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 21 2.2.3 Rèn luyện kỹ chứng minh hai mặt phẳng vng góc 24 III Rèn luyện kỹ tính khoảng cách, tính thể tích .27 3.1 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 27 3.2 Tính thể tích 34 IV Kỹ chuyển đổi giải tốn hình học phương pháp véc tơ 43 3.1 Cơ sở lí thuyết 43 3.2 Bài toán tỉ lệ thức .44 3.3 Bài toán độ dài 48 3.4 Bài tốn góc 51 3.5 Bài toán diện tích .58 3.6 Xây dựng tốn cực trị hình học khơng gian từ quy trình giải tốn phương pháp vectơ 62 PHẦN II KẾT LUẬN .64 68 Rèn luyện kỹ giải tập Hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 thông qua số dạng tập 69 ... luận kỹ giải toán +) Nghiên cứu kỹ giải số dạng tập tốn Hình học khơng gian lớp 11 +) Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện số kỹ giải tốn Hình học khơng gian chương trình hình học 11 THPT cho học sinh, ... giải quết dạng tập nêu II Kỹ chứng minh quan hệ đối tượng hình học học Quan hệ vng góc đối tượng đường thẳng, mặt phẳng nội dung quan trọng hình học khơng gian lớp 11, cần rèn luyện kỹ giải dạng. .. khơng gian, kỹ vẽ hình, kỹ tính tốn có nhiều tập địi hỏi học sinh phải có khiếu tốn giải Cũng mà dạy học địi hỏi GV có khả rèn luyện kỷ giải dạng tập phương pháp giải tương ứng dạng tập toán cho học