Tài liệu Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

Tài liu, lun of 102     SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ VIẾT THUẬT -o0o             SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Mơn: TỐN 818 173 Người thực hiện: Mai Thị Khánh Xuân Năm học 2019 - 2020   khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun of 102 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Đổi  mới  phương  pháp  dạy  học  mơn  tốn  ở  trường  THPT,  dạy  tốn  ở  trường phổ thơng là dạy hoạt động tốn học. Luyện tập cho học sinh giải được  bài  tập  tốn  là  hình  thức  chủ  yếu  của  hoạt  động  toán  học,  giúp  học  sinh  phát  triển tư duy logic, năng lực giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.  Để học sinh giải được bài tập Toán trước tiên phải rèn luyện kỹ năng giải  Toán, giúp  người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng  kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập.  Thực  tiễn  dạy  học  cho  thấy  khi  học  Hình  học  khơng  gian  (HHKG)  rất  nhiều học sinh e ngại nhất là đối với đa số các học sinh nữ và các em có học lực  dưới mức trung bình khá. Nhưng nếu các em được rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ  năng giải các bài tốn hình học khơng gian một cách có hệ thống, giáo viên xây  dựng được một số dạng bài tập tốn nhằm rèn luyện kỹ năng giải  tốn thì học  sinh có khả năng tốt hơn để giải bài tốn trong khơng gian, các em sẽ thấy hứng  thú và u thích mơn học hơn và sẽ dần dần bớt ngại khó khi làm bài tập, góp  phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thơng. Những kỹ năng cơ bản  cần rèn luyện cho học sinh như kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng các định lý,  quy tắc, phương pháp, kỹ năng sử dụng ngơn ngữ tốn học,…hình thành cho các  em một số các kỹ năng và phương pháp giải bài tập, thơng qua việc lựa chọn các  dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh.   Thực tế đã có một số đề tài nghiên cứu rèn luyện kỹ năng giải tốn cho  học  sinh  theo  các  vấn  đề  khác  nhau  của  chương  trình  Tốn  Trung  học  phổ  thơng, nhưng chưa có đề tài nào đề cập đến vấn đề cụ thể về việc tập hợp một  cách có hệ thống các kỹ năng và các dạng bài tập cần thiết rèn luyện cho học  sinh khi dạy học Hình khơng gian lớp 11. Với những lí do như trên tác giả lựa  chọn đề tài:   “Góp  phần  rèn  luyện  kỹ  năng  giải  bài  tập  Hình  học  khơng gian  cho  học sinh lớp 11 thơng qua một số dạng bài tập cơ bản”.  khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun of 102 Mục đích nhiệm vụ đề tài +) Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải tốn.  +) Nghiên cứu kỹ năng giải một số dạng bài tập tốn Hình học khơng gian  lớp 11.  +) Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải tốn Hình học  khơng  gian  chương  trình  hình học  11 THPT cho  học  sinh,  góp phần  nâng  cao  chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng.  Đối tượng, phạm vị nghiên cứu Quá  trình  dạy  học  các  tiết  luyện  tập  và  ơn  tập  chương  trình  Hình  Học  khơng gian cho học sinh lớp 11 .  Phương pháp nghiên cứu 3.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận - Khái niệm + “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm  đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự  vật và giải quyết thành cơng nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”.  + “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở  bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng cịn có thể đặc trưng như tồn bộ  thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”.  +  “Kỹ  năng  là  khả  năng  vận  dụng  những  kiến  thức  thu  nhận  trong  một  lĩnh vực nào đó vào thực tế”.  + “Trong Tốn học kỹ năng là khả năng giải các bài tốn, thực hiện các chứng  minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.  Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến  thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói  đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành  động để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.  3.2. Phương pháp điều tra quan sát  - Dạy Hình học khơng gian trong chương trình Tốn THPT có hai quyển  SGK: SGK Hình học 11 nâng cao và SGK Hình học 11. Ở trường THPT Lê Viết  Thuật: dạy học sinh theo SGK Hình học 11 dành cho học sinh học ban cơ bản .  khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun of 102       Trong chương trình lớp 11, học sinh được học đầy đủ và có hệ thống về  bộ mơn HHKG. Đây là phần nội dung khó, phong phú và đa dạng về loại bài tập  địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy đốn, trí tưởng tượng  khơng gian, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính tốn  có nhiều bài tập địi hỏi học sinh  phải có năng khiếu tốn mới giải  được.  Cũng  chính vì thế mà khi dạy học địi  hỏi  GV  có  khả  năng  rèn  luyện  kỷ  năng  giải  các  dạng  bài  tập  cũng  như  các  phương pháp giải tương ứng từng dạng bài tập tốn cho học sinh.  - Khi dạy và học tốn HHKG nói chung các GV và học sinh thường gặp  một số khó khăn với ngun nhân như là:  +) Học sinh có trí tưởng tượng khơng gian chưa tốt.  +) Do đặc thù mơn học nên việc tiếp thu và sử dụng các kiến thức HHKG  là vấn đề khó đối với học sinh.  +)  Học  sinh  quen  với  HHP  nên  dễ  nhầm lẫn  khi  sử  dụng  các  tính  chất  trong hình học phẳng mà khơng đúng trong HHKG để giải Tốn HHKG.  +) Vẫn cịn một số học sinh chưa xác định đúng động cơ học tập nên chưa  chăm học và chưa chú ý khi học bài và làm bài tập.  +) Vẫn cịn nhiều GV chưa chịu đổi mới phương pháp dạy học, dạy học  cịn mang tính chất đối phó, truyền thụ một chiều.  3.3. Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập cơ Hình khơng gian chương  trình hình học 11 THPT  * Về kiến thức: Vận dụng các kiến thức được học của chương trình.  * Về phương pháp: Gv cần phải tổ chức cho học sinh được học tập trong  hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo.  Chú trọng cho học sinh biết các phương pháp khác nhau, và biết lựa chọn  phương pháp để giải các bài tốn. GV lựa chọn các ưu điểm của các phương pháp  dạy học đàm thoại, phương pháp dạy học vấn đáp, phương pháp dạy học phát hiện  và giải  quyết vấn đề…để hướng dẫn, rèn luyện kỹ năng giải Tốn cho học sinh.           *  Về phát  triển  năng  lực  tư  duy  và  phẩm  chất  trí  tuệ  cho  học  sinh:  Rèn  luyện trí tưởng tượng khơng gian, khả năng chứng minh suy diễn, khả năng lập  luận có căn cứ, tư duy logic chặt chẽ.  khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun of 102 *  Về kỹ  năng:  Đề tài  có ý  tưởng  thơng qua  một số dạng bài  tập  cơ bản  nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cơ bản sau:  - Kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện.  - Kỹ năng chứng minh các quan hệ giữa các đối tượng hình học được học.  - Kỹ năng tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng.  - Kỹ năng chuyển đổi từ hình học tổng hợp sang cơng cụ véc tơ.                                        khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun of 102 PHẦN II NỘI DUNG I Rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình, dựng thiết diện tính diện tích thiết diện Kỹ vẽ hình Để giải được các bài tập Hình học khơng gian, trước hết phải rèn cho học  sinh đọc đề và hiểu được đề bài từ đó vẽ được hình biểu diễn.  1.1. Hình biểu diễn là hình được vẽ qua phép chiếu song song từ khơng gian  lên  mặt phẳng, do vậy hình  biểu  diễn  cần  thỏa mãn các tính chất  của phép  chiếu song song  + Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng  và khơng làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.  +  Biến  đường  thẳng  thành  đường  thẳng,  tia  thành  tia,  đoạn  thẳng  thành  đoạn thẳng.  +  Biến  2  đường  thẳng  song  song  thành  2  đường  thẳng  song  song  hoặc  trùng nhau.  +  Không  làm  thay  đổi  tỷ  số  độ  dài  hai  đoạn  thẳng  cùng  nằm  trên  một  đường thẳng hoạc hai đường thẳng song song.  1.2. Hình biểu diễn  Do những tính chất đã nêu của phép chiếu song song nên hình biểu diễn  được vẽ như sau:  - Hình  tam  giác  => Hình  tam  giác  có dạng  tùy ý (tam  giác  thường,  tam  giác cân, tam giác vng).  -  Hình  bình  hành  =>  Hình  bình  hành  tùy  ý  (Hình  bình  hành  ,  hình  chữ  nhật,  hnh  vng,  hình  thoi).  - Thường dùng e líp để biểu diễn đường trịn.  Do hình biểu diễn của bài tập hình khơng gian  phải thỏa mãn các tính chất đã nêu nên việc vẽ hình  biểu diễn khó  hơn rất nhiều so với hình học phẳng,  khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun of 102 địi hỏi học sinh phải hiểu đề bài và biết cách vẽ hình biểu diễn khi học hình học  khơng  gian.  Người dạy qua  các bài  tập  hướng dẫn  học  sinh  vẽ  hình  biểu diễn  qua  đó  hình  thành  kỹ  năng  vẽ  hình  cho  học  sinh,  thao  tác  đầu  tiên  để  đi  đến  bước tiếp theo hồn thành lời giải của bài tập tốn Hình học khơng gian.  Ví dụ minh họa  Ví dụ Vẽ hình biểu diễn tứ diện ABCD - Bước 1: Vẽ tam giác bất kỳ BCD (một cạnh khuất)  - Bước 2: Lấy điểm A ngồi tam giác BCD  - Bước 3: Nối A với điểm B: B; D.                                          Ví dụ 2: Vẽ hình biểu diễn hình chóp tam giác S.ABC, có đường cao SH Vì hình chóp tam giác đều nên học sinh phải hiểu các tính chất của hình  chóp tam giác đều mới vẽ được hình biểu diễn.  -  Vẽ  đáy  là  tam  giác  ABC  bất  kỳ  có  nét  khuất AB (mặc dầu đáy là tam giác đều).  - Do đường cao SH của hình chóp tam giác  đều có H  trùng  với  tâm  của  tam giác  ABC,  nên  vẽ H là giao của ba đường trung tuyến tam giác  ABC (do tam giác ABC đều).  - Vẽ SH (nhìn như vng góc với AB).  - Nối SA; SB; SC.                                                                    Ví dụ Vẽ hì hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ - Vẽ đáy ABCD là hình bình hành.  - Vẽ hình chữ nhật AA’B’B - Từ các đỉnh C, D kẻ các đoạn thẳng CC’, DD’,  song song và bằng AA’ - Nối A’B’, B’D’, D’B’.  Qua q trình luyện tập ra thêm các bài tập cho học sinh luyện tập từ đó  hình thành kỹ năng vẽ hình, lưu ý học sinh cố gắng vẽ hình biểu diễn phần khuất  càng ít thì hình vẽ cáng trực quan hơn trong q trình sử dụng để tìm lời giải bài  tập tốn.  khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun of 102 Kỹ xác định thiết diện Để xác định được thiết diện giữa một mặt phẳng với một khối đa diện quy  về xác định giao tuyến của đôi một  hai mặt phẳng thiết diện cắt khối đa diện.  2.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng      Để xác định được giáo tuyến của hai mặt phẳng cần phải xác định cho học  sinh cách xác định giao tuyến       -  Hướng  1:  Xác  định  được  2  giao  điểm  -  thường  là  kéo  dài  hai  đường  thẳng trong cùng một mặt phẳng.      - Hướng 2: Xác định một điểm và phương của đường thẳng giao tuyến 2.2. Các ví dụ minh họa       Ví dụ 1. Cho  tam giác ABC nằm trong mp (P)  và  a  là mộtđường thẳng  nằm trong  mp ( P)  và không song song với  AB và  Ac và không cắt các cạnh  của  tam  giá  ABC.  S  là một  điểm  ở  ngoài  mặt phẳng  ( P)    và  A’  là  một điểm  thuộc SA .      Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng mp (A’,a) và tứ diện SABC.  Phân tích: Để xác định thiết diền ta phải xác định giao tuyến cặp mặt phẳng: mp (A’,a) (SAB); mp (A’,a) (SAC) mp (A’,a) (SBC) Lời giải     - Xác định giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB)      Ta có: A’  SA mà                   A’ là điểm chung của ( A’,a) (SAB )        Trong ( P) , ta có  a   khơng song song với AB                      Gọi E = a  AB              => E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB )     => E  ( A’,a)      E là điểm chung của ( A’,a) (SAB )      Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) (SAB )  SA  ( SAB)  A’ ( SAB) A’  ( A’,a)   -  Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)  khóa lun, tài liu of 102             Tài liu, lun of 102     Ta có:  A’  SA mà SA  ( SAC) => A’ ( SAC) A’  ( A’,a)       => A’ là điểm chung của (A’,a) (SAC)        Trong (P), ta có a khơng song song với AC      Gọi F = a  AC      F AC     E  ( A’,a)     => F là điểm chung của ( A’,a) (SAC )     Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) (SAC )     - Xác giao tuyến của (A’,a) và (SBC)      Trong (SAB) , gọi M = SB  A’E        M  SB      mà      SB  ( SBC) => M ( SBC)        M  A’E    mà      A’E  ( A’,a) => M ( A’,a)     => M  là điểm chung của mp ( A’,a) (SBC )       Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F        N  SC     mà      SC  ( SBC) => N ( SBC)        N  A’F   mà     A’F  ( A’,a) => N ( A’,a)       N   là điểm chung của mp ( A’,a) và  (SBC )     Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) (SBC ).    mà AC  (SAC )  F  (SAC )        Ta có thiết diện cần xác định là: A’MN   Ví dụ 2. Cho bốn điểm A,B,C,D  khơng  cùng thuộc một mặt phẳng. Trên    các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm  M, N, P sao cho MN không  song song với BC. Xác định thiết diện giao của mặt phẳng ( MNP) với tứ diện  ABCD.          Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến mp MNP với mặt tứ diện Dể thấy MN, MP giao tuyến (MNP) với (ABC) (ABD) Chỉ cần xác định hai giao tuyến (MNP) với (BCD) (ACD).    khóa lun, tài liu of 102   Tài liu, lun 10 of 102 Lời giải:       - Kéo dài MN cắt BC kéo dài tại E           => E là điểm chung của (BCD) và  (MNP)     ME là giao tuyến của (ABC) và  (MNP) .         - Nối E với P cắt CD tại Q       =>  EQ  là  giao  tuyến  (BCD)  với  (MNP).                                               Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lấy hai điểm  M, N  sao cho  MN khơng song song với CD, gọi  O là điểm bên trong tam giác BCD.      Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng (OMN) với tứ diện ABCD.  Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến mp(OMN) với mặt tứ diện.Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng: (OMN) với (BCD); (OMN) với(ABC) (OMN) với (ABD).  Lời giải:     - Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)      Ta có: O là điểm chung của (OMN) và (BCD)      Trong (ACD), MN khơng song song CD          Gọi  I = MN  CD      => I  là điểm chung của (OMN ) và (BCD)      Vậy : OI    (OMN )  (BCD )      - Tìm giao điểm của BC với (OMN)      Trong (BCD), gọi  P = BC  OI      Vậy : P  = BC   ( OMN)      - Tìm giao điểm của BD với (OMN)      Trong (BCD), gọi  Q = BD  OI      Vậy : Q  = BD   ( OMN )       Nối QN; MP ta có thiết diện là: MNQP.        Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD, các  điểm M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB, SD.       Xác định giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD.  khóa lun, tài liu 10 of 102   Tài liu, lun 54 of 102 thay đổi khác  H  Trên  tia đối của tia  BC lấy điểm  M sao cho  BM  BC Tính  theo  a độ dài của  SH để góc giữa  SC  và   SAD có số đo lớn nhất.   (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Nghệ An 2016)  Lời giải.             Đặt  HS  x , HA  y , HD  z   khi đó  x y  y.z  z x        và  x  x, y  a , z  a        Giả sử  u  m x  n y  p z   mà     mx  n y  pz    u AD          mx  n y  pz  u SA      3 p  n      na  mx        z y 0   yx     3a    3a u  x  y  z  .     suy ra  x2 x2       Lại có  SC  HC  HS   x  y  z   Chọn  n   p  1 và  m           3a  x  y  z x  y  z  6a     x   Khi đó  u.SC    Đồng thời     2   3a  9a  u   x  y  z    12a ; SC   x x     x  y  z  x  7a   Khi đó     u.SC    sin SC , SAD  cos u, SC     u SC    6a 63a 93a   12 a x x Dấu  "  "  xảy ra   khóa lun, tài liu 54 of 102    6a    a  x  7a  x  12a    6a   93a  63a 12a x 2 x 63a  12a x  x  x 53  21 a   93  12 21    Tài liu, lun 55 of 102   60 o , ASC   90 o , Ví dụ 3: Cho hình chóp  S ABC  có  SA  SB  SC  a;   ASB       120o Gọi  I  là trung điểm của  AC , M là điểm thay đổi trên đường thằng  BSC AB Gọi    là góc tạo bởi  SM và   ABC   Xác định vị trí của  M để  cos  đạt giá  trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.  Lời giải.        Đặt  SA  a, SB  b, SC  c  Ta có:     a2      a2   a  b  c  a, a.b  , b.c   , a.c    2         u AB  Giả sử  u  xa  yb  zc    mà         u AC     suy ra:            xa  yb  zcb  a  x  y  z  x            x yz   yz     xa  yb  zc c  a             Chọn  y   z    suy ra  u  b  c    Giả sử       SM  k SA  1 k  SB  k a  1 k b ;            a2  Khi đó  u.SM   k a  1 k b b  c   ;  u      b  c   a ;    2 SM   k a  1  k b   k  k  1.a       Khi  đó    SM u   1 sin SM ,  ABC   cos SM , u      2 k  k 1 SM u  Do   cos  SM , ABC   sin  SM , ABC     nhỏ  nhất     1 k     2  sin SM , ABC    lớn   nhất     1 đạt được   k    hay   SM  SA  SB  M   2 3  là trung điểm  AB   khóa lun, tài liu 55 of 102 54  Tài liu, lun 56 of 102 Ví dụ 4:  Cho  hình  chóp  tứ  giác  S ABCD   có  đáy  là  hình  thoi  cạnh  2a,   góc      A  600 ; mặt bên  SAB  là tam giác cân tại  S ,   góc   ASB  2, 0      và  SH    2 là đường cao của hình chóp với  H  là trung điểm  AB  Tìm giá trị của    sao cho  góc  SC  và   SAD  lớn nhất ?  Lời giải       Đặt  HS  x , HA  y , HD  z , ta có         x y  y.z  z.x  0, x    a ,  y  a, z  a   tan      Giả sử  u  m1 x  n1 y  p1 z   mà     u AD  u    u AS  u      z  y  3 p  n          m  n tan     x  y   1 1       p1  u   SAD     thì   u  3tan  x  y  z   m1  tan  Chọn  n1            Lại có  SC  HC  HS   x  y  z Do đó  u.SC  6 a ;     SC    u  12  tan  a   ;   a tan  Khi đó    u.SC    sin SC , SAD  cos u, SC        u SC 7  12  tan   tan   6      12 12 93  12 21 93   63tan  93  63tan  tan  tan      Dấu  "  "  xảy ra   tan   4 21   Ví dụ 5: Cho hình vng  ABCD  tâm  O , cạnh  a  Trên đường thẳng  d  vng góc  với mặt phẳng   ABCD  tại  O  lấy điểm  S  thay đổi   S  khác  O   Gọi  P  là trung  điểm của  SA  và  E  đối xứng với  D  qua  P  Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm của  khóa lun, tài liu 56 of 102   55  Tài liu, lun 57 of 102 AE  và  BC Tính  độ dài  của  SO  theo  a   sao  cho  góc  giữa  đường  thẳng  SD   và  mặt phẳng  SAN   có số đo lớn nhất.  Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Bà Rịa Vũng Tàu 2017  Lời giải.        Đặt  OA  a, OB  b, OS  c  Khi đó    a     , c  t   a.b  b.c  c.a   và  a  b  Ta có        a2 SD  OD  OS  b  c  SD   t ;         Giả sử   u  xa  yb  zc    mà          u.SA          u AN         xa  yb  zc    xa  yb  zc   a c    b  3a       xa  zc    .    y  3x   y     a2    a4 2   suy ra  u  a  3b  c  u  a    Chọn  x     z  a 2t 4t  2t   Đồng thời ta cũng có  u.SD  2 a   Do đó     u.SD   2a  sin SD, SAN   cos SD, u       a2  u SD   t 5a  a    4t     2a    11 a6 a  5a 2t 8t Dấu  "  "  xảy ra   5a 2t  11  10    10  a6 1 t a   hay  SO  a 8t 40 40   Ví dụ 6:  Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình chữ nhật,  SA  vng góc  với mặt phẳng   ABCD  và  SA  AB  a, AD  b  Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa  khóa lun, tài liu 57 of 102   56  Tài liu, lun 58 of 102 các mặt phẳng   SBD  với các mặt phẳng   SAB ,  SAD  và   ABD  Tìm giá trị lớn  nhất của biểu thức  P  cos   cos   cos    (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Bà Rịa Vũng Tàu 2012)  Lời giải       Đặt  AS  x, AB  y, AD  z  Khi đó           x y  y.z  z x   và  x  y  a, z  b        x   ABD    SA   ABD        Ta có:    BA   SAD    y   SAD 1          DA  SA B     z  SAB        Giả sử  u  m x  n y  p z   mà     mx  n y  pz y  x  n  m u  SB  na  ma                ma  .  u  SD    pb  ma  p   mx  n y  pz z  x     b2        n      suy ra  Chọn  m     p  a  b    a      a u  x  y  z  u   x  y   b b  2 a z   2b  a    b  Khi đó kết hợp với  1 ta có:   u x        a    b +)   u.x   x  y  z  x  a  cos  cos u, x      2    b  2b2  a u x        a +)   u y   x  y   b   u y       b z  y  a  cos  cos u, y     3    2b  a u y    u z        a    a +)   u.z   x  y  z  z  a  cos  cos u, z      4    b  2b  a u z   Từ  2,3, 4  P  cos   cos   cos   Vậy  max P  3,   đạt được   a  b   khóa lun, tài liu 58 of 102   57  a  2b 2b  a  1  2a  2b2  2b  a    Tài liu, lun 59 of 102 4.5 Bài tốn diện tích  Để đại số hóa các cực trị hình học khơng gian liên quan đến diện tích ta sử  dụng tính chất  S ABC    2 AB A C    AB AC     Ví dụ 1: Cho tam giác đều  ABC  cạnh bằng  a  Vẽ hai tia  Ax, By  cùng chiều và  vng góc  với mặt phẳng   ABC   Trên  Ax, By  lần lượt lấy các điểm  A1 , B1  sao  cho   AA1  BB1  3a  Xác định vị trí của các điểm  A1, B1  sao cho tam giác  A1B1C   có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.  Lời giải.        Đặt  AA1  x, AB  b, AC  c   với    a2      x  x, b  c  a; x.b  x.c    và  b.c   Khi đó:       +)   A1C  AC  AA1  c  x  ;         BB     y  B1C  AC  AB1  AC   AB  AA1   c  b  x    AA1 x        b.c  +)  AC B1C  c y  a2 x   xy   x  Suy ra  SA B C 1    B1C  A1C B1C   AC 2     a2   x  a  y  a     xy   2 2 a a 3a   x  xy  y    x  y   xy   3a  xy   4  9a  a a 39a 12  a  (Do     39 a 12 xy    4  3a  x  y  xy  xy  9a  ).    Ví dụ 2: Cho tam giác đều  ABC  cạnh bằng  a  Vẽ ba tia  Ax, By, Cz  cùng chiều và  vng góc  với mặt phẳng   ABC   Trên  Ax, By  lần lượt lấy các điểm  A1 , B1  sao  cho  AA1  2a, BB1  a   Xác  định  vị  trí  của  điểm  C1   trên  Cz   sao  cho  tam  giác  A1B1C1  có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.  khóa lun, tài liu 59 of 102   58  a Tài liu, lun 60 of 102 Lời giải Đặt  CC1  x   Gọi  H  là hình chiếu vng góc của  C1  lên  AA1  .  Ta có:  A1 B1  a   và  A1C1  A1 H  HC12  2a  x  a  5a  4ax  x ,         Đặt  AA1  a, AB  b, AC  c ,     ta có  a.b  a.c  0, b.c    a2      và  a  2a, b  c  a  Ta có:         +) A1B1  AA1  AB1  AA1  AB  BB1      BB        a  b  AA1  a  b  a  a  b   AA1 2       +) A1C1  AC1  AA1  AC  CC1  AA1       CC     x    x  AC  AA1  AA1  c  a  a  c   1 a    2a  AA1 2a            x   A1 B1 A1C1   a  b  c   1 a    2a             1 x 1 x a 2 x  5a      1 a  b.c   1 a   a   a   2a  2  Khi đó  SA B C  1 1 A B   A1C12   A1B1 A1C1    x  5a  a a a 2  25a  4ax  x     15 a  12 ax  x        a a2  ax  x  x  3a  6a a a2   2 x  3a  6a  4  S A B C  1 a2 3a   đạt được   x    Ví dụ 3: Cho tam giác đều  ABC  cạnh có độ dài bằng  a nằm trên mặt phẳng   P   Gọi  d  là đường thẳng đi qua  A và vng góc với    P, S là điểm di động trên  d   khóa lun, tài liu 60 of 102   59  Tài liu, lun 61 of 102 khơng  trùng  với  A; K   là  hình  chiếu  vng  góc  của  C lên  SB Xác  định  vị  trí  S trên  d để tam giác  KAB có diện tích lớn nhất.  (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Nghệ An 2014) Lời giải       Giả sử  AS  x  Đặt   AS  a ; AB  b ; AC  c          Ta có  BS  AS  AB  a  b   1      BA2 BK  BA.BK    Lại có:   BK  BK  k  x  a .  5 ;     Ta có  S KAB          BA.BK  k b b  a  ka  6     2 Từ  5, 6  S KAB    k a  x  a   ka   k.ax.  7    (Để ý là  ΔSBC  cân tại  S  nên  k  )   Từ  3,  áp dụng bất đẳng thức  AM  GM  ta được  a2 a2 2  kx  ka  2k ax  k ax    Dấu “=” xảy ra   kx  ka  x  a   hay  AS  a  Vậy  SKAB   lớn nhất bằng   a2   khi và chỉ khi   AS  a   Ví dụ 4:  Cho  hình  chóp  S ABC   có  SA   vng  góc  với  mặt  phẳng   ABC    và    30  Gọi  M  là điểm  SA  2a; ABC  là tam giác vuông tại  C  với  AB  a, BAC di  động  trên  cạnh  AC , H   là  hình  chiếu  vng  góc  của  S   trên  BM     Đặt    AM  x  x  a  Tính khoảng cách từ  S  đến  BM  theo  a  và  x  Tìm các  giá trị của  x  để khoảng cách này có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.  Lời giải.  Ta có  AC  AB.cos300  a            Đặt  AS  a, AB  b, AC  c   Ta  có  a.b  a.c  ,  b.c  3a ;   đồng  thời     a  b  2a , c  a   khóa lun, tài liu 61 of 102   60  Tài liu, lun 62 of 102      Ta có  MB  AB  AM  b  kc  với  k      x ,  k  ;  SB  AB  AS  b  a   a   Suy ra         SB.MB  b  kc b  a  b  kb.c  4a  3ka        SB  2 a; MB     b  kc   a 3k  k    Lại có  SMSB    SB MB  SB.MB   83k  6k  4  4  3k  a 3k  6k  Xét hàm số   y   SH MB  SH    SB MB  SB.MB  MB    15k  24k  16   a 3k  6k  15k  24k  16  k 3 y 15  2k 3 y 12  y 16  *   3k  6k  Phương trình  *  có nghiệm    '  3 y 12  3 y 154 y 16    y    Vậy  y   k    và  max y   k    Vậy  SH  2a  x   M  A    và   max SH  2a  x  a   Ví dụ 5: Cho hình chóp  S ABCD  có  SA  vng góc với mặt phẳng   ABCD  và  SA  a; ABCD   là  hình  thang  vng  đường  cao  AB  a, BC  2a   Biết  đường  thẳng  SC   vng  góc  với  BD     Gọi  M   là  một  điểm  trên  đoạn  SA,   đặt  AM  x 0  x  a  Tính độ dài đường cao  DE  trong tam giác  BDM  theo  a  và  x  Tìm  x  để  DE có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.  Lời giải       Đặt  AS  x, AB  y, AD  z            Ta có   SC  AC  AS  AB  BC  AS   và  BD  AD  AB     khóa lun, tài liu 62 of 102   61  Tài liu, lun 63 of 102           Từ SC  BD  SC BD   AB  BC  AS AD  AB     AB     a  AD.BC  AB   AD      BC       Đặt  AS  a, AB  b, AD  c , ta có        a a.b  b.c  c.a  0, a  b  a , c   .       x Giả sử  AM  k AS  k a ,  với  k    k   Ta có:    a       +)   BM  AM  AB  k a  b  BM  a  k         +)   DM  AM  AD  k a  c  DM  a k    và         BM DM  k a  b k a  c  k a  Lại có   S DBM      BM DM  BM DM    DE.BM  DE    BM DM  BM DM   BM   a  1  k 4k 2  1  4k 1 k  a  5k  .   1 k  5k Xét hàm số  y  ,0  k    ta có  1 k 5 0   y  5 4  5 1 y    k 1 1  Vậy  y   k      và  max y   k  1    hay    DE  và  max DE  a  x0  a  x  a   4.6 Xây dựng toán cực trị hình học khơng gian từ quy trình giải tốn phương pháp vectơ  Để xây dựng bài tốn cực trị hình học khơng gian từ quy  trình giải tốn  bằng phương pháp vectơ ta cần lựa chọn những bài tốn có sẵn “hệ vectơ gốc”  làm cơ sở, chẳng hạn ta xét một số mơ hình sau:  khóa lun, tài liu 63 of 102   62  Tài liu, lun 64 of 102  a  a, b  b, c  c     Mơ hình 1:  Lựa chọn hệ vectơ gốc a , b, c thỏa mãn           a.b  b.c  c.a    Ví dụ 1: Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh bằng  a,  tam  giác  SAD  đều. Hình chiếu vng góc của  S  xuống mặt phẳng đáy  ABCD  trùng  với trung điểm của cạnh  AD      Mơ hình 2:  Lựa chọn hệ vectơ gốc a , b, c thỏa mãn    a  a, b  b, c  c         a.b  x; b.c  y; c.a  z Ví dụ 2: Cho tam giác đều  ABC  cạnh  a  Trên tia  Ax  vng góc với mặt phẳng   ABC   lấy điểm  S  khác  A   Kết luận: Trong dạy học giải bài tập tốn nói chung và dạy học giải bài tập tốn  cực trị trong hình học khơng gian nói riêng, việc xây dựng các bài tốn riêng lẻ  thành  một  hệ  thống  theo một trình  tự logic  có  sự  sắp đặt  của phương pháp  và  quy trình giải tốn sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng  thời có thể phát triển tư duy học tốn cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú  trong học tốn.  khóa lun, tài liu 64 of 102   63  Tài liu, lun 65 of 102 PHẦN II KẾT LUẬN   Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng  dạy chúng tơi  rút ra một số kêt luận sau:  - Trong các nhiệm vụ của mơn Tốn ở trường THPT, cùng với truyền thụ  tri thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập tốn cho học sinh là một nhiệm vụ quan  trọng của người giáo viên. Để rèn luyện kỹ năng giải Tốn cho học sinh cần đưa  ra  một  hệ  thống  các bài  tập thích hợp,  sắp xếp  một  cách hợp  lí từ dễ đến  khó  nhằm giúp học  sinh củng cố kiến thức,  rèn luyện kỹ năng phát triển tư  duy và  biết áp dụng Tốn học vào thực tiễn.   - Người giáo viên phải là người dẫn kỹ năng giải tốn cho học sinh bằng  cách định hướng cụ thể qua lời giải từng bài tập tốn cho học sinh, qua đó góp  phần tạo niềm tin và hứng thú học tập.  - Đề tài đã trích dẫn các khái niệm về kỹ năng và kỹ năng giải Tốn.  - Đề tài đã hệ thống được một một số kỹ năng cần phải rèn luyện cho học  sinh giải bài tập tốn khi dạy học phần Hình học khơng gian chương trình hình  học 11.  - Đề tài đã xây dựng được một  dạng bài tập tốn nhằm rèn luyện kỹ năng  cho học sinh khi dạy học phần Hình học khơng gian chương trình hình học 11.  -  Chúng  tơi  thiết  nghĩ  đề  tài  có  thể  áp  dụng  để  giảng  dạy  phù  hợp  cho  nhiều đối tượng học sinh từ học sinh trung bình đến các em khá giỏi. Có thể vận  dụng cho cả việc dạy chính khóa và ngoại khóa trong các tiết luyện tập, đề tài  cũng có thể sử dụng để dạy và làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ơn thi ĐH  - CĐ, đó chính là tính ứng dụng thực tiễn của đề tài.   Vinh, tháng 02 năm 2020 Tác giả          Mai Thị Khánh Xuân khóa lun, tài liu 65 of 102   64  Tài liu, lun 66 of 102 MỤC LỤC Trang PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí do chọn đề tài   1  1. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài  . 2  2. Đối tượng, phạm vị nghiên cứu   2  3. Phương pháp nghiên cứu   2  - Khái niệm   2  3.3. Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập cơ Hình khơng gian chương  trình hình học 11 THPT   3  PHẦN II NỘI DUNG I Rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình, dựng thiết diện tính diện tích thiết diện 1. Kỹ năng vẽ hình   5  1.1. Hình biểu diễn là hình được vẽ qua phép chiếu song song từ khơng gian  lên mặt phẳng, do vậy hình biểu diễn cần thỏa mãn các tính chất của phép  chiếu song song   5  1.2. Hình biểu diễn   5  2. Kỹ năng xác định thiết diện  . 7  2.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  . 7  2.2. Các ví dụ minh họa  . 7  II Kỹ chứng minh quan hệ đối tượng hình học học 19 2.1. Rèn luyện kỹ năng chứng minh các quan hệ vng góc  . 19  2.2.1. Rèn luyện kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vng góc   19  2.2.2.  Rèn  luyện  kỹ  năng  chứng  minh  đường  thẳng  vng  góc  với  mặt  phẳng  . 21  2.2.3. Rèn luyện kỹ năng chứng minh hai mặt phẳng vng góc  . 24  III Rèn luyện kỹ tính khoảng cách, tính thể tích 27 3.1. Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng   27  3.2. Tính thể tích   34  khóa lun, tài liu 66 of 102     65  Tài liu, lun 67 of 102 IV Kỹ chuyển đổi giải tốn hình học phương pháp véc tơ 43 3.1. Cơ sở lí thuyết   43  3.2. Bài toán về tỉ lệ thức   44  3.3. Bài toán về độ dài  48  3.4. Bài tốn về góc . 51  3.5. Bài tốn về diện tích  . 58  3.6. Xây dựng bài tốn cực trị hình học khơng gian từ quy trình giải tốn bằng  phương pháp vectơ   62  PHẦN II KẾT LUẬN 64   khóa lun, tài liu 67 of 102     66  Tài liu, lun 68 of 102 Rèn luyện kỹ giải tập Hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 thông qua số dạng tập   khóa lun, tài liu 68 of 102   67  ... sinh? ?khi dạy? ?học? ?Hình? ?khơng? ?gian? ?lớp? ?11.  Với những lí do như trên tác giả lựa  chọn đề? ?tài:    ? ?Góp? ? phần? ? rèn? ? luyện? ? kỹ? ? năng? ? giải? ? bài? ? tập? ? Hình? ? học? ? khơng? ?gian? ? cho? ? học? ?sinh? ?lớp? ?11? ?thơng? ?qua? ?một? ?số? ?dạng? ?bài? ?tập? ?cơ? ?bản? ??. ... em? ?một? ?số? ?các? ?kỹ? ?năng? ?và phương pháp? ?giải? ?bài? ?tập,  thơng? ?qua? ?việc lựa chọn các  dạng? ?bài? ?tập? ?để? ?rèn? ?luyện? ?kỹ? ?năng? ?giải? ?tốn? ?cho? ?học? ?sinh.    Thực tế đã có? ?một? ?số? ?đề? ?tài? ?nghiên cứu? ?rèn? ?luyện? ?kỹ? ?năng? ?giải? ?tốn? ?cho? ? học? ? sinh? ? theo ... dưới mức trung bình khá. Nhưng nếu các em được? ?rèn? ?luyện? ?kỹ? ?năng? ?vẽ? ?hình, ? ?kỹ? ? năng? ?giải? ?các? ?bài? ?tốn? ?hình? ?học? ?khơng? ?gian? ?một? ?cách có hệ thống, giáo viên xây  dựng được? ?một? ?số? ?dạng? ?bài? ?tập? ?tốn nhằm? ?rèn? ?luyện? ?kỹ? ?năng? ?giải? ? tốn thì? ?học? ? sinh? ?có khả? ?năng? ?tốt hơn để? ?giải? ?bài? ?tốn trong khơng? ?gian,  các em sẽ thấy hứng