Đang tải... (xem toàn văn)
Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh M N và P Q vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy.[r]
(1)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
DẠNG 26. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a) Thể tích khối lăng trụ V = B · h với B : diện tích đáy, h: chiều cao
b) Các hệ thức lượng tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Khi
BC2 = AB2+ AC2
AB · AC = AH · BC; AM = 2BC sin’ABC =
AC
BC; cos’ABC = AB
BC; tan’ABC = AC
AB; cot’ABC = AB AC BH · BC = AB2; CH · CB = CA2
1 AH2 =
1 AB2 +
1 AC2
c) Đường chéo hình vng cạnh a có độ dài a√2
d) Đường cao tam giác cạnh a có độ dài a √
3 e) Diện tích tam giác thường
S4ABC =
2· a · =
2· b · hb=
2· c · hc, ha, hb, hc đường cao hạ từ đỉnh A, B, C
S4ABC =
2· b · c · sin A =
2 · a · c · sin B =
2· a · b · sin C S4ABC =pp(p − a)(p − b)(p − c), p = a + b + c
2
S4ABC = p · r, r bán kính đường trịn nội tiếp 4ABC f) Trường hợp đặc biệt
Diện tích tam giác vng S =
2· AB · AC Diện tích tam giác cạnh a S =
2 · AH · BC = a2√3
4 g) Diện tích hình chữ nhật S = a · b
h) Diện tích hình vng S = a2
i) Diện tích hình thoi S =
2 · AC · BD, AC BD hai đường chéo
j) Diện tích hình thang S = (đáy lớn + đáy bé) · h
(2)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
k) Diện tích hình bình hành ABCD S = AH · CD, AH chiều cao
l) Định lí hàm số sin a sin A =
b sin B =
c
sin C = 2R m) Định lí hàm số cơsin
a2= b2+ c2− 2bc · cos A b2= a2+ c2− 2ac · cos B c2 = a2+ b2− 2ab · cos C n) Công thức đường trung tuyến
m2a = b 2+ c2
2 − a2
4 m2b = a
2+ c2
2 −
b2 m2c = a
2+ b2
2 −
c2
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy hình thoi cạnha, BD = a√3 AA0 = 4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ cho
A
B
D
C
A0
B0
C0 D0
A 2√3a3 B 4√3a3 C √
3a3
3 D
4√3a3
(3)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Phân tích hướng dẫn giải
I DẠNG TỐN: Đây dạng tính thể tích khối lăng trụ đứng
II HƯỚNG GIẢI:
1 Nhắc lại cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V = B · h với B : diện tích đáy, h: chiều cao
2 Gọi I = AC ∩ BD Từ đó: Tính BI AC
3 Tính diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = 2S4ABC = ·
2BI · AC Tính thể tích khối lăng trụ: VABCD.A0B0C0D0 = SABCD· AA0
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi I = AC ∩ BD Ta có AC ⊥ BD, BI = BD =
a√3 Xét tam giác vuông BAI vuông I
AI2 = BA2−BI2= a2− Å
a√3
ã2
= a2−3a
4 = a2
4 ⇒ AI = a
2 ⇒ AC = a
Diện tích hình bình hành ABCD
SABCD = 2S4ABC = ·
2BI · AC = ·
a√3 · a =
a2√3 Thể tích khối lăng trụ cần tìm
VABCD.A0B0C0D0 = SABCD· AA0 = a2√3
2 · 4a = √
3a3
A
B
D
C I
A0
B0
C0 D0
Chọn phương án A
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EF GH có đáy hình thoi cạnh a, tam giác ABD tam giác AE = 2a Tính thể tích V khối lăng trụ cho
A V = a 3√3
2 B V =
a3√3
6 C V =
a3√3
3 D V = a
3√3.
(4)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Ta có
SABCD = 2S4ABD = · a 2√3
4 = a2√3
2 Khi
V = AE · SABCD = 2a · a2√3
2 = a 3√3.
H G
F E
D C
B A
Chọn phương án D
Câu Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A0B0C0D0, biết A0C = a√6 A V = 2a3√2 B V = a
3√3
3 C V = 3a
3√2. D V = 2a3√6.
Lời giải
Đường chéo hình lập phương
A0C = AB√3 ⇒ AB = A 0C √
3 = a√6
√ = a
√
Cạnh hình lập phương
AB = a√2 ⇒ V =Äa√2ä3= 2a3√2
D C
B A
D0 C0
B0 A0
Chọn phương án A
Câu Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EF GH có đáy hình bình hành biết AB = a, AD = 4a, góc BAD = 60’ ◦, cạnh AE = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho
A V = 2a3√3 B V = a3√3 C V = a3 D V = 2a3
Lời giải
Ta có
S4ABD =
2AB · AD · sin’BAD =
2a · 4a · sin 60
◦ = a2√3.
Suy
SABCD= 2S4ABD = 2a2 √
3 Khi
V = AE · SABCD = a · 2a2 √
3 = 2a3√3
H G
F E
D C
B A
Chọn phương án A
(5)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 biết mặt đáy hình thoi cạnh2a ’ABC = 60◦ Cạnh bên hình lăng trụ 3a (minh hoạ hình bên) Thể tích V khối lăng trụ
B C
D A
B0 C0
D0 A0
A V = 12a3√3 B V = 6a3 C V = 12a3 D V = 4a3√3
Lời giải
Do ABCD hình thoi ’ABC = 60◦⇒ 4ABC tam giác
SABCD = 2S4ABC = 4a2 √
3 ⇒ VABCD.A0B0C0D0 = AA0· SABCD = 3a · 4a2 √
3 = 12a3√3
Chọn phương án A
Câu
Cho khối lăng trụ đứngABC.A0B0C0cóAB0= a√10, đáyABC tam giác vuông cân A BC = a√2 (minh hoạ hình bên) Thể tích V khối lăng trụ cho
A
B
C A0
B0
C0
A V = 3a
2 B V =
a3
2 C V = 3a
3. D V = a3.
Lời giải
4ABC vuông cân A ⇒ AB = AC = BC√ = a
Xét 4ABB0 vng B, có BB0 =√AB02− AB2= 3a. V = BB0· S4ABC = 3a ·1
2a
2= 3a3 Chọn phương án A
Câu Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37 cm; 13 cm;30 cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích V lăng trụ
A V = 2160 cm3 B V = 360 cm3 C 720 cm3 D V = 1080 cm3
(6)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Nửa chu vi đáy P = 37 + 13 + 30 = 40 Diện tích đáy
S = p40 · (40 − 37) · (40 − 13) · (40 − 30) = 180 cm2
Gọi x độ dài chiều cao lăng trụ
Vì mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nên ta có
Sxq= 13 · x + 37 · x + 30 · x = 480 ⇒ x =
Vậy thể tích lăng trụ V = · 180 = 1080 cm3
A
B
C A0
B0
C0
13
37 30
Chọn phương án D
Câu Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy hình vng, cạnh bên AA0 = 3a đường chéo AC0= 5a (minh hoạ hình bên) Tính thể tích V khối hộp
A B
D0 C0
D
B0 A0
C
A V = 4a3 B V = 24a3 C V = 12a3 D V = 8a3
Lời giải
Xét ∆ACC0 vng C, có AC =√AC02− CC02= 4a. Hình vng ABCD có AC = 4a ⇒ SABCD=
AC2 = 8a
2.
V = AA0· SABCD = 24a3 Chọn phương án B
Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông cân A, BC = 2a, A0B = 3a Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0
A 2a3 B a3√7 C a
3√2
3 D 6a
3.
(7)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Tam giác ABC vuông cân A ⇒ AB = AC = BC√ = a
√ Tam giác A0AB vuông A ⇒ AA0 = √A0B2− AB2 = √
9a2− 2a2 = a√7
⇒ VABC.A0B0C0 = AA0·SABC = a √
7·1
2AB·AC = a√7
2 ·a √
2·a√2 = a3√7
B0
B A0
A
C0
C
Chọn phương án B
Câu Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 √10,√26,√34 Tính thể tích V khối hộp chữ nhật
A B
D0 C0
D
B0 A0
C
A V = B V = 225 C V = 15 D V = 75
Lời giải
Gọi x, y, z với x, y, z > độ dài cạnh hình hộp chữ nhật
Theo đề, ta có hệ phương trình
x2+ y2= 10 x2+ z2= 26 y2+ z2= 34
⇔
x2= y2= z2= 25
⇔
x = y = z = V = x · y · z = 15
Chọn phương án C
Câu 10 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình vng cạnh a√2 Biết góc A0B với mặt phẳng (ABCD) 30◦ Thể tích khối lăng trụ cho
A a 3√6
3 B
2a3√6
3 C
2a3√3
3 D 2a
3√6.
(8)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
A B
D0 C0
D
B0 A0
C 30◦
SABCD= (a √
2)2= 2a2
AA0 ⊥ (ABCD) ⇒ Góc A0B với mặt phẳng (ABCD) ’A0BA = 30◦ Tam giác A0AB vuông A ⇒ A0A = AB · tanABA = a‘
√
2 · tan 30◦ = a √
6 Thể tích khối lăng trụ V = AA0· SABCD =
a√6 · 2a
2 = 2a3 √
6 Chọn phương án B
Câu 11 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy hình thang vng A B, biết AD = 2a, AB = BC = a góc mặt phẳng (A0CD) với mặt đáy 60◦ (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ
B C
C0 B0
A0 D0
A D
A 3a
2 B
√ 6a3
2 C
3√6a3
2 D
3a3 2√6
Lời giải
B C
C0 B0
A0 D0
(9)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Diện tích đáy
S = SABCD =
(AD + BC) · AB
2 =
(2a + a) · a
2 =
3a2 Ta có
AC ⊥ CD, A0C ⊥ CD ⇒ (A0CD), (ABCD)= (A0C, AC) Do đó, chiều cao lăng trụ
h = AA0 = AC · tan 60◦ = a√2 ·√3 = a√6
Thể tích khối lăng trụ: V = S · h = 3a
2 · a √
6 = √
6a3 Chọn phương án C
Câu 12 Cho khối lăng trụ đứngABCD.A0B0C0D0 có đáy hình bình hành với AB = a, BC = a√7 góc ’BAC = 60◦, AA0= 2a Thể tích khối lăng trụ cho
B
A
C
D A0
B0
C0
D0
A √
3 a
3. B 3√3a3. C
√ 3 a
3. D
√ 3 a
3.
Lời giải
Gọi AC = x (x > 0) Xét tam giác ABC có
BC2 = AB2+ AC2− · AB · AC · cosBAC’ ⇔ 7a2= a2+ x2− ax ⇔ x2− ax − 6a2 = ⇔
ñ
x = 3a
x = −2a(loại) Suy
SABCD = · S4ABC = ·
2AB · AC · sin A = a · 3a · sin 60 ◦ =
√ 3a2 Do
VABCD.A0B0C0D0 = AA0· SABCD = 2a ·
3√3a2 =
√ 3a3
(10)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Câu 13 Cho khối lăng trụ đứngABCD.A0B0C0D0 có đáy hình chữ nhật với AB = a, AA0 =√3a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A0BD) =
√ 13a
13 Thể tích khối lăng trụ cho
B
A
C
D A0
B0
C0
D0
A 3√3a3 B a
3 C
√ 3 a
3. D 2√3a3.
Lời giải
B
A
C
D A0
B0
C0
D0
I H
Kẻ AI ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (A0AI)
Trong (A0AI) kẻ AH ⊥ A0I ⇒ AH ⊥ (A0BD) ⇒ d (A, (A0BD)) = AH = a √
13 13 Xét ∆ABD có
AI2 = AB2 +
1 AD2 Xét ∆A0AI có
AH2 = AA02 +
1 AI2 Suy
1 AH2 =
1 AA02 +
1 AB2 +
1 AD2 ⇔
1 AD2 =
1 AH2 −
1 AA02 −
1 AB2 Hay
1 AD2 =
1 Å
3√13 13 a
ã2 − (a√3)2 −
1 a2 =
1
9a2 ⇒ AD = 3a
Suy SABCD = AB · AD = a · 3a = 3a2 Vậy thể tích cần tính V = AA0· SABCD = a
√
(11)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Chọn phương án A
Câu 14 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng tạiA, AC = a,’ACB = 60◦ Đường chéo BC0 mặt bên (BCC0B0) tạo với mặt phẳng (ACC0A0) góc 30◦ Tính thể tích khối lăng trụ theo a
A a3√3 B a3√6 C a 3√3
3 D
a3√6
Lời giải
A C
B A0
B0
C0
Đường chéo BC0 mặt bên (BCC0B0) tạo với mặt phẳng (ACC0A0) mt gúc bng 30 Nờn (BCÔ0, (ACC0A0)) =(BC0, AC0) =BC’0A = 30◦
Ta có
B0C0 = AC
cos 60◦ = 2a; AB = p
BC2− AC2 = a√3; C0B = AB : sin 30◦= 2a√3 ⇒ BB0 = 2a√2.
Vậy
V = BB0· SABC = 2a √
2 ·1 2a
√
3 · a = a3√6
Chọn phương án B
Câu 15 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 cóAB = a, góc hai mặt phẳng (ABC0) (ABC) 60◦ Tính thể tích khối lăng trụ cho
A √
3 a
3. B
√ a
3. C
√ a
3. D
√ a
3.
(12)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
A C
B A0
B0
C0
H
Gọi H trung điểm AB Ta có
CH = a √
3
2 v ((ABCÔ
0), (ABC)) =(HC0, HC) =
CHC0 = 60◦.
Xét tam giác CHC0 vuông C ta có
tan 60◦= CC
CH ⇒ CC
0 = CH · tan 60◦ = a √
3 ·
√
3 = 3a Vậy
V = CC0· SABC = 3a
2 · a2√3
4 =
3a3√3 Chọn phương án C
Câu 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = a, đường thẳng AB0 tạo với mặt phẳng (BCC0B0) góc 30◦ Tính thể tích V khối lăng trụ cho
A V = a 3√6
4 B V =
a3√6
12 C V =
3a3
4 D V =
a3
Lời giải
A C
B A0
B0
C0
M
(13)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Vậy góc đường thẳng AB0 mặt phẳng (BCC0B0) góc ÷AB0M ÷AB0M = 30◦ Ta có
AM = a √
3
2 ⇒ AB
0 = a√3 ⇒ AA0 =p
AB02− A0B02= a√2.
Vậy V = a 3√6
4 Chọn phương án A
Câu 17 Một hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a, góc nhọn 60◦ đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp Thể tích khối hộp
A a3 B √3a3 C
√ 3a3
2 D
√ 6a3
Lời giải
60◦
A0 A
B0
D0
C0 D
B C
Ta có AC = BD0 = a√3; BB0 =√BD02− BD2 = a√2. Vậy thể tích khối hộp đứng
V = B · h = 2a · a
√
3 · a√2 = a 3√6
2 Chọn phương án D
Câu 18 Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm, AB = 40cm Ta gập nhôm theo hai cạnh M N P Q vào phía AB DC trùng hình vẽ bên để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể tích lớn
60cm
x cm x cm N
M Q
P
A ≡ D B ≡ C
B M Q C
(14)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
A 4000√3cm3. B 2000√3cm3. C 400√3cm3. D 4000√2cm3.
Lời giải
Đáy lăng trụ tam giác cân có cạnh bên x, cạnh đáy 60 − 2x Đường cao tam giác AH =
…
x2−60 − 2x
2
=√60x − 900, với H trung điểm N P Diện tích đáy
S = SAN P =
2AH · N P = √
60x − 900 · (30 − x) = 30
p
(60x − 900)(900 − 30x)(900 − 30x) Suy
S ≤ 30
… 900
3 3
= 100√3cm2
Diện tích đáy lớn 100√3cm2 nên thể tích lớn V = 40 · 100√3 = 4000√3cm3 Chọn phương án A
Câu 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác cạnha AB0 vng góc với BC0 Thể tích lăng trụ cho
A a 3√6
12 B
a3√6
4 C
a3√6
8 D
a3√6 24
Lời giải
A C
B A0
B0
C0
I H
Gọi I trung điểm BC Vì ABC.A0B0C0 lăng trụ tam giác nên AI ⊥ (BB0C0C) ⇒ AI ⊥ BC0
Lại có giả thiết AB0⊥ BC0 nên suy BC0⊥ (AIB0) ⇒ BC0⊥ B0I Gọi H = B0I ∩ BC0
Ta có 4BHI đồng dạng 4C0HB0 ⇒ HI B0H =
BI B0C0 =
1 ⇒ B
0H = 2HI ⇒ B0I = 3HI. Xét tam giác vng B0BI có
BI2 = HI · B0I = 3HI2 ⇒ HI = …
BI2 =
… a2 12 =
a√3 Suy
BB0=pB0I2− BI2 = s
Å a√3
2 ã2
−a
2 = a
(15)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Vậy
V = S4ABC · BB0 = a2 √
3 ·
a√2 =
a3√6 Chọn phương án C
Câu 20 Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0 Biết khoảng cách từ điểmC đến mặt phẳng (ABC0) bằnga, góc hai mặt phẳng (ABC0)và (BCC0B0)bằng αvới cos α =
3 (tham khảo hình đây) Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0
A C
B A0
B0
C0
A 9a 3√15
20 B
3a3√15
20 C
9a3√15
10 D
3a3√15 10
Lời giải
A C
B A0
B0
C0
M G
H
N
Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC Ta có
®
CC0 ⊥ AB
CM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (CC
0M ) ⇒ (CC0M ) ⊥ (ABC0).
Mà (CC0M ) ∩ (ABC0) = C0M nên gọi H hình chiếu vng góc C C0M H hình chiếu C mặt phẳng (ABC0) ⇒ d (C; (ABC0)) = CH = a
(16)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Ta có ®
GN ⊥ (ABC0)
AG ⊥ (BCC0B0) nên góc hai mặt phẳng (ABC
0) và (BCC0B0) là góc ’ AGN = α
GN = 3CH =
a
3; AG = GN
cos α = a ⇒ AB = AG √
3 = a√3;
CC02 = CH2 −
1 CM2 =
5
9a2 ⇒ CC = 3a
√
5 ; S4ABC = (a √
3)2· √
3 =
3a2√3 Vậy thể tích khối lăng trụ V = CC0· S4ABC = 9a
(17)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
BẢNG ĐÁP ÁN
1 D A A A A D B B C 10 B
h Geogebra Pro