Phân tích các hướng giải cho một bài toánphương trình vô tỷ - ưu và nhược điểm

PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Chúng ta tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có nhiều phương pháp tiếp cận xử lý Tuy nhiên đứng trước tốn phương trình vơ tỷ làm để tiếp cận đưa lời giải cho câu hỏi lớn cịng bỏ ngỏ Với mục đích mở hướng đi, suy nghĩ cần có trước phương trình vơ tỷ chủ đề chúng tơi xin đưa số phân tích suy luận để giải thích lại giải tốn Trong chủ xin giới thiệu số nội dung • Phân tích suy luận đứng trước phương trình vơ tỷ • Lựa chọn phương án hợp lý để tìm lời giải tối ưu • Những hướng tiếp cận khác – khó khăn hướng khắc phục Ví dụ Giải phương trình x2 + 6x − = 4x 2x − Phân tích lời giải Trước phương trình vơ tỷ, cho dù chọn phương pháp mục đích cuối làm cho phương trình thức cách đơn giản đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều giải phương trình vơ tỷ cần cố gắng nhẩm nghiệm để phán đốn hướng cách đắn Khơng q khó khăn ta nhân thấy phương trình xét có nghiệm x = Phương trình chứa dấu thức bậc hai nên loại bỏ thức bậc hai phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ,… • Hướng Trước hết ta có điều kiện xác định phương trình x  ( ) Phương trình cho tương đương với x + 30x + 12x − 36x + = 16x ( 2x − 1)  x + 20x + 46x − 36x + = Nhận xét x x2 + 6x −  0, x   x ( x − 1) − 18x ( x − 1) + ( x − 1) = ( )   x − 18x + ( x − 1) =  x  − 2;1; + 2    Kết hợp với điều kiện đinh ta thu tập nghiệm S = − 2;1; + 273 2x − ta biến đổi phương trình • Hướng Phương trình có chứa thức thực đặt ẩn phụ Để ý phương trình cho tương đương với x2 − 4x 2x − + ( 2x − 1) = Khi ta thực phép đặt 2x − = y ( y  ) Lúc phương trình thu x2 − 4xy + 3y2 = , phương trình đồng bậc ý đến hệ số ta phân tích x − 4xy + 3y =  x ( x − y ) − 3y ( x − y ) =  ( x − y )( x − 3y ) = + Trường hợp Với   x  x  x − y =  x − 2x −     x =1 x − =  ( ) x − 2x + =   x   x =96 + Trường hợp Với x − 3y =  x = 2x −   x − 18x + =   Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm S = − 2;1; + • Hướng Do phương trình nhẩm nghiệm đẹp x = , ta nghĩ đến phương pháp nhân lương liên hợp để làm xuất nhân tử chung x − ( ) 4x x − − = 3x − 6x +   ( x − 1) ( 4x ( x − 1) x + 2x − x = −1 − x =    x = − = ( x − 1) ) x   x  − 2; + Đối chiếu điều kiện ta Ta có x = −   x − 18x + = thu ba nghiệm   • Hướng Phương trình cho có đại lượng 4x 2x − nên ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng A = B2 A2 + B2 = Với định hướng ta viết phương trình cho vè dạng sau + Khi viết phương trình dạng A = B2 ta thấy có khả sau ( ) Với x2 + 6x − = 4x 2x −  5x2 + 8x − = 2x − 2x − , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương ( ) Với x2 + 6x − = 4x 2x −  2x2 + 16x − = x + 2x − , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương 274 ( Với x2 + 6x − = 4x 2x −  x − 2x − 2x − = ( ) ) = 2x − , dễ thấy 2x − Như ta giải tốn Khả biến đổi viết phương trình dạng A2 + B2 = khơng thực nên ta trình bày lời giải cho phương trình sau Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( x2 − 4x 2x − + ( 2x − 1) = 2x −  x − 2x − ) =( 2x − )  x = 2x −   x = 2x − x   x  − 2; + + Với x = 2x −   x − 18x + = x   x   + Với x = 2x −     x=1 x − =  ( ) x − 2x + =   Đối chiếu với điều kiện x  , kết luận tập nghiệm S = − 2;1; +     Nhận xét Qua ví dụ ta nhận thấy đứng trước phương trình vơ tỷ lối giải tốn đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào trình phân tích gỡ rối cho hiệu Trong lời giải lời giải có điểm thú vị Do phương trình có nghiệm kép x = nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa cách giải gọn gàng ( ) Ví dụ Giải phương trình x − + 4x = 4x 4x − Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ đầu nên ta có hướng tiếp cận lời giải cho phương trình sau Nhẩm số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp x = x = • Hướng Phương trình cho có chứa thức bậc hai biểu thức có dạng tam thức bậc hai Do thực phep nâng lên lũy thừa phương trình thu có bậc Chú ý phương trình có hai nghiệm x = x = nên phân tích phương trình thành tích phương trình có chứa nhân tử ( x − 1)( x − ) nhân tử lại tam thức bậc hai nên ta giải 275 Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với 9x + 24x − 2x − 24x + = 16x ( 4x − )  9x − 40x + 46x − 24x + = x =  ( x − 1)( x − ) 9x − 4x + =   x = ( ) Phương trình 9x2 − 4x + = vô nghiệm   Kết hợp điều kiện xác định ta thu tập nghiệm S = 1; 3 • Hướng Hồn tồn tương tự ví dụ thứ nhất, phương trình chứa 4x − nên ta thực phép đặt 4x − = y ( y  ) để đưa phương trình dạng đồng bạc hai, Phương trình cho tương đương với 3x + 4x − = 4x 4x − Đặt 4x − = y ( y  ) , ta thu phương trình x = y 3x2 − 4xy + y =  ( x − y )( 3x − y ) =    3x = y Ta xét hai trường hợp sau x   x  1; 3 + Trường hợp Với x = y  x = 4x −   x − 4x + = x  + Trường hợp Với 3x = y  3x = 4x −   , hệ vô nghiệm 9x − 4x + = So sánh điều kiện xác định ta thu tập nghiệm S = 1; 3 • Hướng Để ý phương trình ta thấy có đại lượng 4x 4x − lại có 3x2 = 4x2 − x2 nên ta viết phương trình lại thành ( 4x2 − 4x 4x − + 4x − = x2  2x − 4x − ) = x Đến ta có lời giải cho phương trình Phương trình cho tương đương với 3x − 4x − = 4x 4x −  4x − 4x 4x − + 4x − = x (  2x − 4x − 276 )  x = 4x − = x2    3x = 4x − x   x  1; 3 + Với x = 4x −   x − 4x + = x  + Với 3x = 4x −   , hệ vô nghiệm 9x − 4x + = So sánh điều kiện thu tập nghiệm S = 1; 3 • Hướng Phương trình có hai nghiệm x = x = nên ta sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử x2 − 4x + Lại có (x − )( ) 4x − x + 4x − = x2 − 4x + Đến ta giải phương trình phương pháp nhân lương liên hợp Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) 4x x − 4x − = x − 4x +  (  x − 4x + )( ) ( 4x x − 4x + x + 4x − ) =x − 4x + 4x − − 3x = + Với x − 4x + =  x  1; 3 x  + Với 3x = 4x −   , hệ vô nghiệm 9x − 4x + = Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm S = 1; 3 Nhận xét Trong ví dụ thứ hai ta lại thấy nhiều hướng tìm lời giải cho tốn Các hướng phân tích có tính hợp lý dựa liên hệ đại lượng cho phương trình lời giải có tính tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 3x2 + 2x + = ( x + 1) x + Phân tích lời giải Phương trình có chứa thức bậc hai nên suy nghĩ đâu tiên tiếp cận phương trình làm triệt tiêu thức bậc hai Chú ý đại lượng nhị thức bậc tam thức bậc hai nên để làm triệt tiêu thức bậc hai ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phép đặt ẩn phụ Nhẩm số giá trị ta nhận x = nghiệm phương trình Do với phương trình ta có số hướng tiếp cận sau 277 • Hướng Nhận thấy đại lượng có ngồi có bậc nhât bậc hai, đại lượng đa thức bậc hai Ngoài để ý đến hệ số cao đại lượng ta thấy nên sử dụng pháp nâng lên lũy thừa phương trình thu phương trình bậc ba Mà phương trình lại có nghiệm x = nên phương trình bậc ba giải Đến ta giải tốn Điều kiện xác định phương trình x  −1 ( ) ( ) Để ý 3x + 2x + = ( x + 1) + x +  với x  −1 , phương trình cho tương đương với ( 3x + 2x + ) = ( x + 1) x + 2  9x + 12x + 46x + 28x + 49 = 9x + 18x + 36x + 54x + 27 ( )  6x − 10x + 26x − 22 =  ( x − 1) 6x − 4x + 22 = Dễ thấy phương trình 6x2 − 4x + 22 = vơ nghiệm Do từ phương trình ta x = nghiệm phương trình • Hướng Chú ý đến đại lượng ( x + 1) x + , để làm triệt têu thức ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Khi phương trình viết lại thành ( x + 1) ( ) − ( x + 1) x + + x + = thực đặt ẩn phụ a = x + 1; b = x2 + ta viết phương trình dạng phương trình đẳng cấp bậc hai Điều kiện xác định phương trình x  −1 Phương trình cho tương đương với ( x + 1) ( ) − ( x + 1) x + + x + = Đặt a = x + 1; b = x2 +  Khi phương trình trở thành a = b a − 3ab + 2b2 =  ( a − b )( a − 2b ) =   a = 2b Ta xét hai trường hợp  x  −1 x +  + Với a = b ta x + = x2 +     x =  2 2x = x + = x + ( )    278   x +  x  −1 + Với a = 2b ta x + = x +   , hệ   2 3x − 2x + 11 = x + = 4x + 12  ( )    vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình • Hướng Lại để ý đến đại lượng ( x + 1) x + ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng hiệu hai bình phương Phương trình cho tương đương với 12x + 8x + 28 = 12 ( x + 1) x + ( ) ( )  x + 2x + − 12 ( x + 1) x + + x + = x + (  2x + − x + ) =( x2 + )  2x + − x + = x + x + = x +    2x + − x + = − x +  x + = x +  x  −1 x +  + Với a = b ta x + = x2 +     x =  2 2x = x + = x + ( )    + Với a = 2b ta hệ vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình • Hướng Chú ý phương trình có nghiệm x = nên ta nghĩ đến phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo nhân tử chung x − Phươg trình cho tương đương với ( ) ( x + 1) − ( x + 1) x + = 4x −  ( x + 1) x + − x + = ( x − 1)  )( ( ( x + 1) x + − x + x + + x + x + + x2 + ) = ( x − 1) x − =   = ( x − 1)   ( x + 1) =4 x + + x2 +  x +1+ x + ( x + 1)( x − 1) + Khi x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định 279 + Khi ( x + 1) x +  =  x + = x2 +   , hệ vô nghiệm 3x − 2x + 11 = x + + x2 + Vậy phương trình cho có nghiệm x = • Nhận xét Về mặt hình thức phương trình cho ví dụ ba hồn tồn tương tự ví dụ nên hướng tiếp cận phương trình hồn tồn tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 7x + + = x2 + x + x Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ ta có hướng tiếp cận phương trình sử dụng phép nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thành tích,… • Hướng Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với 7x + x + = 7x x + x +  x + x + − 7x x + x + + 6x = Đặt t = x + x +  , phương trình trở thành t = x t − 7xt + 6x2 =  ( t − x )( t − 6x ) =    t = 6x x  x   + Với t = x ta x + x + = x   , hệ vô nghiệm x + x + = x x + = + Với t = 6x hay x  + 281 x + x + = 6x   x= 70 x + x + = 36x Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 281 70 • Hướng Phương trình cho tương đương với 7x + x + = 7x x + x +  28x + 4x + = 28x x + x + ( ) (  x + x + − 28x x + x + + 49x = 25x  x + x + − 7x  x + x + − 7x = 5x  x + x + = 6x     x + x + − 7x = −5x  x2 + x + = x   x  x   + Với x + x + = x   , hệ vô nghiệm x + = x + x + = x  280 ) = ( 5x ) 2 + Với x  x  + 281 x + x + = 6x    x= 2 70 x + x + = 36x 35x − x − = + 281 70 • Hướng Dễ thấy 7x2 + x +  với x  Khi phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x = tương đương với (7x +x+2 ) ( = 7x x + x + )  49x + 14x + 29x + 4x + = 49x (x + x + ) ( 2 )  35x + 69x − 4x − =  ( x + ) 35x − x − = Do x  nên từ phương trình ta 35x2 − x − =  x = Kết hợp với điều kiện xác định ta x =  281 70 + 281 nghiệm 70 phương trình • Hướng Phương trình cho tương đương với 7x + x+2 x+2 = x2 + x +  = x + x + − 7x x x x+2  = x ( x2 + x + − x )( x2 + x + + x x2 + x + + x )  ( x + )  − x  =0 x2 + x + + x  Do x  nên từ phương trình ta x  + 281 − =  x + x + = 6x   x= x 70 35x − x − = x2 + x + + x Kết hợp với điều kiện xác định ta x = + 281 nghiệm 70 phương trình Ví dụ Giải phương trình x2 − 3x + = x3 − 6x2 + 11x − Phân tích lời giải Phương trình chứa dấu để ý x − 6x + 11x − = ( x − 1)( x − )( x − ) Cũng từ phân tích ta có điều kiện xác định x   x  , ta viết thức bậc hai thành x3 − 6x2 + 11x − = x − 11 ( x − )( x − ) Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta 281 phân tích x − 3x + = ( x − )( x − ) + ( x − 1) Đến ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình • Hướng Điều kiện xác định phương trình x  ( x − 1)( x − )( x − 3)   1  x   Phương trình cho tương đương với x2 − 5x + + ( x − 1) = x − x2 − 5x + Đặt a = x2 − 5x + 6; b = x − ( a  0; b  ) Khi phương trình trở thành a = b a + 2b2 = 2ab  ( a − b )( a − 2b ) =   a = 2b x2 − 5x + = x −  x2 − 6x + =  x =  + Với a = b ta + Với a = 2b ta x2 − 5x + = x −  x2 − 9x + 10 =  x =  41 Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm  + 41   − 41  S= ; − 2; + 2;      • Hướng Điều kiện xác định phương trình x  ( x − 1)( x − )( x − 3)   1  x   Nhận thấy x = nghiệm phương trình với điều kiện xác định x −  Phương trình cho tương đương với x − 5x + + ( x − 1) = x − x − 5x +  Đặt t = x − 5x + x −1 ( a  ) Khi ta có t x − 5x + x − 5x + +2 =3 x −1 x −1 t = + = 3t  ( t − 1)( t − ) =   t = • Với t = ta x2 − 5x + = x −  x2 − 6x + =  x =  • Với t = ta x2 − 5x + = x −  x2 − 9x + 10 =  x = Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm  + 41   − 41  S= ; − 2; + 2;      Ví dụ Giải phương trình x + + 2x + = 3x2 + 8x + Phân tích lời giải 282  41 ... phương trình vơ tỷ lối giải tốn đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào trình phân tích gỡ rối cho hiệu Trong lời giải lời giải có điểm thú vị Do phương trình. .. thừa cách giải gọn gàng ( ) Ví dụ Giải phương trình x − + 4x = 4x 4x − Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ đầu nên ta có hướng tiếp cận lời giải cho phương trình. .. đưa phương trình dạng hệ phương trình gần đối xứng dạng Khi dó phương trình giải cách nhẹ nhàng Ví dụ 12 Giải phương trình ( x + 1)( x + 3) = 5x + 11 Phân tích lời giải Phương trình cho có hình