HSG 6 CD 7 HÌNH học điểm đoạn thẳng đường thẳng

Chuyên đề 7: HÌNH HỌC (điểm - đoạn thẳng – đường thẳng) Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 11) a Vẽ tam giác A B C biết B C  c m ; A B  c m ; A C  c m b Lấy điểm O tam giác A B C nói trên.Vẽ tia A O cắt BC H, tia A C I ,tia C O cắt A B K Trong hình có có tam giác Lời giải a Vẽ đoạn thẳng B C  c m Vẽ cung tròn  B ; c m  BO cắt Vẽ cung tròn  C ; c m  Lấy giao điểm A hai cung Vẽ đoạn thẳng A B , A C ta tam giác A B C Câu b Có tam giác “đơn” A O K ; A O I ; B O K ; B O H ; C O H ; v C O I Có tam giác “Ghép đôi” A O B ; B O C ; C O A Có tam giác “Ghép ba” A B H ; B C I ; C A K ; A B I ; B C K ; C A H Có tam giác “Ghép 6” tam giác A B C Vậy hình có tất 6+3+1+6 = 16(Tam giác) (ĐỀ HSG SỐ D - 12) Trên tia O x xác định điểm A B ch O A  a  c m  , O B  b  c m  a) Tính độ dài đoạn thẳng A B , biết b < a b) Xác định điểm M tia Ox cho OM  a  b  Lời giải a) Vì A Do đó: OB  OA  b  a  nên tia Ox điểm B nằm điểm O điểm OB  OA  OA Từ suy ra: AB  a  b b)Vì M nằm tia Ox OM = (a  b)  = OB + OA  OB  OB  a  b  2b  a  b  b  a b  AB  M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AM = BM Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 15) Trên tia Ox cho điểm A , B , C , ; O A  5cm ; O D  cm ; B C đoạn B D ; A C Lời giải biết A nằm B C ; B nằm C D  c m độ dài A C gấp đơi độ dài B D Tìm độ dài D Trang Vì A nằm BA  AC B C nên  BC  BA  AC  (1) Lập luận  B nằm A D Theo gt O D  O A  D nằm O A Mà O D  D A  O A   D A   D A  Ta có D B  B A  D A  D B  B A  (2) 1  –   A C – D B  ( ) Theo ĐỀ HSG Ta có 2BD – BD  AC Câu : AC   BD  2BD  AC AC  AB  BC  AC  BC Câu 3   cm (ĐỀ HSG SỐ D - 14) a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b.Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng Lời giải a.Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối tia BA Hai tia BA, BC hai tia đối  B nằm A C  12 cm *TH : C thuộc tia BA C nằm A B (Vì Câu  B D th a y v o cm  AB AC BA  BC )  AB  BC  cm b - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm -Do giao điểm tính hai lần nên số giao điểm : 10100 : = 5050 giao điểm (ĐỀ HSG SỐ D - 20) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B A1 ; A ; A ; ; A 0 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A ; A1 ; A ; A ; ; A 0 ; B Tính số tam giác tạo thành Lời giải Trên đoạn thẳng AB có điểm A ; A1 ; A ; A ; ; A 0 ; B đó, tổng số điểm A B 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng trsên AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý MA kết hợp với MA1 để tam giác MA1 kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 4022030 : = 2011015 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA = cm ; OB = cm Trên tia BA lấy điểm C Trang cho BC = cm So sánh AB với AC Lời giải O A C x B Hai điểm A B tia Ox mà AB  OB – OA  AB  –  Hai điểm Avà C tia BA mà Suy Vậy Câu   cm  BA  BC AC  BC – BA  –  AB  AC    nên điểm A năm O B suy OA  OB    nên điểm A năm hai điểm B C  cm  1  (Đề số 85 Trƣờng THCS Xuân Dƣơng – Thanh Oai 2013-2014) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M,N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ? Lời giải o m a a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai đ O B b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB, nên :  OM  OA ; ON  b n  OA< OB OB Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N Câu (Đề số 89 Trƣờng THCS Lập Lễ 2013-2014) Cho trước điểm Vẽ đường thẳng qua cặp điểm a) Nếu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng ? b) Nếu điểm có điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng ? 2.Cho trước n điểm ( n  N ; n  ) Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm tất 28 đoạn thẳng Tìm n Lời giải 1.a) Chọn số điểm cho nối điểm với điểm cịn lại ta đường thẳng Làm với tất điểm ta 5.6 đường thẳng.Nhưng đường thẳng tính lần( Vì đường thẳng AB với đường thẳng BA ) có thẳng) b Nếu khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 15 Trang  15 (đường Nếu điểm khơng thẳng hàng qua ba điểm vẽ đường thẳng Nếu điểm thẳng hàng qua ba điểm vẽ đường thẳng Do số đường thẳng giảm 3-1=2 Vậy tất có 15-2=13 (đường thẳng) 2) Chọn số n điểm cho nối với n-1 điểm lại ta n-1 đoạn thẳng Làm với tất n điểm ta n.(n-1 ) đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần Do có n ( n  1) (đoạn thẳng) Vì tất có 28 đoạn thẳng nên ta có n ( n  1)  28  n ( n  1)   n  Câu Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ điểm N nằm M B Cho biết MN = a (cm); NB = b (cm) a) Tính AB Giải: a) AB = 2MB = 2(MN + NB) = 2( a + b) Câu 10 Cho đoạn thẳng AB = 7cm Điểm C nằn Avà B cho AC = 2cm Các điểm D,E theo thứ tự trung điểm AC CB Gọi I trung điểm DE tính DE CI Giải: A D C E B + Ta có: AC + CB = AB ( C nằm AB) nên CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + Vì D E nằm A,B nên AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vì D trung điểm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vì E trung điểm BC) Vậy DE = - - 2,5 = 3,5 (cm) + Vì I trung điểm DE Nên DI = 1/2 DE = 1/2 3,5 = 1,75(cm) Suy AI = AD + DI = + 1,75 = 2,75 + Ta thấy AD < AC < AI nên (nằm D I) nên DC + CI = DI Trang Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - = 0,75 (cm) Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm Câu 11 (Đề thi HSG 6) Cho 100 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng có tất đường thẳng Lời giải Chọn điểm Qua điểm điểm 99 điểm lại, ta vẽ 99 đường thẳng Làm với 100 điểm ta 99.100 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần, tất có 99.100 : = 4950 đường thẳng Câu 12 (Đề thi HSG 6) Cho 25 điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng? Nếu thay 25 điểm n điểm số đường thẳng Lời giải Có 24  25  300 đường thẳng Với n điểm có n ( n  1) Câu 13 đường thẳng (Đề thi HSG 6) Cho n điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n? Lời giải n  n  1 Số đường thẳng vẽ qua n điểm:  105  n (n – 1) = 210 = = 10 14  n (n – 1) = 35 = 15 14 Vì n n – số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14 Câu 14 (Đề thi HSG 6) Cho đoạn thẳng A B  cm Trên tia lấy điểm A B cho K B  cm a Hãy chứng tỏ b Tính IK I nằm A AB K lấy điểm I cho Lời giải a) Trên tia BA điểm K ta có K B  cm nằm A A B  cm , B Trang nên A B  cm A I  4cm m Trên tia BA  AK  KB  AB 2cm 4cm A I K A I  A K (4  5) ) nên điểm B  AK    A K  5cm Trên tia có điểm nằm A (Đề thi HSG 6) Cho điểm M N nằm phía A , nằm phía A B Biết A B  c m ; A M  c m ; B N  1c m Chứng tỏ rằng: B Điểm AB b) Do điểm I I K A nằm Nên IA  IK  A K Hay  IK  mà K I K  IK  Câu 15 a Bốn điểm b Điểm N A , , B c Vẽ đường trịn tâm N qua , tính chu vi  C A N B MB đường tròng tâm A , qua N , chúng cắt C Lời giải C A A ,B , M , M N b B M  A B  A M  2cm M ,N  tia AB mà Đường tròn tâm A N BM  BN ( > 1) qua B nên , qua N B thẳng hàng chúng nằm đường thẳng  M N  B M  B N  1c m  B N  N c Đường tròn tâm nằm , N thẳng hàng M trung điểm đoạn thẳng a Bốn điểm M N  N năm trung điểm CN  BN  nên B BM M = cm  A C  A N  A M  N M  4cm Trang MN  C A N  A C  C N  N A     9cm Chu vi Câu 16 (Đề thi HSG 6) Cho đoạn thẳng A B Hãy xác định vị trí điểm C đoạn thẳng AB cho CA  CB Lời giải A Gọi trung điểm M C AB  AM  M B M B M  AB Xét trừơng hợp a) C  M b) C nằm M Từ (1) & (2) c) C AM  M B  CA  CB ta có A nằm Câu 17 B MB  CB nên (2) B  CB  MB  CB  MA M nằm C A nên M A  AC CA  CB C  AB ta ln có (Đề thi HSG 6) Vẽ đoạn thẳng A B a Chứng tỏ điểm Lấy điểm  5cm C nằm b.Tính độ dài đoạn thẳng (4) CD B C D , D nằm A C nằm A B nên : B D C A C  C B  A B  5cm  AC  CB  AC  BD  CB  BD b) nên C nằm BD  BC  CD A C  B D  6cm nên A C  B C  C D  6cm  (BC  AC )  CD   C D    1cm Vậy CD cho : A C  B D  6cm A C  B D  6cm Và A a) ( 3)  CA  CB Từ (3) (4) Tóm lại C (1)  CA  CB nằm M  CA  MA  CA  MB M = cm Trang B D B Câu 18 (Đề 17) Ngƣời ta trồng thành hàng, hàng có vị trí Lời giải Câu 19 (Đề 19)Gọi A cm ; O B Trên tia lấy điểm BA B hai điểm tia C cho BC Ox cho cm OA So sánh AB Hãy vẽ sơ đồ với AC cm Lời giải O A C Hai điểm A B tia Ox nằm O B suy AB tia BA 6–4 AB Hai điểm Vậy A C Câu 20 B BC – BA AC AB mà OA OB nên điểm A OB – OA cm nằm hai điểm Suy x B AC mà BA BC nên điểm A C 3–2 cm (Đề thi HSG 6) Trên tia Ox lấy điểm A, B, C, D cho OA=1cm, OB = cm, AC= cm, 6cm a, Chứng minh điểm C nằm điểm A B b, Tính độ dài đoạn thẳng CD Câu 21 BD= (Đề thi HSG 6) a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b Hai đoạn thẳng AB CD không nằm đường thẳng Chúng có điểm chung? Vì sao? Lời giải: a Xét hai trường hợp 4cm 8cm A B Trường hợp 1: Hai tia BA, BC hai tia đối  B nằm A C  AC = AB + BC = 12 cm Trang C A C B Trường hợp 2: C thuộc tia BA C nằm A B (vì BA > BC)  AC + BC = AB  AC = AB - BC = cm b Hai đoạn thẳng AB CD có nhiều điểm chung, có điểm chung A, B, C, D thuộc đường thẳng, trái với giả thiết Cho 100 điểm có điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng? Giải Chia 100 điểm thành tập hợp A gồm điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm lại Số đường thẳng tập hợp A Số đường thẳng tập hợp B 9  4656 Số đường thẳng qua điểm thuộc tập hợp A điểm thuộc tập hợp B  Vậy số đường thẳng qua 100 điểm có điểm thẳng hàng là:  6   (đường thẳng) Câu 22 HSG HUYỆN 2013 – 2014 Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D Biết A nằm B C; B nằm C D; OA = 7cm; OD = 3cm; BC = 8cm AC =3BD a) Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Giải O x D B A3x C x a) Đặt B D  x  c m   A C  x  c m  Vì D nằm O A (Do OD < OA) nên: O D  D A  O A D A   D B  B A  hay x  B A  Vì A nằm B C nên: Từ (1) (2) ta có:  x B A  A C  B C h ay x  B A   BA   x   x  x   A C   b) Theo (1) ta có: 2 BA     cm  x  B A  mà x   B A  Mà Câu 23 1  BD  x   BD  BA    HSG 2013 – 2014 Cho đoạn thẳng AB trung điểm M Trang B trung điểm đoạn thẳng AD a) Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CM  CA  CB b) Chứng tỏ C điểm nằm M B CM  CA  CB Giải a) Ta có CA  MA  CM CB  MB  CM Trừ b) CA  CM C A  C B  2C M Do MA  MB   CM  CA  CB  MA CB  CM  CM  Cộng – MB CA  CB C A  C B  2C M Do MA  MB  Câu 24 HSG 2013 – 2014 Trên tia Ox lấy hai điểm M N, cho OM = 3cm ON = 7cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P tia Ox, cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng OP c) Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN Giải a) Do M, N thuộc tia Ox mà OM  ON nên M nằm hai điểm O N  O M  M N  O N   M N   M N    (cm ) Vậy MN   cm  b) TH1: Nếu P nằm M N M nằm O P  O P  O M  M P  O P     cm  TH2: Nếu P nằm O M c) M nằm O P suy  OM  OP  PM   O P  O P   cm   O P   c m   O N   c m  nên P nằm O N O P  P N  O N  P N  P N   cm  Do đó: M P  PN , mà P nằm M N nên P trung điểm MN Trang 10 Do M trung điểm AB, C điểm thuộc tia đối tia BA nên M nằm A C (1) Ta có: C A  M A  M C (2) Ta có B nằm M C nên C B  C M  M B Từ (1) (2) ta có: C A  C B  M A  M C  C M  M B  C A  C B  2C M ( D o M A  M B )  M C  CA  CB b) O B M A C Theo câu a điểm M nằm A C nên ta có: M O C  AO C  AO M  120  60 0  60 Ta thấy điểm B nằm M C BOC  MOC nên O B tia phân giác MOC Câu 157 (Đề thi HSG 6, huyện ANH SƠN 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB Điểm C thuộc tia đối tia BA M trung điểm đoạn thẳng AB a Chứng tỏ rằng: CM  CA  CB b Gọi O điểm nằm đường thẳng A B Biết A O C  0 , B O C  0 , A O M  Hỏi OB có phải tia phân giác M O C khơng ? Vì ? Lời giải a A M B C Do M trung điểm AB, C điểm thuộc tia đối tia BA nên M nằm A C (1) Ta có: C A  M A  M C (2) Ta có B nằm M C nên C B  C M  M B Từ (1) (2) ta có: C A  C B  M A  M C  C M  M B  C A  C B  2C M ( D o M A  M B )  M C  CA  CB b Trang 76 O C B M A Theo câu a điểm M nằm A C nên ta có: M O C  AO C  AO M  120  60 0  60 Ta thấy điểm B nằm M C BOC  MOC nên O B tia phân giác M O C Câu 158 (Đề thi HSGH 6, 2018-2019) Cho đoạn thẳng A B Điểm O thuộc tia đối tia A B Gọi M , N theo thứ tự trung điểm O A , O B c) Trong điểm O , M , N điểm nằm hai điểm cịn lại ? Vì ? d) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O Lời giải M O AN B a) O thuộc tia đối tia AB  O nằm hai điểm A B  OM  OA ;ON  OB OA  OB  OM  ON  M b) Từ a) OA  OB nằm hai diểm O N MO  MN  ON  MN  ON  OM  MN  OB  OA  AB Độ dài đoạn thẳng AB cố định nên MN cố định không phụ thuộc vào O Câu 159 Cho 2006 đƣờng thẳng đƣờng thẳng cắt Khơng có đƣờng thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng Lời giải Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng cịn lại tạo nên2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng nên có: 0 0 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là:  0 0  :  1 (giao điểm) Câu 160 Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ tự từ A đến B A1 , A , A , ., A 0 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A1 , A , A , ., A 0 ; B Tính số tam giác tạo thành Lời giải Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A1 , A , A , ., A 0 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Trang 77 Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng cịn lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 0 0  2 tam giác(nhưng lưu ý MA kết hợp với M A1 để tam giác M A1 kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 2 :  1 Câu 161 Trên tia O x , xác định điểm A B cho O A  a ( c m ), O B  b ( c m ) a) Tính độ dài đoạn thẳng A B , biết b  a b) Xác định điểm M tia O x cho OM  a  b Lời giải B A O a) Vì OB  OA b  a  Do đó: x nên tia O x điểm B nằm hai điểm O A OB  BA  OA  AB  a  b b) Vì M nằm tia O x, O M  OM  a  b  ab  a  b 2b  a  b a b  b  OB  OA  OB  OB  AB  M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho A M  M B Câu 162 Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đƣờng thẳng Biết có tất 105 đƣờng thẳng Lời giải Số đường thẳng vẽ qua n n n điểm 105 n n 210 n 15 Câu 163 Cho đoạn thẳng AB dài 7cm Trên tia AB lấy điểm I cho BA lấy điểm K cho B K 2cm a) Hãy chứng tỏ I nằm A K; AI 4cm Trên tia b) Tính IK Lời giải A a) Trên tia BA ta có Suy A K K B Trên tia AB BK AB 2cm ; B A AK có điểm I K mà b) Do I nằm A K nên AI AI K I cm AK AK IK Trang 78 BK AK B BA điểm K nằm A B 5cm nên điểm I nằm A, K IK IK 1cm Câu 164 Cho hai điểm M N nằm phía A, nằm phía B Điểm M nằm A B Biết A B 5c m , A M 3c m , B N 1c m Chứng tỏ rằng: a) Bốn điểm A , B , M , N thẳng hàng b) Điểm N trung điểm đoạn thẳng MB c) Vẽ đường tròn tâm N qua B đường tròn tâm A qua N, chúng cắt C Tính chu vi C A N Lời giải a) Bốn điểm A , B , M , N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN b) B M AB AM M ,N tia A B mà B M B N (2 1) N nằm B M MN BM BN 1cm BN trung điểm N c) Đường tròn tâm N qua B nên C N NB Đường tròn tâm A qua N nên A C AN Chu vi C A N : A C C N NA 4 BM 1cm AM MN 9cm Câu 165 Trên tia O x , xác định điểm A B cho O A a) Tính độ dài đoạn thẳng b) Xác định điểm M AB, biết b a cm a (c m ) , O B b (c m ) tia O x cho O M a b Lời giải x O a) Vì O B OA b Do đó: O B BA nên tia O x điểm B nằm hai điểm O A a OA AB b) Vì M nằm tia O x , O M OM a b B A a b 2 2b a a b b a b b a b OB OA OB OB AB điểm thuộc đoạn thẳng AB cho A M MB Câu 4: Trên đoạn thẳng A B lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ tự từ A đến B A1 , A , A , ., A 0 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng A B ta nối M với điểm M A , A1 , A , A , ., A 0 , B ; Tính số tam giác tạo thành Trang 79 Lời giải Trên đoạn thẳng AB có điểm A , A1 , A , A , ., A 0 , B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ M A ) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng A B để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 0 0 2 tam giác (nhưng lưu ý M A kết hợp với M A để tam giác M A kết hợp với M A tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 4022030 : 2011015 Câu 166 Cho 2006 đƣờng thẳng đƣờng thẳng cắt Khơng có đƣờng thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng Lời giải Mỗi đường thẳng cắt 0 đường thẳng lại tạo nên 0 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng nên có: 0 0 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là: 0 0 : 2 1 giao điểm Câu 167 (Đề 242) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm Trên tia AB lấy điểm I cho A I  c m Trên tia B A lấy điểm K cho B K  c m a) Hãy chứng tỏ I nằm A K b) Tính IK Giải A I K B a) Trên tia BA, ta có: B K  c m , B A  c m nên B K  B A  K nằm A B  A K  K B  A B hay A K    c m Trên tia AB có điểm I , K mà A I  A K  c m  c m  nên điểm I nằm A K b) Do I nằm A K nên A I  I K  A K h a y  I K   I K    1( c m ) Câu 168 (Đề 243) Cho hai điểm M N nằm phía A, nằm phía B Điểm M nằm A B Biết A B  c m , A M  c m , B N  c m Chứng tỏ rằng: a) Bốn điểm A , B , M , N thẳng hàng b) Điểm N trung điểm đoạn thẳng MB c) Vẽ đường tròn tâm N qua B đường tròn tâm A qua N, chúng cắt C Tính chu vi  C A N Trang 80 Giải a) Bốn điểm A , B , M , N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN b) B M  A B  A M M , N  tia A B mà B M  B N (  1)  N M N  B M  B N  1c m  B N  N nằm B M trung điểm B M c) Đường tròn tâm N qua B nên C N  N B  1c m Đường tròn tâm A qua N nên A C  A N  A M  M N  c m Chu vi  C A N : A C  C N  N A     c m Câu 169 (Đề 244) Cho đoạn thẳng A B  c m Hãy xác định vị trí điểm C đoạn thẳng AB cho C A  C B Giải Chọn - A C B M Gọi M trung điểm AB suy M A  M B M  A B Xét ba trường hợp: a ) C  M ta có: M A  M B  C A  C B b) C nằm A M nên M nằm C B nên MB  CB Từ (1) (2)  C A  C B a) C nằm M B  C B M nằm A C nên CA  MA  CA  MB (1) (2)  M B  C B  M A (3) M A  C A(4) Từ (3) (4) ta có C A  C B Tóm lại C  M A  C A  C B Câu 170 (Đề 244) Vẽ đoạn thẳng A B  c m Lấy hai điểm C, D nằm A B cho: A C  B D  6cm c) Chứng tỏ điểm C nằm B D d) Tính độ dài đoạn thẳng C D Giải a) C nằm A B nên: A C  C B  A B  c m A C  B D   A C  C B  A C  B D  C B  B D  C nằm D B b) B D  B C  C D Vì A C  B D   A C  B C  C D    B C  A C   C D   CD   AB    Vậy C D  1c m Trang 81 Câu 171 (Đề 245) Cho tam giác A B C có B C  , c m Điểm M thuộc tia đối tia CB cho C M  3cm a) Tính độ dài B M b) Biết B A M  0 , B A C  0 Tính C A M c) Tính độ dài BK thuộc đoạn B M biết C K  1c m Giải a) C nằm B M  B C  C M  B M  B M   ,  , b) C nằm B M nên AC tia nằm tia AB, AM  BAC  CAM  BAM  C AM  BAM  BAC  80  60  20 0 c) Xét trường hợp: +Nếu K nằm C M ta tính được: B K  B C  C K  5,   6, 5(cm ) +Nếu K nằm C B  B K  , c m Câu 172 (Đề 246) Cho điểm A , B , C thẳng hàng A B  B C  A C Điêmr nằm hai điểm lại ? Tại ? Giải HSTL Câu 173 (Đề 247) Cho điểm A , B , C , D , E khơng có ba điểm thẳng hàng - Có đoạn thẳng mà đoạn thẳng nối điểm cho Kể tên đoạn thẳng - Có thể dựng đường thẳng không qua điểm điểm cho mà cắt đoạn thẳng đoạn thẳng nói khơng ? Vì sao? Giải HSTL Câu 174 (Đề 248 ) Trên tia A x , lấy điểm B , C , D cho A B  c m , A C  c m , A D  c m Chứng minh điểm D nằm hai điểm C B Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M cho C M  c m Chứng minh điểm C nằm hai điểm A M Trang 82 Giải HSTL Câu 175 (Đề 249) Trên tia Ox, cho điểm A , B , C phân biệt.Chứng mnh rằng: a) Nếu O A  O B  O C điểm B nằm O C b) Nếu O A  A B  B C  O C điểm B nằm A C Giải HSTL Câu 176 (Đề thi HSG THCS HOẰNG PHỤ 2019-2020) Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm a) Biết số giao điểm đường thẳng 1 Tính n b) Số giao điểm đường thẳng 2017 khơng? Vì Lời giải a) Với n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy Số giao điểm xác định sau: Chọn đường thẳng, đường thẳng cắt n  đường thẳng lại tạo n  giao điểm, làm với n đường thẳng ta n  n   giao điểm Nhưng giao điểm tính lần, nên số giao điểm n  n  1 : giao điểm Khi số giao điểm 1128 ta có: n  n  1 :  1  n  b) Giả sử số giao điểm 2017, áp dụng kết câu a) ta có: n  n  1 :  Lý luận điều vô lý, nên số giao điểm 2017 Câu 177 (Đề thi HSG 2019-2020) Trên tia O x , vẽ hai điểm A B cho a) Trong điểm O , A, B điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì ? b) Tính độ dài đoạn thẳng c) Điểm A O A  2cm , O B  4cm AB có phải trung điểm đoạn thẳng d) Trên tia đối tia BA lấy điểm đoạn thẳng OD D OB cho B D khơng? Vì ?  2BA Chứng tỏ B trung điểm Lời giải O a) Ta có A B O A  c m , O B  c m Vì cm  cm  O A  O B Trang 83 D x nên A nằm O B b) Vì A nằm c) Vì O OA  AB  OB d) Ta có: B nên O A  A B  O B   A B   A B    (cm ) O A  A B  cm nên A trung điểm OB B D  B A  2  c m  B D  B O  c m (1) Vì O D nằm hai tia đối gốc B nên B nằm O D  O B  B D  O D (2) Từ (1) (2) suy B trung điểm OD Câu 178 (Đề thi HSG huyện BÌNH THUẬN 2018-2019) Vẽ đoạn thẳng A B  c m Lấy hai điểm C D nằm A B cho A C  B D  cm a) Chứng tỏ D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD Lời giải A D C a) Vì D nằm A B nên: Lại có AD  DB  AB B hay A C  D B  cm  A D  D B  A C  D B A D  D B  cm hay A D  A C (1) Mà D C nằm A B hay D, C thuộc tia AB (2) Từ (1) (2) suy D nằm A C b) Vì D nằm A C suy ra: Nên AD  DC  AC mà AC  BD  A D  D C  B D   ( A D  D B )  D C    D C   D C  3c m Câu 179 (Đề thi chọn HSG khối năm học 2018-2019) a) Trên tia Ox lấy điểm A B cho O A  c m , A B  c m Tính OB b) Cho 20 điểm có điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ tất đường thẳng Lời giải a) TH1: Điểm A nằm O O Tính A B x O B  cm TH2: Điểm O B B nằm O A B A Tính O B  cm b) Qua 20 điểm không thẳng hàng, ta vẽ   : Trang 84 x  190 đường thẳng Qua điểm không thẳng hàng vẽ   :  đường thẳng Cho 20 điểm có điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng Vậy vẽ tất số đường thẳng    đường thẳng Câu 180 (Đề thi HSG toán cấp trƣờng 2018-2019) Cho đoạn thẳng A B  c m Hãy xác định vị trí điểm C đoạn thẳng AB cho CA  CB Lời giải C A - Gọi M trung điểm AB suy B M MA  MB M  AB Xét ba trường hợp: a )C  M ta có: MA  MB  CA  CB C A  M A  C A  M B (1) b) C nằm A M nên MB  CB M nằm C B nên Từ (1) (2)  CA  CB c) C nằm M nằm A M B  CB  MB  CB  MA C nên Từ (3) (4) ta có Tóm lại (2) (3 ) M A  C A(4) CA  CB C  MA  CA  CB Câu 181 (Đề thi HSG toán cấp trƣờng 2018-2019) Vẽ đoạn thẳng A B  c m Lấy hai điểm C, D nằm a) Chứng tỏ điểm C nằm b) Tính độ dài đoạn thẳng B A B cho: D CD Lời giải A a) C nằm A B D C nên: A C  C B  A B  cm  AC  CB  AC  BD  CB  BD  C b) BD  BC  CD Vì AC  BD   AC  BC  CD    CD   AB    Vậy AC  BD  nằm D B  BC C D  1cm Trang 85 B  AC   CD  A C  B D  cm Câu 182 (Đề thi HSG huyện TAM DƢƠNG 2018-2019) Trên mặt phẳng cho n đường thẳng có hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Biết tổng số giao điểm mà n đường thẳng tạo thành Tìm n Lời giải Có n dường thẳng đường thẳng cắt nhau, khơng có đường thẳng đồng quy, nên đường thẳng cắt n  đường thẳng lại tạo n  giao điểm phân biệt Do n đường thẳng có Vậy thực tế có n  n  1 n  n   giao điểm giao điểm tính lần giao điểm Theo ta có: n  n  1  465  n  n     3  n  Câu 183 (Đề thi chọn HSG cấp trƣờng 2018-2019) Cho 20 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a biết số đường thẳng tạo thành đường thẳng Lời giải Giả sử 20 điểm khơng có điểm thẳng hàng Gọi 20 điểm A1 , A , A , , A Vì qua điểm ta vẽ đường thẳng nên Qua điểm A điểm 19 điểm lại A , A , ., A ta vẽ 19 đường thẳng Qua điểm A2 điểm 18 điểm lại A , A , ., A ta vẽ 18 đường thẳng ……………………………………………… Qua điểm A điểm A20 ta vẽ đường thẳng Do số đường thẳng tạo thành là:      (đường thẳng) điểm khơng có điểm thẳng hàng ta có số đường thẳng tạo thành a. a  1     a    Với 1  190 a Với a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng Vậy 20 điểm mà có a điểm thẳng hàng số đường thẳng giảm là: a  1 a :   190  170 a   a :   a  a      a  Trang 86 Câu 184 (Đề thi HSG HUYỆN 2018-2019) Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng, qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết số đường thẳng tạo thành đường thẳng Lời giải Giả sử 30 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng: Chọn điểm 30 điểm cho Qua điểm điểm 29 điểm lại ta vẽ 29 đường thẳng Làm với 30 điểm ta vẽ tất đường thẳng Nhưng đường thẳng tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ   :  đường thẳng Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ 435 đường thẳng Tương tự trên, giả sử a  a   : đường thẳng a điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng nên số đường thẳng bi giảm a  a   :  đường thẳng Theo ta có: a  a  1 :      a  a     Vì a  a hai số tự nhiên liên tiếp a 1  a  a  Câu 185 (Đề thi HSG HUYỆN LÂM THAO 2019-2020) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối tia AB, Gọi M, N thứ tự trung điểm O A, O B a) Chứng tỏ OA  OB b) Trong ba điểm O,M ,N điểm nằm hai điểm lại c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Lời giải a) Lập luận chứng tỏ b) Lập luận chứng tỏ MN  AB Vì OA  OB OM  ON nên M nằm hai điểm O N AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi Câu 186 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tƣờng 2019-2020) Cho đoạn thẳng A B có độ dài c m Gọi điểm C trung điểm A B , gọi D điểm thuộc đoạn A B s a o c h o A D  c m Gọi E trung điểm B D Gọi F trung điểm A D Tính độ dài đoạn thẳng B C E F ? Trang 87 Hướng dẫn giải Tính độ dài C D F A E B A C  B C  5cm B D  cm , D E  B E  cm , A F  D F  3cm  E F  5cm Câu 187 (Đề thi HSG huyện số 286 năm học 2018-2019) Trên tia Ox lấy hai điểm M, N cho O M  c m , O N  c m Tính độ dài đoạn thẳng MN Lấy điểm P tia O x cho M P  cm Tính OP Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN 2) Cho 2014 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Có tam giác mà đỉnh 2014 đỉnh 1) a) b) c) Hướng dẫn giải O P M P N x 1) a) Do M, N thuộc tia Ox mà OM  O N nên M nằm hai điểm O, N  OM  MN  ON   M N   M N  4cm b) Th1: P nằm M N M nằm O P  O P  O M  M P  O P    5cm Th2: Nếu P nằm O N O M  O P  P M   O P   O P  1cm c) M nằm O P nên O P  O N (5 c m  c m ) nên P nằm O N  O P  P N  O N   P N   P N  (cm ) Do M P  PN , mà P nằm M N nên P trung điểm MN 2) Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có  n   cách chọn, đỉnh C có (n – ) cách chọn Như có n  n    n   tam giác tam giác tính lần nên số tam giác là: n  n  1  n   Câu 188 (Đề thi HSG huyện số 287 năm học 2018-2019) Trên tia Ox cho điểm A , B , C , D Biết A nằm B C; B nằm C D; O A  cm , O D  3cm , B C  8cm , A C  3B D a) Tính độ dài AC Trang 88 b) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Hướng dẫn giải 3x x a) Đặt C A B D O x B D  x (cm )  A C  3x (cm ) Vì D nằm O A (do OD Qua 2013 điểm có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ 2025 078 -77 =2025001( đường thẳng) b Có đoạn. .. cặp điểm tất 28 đoạn thẳng Tìm n Lời giải 1.a) Chọn số điểm cho nối điểm với điểm lại ta đường thẳng Làm với tất điểm ta 5 .6 đường thẳng. Nhưng đường thẳng tính lần( Vì đường thẳng AB với đường thẳng. .. kẻ đường thẳng Tính số đường thẳng kẻ Lời giải Giả sử 2018 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Từ điểm ta nối với 20 17 điểm lại ta 20 17 đường thẳng Làm với 2018 điểm ta  đường thẳng Vì đường thẳng