HSG 6 CD 8 HÌNH học góc

Chun đề 8: HÌNH HỌC (góc) Câu Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 13) a, Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì b, Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ Lời giải a,Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc 5.6 = 15 Nhưng góc tính lần có tất góc n −1 b, Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n( ) (góc) (ĐỀ HSG SỐ D - 16) · · · xOy = 100° zOy = 35° xOz a.Cho Vẽ tia Oz cho góc Tính trường hợp b Diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB cách khác Lời giải a, Có cách vẽ tia OZ (có hình vẽ) · xOz = 650 1350 b, Có thể diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB cách khác  MA = MB AB ⇔ ⇔ MA = MB =  MA + MB = AB M trung điểm AB (ĐỀ HSG SỐ D - 18) ABC BC = 5cm CM  = cm Cho tam giác Điểm M thuộc tia đối tia CB cho a Tình độ dài BM · · · BAM = 80° BAC = 60° CAM b Cho biết , Tính góc · · Ax, Ay BAC CAM c Vẽ tia tia phân giác góc Tính ·xAy góc BM CK = cm BK d Lấy K thuộc đoạn thẳng Tính độ dài A Lời giải CB CM M  B a , thuộc tia đối  B ⇒ C M nằm M B ⇒ BM = BC + CM = ( cm )   K y C x M  B ⇒ b.C nằm , Tia AC nằm tia AB, AM Trang · · ⇒   ·CAM = BAM −  BAC = 20° c Có 1· ·  =  1 BAC ·  ·xAy =  x· AC  +CAy +   CAM 2 1· ·   (  ·BAC +  CAM ) =   BAM = 80 = 40° 2 = K∈   CM ⇒ d + Nếu C nằm B K1 ⇒ BK1 = BC + CK1 = (cm) K∈   CB ⇒ + Nếu K2 nằm B C BK   = BC = CK 2  = ( cm )   ⇒ Câu Gọi M trung điểm đoạn thẳng Vẽ điểm N nằm M B Cho biết MN = a (cm); NB = b (cm) O A M B AB a) Tính AB ∠ ∠ ∠ b) Lấy điểm O nằm đường thẳng AB Giả sử AOB = 1000 ; AOM = 600; MON = 200 Hỏi tia ON có phảI tia phân giác góc MOB khơng ? Vì Giải: a) AB = 2MB = 2(MN + NB) = 2( a + b) b) Ta có: ∠ ∠ AOB = = ⇒∠ NOB = ∠ ∠ AOM + AOM + AOB – ( ∠ ∠ ∠ MOB MON + AOM + ∠ ∠ NOB MON) = 1000 – ( 600 + 200) = 200 Vậy tia ON tia phân giác góc MOB Vì: Tia ON nằm hai tia OM, OB Và Câu ∠ NOB = · xOy ∠ MON = 200 · yOz Cho hai góc kề bù thoả mãn a) Tính số đo góc xOy yOz b) Kẻ tia Ot cho · tOy = 800 · xOy = 5· yOz Tia Oy có tia phân giác ¶ tOz khơng ? Tại ? c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng cho đường thẳng khơng chứa tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường trịn tâm O bán kính r Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói với tia gốc O có hình vẽ, tính số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp A Trang (Cho biết điểm nằm đường trịn khơng thẳng hàng) Giải : z x O Lập luận mà t · xOy + 5· yOz ·xOy = 9· yOz y · yOz => = 180 => = 1800 5· yOz · yOz + · yOz = 1800 = 800 · xOy => = 1000 b) Kẻ tia Ot cho · tOy = 800 Tia Oy có tia phân giác ¶ tOz khơng ? Tại ? Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ đường thẳng chứa tia Oy tia Ot trùng với tia Oz ( · · tOy = yOz = 80 ) nên tia Oy không tia phân giác ¶ tOz Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ đường thẳng chứa tia Oy tia Oy nằm tia Oz Ot mà · · tOy = yOz (= 800 ) nên tia Oy tia phân giác ¶ tOz c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng cho đường thẳng khơng chứa tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường trịn tâm O bán kính r Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói với tia gốc O có hình vẽ, tính số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp A (Cho biết điểm nằm đường tròn khơng thẳng hàng) Lập luận có 50.2 + = 104 tia gốc O => A có 104 điểm Lập luận để có 104.103/2 = 5356 đoạn thẳng nối 104 điểm A Nối đầu đoạn thẳng với điểm thuộc 102 điểm lại (khơng phải mút đoạn thẳng đó) 102 tam giác Vậy có 5356.102 tam giác Nhưng tam giác tính lân, ta có5356.102 : = 182104 tam giác Trang Câu Cho điểm O đường thẳng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy vẽ tia Oz cho góc xOz nhỏ 900 a Vẽ tia Om; On phân giác góc xOz góc zOy b Tính số đo góc nhọn hình số góc mOz 300 z n m Giải: x O y b Vì Om phân giác góc xOz nên ∠xOm = ∠mOz = 1/2∠xOz mà ∠mOz = 300 Suy ra: ∠xOm = 300 ∠xOz = 600 + góc ∠xOz ∠zOy kề bù nên ∠xOz = ∠zOy = 1800 Suy ra: ∠zOy = 1800 - ∠xOz = 1800 - 600 = 1200 + Vì On phân giác góc zOy nên ∠zOn = ∠nOy = 1/2 ∠zOy = 1/2 1200 = 600 Kết luận: ∠xOm = 300 ∠xOm = ∠nOy = 600 Câu Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 a) Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Giải: Hình vẽ Trang t y z 970 540 400 x' x O a)Theo đề ta có góc x’Ox = 180 mà góc x’Oy góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b)Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 540) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy Câu (Đề số 81 TRƯỜNG THCS THANH THÙY 2013-2014) Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA = 2cm, tia Oy lấy hai điểm M B cho OM = 1cm; OB = 4cm a) Chứng tỏ M nằm hai điểm O B; điểm M trung điểm đoạn thẳng AB · ¶ ¶ b) Từ O kẻ hai tia Ot Oz cho tOy = 130 , zOy = 30 Tính số đo tOz ? Lời giải a) Trên tia Oy có OM < OB ( 1cm < 4cm ) ⇒  OM + MB = OB  ⇒ MB = OB – OM = 3cm Vì Ox, Oy đối mà A ∈ Ox, M ∈ Oy nên M nằm O B (1) nên O nằm A M ⇒ AM = AO + OM = 3cm                                            (2) Từ (1) (2) suy MB = MA = 3cm hay M trung điểm AB b) ¶ TH1: Ot Oz nằm nửa mặt phẳng bờ xy: tOz = 100 TH2: Ot Oz nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ xy: Trang ¶ = 1600 tOz Câu (Đề số 82 Đề thi HSG huyện Thanh Oai 2013-2014) Cho tia Oz nằm góc vng xOy Vẽ tia Ot cho Ox tia phân giác góc tOz Vẽ tia Om cho tia Oy phân giác góc zOm a, Chứng minh tia Om tia Ot hai tia đối b, Gọi Ox’ tia đối tia Ox, biết góc x’Om 300 Tính góc tOz c, Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ Ot ) Hỏi hình vẽ có tất góc ? y m z O x’ x a)* Chứng minh góc tOz + góc zOm = 1800 t Tia Oz nằm góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 900 Theo giả thiết có tia phân giác nên góc xOz = góc tOz góc zOy = góc zOm 1 Từ suy góc tOz + góc zOm = 900 Hay góc tOz + góc zOm = 1800 * Chứng minh góc tOz góc zOm hai góc kề nhau: b) Chứng minh góc tOx = mOx’ = 300 ( Cùng kề bù với góc mOx) Góc tOx = góc xOz = 300 Góc tOz = 600 c) Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox,Oy,Oz,Ot,Om,Ox’ Tất hình vẽ có n+6 tia phân biệt Cứ tia n+6 tia tạo với n+5 tia cịn lại thành n+5 góc Có n+6 tia nên tạo thành (n+5)(n+6) góc , góc tính lần Vậy có tất ( n + 5) ( n + ) góc Thay n = 2014 ta số góc có Trang ( 2014 + ) ( 2014 + 5) : = 2039190  góc Câu (Đề số 83 Đề thi HSG Trường THCS Cự Khê 2013-2014) Cho điểm O thuộc đường thẳng xy Vẽ tia OA, OB cho góc AOx 400, góc Boy 600 Tính số đo góc AOB Lời giải Xét trường hợp: a) Các tia OA,OB nằm phía xy A ·yOA = 1800 − ·AOx = 1800 − 400 = 1400 Tia OB nằm hai tia Oy OA nên: ·AOB + BOy · = ·AOy Vậy ·AOB + 60 = 140 hay B x O y ·AOB = 800 ·xOB = 1800 − BOy · = 1800 − 600 = 1200 b) Các tia OA,OB nằm khác phía xy ·xOB = 1800 − BOy · = 1800 − 600 = 1200 Tia Ox nằm hai tia OA OB nên: A ·AOB = ·AOx + xOB · = 400 + 1200 = 1600 x O y B Câu 10 (Đề số 84) Cho tia Ox Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz 1200 Chứng minh rằng: · · · a xOy = xOz = yOz b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại Lời giải Trang ·, · a) Kẻ tia Ox, tia đối tia Ox Ta có: x Oy + yOx = 1800 (kề bù) ⇒ ·x 'Oy = 1800 - 1200 = 600 ·' Tương tự: x Oz = 60 ·' ·' Ta có : x Oy = 60 , x Oz = 60 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên · · · ·yOz = ·yOx ' + x· 'Oz = 1200 xOy = yOz = zOx ·' ·' b) Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz x Oy = x Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz -Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy Câu 11 (Đề số 85 Trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai 2013-2014) Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB · · a) Tính số đo AOB, BOC b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD Lời giải B A D C O B D Trang A O C · · · · · · a)Vì AOB BOC hai góc kề bù nên: AOB + BOC = 180 mà BOC = 5.AOB nên: 6 ·AOB = 1800 ·  ·AOB = 1800 : = 300 ; BOC  = 30 = 1500 Do đó: · b)Vì OD tia phân giác BOC nên 1· · ·  BOD = DOC = BOC  = 750 · · · · Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: AOD + DOC = 180 Do Vậy ·AOD = 1800 – DOC · =1 800 −  750 = 1050   ·AOB = 300 ; BOC · = 1500 ; ·AOD = 1500 Câu 12 (Đề số 86 Trường THCS Phương Trung) Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm a Tình độ dài BM b Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM c Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy d Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK = cm Tính độ dài BK Lời giải A B x C M y a M, B thuộc tia đối CB CM ⇒ C nằm B M b Vì C nằm B, M  ⇒ BM = BC + CM = ( cm ) ⇒ Tia AC nằm hai tia AB, AM · · · ⇒ CAM = BAM − BAC = 200 c Ta có 1· 1· · · · xAy = xAC + CAy = BAC + CAM 2 Trang · 1· · =   ( BAC +  CAM ) =   BAM = 80 = 400 2 d Nếu K ∈ tia CM ⇒ C nằm B K  ⇒ BK = BC + CK = + = ( cm ) Nếu K ∈ tia CB ⇒ K nằm B C ⇒ BK  = BC − CK = − = ( cm ) Câu 13 (Đề số 87 Trường THCS Thanh Văn – Thanh Oai 2013-2014) Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (khơng trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất góc? Lời giải B A D O C a)Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên: mà ·AOB + BOC · = 1800 · BOC = 5.·AOB nên ·AOB = 1800 Do đó: ·AOB = 1800 : = 300 ;    BOC · = 300 = 1500 b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: Do 1· · · BOD = DOC = BOC = 750 ·AOD + DOC · = 180 ·AOD = 1800 −  DOC · =1 800 −  750 = 1050 Trang 10 Vì Oa, Ob · · xOa = 400 , xOb = 1000 vẽ hai tia cho ·yOb · aOc giác Tính số đo Lập luận tính Lập luận tính được: Vẽ tia Oc tia phân ·yOb = 800 ⇒ bOc · = 400 · aOb = 600 · aOc = 1000 Lập luận tính được: Câu 173 (Đề thi HSG huyện THANH MAI 2019-2020) xy Om, On Trên đường thẳng lấy điểm O Vẽ tia hai xy nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng Cho · · · · · mOy = 2.nOy nOy nOx = 3mOx biết Tìm số đo góc Lời giải Học sinh tự vẽ hình · · nOy = a ⇒ mOy = 2a Gọi số đo Nên số đo · xOn = 1800 − a · mOx = 1800 − 2a · · nOx = 3.mOx Theo đề : 1800 − a = ( 1800 − 2a ) ⇒ a = 720 Suy ra: · nOy = 2a = 2.720 = 1440 Khi Câu 174 (Đề thi HSG CẤP TRƯỜNG 2019-2020) xOy Cho góc bẹt Trên nửa mặt phẳng có bờ xy, · xOz = 700 , ·yOt = 550 Oz , Ot vẽ tia cho Ox, Ot Oz a) Chứng tỏ nằm hai tia Trang 165 b) Chứng tỏ tia Ot tia phân giác c) Vẽ tia phân giác On · xOz Tính Lời giải ·yOz · nOt · xOy ⇒ góc bẹt nửa mặt phẳng có ¶ · tOy xOt bờ xy có hai góc kề bù · + tOy ¶ = 1800 ⇒ xOt · = 1800 − 550 = 1250 ⇒ xOt a) Vì Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: · · (700 < 1250 ) ⇒ Oz xOz < xOt Ox, Ot nằm hai tia · xOz b) Trên nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có · · + zOy · zOy ⇒ xOz = 180 hai góc kề bù hay · · 700 + zOy = 1800 ⇒ zOy = 1100 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia ·yOt < ·yOz ( 550 < 1100 ) ⇒ Tia Ot Oy có: nằm hai tia Oy, Oz (1) ·yOt + tOz ¶ = ·yOz nên ta có: hay 0 ¶ = 110 ⇒ tOz ¶ = 55 ⇒ ·yOt = tOz ¶ (2) 55 + tOz ·yOz Ot Từ (1) (2) suy tia phân giác · xOy Ox, Oy c) Vì góc bẹt nên suy hai tia đối ⇒ tia Ox, Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz (1) Trang 166 · xOz · nOz = = 350 · xOz Vì On tia phân giác nên hai tia On, Ox nằm mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) ·yOz ⇒ Ta lại có tia Ot tia phân giác (theo câu b) Hai tia Ot, Oy nằm mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) ( 1) , ( ) , ( 3) Từ suy On Ot nằm hai nửa mặt ⇒ Oz phẳng đối có bờ chứa tia Oz nằm tia On, Ot nên ta có: · + zOt · = nOt · nOz · = 350 + 550 = 900 nOt · = 900 nOt hay Vậy Câu 175 (Đề thi HSG TP BUÔN MÊ THUỘC 2019-2020) AB Cho nửa mặt phẳng bờ chứa hai tia đối OA OB OA a) Vẽ tia OC tạo với tia góc tạo với tia OC góc góc ( a + 20 ) b) Tính góc Tính xOy ( a + 10 ) a0 , vẽ tia OD với tia OB a · BOy = 480 OD, c) Gọi OE tia đối tia tính số đo góc kề bù với góc xOD , biết ·AOx = 220 ·AOC a0 Lời giải Học sinh tự vẽ hình OC , OD a) Do nằm nửa mặt phẳng bờ AB · · COD > COA (a + 10 > a) nên tia OC nằm hai tia OA OD · · ⇒ ·AOC + COD + DOB = ·AOB ⇒ a + ( a + 10 ) + ( a + 20 ) = 1800 0 ⇒ 3a + 300 = 1800 ⇒ a = 500 ·AOy = 1800 − BOy · = 1800 − 480 = 1320 ⇒ ·AOx = 220 b) Ta có: Ox OA Nên tia nằm hai tia Oy Trang 167 · · · ⇒ ·AOx + xOy = ·AOy ⇒ 220 + xOy = 1320 ⇒ xOy = 1100 OA, OD OC c) Vì tia nằm hai tia nên: 0 ·AOC + COD · = ·AOD ⇒ ·AOD = a + ( a + 10 ) = 2a + 100 = 2.500 + 100 = 1100 ·AOx < ·AOD ( 220 < 1100 ) Vì OA, OD nên tia Ox nằm hai tia · · · ⇒ ·AOx + xOD = ·AOD ⇒ 220 + xOD = 1100 ⇒ xOD = 1100 − 220 = 880 · xOD Vậy số đo góc kề bù với góc 180 − 880 = 920 có số đo là: Câu 176 (Đề thi HSG HUYỆN THANH OAI 2019-2020) · ·yOz xOy Om Cho hai góc kề bù tia phân giác · ·yOz xOy On ; tia phân giác a) Tính · mOn Om ' Om · zOm ' = 300 · ' Oy m b) Kẻ tia tia đối tia Nếu có số đo độ d d c) Vẽ đường thẳng không qua O Trên đường thẳng lấy 2015 điểm phân biệt Tính số góc có đỉnh O cạnh qua điểm đường thẳng d Lời giải Trang 168 a) · ¶ = xOy · xOy ⇒O 2 Om giác tia phân giác ·yOz ⇒ O ¶ = ·yOz ( ; On tia phân ) · ¶ +O ¶ = xOy · ·yOz = 180 = 900 ⇒ mOn =O + 2 b) Om Om’ hai tia đối +) · ' Oz < mOm · m ' ⇒ Oz nằm · ' Oz + zOm · Om ' ⇒ m = 180 Mặt khác · ⇒ mOm ' = 1800 Om (1) · · xOm + mOz = 1800 (2) · ' Oz = xOm · ⇒m Từ (1) (2) · ' Oy + ·yOm = 1800 m +) ·yOm = xOm · · ) = 300 xOy Mà (vì Om tia phân giác · ' Oy = 1800 − ·yOm = 1800 − 300 = 1500 ⇒m Trang 169 d c) Cứ điểm đường thẳng nối với điểm O góc đỉnh O ⇒ có đoạn thẳng đường thẳng d có nhiêu góc đỉnh O ⇒ Số góc đỉnh O qua điểm đường thẳng d là: 2015.2014 = 4058210 4058210 (góc) Vậy có góc Câu 177 (Đề thi HSG TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA 2018-2019) xOy Oz Ot Ox Cho tia nằm góc vng Vẽ tia cho tia phân giác giác ¶ tOz Vẽ tia Om cho tia Oy phân · zOm Ot tia hai tia đối Ox, x· ' Om = 300 Ox ' b) Gọi tia đối tia biết Tính a) Chứng minh tia Om ¶ tOz 2014 O c) Vẽ thêm tia phân biệt gốc (không trùng với Ox, Oz , Oy , Om, Ox ' Ot ) tia Hỏi hình vẽ có tất góc ? Lời giải xOy Oz a) Tia nằm góc nên: · + zOy · · xOz = xOy = 900 Theo giả thiết ta có tia phân giác nên Trang 170 1¶ · xOz = tOz ; 1· · zOy = zOm 1¶ 1· ¶ + zOm · tOz + zOm = 900 ⇔ tOz = 1800 2 Từ suy : ¶ · ⇒ tOz; zOm hai góc kề ¶ = mOx · · tOz ' = 300 mOx ) b) Chứng minh (cùng kề bù với ¶ = xOz · = 300 ⇒ tOz ¶ = 600 ⇒ tOx n c) Giả sử vẽ thêm tia phân biệt gốc O không trùng với Ox, Oy, Oz , Ot Om, Ox ' n+6 tia Tất hình vẽ có tia phân biệt n+6 n+5 Cứ tia tia tạo với thi cịn lai thành n+5 góc ( n + 5) ( n + ) n+6 Có tia tạo thành góc, góc tính lần ( n + 5) ( n + 6) Vậy có tất góc = 2014 Thay ta số góc là: ( 2014 + ) ( 2014 + ) : = 039190 (góc) Câu 178 (Đề thi HSG HUYỆN THẠCH THÀNH 2018-2019) · , zOy · xOy Om, On Vẽ hai góc kề bù Vẽ tia theo thứ tự tia · , zOy · xOy Om ' Om phân giác Vẽ tia tia đối tia a) Tính số đo · mOn b) Tính số đo góc kề bù với ·yOm , biết: · ' Oz = 300 m O c) Cần vẽ thêm tia phân biệt chung gốc không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300 góc Lời giải Trang 171 a) Vì Vì tia · xOy Om kề bù với · zOy nên: · · xOy + zOy = 1800 tia phân giác · xOy nên: 1· · mOy = xOy 1· · nOy = zOy · zOy On Vì tia tia phân giác nên: ·xOy ·zOy Oy Ox, Oz Vì kề bù với nên tia nằm hai tia mà · xOy Om On tia tia phân giác tia tia phân giác · zOy Oy Om, On nên tia nằm hai tia , đó: 1· 1· · · · mOy + ·yOn = mOn ⇔ xOy + zOy = mOn 2 · · · · ⇔ xOy + zOy = mOn ⇔ mOn = 1800 = 900 2 ( ) b) Vì hai tia Om, Om ' đối nhau, · ' Oz m kề bù với · zOm · ' Oz + zOm · · · ⇒m = 1800 ⇒ 300 + zOm = 1800 ⇒ zOm = 1500 Vì hai tia Ox, Oz đối nhau, · zOm kề bù với · mOx · · · · ⇒ zOm + mOx = 1800 ⇒ 1500 + mOx = 1800 ⇒ mOx = 300 Vì tia Om tia phân giác · xOy Om, Om ' nên: ·yOm · · mOy = mOx = 300 ·yOm ' Vì hai tia đối nhau, kề bù với ⇒ ·yOm + ·yOm ' = 1800 ⇒ 300 + ·yOm ' = 1800 ⇒ ·yOm ' = 1500 c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc Trang 172 O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất n+6 300 góc Khi tổng số tia gốc O hình n+5 n+5 Cứ tia gốc O tạo với tia gốc O lại thành ( n + 5) ( n + ) n+6 góc, mà có tia nên tạo thành: góc Vì tia tạo với tia ngược lại nên góc ( n + 5) ( n + ) tính lần, suy số góc tạo thành: góc Vì có 300 góc nên ta có: ( n + ) ( n + ) = 300 ⇒ n + n + = 600 = 24.25 ⇒ n = 19 ( )( ) Câu 179 (Đề thi HSG HUYỆN TAM DƯƠNG 2018-2019) · · ; xOy = 1000 xOy Oz Ot Cho Vẽ tia phân giác vẽ tia ·yOt = 250 cho · , xOt · zOt a) Tính số đo góc : · zOy b) Ot có phải tia phân giác khơng ? Vì ? Lời giải xOy Oz ·yOz = 500 a) Tia phân giác góc nên Xét hai trường hợp: Ot *Trường hợp 1: nằm Oz Oy Mà ·yOt = 250 Oz , Oy · = 250 zOt nằm nên Ox, Oy Oy, Oz Oz Ot Vì nằm nằm nên Oz nằm Ot · = 750 Ox, Ot ⇒ xOt Trang 173 *Trường hợp 2: Tia Oy nằm Oz, Ot · = 750 zOt Oy nằm Oz, Ot nên Ox, Oy Oy Ot , Oz Oz , Oy Vì Oz nằm nằm nên nằm · = 1250 Ox, Ot ⇒ xOt b) Trường hợp · zOy giác Oy nằm Oz, Ot Ot khơng phân Trường hợp Ot nằm Ot Oz , Oy ta có: ·yOt = 250 · = 250 zOt · zOy nên phân giác Câu 180 (Đề thi HSG HUYỆN 2018-2019) Ox Cho tia Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox · , xOz · xOy Oy, Oz 1200 Vẽ hai tia cho Chứng minh rằng: · · xOy = xOz = ·yOz a) Ox, Oy , Oz b) Tia đối tia phân số góc hợp hai tia cịn lại Lời giải Ta có x· ' Oy = 600 , x· ' Oz = 600 tia Ox’ nằm hai tia ·yOz = ·yOx ' + x· ' Oz = 1200 · · xOy = ·yOz = zOx Oy , Oz nên Vậy x· ' Oy = x· ' Oz Oy , Oz Ox ' Ox ' Do tia nằm hai tia nên Oy, Oz tia phân giác góc hợp hai tia Oy ' Oy ) Oz ' Tương tự tia (tia đối tia tia (tia đối Trang 174 · , xOy · xOz tia Oz) phân giác Câu 181 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Lộc 2017-2018) · xBy = 550 Bx, By A, C Cho Trên tia lấy điểm cho · A ≠ B, C ≠ B AC ABD = 300 D Trên đoạn thẳng lấy điểm cho AD = 4cm, CD = 3cm d Tính độ dài AC, biết · DBC e Tính số đo · · DBz = 900 B Bz ABz f Từ vẽ tia cho Tính số đo Hướng dẫn giải a) Vì D thuộc đoạn AC nên D nằm A C ⇒ AC = AD + CD = + = 7(cm) ⇒ AC = 7cm BA, BC b) Chứng minh tia BD nằm hai tia · · · ABC = ABD + DBC Ta có đẳng thức : · · · ⇒ DBC = ABC − ABD = 550 − 300 = 250 b) Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trường hợp) - Trường hơp 1:Tia Bz BA nằm nửa mặt phẳng có bờ BD Lập luận tia BA nằm hai tia Bz BD · · · ABz = DBz − ABD = 900 − 300 = 600 Tính được: Bz ' - Trường hợp 2: Tia BA nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ BD Lập luận tia BD nằm hai tia Bz BA · · · ABz = DBz + ABD = 900 + 300 = 1200 Tính được: Trang 175 Câu 182 (Đề thi HSG huyện Nga Sơn 2016-2027) · ∆ABC ABC=55 Cho có , cạnh AC lấy điểm D cho · ABD=30 a) Tính độ dài AC, biết · DBC b) Tính số đo AD=4cm, CD=3cm · DBx = 900 · ABx c) Từ B dựng tia cho Tính số đo d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A B) Chứng minh đoạn thẳng BD CE cắt Hướng dẫn giải Bx a) D nằm A C BD ⇒ AC=AD+CD=4+3=7cm · · · BA,BC ⇒ ABC=ABD+DBC b) Tia nằm hai tia · · · ⇒ DBC=ABC-ABD=55 -300 =250 c) Xét hai trường hợp: Bx Trường hợp 1: Tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB · · ABx=90 -ABD=900 -300 =600 Tính được: Trường hợp 2: Tia Bx BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB · · ABx=90 +ABD=900 +300 =1200 Tính được: c) Xét đường thẳng BD Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm nửa;1 nửa mp có bờ BD chứa điểm C nửa mp bờ BD ⇒ tia BA chứa điểm A thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A ⇒E E thuộc đoạn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa Trang 176 điểm A ⇒ E,C hai nửa mặt phẳng bở BD Suy đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC BD cắt Câu 183 (Đề thi HSG huyện Cẩm Thủy năm học 20172018) Trên đoạn thẳng AB = 5cm lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AM = AN a) Tính độ dài đoạn thẳng BN BM = 2cm b) Trên nửa mp bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax Ay · · BAx = 400 ; BAy = 110 cho , Chứng tỏ Ay tia phân giác · NAx c) Hãy xác định vị trí M AB để BN có độ dài lớn Hướng dẫn giải a) Khi BM = 2cm tính BN Vì M thuộc đoạn AB AM+ MB = AB ⇒ AM + = ⇒ AM = 3cm nên ta có: Vì N thuộc tia đối tia AB nên điểm A nằm hai điểm N B NA + AB = NB Suy ra: mà NA = AM nên AN = 3cm, AB = 5cm thay vào ta được: ⇒ NB = cm + = NB Vậy BM = 2cm BN = 8cm · · BAx < BAy (400 < 1100 ) b) Trên nửa mp bờ chứa tia AB có nên tia Ax nằm hai tia AB Ay Trang 177 · · · ⇒ BAx + xAy = BAy · ⇒ 400 + xAy = 1100 ⇒ · xAy = 700 (1) Vì tia AB tia AN hai tia đối nên bù: · · ⇒ BAy + yAN = 1800 · BAy · yAN hai góc kề · ⇒ 1100 + yAN = 1800 · ⇒ yAN = 700 (2) Vì hai tia AB AN đối nên nên · · ⇒ BAx + xAN = 1800 · BAx · xAN hai góc kề bù: · ⇒ 400 + xAN = 1800 · ⇒ yAN = 1400 (3) · · · xAy = yAN = xAN Từ (1) ; (2) (3) suy nên tia Ay tia phân giác góc xAN NA + AB = NB c) Theo câu a ta có : mà NA = AM nên: BN = AM + AB Mà AB cố định nên BN lớn AM lớn AM ≤ AB Mặt khác M thuộc đoạn thẳng AB nên , dấu “=” xảy M≡B AM = AB hay M≡B Vậy độ dài đoạn BN lớn Trang 178 Trang 179 ... Oz nằm góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 900 Theo giả thiết có tia phân giác nên góc xOz = góc tOz góc zOy = góc zOm 1 Từ suy góc tOz + góc zOm = 900 Hay góc tOz + góc zOm = 180 0 * Chứng... Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 43 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc. .. · xOm = xOm = 180 0 − α + β < 180 α + β > 180 0 2 ; Câu 28 (Đề thi HSG6 huyện Hoằng Hóa 2012 - 2013) Cho góc BOC có số đo 85 0 A điểm nằm góc BOC Số đo góc BOA 500 a) Tính số đo góc AOC b) Vẽ