(Luận văn thạc sĩ) hình học phẳng với số phức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN CỬ HÌNH HỌC PHẲNG VỚI SỐ PHỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN CỬ HÌNH HỌC PHẲNG VỚI SỐ PHỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS.NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2017 ii Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Tổng quan số phức 1.1 Lý xuất số phức 1.1.1 Lịch sử hình thành phát triển số phức 1.1.2 Cách tiếp cận số phức 1.2 Biểu thức đại số số phức 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Các phép toán 1.2.3 phức liên hợp 1.3 Dạng lượng giác số phức 1.3.1 Khái niệm 1.3.2 Các phép toán 1.3.3 Công thức Moivre 1.3.4 Căn bậc n số phức Cơng thức số phức cho hình học phẳng 2.1 Độ đo góc hai tia 2.2 Phương trình đường thẳng 2.2.1 Phương trình tổng quát 2.2.2 Phương trình tham số 2.3 Phương trình đường trịn 2.3.1 phương trình tổng quát 2.3.2 Đường tròn đơn vị 2.3.3 Giao điểm hai cát tuyến 2.3.4 Giao điểm hai tiếp tuyến 2.3.5 Chân đường vuông góc dây cung 7 11 12 12 12 13 14 14 14 14 15 16 16 19 19 20 26 26 27 28 28 29 iii 2.4 2.5 Đường thẳng đường tròn Euler 2.4.1 Nhãn điểm đặc biệt tam giác 2.4.2 Các định nghĩa Đường thẳng Simson Ứng dụng phương pháp số phức giải tốn hình học phẳng theo chủ đề 3.1 Bài toán điểm quan hệ với đường thẳng, đoạn thẳng 3.2 Bài tốn tính chất tam giác 3.3 Bài toán đường thẳng đồng qui 3.4 Một số toán đường tròn 3.5 Một số tốn kì thi 30 30 32 34 37 37 44 52 58 62 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 Danh mục kí hiệu arg z Argumen số phức z ⑤ AB⑤ Độ dài đoạn thẳng AB i Đơn vị ảo số phức ⑤z⑤ Mơ đun số phức z z Số phức có dạng z = a + bi a, b, c chữ nhỏ Số phức nhãn điểm A, B, C z Số phức liên hợp z V ( z0 , z1 , z2 ) Tỉ số đơn z0 , z1 , z2 W( z0 , z1 , z2 , z3 ) ÝÑ AB Tỉ số kép z0 , z1 , z2 , z3 IMO Viết tắt International Mathematical Olympic ÝÑ Véc tơ AB Lời cảm ơn Luận văn kết trình học tập nghiên cứu cách nghiêm túc Trong qua trình học tập thực hiên luận văn em nhận quan tâm, giúp đỡ, động viên, thầy cô, bạn đồng nghiệp Qua em xin gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ em Lời cho phép em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS.Nguyễn Hữu Điển Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới thầy giáo khoa Tốn-Cơ-Tin học tận tình giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa em xin cảm ơn ý kiến đóng góp thầy cô hội seminar cho em ý kiến hay để em hoàn thành luận văn Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu tổ toán trường THPT Mỹ Đức B động viên, tạo điểu kiện cho em nhiều q trình em tham gia khóa học hồn thành luận văn Em xin cảm ơn bạn lớp cao học khóa 2015 ✁ 2017 tạo mơi trường học tập đồn kết giúp đỡ hỗ trợ học tập Hà nội, ngày tháng 12 năm 2017 Học viên NGUYỄN VĂN CỬ Mở đầu Một thành tựu to lớn mang tính bước ngoặt tốn học phát phát triển số phức Điều thể chỗ lịch sử phát triển số phức trải qua thời gian dài với nhiều quan điểm khác tranh luận nhà tốn học Tuy nhiên số phức cơng nhận phát triển đóng góp nhiều thành tựu cho tốn học như: nhờ có số phức chứng minh "định lí bản" đại số, ứng dụng số phức hình học, vật lý Thế số phức lại khái niệm tốn học cịn mẻ học sinh trung học phổ thông Bởi chương trình tốn học phổ thông đưa vào giới thiệu số phức cách bản, tức mang tính chất giới thiệu số khái niệm số phức dạng đại số số phức Tuy nhiên số phức biểu diễn nhiều dạng như: dạng đại số, dạng lượng giác, dạng mũ, dạng cực, dạng hình học Do số phức cơng cụ hữu hiệu để giải vấn đề toán học, đồng thời có ứng dụng lĩnh vực khoa học tự nhiên khác Vậy mà nước ta chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu số phức ứng dụng lĩnh vực tốn sơ cấp Vì luận văn em xin trình bày đề tài "HÌNH HỌC PHẲNG VỚI SỐ PHỨC" tức nghiên cứu ứng dụng số phức để giải tốn hình học phẳng Thơng qua đề tài em mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng số phức lĩnh vực hình học phẳng, qua em mong muốn ứng dụng số phức tiếp cận nhiều rộng rãi vấn đề toán học Luận văn chia làm ba chương Chương Tổng quan số phức Trong chương em trình bày lịch sử phát triển số phức, kiến thức tổng quan số phức như: dạng số phức, phép tốn số phức, tính chất số phức Chương Các công thức số phức cho hình học phẳng Trong chương em trình bày cơng thức số phức cho đường thẳng gồm phương trình tổng quát phương trình tham số đường thẳng, công thức điểm đặc biệt tam giác (trọng tâm, trực tâm, ), cơng thức phương trình đường trịn (giao điểm hai cát tuyến, giao điểm hai tiếp tuyến, ),đường thẳng Euler, đường tròn Euler, đường thẳng Simson Chương Ứng dụng phương pháp số phức giải tốn hình học phẳng theo chủ đề Trong chương em trình bày vấn đề ứng dụng công thức số phức để giải tốn hình học phẳng theo chủ đề: Xét tính chất điểm quan hệ với đường thẳng, đoạn thẳng; xét tính chất tam giác; xét tính đồng qui đường thẳng; số toán đường trịn; số tốn kì thi Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức thân hạn chế đề tài luận văn nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Chương Tổng quan số phức 1.1 Lý xuất số phức Như ta biết trình mở rộng tập hợp số Từ tập hợp số tự nhiên, đến tập hợp số nguyên, đến tập hợp số hữu tỉ, đến tập hợp số thực tập hợp số thực tập trù mật trục số Tuy nhiên xét tập hợp số thực ta thấy tồn số hạn chế định Chẳng hạn, phương trình x2 + = khơng có nghiệm R Câu hỏi đặt liệu có tồn tập hợp số để phương trình có nghiệm Q trình nghiên cứu phát triển vấn đề dẫn đến kết xuất tập hợp số phức 1.1.1 Lịch sử hình thành phát triển số phức Lịch sử số phức kỉ XV I Đó thời kì phục hưng tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ Các đại lượng ảo ❄ ❄ ❄ ✁1, b ✁1, a + b ✁1 xuất từ kỉ XV I cơng trình nhà tốn học Italia "Nghệ thuật vĩ đại qui tắc đại số" (1545) G.Cardano (1501 ✁ 1576) "Đại số" (1572) R.Bombelli (1526 ✁ 1572) Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 ✁ 1925) đánh giá công trình G.Cardano sau: "Tác phẩm quý giá đến đỉnh chứa đựng mầm mống đại số đại vượt xa tầm tốn học cổ đại" Khi giải phương trình bậc hai G.Cardano Bombelli đưa vào xét kí hiệu ❄ ❄ ✁1 lời giải hình thức phương trình x2 + = Xét biểu thức b ✁1 nghiệm hình thức phương trình x2 + b2 = Khi biểu thức tổng quát có dạng a + b ❄ ✁1, b ✘ xem nghiệm hình thức phương trình ( x ✁ a)2 + b2 = Về sau biểu thức dạng a + b ❄ ✁1, b ✘ xuất trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) gọi đại lượng "ảo" sau Gauss gọi số phức thường kí hiệu a + bi, kí hiệu i := ❄ ✁1 Euler đưa vào (năm 1777) gọi đơn vị "ảo" Quá trình thừa nhận số phức công cụ quý giá toán học diễn chậm chạp Ngay tên gọi kí hiệu i := ❄ ✁1 đơn vị ảo gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc Từ dẫn đến khủng hoảng niềm tin khơng có chung với số truyền thống - công cụ phép đếm Mặc dù người ta xem kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i2 = ✁1 Sự khủng hoảng niềm tin trở nên sâu sắc việc chuyển cách thiếu cân nhắc thiếu thận trọng số qui tắc đại số thông thường cho số phức sản sinh nghịch lí khó chịu Chẳng hạn nghịch lí sau: Vì i = ❄ ✁1 nên i2 = ✁1 Nhưng đồng thời cách sử dụng qui tắc thông thường phép toán khai bậc hai ta lại thu kết sau i2 = ❛ ❛ ✁1 ✁1 = ❜ (✁1)(✁1) = Như ✁1 = Ta nhấn mạnh lại hệ thức i2 = ❜ (✁1)2 = ❄ = ✁1 định nghĩa số i cho phép ta đưa vào xét số phức Điều có nghĩa hệ thức khơng thể chứng minh, mà qui ước Tuy có người muốn chứng minh hệ thức Trong sách "Phương pháp tọa độ" mình, viện sĩ L.S.Pointriagin mơ tả lại chứng minh sau Đầu tiên người ta lấy nửa đường trịn đường kính AB Từ điểm R tùy ý nửa đường tròn hạ đường vng góc RS trung bình nhân độ dài đoạnAS SB Vì nói đến độ dài nên khơng sai sót lớn nói bình phương đoạn RS tích đoạn thẳngAS BS Bây giờ, trở với mặt phẳng phức, kí hiệu điểm ✁1 A, điểm +1 B điểm i R Khi S điểm Tác giả phép chứng minh lập luận sau: Đoạn thẳng RS i, đoạn thẳng AS ✁1 SB +1 Như theo định ... văn em xin trình bày đề tài "HÌNH HỌC PHẲNG VỚI SỐ PHỨC" tức nghiên cứu ứng dụng số phức để giải tốn hình học phẳng Thơng qua đề tài em mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng số phức lĩnh vực hình học. .. kiến thức tổng quan số phức như: dạng số phức, phép tốn số phức, tính chất số phức 6 Chương Các công thức số phức cho hình học phẳng Trong chương em trình bày cơng thức số phức cho đường thẳng...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN CỬ HÌNH HỌC PHẲNG VỚI SỐ PHỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người