Một số bài tập thường gặp khi vẽ đồ thi-Nguyễn Phú Khánh

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ðỒ THỊ Giao ñiểm của hai ñồ thị : 1. Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 1f x x x = + + có ñồ thị ( ) C và parabol ( ) ( ) 2 : 2 1P g x x = + )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số. Tùy theo giá trị của m , giải và biện luận phương trình 3 2 2 3 0 x x m + − = ) b Chứng tỏ rằng trong số tiếp tuyến của ñồ thị ( ) C thì thiếp tuyến tại ñiểm uốn I có hệ số góc nhỏ nhất . Viết phương trình tiếp tuyến ñó. Chứng tỏ I là tâm ñối xứng của ñồ thị ( ) C . ) c Gọi , A B là giao ñiểm của ñồ thị ( ) C và parabol ( ) P . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C và parabol ( ) P tại các giao ñiểm của chúng . ) d Xác ñịnh trên khoảng ñó ( ) C nằm phía trên hoặc phía dưới ( ) P . Hướng dẫn : ) c ( ) 1 3 ; , 0;1 2 2 A B   −     . Tiếp tuyến ( ) C tại , A B là 3 3 , 1 2 4 y x y = − + = .Tiếp tuyến ( ) P tại , A B là 1 2 , 1 2 y x y = − + = . ) d Xét ( ) ( ) ( ) 3 2 2 h x f x g x x x = − = + . Lập bảng xét dấu : ( ) 1 0, ; 2 h x x   < ∈ −∞ − ⇒     ( ) C nằm phía dưới ( ) P . ( ) ( ) 1 0, ;0 , 0; 2 h x x   > ∈ − +∞ ⇒     ( ) C nằm phía trên ( ) P . 2. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x f x x − = + có ñồ thị ( ) C ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số. ) b Với giá trị nào của m ñường thẳng ( ) m d ñi qua ñiểm ( ) 2;2 A − và có hệ số góc m cắt ñồ thị ñã cho • Tại hai ñiểm phân biệt?. • Tại hai ñiểm thuộc hai nhánh của ñồ thị ?. Hướng dẫn : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ) : 2 1 , : 3 2 3 0, 1 * m m b d y mx m d C g x mx mx m x = + + ∩ = + + + = ≠ − ðể ( ) ( ) m d C ∩ tại hai ñiểm phân biệt khi phương trình ( ) * có hi nghiệm phân biệt khác 1− . Khi ñó ta có hệ : ( ) 0 0 0 12 1 0 m m m g  ≠   <  ∆ > ⇔   >    − ≠   ðể ( ) ( ) m d C∩ tại hai ñiểm thuộc hai nhánh khi phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt 1 2 1x x< − < ( ) 1 0 0mg m⇔ − < ⇔ < . Cách khác : ðể ( ) ( ) m d C∩ tại hai ñiểm thuộc hai nhánh khi phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt 1 2 1x x< − < . ðặt 1x t= − khi ñó phương trình ( ) * trở thành 2 3 0mt mt+ + = có hai nghiệm trái dấu. Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 3. Cho hàm số ( ) 3 3 1f x x x= − + )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị tại ñiểm uốn I của nó . Chứng minh rằng trong số tiếp tuyến của ñồ thị thì tiếp tuyến tại I có hệ số góc nhỏ nhất . )b Gọi ( ) m d là ñường thẳng ñi qua ñiểm I có hệ số góc m . Tìm các giá trị m sao cho ñường thẳng ( ) m d cắt ñồ thị ñã cho tại ba ñiểm phân biệt. Hướng dẫn : )a 3 1y x= − + )b 3m > − 4. Cho hàm số ( ) ( ) 4 2 1f x x m x m= − + + )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số với 2m = . Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm uốn của ñồ thị . )b Tìm các giá trị của m sao cho ñồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn ñiểm , tạo thành ba ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau . Hướng dẫn : )b ( ) ( )( ) 4 2 2 2 1 0 1 0x m x m x x m− + + = ⇔ − − = . ðể ñồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt , tạo thành ba ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau khi 0 1m< ≠ . ( ) ( ) 1, 1 1 1 9 1 0 1,1 9 m m m m m m m m • > − = − − ⇔ = • < < − = − − ⇔ = Ngoài cách giải trên các bạn có thể dùng cấp số cộng ( lớp 11) ñể giải . 5. )a Với giá trị nào của m , ñường thẳng y m= cắt ñường cong 4 2 2 3y x x= − − tại 4 ñiểm phân biệt?. )b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ñường thẳng ( ) : m d y x m= − cắt ñường cong 2 2 1 x x y x − + = − tại hai ñiểm phân biệt. 6. Cho hàm số 1 ax b y x + = − )a Tìm ,a b ñể ñồ thị hàm số cắt trục tung tại ( ) 0; 1A − và tiếp tuyến của ñồ thị tại A có hệ số góc bằng 3− . Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số với ,a b vừa tìm ñược . )b Cho ñường thẳng ( ) d có hệ số góc m và ñi qua ñiểm ( ) 2;2B − . Tìm m ñể ( ) d cắt ( ) C tại hai ñiểm phân biệt 1 2 ,M M . Các ñường thẳng ñi qua 1 2 ,M M song song với các trục toạ ñộ tạo thành hình chữ nhật . Tính các cạnh của hình chữ nhật ñó theo m , khi nào hình chữ nhật này trở thành hình vuông. Hướng dẫn : )a ( ) ( ) 2 0; 1 2 1 2 1 1 1 1 ' 3 1 ax b A y a x x y a b x y x  + − ∈ =   = − +   ⇔ ⇒ =   − − = − = = −    −   )b ( ) d ñi qua ñiểm ( ) 2;2B − có phương trình ( ) 2 2y m x= + + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðể ( ) d cắt ( ) C tại hai ñiểm phân biệt 1 2 ,M M khi phương trình ( ) 2 1 2 2 1 x m x x + + + = − có hai nghiệm khác 1 , hay phương trình 2 2 3 0mx mx m+ − − = có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là ( ) ( ) 2 2 0 0 4 4 4 2 3 0 * 3 3 0 1 1 2 3 0 0 m m m m m m m m m m m m  ≠  ≠    < −   ∆ = + + > ⇔ ⇔ < −       >   + − − ≠  >      Giả sử ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; , ;M x y M x y , hai cạnh hình chữ nhật 1 2 M PM Q có ñộ dài là 2 2 1 2 1 1 2 1 9 12 , 9 12 m m M P x x M Q y y m m m + = − = = − = + Hình chữ nhật 1 2 M PM Q trở thành hình vuông khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 1 1 9 12 9 12 1 1 * m m M P M Q m m m m do m + = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = Sự tiếp xúc của hai ñường cong : 1. Cho hàm số ( ) 2 2 1 x f x x + = + có ñồ thị ( ) G )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số. )b Chứng minh rằng ñường thẳng ( ) : 1 m d y mx m= + − luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh của ñường cong ( ) G khi m thay ñổi . )c Tìm các giá trị của m sao cho ñường thẳng ñã cho cắt ñường cong ( ) G tại hai ñiểm thuộc cùng một nhánh của ( ) G . Hướng dẫn: )b ( ) 1; 1M − − là ñiểm cố ñịnh mà ( ) m d ñi qua khi m biến thiên và ( ) ( ) 1; 1M G− − ∈ . )c Cách 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 : 2 3 1 3 0, * 2 m d G g x mx m x m x∩ = + − + − = ≠ − . ðể ( ) ( ) m d G∩ tại hai ñiểm thuộc cùng một nhánh nếu và chỉ nếu 0 3 0 1 0 2 m g  ∆ >  ⇔ − ≠ <    − >       Cách 2 : ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 : 1 1 , 1 2 3 0, 2 1 2 2 m x d G m x x x mx m x x + ∩ + − = ≠ − ⇔ + + − = ≠ − + ( ) 1 1 2 2 3 0 x k x mx m  = − < −  ⇔  = + − =   Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Hai nhánh của ( ) G nằm về hai bên của tiệm cận ñứng 1 2 x = − . ðường thẳng ( ) ( ) m d G∩ tại hai ñiểm thuộc cùng một nhánh của ñồ thị khi phương trình ( ) 2 3 0k x mx m= + − = có nghiệm 1 2 x < − và 1x ≠ − , khi ñó ta có ( ) 0 0 3 0 3 1 3 0 3 0 3 2 2 2 3 0 1 0 m m m m x m m m m m k   ≠ ≠    − < < −   = < − ⇔ < ⇔ ⇔ − ≠ <    < −     − − ≠ − ≠     2. )a Tìm ,a b biết rằng ñồ thị của hàm số ( ) 2 1 ax bx f x x − = − ñi qua ñiểm 5 1; 2 A   −     và tiếp tuyến tại ( ) 0;0O có hệ số góc bằng 3− . Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ứng với giá trị ,a b vừa tìm ñược. )b Tìm ,a b biết rằng ñồ thị của hàm số ( ) 2 2f x x ax b= + + tiếp xúc với hypebol )a Tìm ,a b biết rằng ñồ thị của hàm số 1 y x = tại ñiểm 1 ;2 2 M       Hướng dẫn : )a ( ) ( ) ( ) 2 1 1 5 2 1 1 2 3 ' 0 3 a a b f  − − −  = −   = ⇔   − − = −    = −  )b 9 6, 2 a b= − = 3. )a Viết phương trình của ñường thẳng ñi qua ñiểm ( ) 1; 2A − và tiếp xúc với parabol 2 2y x x= − )b Chứng minh hai ñường cong 3 2 5 2, 2 4 y x x y x x= + − = + − tiếp xúc nhau tại M , viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñường cong ñó . )c Chứng minh rằg các ñồ thị của ba hàm số ( ) ( ) 2 3 2 3 6, 4,f x x x g x x x= − + + = − + ( ) 2 7 8h x x x= + + tiếp xúc nhau tại ñiểm ( ) 1;2A − . )d Chứng minh rằng các ñồ thị của ai hàm số ( ) ( ) 2 3 3 , 2 2 2 x x f x x g x x = + = + tiếp xúc nhau . Xác ñịnh tiếp ñiểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñường cong tại ñiểm ñó . )e Chứng minh rằng các ñồ thị của ai hàm số ( ) ( ) 3 2 , 1f x x x g x x= − = − tiếp xúc nhau . Xác ñịnh tiếp ñiểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñường cong tại ñiểm ñó . Hướng dẫn : )a ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 2 2 2 4 , 2 2d y m x m y x m y x= − − ⇒ = = − = − = − )b 1 5 9 ; , 2 2 4 4 M y x   − = −     Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt )c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2, ' 1 ' 1 ' 1 5f g h f g h− = − = − = − = − = − = , chứng tỏ tại ( ) 1;2A − các ñồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các ñồ thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại ñiểm ( ) 1;2A − . )d ( ) 3 0;0 , 2 O y x= 4. )a Cho hàm số ( ) 2 2 1 1 x x f x x − + = − có ñồ thị ( ) G . Gọi ,A B là giao ñiểm của ñồ thị ( ) G và ( ) : m d y m x= − . Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn thẳng AB khi m biến thiên. Hướng dẫn : )a 4 2 6m < − hoặc 4 2 6m > + . Quỹ tích trung ñiểm M là 1 phần ñường thẳng 5 2y x= − giới hạn bởi 6 6 1 1 3 3 x− ≤ ≤ + BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1f x x m x= − + + có ñồ thị là ( ) , m C m là tham số . )a Với giá trị nào của m , ñồ thị của hàm số ñã cho cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt ?. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số với 2m = . Hướng dẫn : Hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 0 2 x x m x x x x m g x x x m  = − − + + = ⇔ + − + − = ⇔  = − + − =   ðồ thị hàm số ñã cho cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có ba nghiệm phân biệt hay phương trình ( ) 2 có hai nghiệm phân biệt khác 1− , tức là ( ) 8 3 0 3 3 1 3 2 0 8 2 m m g m  ∆ = − >  ⇔ < ≠  = − ≠   )b Với giá trị nào của m , ñồ thị của hàm số ñã cho cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ : 1 ) 2b x > − 2 ) 1b x ≤ − 3 ) 1 0b x− ≤ < 2. Tìm giao ñiểm của ñồ thị ( ) C của hàm số ( ) 3 2 3 3 2f x x x x= + − − và parabol ( ) ( ) 2 : 4 2P g x x x= − + . Xét vị trí tương ñối của ñường cong ( ) C và parabol ( ) P ( tức là xác ñịnh mỗi khoảng trên ñó ( ) C nằm phía trên hoặc dưới ( ) P ). 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 3 4 3 3f x x x= − + . Với giá trị nào của m , phương trình 3 4 3 2 3 0x x m− − + = có nghiệm duy nhất ?. 4. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 3 2 1 1f x x mx m x= − + − + có ñồ thị là ( ) , m C m là tham số . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt )a Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của m , ñồ thị ( ) m C của hàm số ñã cho và ñường thẳng ( ) 2 4 3 m d y mx m= − + luôn có một ñiểm chung cố ñịnh . )b Tìm các giá trị của m sao cho ñường thẳng ( ) m d và ñường cong ( ) m C cắt nhau 1 )b Tại ba ñiểm phân biệt 2 )b Tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương . )c Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi 1m = Hướng dẫn : )a ( ) 2 4 3 m d y mx m= − + luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh ( ) 2;3A và ( ) ( ) 2 3 m f A C= ⇒ ∈ .ðể giải quyết dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách ñại số 7 và ñại số 10 . )b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 3 2 1 2 0 ) 4 9 9 8 m m m d C x x m x m b m  <    ∩ − − − + − = ⇒    < ≠   : 5. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 1 2f x x m x m x m= + − − + + − có ñồ thị là ( ) , m C m là tham số . )a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , ñồ thị ( ) m C của hàm số ñã cho luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh . )b Chứng minh rằng mọi ñường cong ( ) m C tiếp xúac nhau tại một ñiểm. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các ñường cong ( ) m C tại ñiểm ñó . 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 4 2 4 3f x x x= − + .Tìm các giá trị của m sao cho phương trình 4 2 4 3 2 1 0x x m− + + − = có 8 nghiệm?. 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 4 2 2 3f x x x= − − + .Với giá trị nào của m , ñường thẳng 8y x m= + là tiếp tuyến của ñồ thị. 8. Cho hai hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 à 1 4 4 P f x x x v C g x x x= − + + = − +: : )a Chứng minh rằng ñồ thị ( ) ( ) àP v C tiếp xúc nhau tại ñiểm A có hoành ñộ 1x = . )b Viết phương trình tiếp tuyến cung ( ) t của ( ) ( ) àP v C tại ñiểm A . Chứng minh rằng ( ) P nằm phía dưới ñường thẳng ( ) t và ( ) C nằm phía trên ( ) t . 9. Chứng minh rằng các ñồ thị hàm số ( ) ( ) ( ) 2 1 3 4, 1 à 4 6f x x x g x v k x x x x = − + = + = − + tiếp xúc nhau tại một ñiểm. 10. Chứng minh rằng parabol ( ) ( ) 2 : 3 1P f x x x= − − tiếp xúc với ñồ thị ( ) C của hàm số ( ) 2 2 3 1 x x k x x − + − = − . Viết phương trình tiếp tuyến chung của ( ) ( ) àP v C tại tiếp ñiểm của chúng. 11. Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol ( ) ( ) 2 : 3P f x x x= − ñi qua ñiểm 3 5 ; 2 2 A   −     và vuông góc nhau. Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 12. Cho hàm số ( ) 1 ; , 1 mx f x m m x m − = ± − có ñồ thị là ( ) , m G m là tham số . )a Chứng minh rằng với mỗi 1m ± , ñường cong ( ) m G luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh ,A B . )b Gọi M là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của ( ) m G . Tìm tập hợp của các ñiểm M khi m thay ñổi . 13. )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) ( ) 4 2 x f x H x + = + . )b Chứng minh rằng parabol ( ) 2 : 2P y x= + tiếp xúc với ñường cong ( ) H . Xác ñịnh tiếp ñiểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của ( ) ( ) àP v H tại ñiểm ñó. )c Xét vị trí tương ñối cuả ( ) ( ) àP v H ( tức là xác ñịnh mỗi khoảng trên ñó ( ) P nằm phía trên hay phía dưới ( ) H ?. 14. )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) ( ) 2 1 x f x H x − = − . )b Chứng minh rằng với mọi 0m ≠ , ñường thẳng 3y mx m= − cắt ñường cong ( ) H tại hai ñiểm phân biệt , trong ñó ít nhất một giao ñiểm có hoành ñộ lớn hơn 1. 15. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 3 1x x f x x − + = . Với giá trị nào của m , ñồ thị của hàm số cắt ñường thẳng y m= tại hai ñiểm phâ biệt ,A B . Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn thẳng AB khi m thay ñổi . 16. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 2 3 2 x x f x x − − = − .Tìm các giá trị của m sao cho ñường thẳng cắt ñường cong tại hai ñiểm phân biệt ,A B . Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn thẳng AB khi m thay ñổi . 17. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) ( ) 2 2 3 3 1 x x f x C x + + = + .Tùy theo giá trị của m , biện luận số giao ñiểm của ( ) : 3d y mx m= + + và ( ) C . Với giá trị nào của m , ñường thẳng ( ) : 3d y mx m= + + cắt ñường cong ( ) C tại hai ñiểm thuộc hai nhánh của ( ) C . 18. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2 1 1 x x f x x + + = + . Với giá trị nào của m , phương trình 2 1 1 x x m x + + = + có 4 nghiệm?. 19. Cho hàm số ( ) ( ) 2 , 1 1 m x m f x m C x + = ≠ − − )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi 1m = . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt )b Với giá trị nào của m , ñường thẳng 7y x= − + tiếp xúc với ñường cong ( ) m C . )c Khi 2m = . Với giá trị nào của a ,thì phương trình ( ) 2 2 1x x a a− = − có 4 nghiệm phân biệt?. 20. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 4 1 , 2 2 1 m x m f x m C mx − = ≠ ± − )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi 1m = . )b Chứng minh rằng với mọi 1 2 m ≠ ± , các ñường cong của ( ) m C ñều ñi qua hai ñiểm cố ñịnh ,A B . Chứng minh tích các hệ số góc tại ,A B là hằng số khi m thay ñổi . Hướng dẫn : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2;1 , 2; 1 ' 2 . ' 2 4 A B f f− − − = . 21. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 : 1 , : 1 P f x x x H g x x = − + = + )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) ( ) ,P H . )b Tìm giao ñiểm ñường cong ( ) ( ) ,P H . Chứng minh rằng hai ñường cong ñó tiếp xúc nhau tại giao ñiểm của chúng . Xác ñịnh các khoảng trên ñó ( ) P nằm phía trên hay phía dưới ( ) ?.H 22. Cho hàm số ( ) 1 f x x x = + có ñồ thị là ( ) C )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) C . )b Tiếp tuyến của ñường cong ( ) C tại ñiểm ( ) ( ) 0 0 ;M x f x cắt tiệm cận ñứng và tiệm cận xiên tại hai ñiểm ,A B . Chứng minh rằng M là trung ñiểm AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí ñiểm M trên ñường cong ( ) C . Hướng dẫn : )b Tiếp tuyến ( ) t của ñường cong tại ñiểm ( ) ( ) 0 0 ;M x f x : ( ) 0 0 2 0 0 1 1 1y x x x x x   = − − + +       ( ) ( ) ( ) { } 0 0 0 2 0; , 2 ;2 , ,t TCD A t TCX B x x M A B x       ∩ = ∩ = ⇒             thẳng hàng . ( ) 0 1 2 , 0 2 OAB S OA OB dvdt x ∆ = = ≠ 23. Cho hàm số ( ) 3 1 x f x x + = + có ñồ thị là ( ) C )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến tại các ñiểm thuộc ñồ thị của hàm số ( ) C mà chúng có toạ ñộ nguyên dương . )b Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m , ñường thẳng 2y x m= + luôn cắt ( ) C tại hai ñiểm phân biệt , .M N Xác ñịnh m ñể ñộ dài MN là nhỏ nhất . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt )c Tiếp tuyến tại một ñiểm S bất kỳ của ( ) C cắt hai tiệm cận của ( ) C tại P và Q . Chứng minh S là trung ñiểm của PQ . Hướng dẫn : )b Phương trình hoành ñộ giao ñiểm ( ) 2 2 1 3 0 3 2 1 1 x m x m x x m x x  + + + − = +  = + ⇔  ≠ − +   Có ( ) 2 ' 3 16 0, .m m∆ = − + > ∀ Do ñó ñường thẳng 2y x m= + luôn cắt ñồ thị của hàm số ( ) C tại hai ñiểm phân biệt , .M N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ; 2 5 5 4 . 3 16 20 2 ; 2 4 M y x m M x y x m MN x x x x m N y x m N x y x m  ∈ = + ⇒ = +      ⇒ = + − = = − + ≥      ∈ = + ⇒ = +       2 5hay MN ≥ . Dấu ñẳng thức xảy ra khi ( ) 2 3 0 3m m− = ⇒ = Vậy ( ) min 3, 2 5m MN= = )c Giả sử ( ) ( ) 0 0 ;S x y C∈ . Tiếp tuyến ( ) t tại ( ) ( ) 0 2 0 0 2 2 : 1 1 1 S y x x x x = − − + + + + Giao ñiểm của ( ) t và tiệm cận ngang là ( ) 0 2 1;1P x + Giao ñiểm của ( ) t và tiệm cận ñứng là 0 4 1;1 1 Q x   − +     +   . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ðỒ THỊ Giao ñiểm của hai ñồ thị : 1. Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 1f x x x = + +. và vẽ ñồ thị của hàm số khi 1m = . Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt )b Với giá trị nào của m , ñường thẳng 7y x= − + tiếp xúc với ñường cong ( ) m C . )c Khi