mot so phep tinh thuong gap khi ve bieu do 79761

mot so phep tinh thuong gap khi ve bieu do 79761 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ðỒ THỊ Giao ñiểm của hai ñồ thị : 1. Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 1f x x x = + + có ñồ thị ( ) C và parabol ( ) ( ) 2 : 2 1P g x x = + )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số. Tùy theo giá trị của m , giải và biện luận phương trình 3 2 2 3 0 x x m + − = ) b Chứng tỏ rằng trong số tiếp tuyến của ñồ thị ( ) C thì thiếp tuyến tại ñiểm uốn I có hệ số góc nhỏ nhất . Viết phương trình tiếp tuyến ñó. Chứng tỏ I là tâm ñối xứng của ñồ thị ( ) C . ) c Gọi , A B là giao ñiểm của ñồ thị ( ) C và parabol ( ) P . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C và parabol ( ) P tại các giao ñiểm của chúng . ) d Xác ñịnh trên khoảng ñó ( ) C nằm phía trên hoặc phía dưới ( ) P . Hướng dẫn : ) c ( ) 1 3 ; , 0;1 2 2 A B   −     . Tiếp tuyến ( ) C tại , A B là 3 3 , 1 2 4 y x y = − + = .Tiếp tuyến ( ) P tại , A B là 1 2 , 1 2 y x y = − + = . ) d Xét ( ) ( ) ( ) 3 2 2 h x f x g x x x = − = + . Lập bảng xét dấu : ( ) 1 0, ; 2 h x x   < ∈ −∞ − ⇒     ( ) C nằm phía dưới ( ) P . ( ) ( ) 1 0, ;0 , 0; 2 h x x   > ∈ − +∞ ⇒     ( ) C nằm phía trên ( ) P . 2. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x f x x − = + có ñồ thị ( ) C ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số. ) b Với giá trị nào của m ñường thẳng ( ) m d ñi qua ñiểm ( ) 2;2 A − và có hệ số góc m cắt ñồ thị ñã cho • Tại hai ñiểm phân biệt?. • Tại hai ñiểm thuộc hai nhánh của ñồ thị ?. Hướng dẫn : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ) : 2 1 , : 3 2 3 0, 1 * m m b d y mx m d C g x mx mx m x = + + ∩ = + + + = ≠ − ðể ( ) ( ) m d C ∩ tại hai ñiểm phân biệt khi phương trình ( ) * có hi nghiệm phân biệt khác 1− . Khi ñó ta có hệ : ( ) 0 0 0 12 1 0 m m m g  ≠   <  ∆ > ⇔   >    − ≠   ðể ( ) ( ) m d C∩ tại hai ñiểm thuộc hai nhánh khi phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt 1 2 1x x< − < ( ) 1 0 0mg m⇔ − < ⇔ < . Cách khác : ðể ( ) ( ) m d C∩ tại hai ñiểm thuộc hai nhánh khi phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt 1 2 1x x< − < . ðặt 1x t= − khi ñó phương trình ( ) * trở thành 2 3 0mt mt+ + = có hai nghiệm trái dấu. Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 3. Cho hàm số ( ) 3 3 1f x x x= − + )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị tại ñiểm uốn I của nó . Chứng minh rằng trong số tiếp tuyến của ñồ thị thì tiếp tuyến tại I có hệ số góc nhỏ nhất . )b Gọi ( ) m d là ñường thẳng ñi qua ñiểm I có hệ số góc m . Tìm các giá trị m sao cho ñường thẳng ( ) m d cắt ñồ thị ñã cho tại ba ñiểm phân biệt. Hướng dẫn : )a 3 1y x= − + )b 3m > − 4. Cho hàm số ( ) ( ) 4 2 1f x x m x m= − + + )a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số với 2m = . Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm uốn của ñồ thị . )b Tìm các giá trị của m sao cho ñồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn ñiểm , tạo thành ba ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau . Hướng dẫn : )b ( ) ( )( ) 4 2 2 2 1 0 1 0x m x m x x m− + + = ⇔ − − = . ðể ñồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt , tạo thành ba ñoạn thẳng có ñộ dài bằng nhau khi 0 1m< ≠ . ( ) ( ) 1, 1 1 1 9 1 0 1,1 9 m m m m m m m m • > − = − − ⇔ = • < < − = − − ⇔ = Ngoài cách giải trên các bạn có thể dùng cấp số cộng ( lớp 11) ñể giải . 5. )a Với giá trị nào của m , ñường thẳng y m= cắt ñường cong 4 2 2 3y x x= − − tại 4 ñiểm phân biệt?. )b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ñường thẳng ( ) : m d y x m= − cắt ñường cong 2 2 1 x x y x − + = − tại hai ñiểm phân biệt. 6. Cho hàm số 1 ax b y x + = − )a Tìm ,a b ñể ñồ thị hàm số cắt trục tung tại ( ) 0; 1A − và tiếp tuyến của ñồ thị tại A có hệ số góc bằng 3− . Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số với ,a b vừa tìm ñược . )b Cho ñường thẳng ( ) d có hệ số góc m và ñi qua ñiểm ( ) 2;2B − . Tìm m ñể ( ) d Onthionline.net Mật độ dân cư Sản lượng Năng suất Bình quân đất người Bình quân thu nhập Bình quân sản lượng LT Từ % tính giá trị tuyệt đối Tính % Lấy năm gốc 100% tính năm Lưu ý : = 10 tạ = 1000 kg = 10.000 m Đơn vị Người / km2 Tấn nghìn triệu Kg / hay tạ / tấn/ m2 / người USD / người Kg / người Theo số liệu gốc % % Công thức Mật độ= số dân / diện tích Sản lượng = suất x diện tích Năng suất = sản lượng / diện tích Bình quân đất = diện tích đất/ số người BQ thu nhập = tổng thu nhập / số người BQ sản lượng = sản lượng lương thực / số người Lấy tổng thể x số % Lấy phần / tổng thể x 100 Số thực năm sau x 100 chia số thực năm gốc ( năm gốc năm đầu bảng thống kê ) Trường TH Kim Xá II Bài viết này giới thiệu với các bạn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi thực hiện phép tính. Tìm ra nguyên nhân của các sai lầm đó và đưa ra biện pháp khắc phục. Ví dụ 1. Khi thực hiện phép nhân: 456 x 203 = ? * Nguyên nhân: Khi thực hiện phép tính trên, các em đã"bỏ sót" chữ số 0 ở giữa số 203. Vì các em chưa hiểu bản chất của cách ghi số theo hệ thập phân và vị trí của từng chữ số, nên các em thường đặt tính một cách máy móc mà không hiểu vì sao phải làm như vậy. * Biện pháp khắc phục: Khi gặp "tình huống" trên chúng ta cần giải thích cho học sinh hiểu bản chất của cách ghi số. Cần giúp cho học sinh nắm vững quy tắc thực hiện phép tính, thực hiện từ phải sang trái (từ hàng đơn vị, đến hàng chục, rồi đến hàng trăm, …). Ở phép tính trên, khi nhân 3 với 456 (tích riêng thứ nhất) được 1368 đơn vị; còn khi nhân 2 với 456 (thực chất là tích riêng thứ ba) được 912, ở đây không phải 912 đơn vị mà là 912 trăm (vì 2 ở hàng trăm). Vì vậy, khi cộng các tích riêng ta phải đặt đúng theo quy tắc: hàng thẳng hàng. Ví dụ 2. Khi thực hiện phép chia: 1005 : 5 = ? * Nguyên nhân: Khi thực hiện phép tính trên, ở lượt chia thứ hai khi hạ 0 xuống thấy không đủ chia, đáng lẽ phải viết tiếp 0 ở thương thì các em lại quên mất, mà cứ hạ luôn 5 xuống để chia tiếp cho 5 được 1(!). Sở dĩ các em quên như vậy là do 0 < 5; nên ở đây 0 vừa là số bị chia, lại vừa là số dư trong lượt chia thứ hai. Các em thường chỉ thấy được 0 là số dư, chứ không thấy được 0 cũng là số bị chia, do đó quên mất lượt chia: 0 : 5 được 0, viết 0 ỏ thương. * Biện pháp khắc phục: Cách 1. Để khắc phục sai lầm này ta có thể tiến hành lượt chia thứ hai một cách bình thường, nghĩa là: 0 : 5 được 0, viết tiếp 0 ở thương; 0 x 5 = 0, 0 - 0 = 0 viết 0 (dưới 0). Sau đó, hạ 5 xuống để chia tiếp: 5 : 5 = 1, viết 1 ở thương…Như vậy lượt chia thứ hai vẫn được viết đầy đủ như các lượt chia khác. Cách làm này tuy có dài hơn SGK một dòng nhưng giúp các em thấy rõ được: - Số 0 ở dòng thứ hai là số bị chia trong lượt chia thứ hai. - Số 0 ở dòng thứ ba là số dư trong lượt chia thứ hai. Nhờ vậy các em sẽ đỡ bị quên việc viết 0 ở thương. Cách 2. Ngoài cách trên, ta cũng có thể khắc phục sai lầm bằng cách lưu ý: mỗi khi hạ một chữ số xuống đều phải nhớ ghi một chữ số ở thương. Cách 3. Hoặc tập ước lượng thương để phát hiện cái sai, chẳng hạn: 1000 : 5 thì bằng 200 rồi, vậy 1005 không thể chỉ có 21 được. GV: Nguyễn Vũ Duyên 1 Trường TH Kim Xá II Bài viết này giới thiệu với các bạn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi thực hiện phép tính. Tìm ra nguyên nhân của các sai lầm đó và đưa ra biện pháp khắc phục. Ví dụ 1. Khi thực hiện phép nhân: 456 x 203 = ? Một số học sinh đã làm như sau: Rõ ràng các học sinh đã thực hiện sai phép tính. * Nguyên nhân: Khi thực hiện phép tính trên, các em đã"bỏ sót" chữ số 0 ở giữa số 203. Vì các em chưa hiểu bản chất của cách ghi số theo hệ thập phân và vị trí của từng chữ số, nên các em thường đặt tính một cách máy móc mà không hiểu vì sao phải làm như vậy. * Biện pháp khắc phục: Khi gặp "tình huống" trên chúng ta cần giải thích cho Đơn vị Công thức 1 Mật độ dân cư Người / km 2 Mật độ= số dân / diện tích 2 Sản lượng Tấn hoặc nghìn tấn hoặc triệu tấn Sản lượng = năng suất x diện tích 3 Năng suất Kg / ha hay tạ / ha hoặc tấn/ tấn Năng suất = sản lượng / diện tích 4 Bình quân đất trên người m 2 / người Bình quân đất = diện tích đất/ trên số người 5 Bình quân thu nhập USD / người BQ thu nhập = tổng thu nhập / số người 6 Bình quân sản lượng LT Kg / người BQ sản lượng = sản lượng lương thực / số người 7 Từ % tính giá trị tuyệt đối Theo số liệu gốc Lấy tổng thể x số % 8 Tính % % Lấy từng phần / tổng thể x 100 9 Lấy năm gốc 100% tính các năm kế tiếp % Số thực của năm sau x 100 rồi chia số thực của năm gốc ( năm gốc là năm đầu trong bảng thống kê ) Lưu ý : 1 tấn = 10 tạ = 1000 kg 1 ha = 10.000 m 2 Những sai lầm thuộc phần này liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lí, qui tắc phơng pháp. Sai lầm 1. Không hiểu đúng khái niệm, kí hiệu Ví dụ 1. Chứng minh : ( ) (1 ) x F x x e = + là một nguyên hàm của ( ) x f x xe = . Từ đó hãy tìm nguyên hàm của ( ) ( 1) x g x x e = . Một học sinh có lời giải nh sau: Ta có: ' ( ) (1 ). . ( ) x x x F x e x e x e f x = + + = = , suy ra F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta có: ( ) ( 1). x g x dx x e dx = . (1 ). (1 ). . . = = + + + = + + = x x x x x x x x e dx e dx x e C e C x e e x e (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm: Đã viết cùng một hằng số C cho hai phép tính nguyên hàm. Lời giải đúng là: ( ) ( 1). . x x x g x dx x e dx x e dx e dx = = 1 2 1 2 (1 ). (1 ). x x x x x e C e C x e e C C = + + + = + + + . x x e C = + (với 1 2 C C C= ). Ví dụ 2. Kiểm tra ( ) ln(ln(sin ))F x x= có phải là nguyên hàm của cot ( ) ln(sin ) gx f x x = hay không. Một học sinh có lời giải nh sau: [ ] [ ] ' ' ' ' 1 1 (sin ) ( ) ln(ln(sin ) . ln(sin ) . ln(sin ) ln(sin ) sin x F x x x x x x = = = cos cot ( ) sin .ln(sin ) ln(sin ) x gx f x x x x = = = . Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x). (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên. (!) Nguyên nhân sai lầm: Vì ln(sin ) ln1 0x < = Không tồn tại ln(ln(sin ))x . Vậy F(x) không tồn tại nên không thể là nguyên hàm của f(x). Ví dụ 3. Tính tích phân 0 2 1 2 2 dx I x x = + + . Một học sinh có lời giải nh sau: 0 0 2 2 1 1 0 ( 1) 1 0 1 2 2 ( 1) 1 4 dx dx I arctg x arctg arctg x x x = = = + = = + + + + . (?) Hãy tìm nguyên nhân thiếu sót trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Nguyên nhân thiếu sót: Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời. Lời giải đúng: Đặt 2 2 1 (1 ) (1 )u x tgt du tg t dt u dt= + = = + = + 0 1 4 4 2 2 2 2 1 0 0 0 ( 1) (1 ) 4 ( 1) 1 1 1 4 0 d x du u dt I dt t x u u + + = = = = = = + + + + . Ví dụ 4. Tính tích phân 8 2 4 16 = x I dx x . Một học sinh có lời giải nh sau: 8 8 2 2 2 4 4 16 16 = = x x x I dx dx x x . Đặt 2 2 16 16 = = = xdx t x dt xdx tdt x . 8 4 3 4 3 2 2 2 2 2 4 0 0 4 316 16 1 4 16 16 4 0 x x t dt t I dx dt t arctg x t t = = = = ữ + + 4 4 3 3 = . (?) Hãy tìm nguyên nhân thiếu sót và sửa thiếu sót đó. (!) Nguyên nhân thiếu sót: Trong cách tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctg là khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời. Lời giải đúng: Đặt 2 4 4sin cos cos t x dx dt t t = = 3 3 3 2 2 2 2 0 0 4sin 1 16( 1) 4 4 (1 ) 1 4 cos cos . cos o t I dt tg tdt tg t dt t t t = = = + [ ] 4 4 4 3 3 3 0 = = tgt t . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 2 ( 1) dx I x = + Một học sinh có lời giải nh sau: 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 4 1 2 ( 1) ( 1) 1 3 3 dx d x I x x x + = = = = = + + + . (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng? (!) Nguyên nhân sai lầm: Do hàm số 2 1 ( 1) y x = + gián đoạn trên đoạn [ ] 2;2 nên không sử dụng đợc công thức Niutơn- Laipnit để tính tích phân trên. Lời giải đúng: Do hàm số 2 1 ( 1) y x = + không xác định tại [ ] 1 2;2x = nên gián đoạn trên [ ] 2;2 . Do đó tích phân trên không tồn tại. Chú ý: Có thể nhận xét 2 1 1 lim ( 1) x x = + + nên hàm số không bị chặn trên [ ] 2;2 , do đó tích phân này không tồn tại. Sai lầm 2. Không bảo đảm tính lôgic của lời giải Ví dụ 1. Tính 3 (2 1)x dx+ . Một học sinh có lời giải nh sau: Ta có: 4 3 (2 1) (2 1) 4 x x dx C + + = + . (?) Hãy tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải trên và cho lời giải đúng. (!) Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên đã vận dụng công thức 1 1 n n x x dx C n + = + + với 1n . Lời giải đúng: Ta có: 3 3 3 (2 1) 1 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2 2 d x x dx x x d x + + = + = + + 4 (2 PHẦN I: MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong Đại số. Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân nói riêng. Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của các năm qua, bài toán liên quan đến tích phân hầu như không thể thiếu và là bài toán không thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn coi tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bản hoặc phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần ngay mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy và ôn thi nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân’’ 2. Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12. 1 3. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A1 và 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN và thi HSG tỉnh Thanh Hóa. 4. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi nói chung. II. THỰC TRẠNG Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm tích phân và ứng dụng” thường gặp phải những khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân. - Không nắm vững phương pháp đổi biến số. - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần III. CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau: - Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải. - Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể. Phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán. - Thực nghiệm sư phạm PHẦN II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. 2 Kí hiệu: ( ) x ( )f x d F x C= + ∫ Nhận xét: Khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và hay bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên chú ý: “Để tính ( )f x dx ∫ ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)” Tính chất: Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa a) ( ( ) )' ( )f x dx f x= ∫ b) ( ) ( )kf x dx k f x dx= ∫ ∫ c) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ 2. Tích phân Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz b b a a f (x)dx F(x ) F(b) F(a) = = − ∫ Tính chất Tính chất 1: b a a b f (x)dx f (x)dx =− ∫ ∫ Tính chất 2: b b a a kf (x)dx k f (x)dx= ∫ ∫ với k ∈ R Tính chất 3: [ ] b b b a a a f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ± = ± ∫ ∫ ∫ Tính chất 4: c b c a a b f (x)dx f (x)dx f (x)dx = + ∫ ∫ ∫ Ngoài ra còn dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: ‘‘Cái sai