Xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy hiệu Unordered martingale

Bài viết trình bày việc thiết lập một số kết quả về xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale. Các kết quả này là mở rộng của các kết quả đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập.

UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Nhận bài: 15 – 01 – 2015 Chấp nhận đăng: 25 – 03 – 2015 http://jshe.ued.udn.vn/ XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY HIỆU UNORDERED MARTINGALE Lê Văn Dũnga*, Lê Trần Phương Thanhb Tóm tắt: Trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trị quan trọng nghiên cứu thống kê ứng dụng Tuy nhiên, tốn thống kê nói chung khơng cho phép nhiên cứu với cỡ mẫu lớn vô hạn Vì tốn “xấp xỉ phân phối chuẩn” cho phép ước lượng cỡ mẫu cần thiết để áp dụng Định lí giới hạn trung tâm Năm 1970, Charler Stein giới thiệu phương pháp xấp xỉ phân phối chuẩn gọi phương pháp Stein Các kết nghiên cứu chủ yếu dãy biến ngẫu nhiên độc lập Trong báo này, thiết lập số kết xấp xỉ phân phối chuẩn dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale Các kết mở rộng kết dãy biến ngẫu nhiên độc lập Từ khóa: xấp xỉ phân phối chuẩn; biến ngẫu nhiên; hiệu unordered martingale; bất đẳng thức BerryEsssen; định lí giới hạn trung tâm Giới thiệu Cho ( X n ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng phương sai  hữu hạn Đặt S n = X + X + + X n unordered martingale thỏa mãn hai điều kiện: (i) E(| X j |)   j , (ii) E ( X j / F j ) = j , F j =  ( X i : i  j ) chuẩn tắc Định lí giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: Khái niệm hiệu unordered martingale Choi Klass đưa báo [2] Khái niệm mở rộng sau: Cho m số nguyên không âm Dãy biến ngẫu ( X n ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, nhiên ( X n ; n  N* ) gọi hiệu m-unordered phân phối xác suất Fn ( x ) hội tụ đến  ( x) martingale thỏa mãn hai điều kiện: (i) E(| X j |)   j , Kí hiệu Fn ( x )  ( x) hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Sn /  n biến ngẫu nhiên n →  với x  R Tốc độ hội tụ định lí giới hạn trung tâm Berry [1] Esseen [4] rằng: sup | Fn ( x) − ( x) |= O(n −1/2 xR ) n →  Trong báo nghiên cứu tốc độ hội tụ định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale với j = i + 1, , i + m , Trong F j nhiên  - đại số sinh biến ngẫu {i , j  i} { j , j  i + m} Như dãy biến ngẫu nhiên hiệu Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  N* ) xác định không gian xác suất (; F ; P ) gọi hiệu i  1, E ( X j / F i ) = (ii)Với unordered martingale hiệu - unordered martingale Cơ sở lý thuyết phương pháp nghiên cứu a.Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng viên cao học K27 Toán sơ cấp, ĐHĐN * Liên hệ tác giả Lê Văn Dũng Email: lvdunght@gmail.com Điện thoại: 0935110108 b.Học Để chứng minh kết ta cần nhắc lại số khái niệm tính chất phương pháp Stein Gọi Z biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Với h hàm liên tục tuyệt đối cho Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 5, số (2015), 1-6 | Lê Văn Dũng, Lê Trần Phương Thanh E | h( Z ) |  Phương trình sau gọi phương Ta lại có n  trình Stein f ( ) −  f ( ) = h( ) − Eh( Z ) f h ( ) = −e 2   [h( x) − Eh(Z )]e − x2 (ii) dx n = biến ngẫu nhiên hiệu hàm liên tục tuyệt đối cho E | h( Z ) | , gọi f = f h nghiệm phương E[Wf h (W )] = E[( Lipschitz  ) f (W )] =  E[ f (W )] i h i ))] (do E(i |F i )=0, i) f (W (i ) + t )dt ] 0 i cho với hàm ta có: (i ) + t )dt ] ‖FW − ‖ = sup | P(W  x) − P( Z  x) |  xR Kết đánh giá i n  E[  − i =1 i  E[−  f (W  i =1 h  0 hL (1) (i ) i =1 = − ‖ FW − ‖ = sup | E (h(W ) − E (h( Z )) |  i =1  E[ ( f (W ) − f (W n  Khi đó, i h i =1 = E{ f h (W ) − f h (W (i ) + t )}Ki (t )dt Giả sử tồn số n n i =1 E{ f h (W )}Ki (t )dt | E (h(W )) − E (h( Z )) | ‖h‖ n n  − n trình Stein Ta có: = Ki (t )dt 2.2 Định lí ([3], Định lí xấp xỉ phân phối chuẩn tổng quát) Ki (t ) := E{i ( I{0ti } − I{i t0} )} i =1 − Đẳng thức gọi Đẳng thức Stein W (i ) := W − i , i  i =1 i =1  E[   =   E{ f (W ) − f (W (i ) + t )}K i (t )dt n W :=  i , =  Eh(W ) − Eh(Z ) = [ f (W ) − Wf (W )]  Ei2 = Đặt i =1 n n Vì ta có: n =  − i =1 unordered martingale cho h  n = 2.1 Đẳng thức Stein Với =1 i =1 i =1 i =1  /  h' 1 ,  , ,  n i Do đó, E[ f h (W ) − Wf h (W )] (iii) f h''  h ' Cho  E Ef h (W ) = Ef h (W ) (i) fh  h ' f h' Ki (t )dt = nên f = f h có số tính chất sau (xem [3]): Nghiệm − i =1 f = f h phương trình Stein là: Nghiệm tổng quát n   − f h (W (i ) + t )i ( I 0t i − Ii t 0 )dt ] 3.1 Định lí Cho E[ f h (W (i ) + t )]Ki (t )dt 1 ,  , ,  n biến ngẫu nhiên unordered martingale thỏa mãn E | 1 |3   với ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn Giáo dục, Tập 5, số (2015), 1-6 n 1 i  n ,  E i =1 n n ‖ FW − ‖   4(42 + 33 ) n ‖ FW − ‖   3 E | i | với i =1 n Ef h(W ) − Wf h (W ) − theo tính chất nghiệm phương trình Stein   i =1 n = − i | fh(W ) − fh(W (i ) + t ) |=| fh(W (i) + i ) − fh(W (i) + t ) | ‖ fh"‖ | i − t |‖ fh"‖ (| i | + | t |)  2‖ h‖ (| i | + | t |) nữa, E | f h (W ) − f h (W (i ) + t ) | Ki (t )dt | fh (W ) − fh (W (i ) + t ) | | fh (W ) | + | f h(W (i ) + t ) |  4‖ h‖ +4‖ h‖ = 8‖ h‖ Suy  i =1  i =1 Chứng minh Sử dụng tính chất nghiệm phương trình Stein ta có ta có: | Ef h (W ) − Wf h (W ) | n i i =1 E{ f h (W ) − f h (W (i ) + t )}Ki (t )dt ‖ f h‖  2‖ h‖ , n  =  Ei2 I{| |1} 3 =  E | i |3 I{| |1} Chứng minh Từ đẳng thức Stein:  = Khi và  i ‖ FW − ‖  4(42 + 33 ) i =1 n  E i =1 ‖ FW − ‖  3 E | i |3 i =1 biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale thỏa mãn ta có: = 1 ,  , ,  n Cho = Đặt W = 1 +  n Khi i  −  2.‖ h‖ n  i =1  2.‖ h‖ n  −  ( i =1 = 2.‖ h‖ | f (W ) − f h(W (i ) + t ) | E | f h (W (i ) + i ) − f h (W (i ) + t ) | Ki (t )dt n ( i =1  min(8‖ h‖ , 2‖ h‖ (| i | + | t |)) | i | + | t | )  8‖ h‖ min(1,| i | +t ) = 8‖ h‖ min(1, E (| i | + | t |) Ki (t )dt  − | t | Ki (t )dt +   − E | i | Ki (t )dt )  8‖ h‖ (| t | 1+ | i | 1) Mặt khác từ Đẳng thức Stein ta có | Eh(W ) − Eh( Z ) | E | i | + E | i | Ei2 ) E | i |3  2.‖ h‖ ( + E | i |3 ) i =1  8‖ h‖ n  = 3.‖ h‖ n  i =1 = 8‖ h‖ E | | n  ( i =1 i + i =1 Áp dụng Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh 3.2 Định lí n   −  −  − E{| t | 1+ | i | 1}Ki (t )dt E (| t | 1) Ki (t )dt E (| i | 1) Ki (t )dt ) Suy | Eh(W ) − Eh( Z ) |  8‖ h‖ n  i =1  − E{| t | 1}Ki (t )dt + Ei2 E (| i | 1) Đặt Lê Văn Dũng, Lê Trần Phương Thanh n  A= i =1  − Eh(W ) − Eh( Z ) | E{| t | 1+ | i | 1}Ki (t )dt | 8‖ h‖ (22 + 3 ) = 4(42 + 33 )‖ h‖ Ta có   − 1  | x | + | x | (| x | −1) = 2  | x |3 ,  n A=  ( i =1 n = Áp dụng Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh Từ Định lí 2.6 ta thiết lập Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale sau (| t | 1{I[0; x ] (t ) − I[ − x;0) (t )})dt  − | x | 3.3 Hệ | x | unordered martingale thỏa mãn E{| t | 1+ | i | 1}Ki (t )dt  ( E{ |  | i i =1 I{|i |1}} sup | P(Sn / Bn  z) − ( z) |→ n →  z Chứng minh Đặt + E{| i |3 I{|i |1}} + Ei2 E (| i | 1)) − 2 i E (| i i =1 i n  E {| i |1}} i E (| i | 1) n Với    + 3 ta có = E{| i | I{|i |1}} + E I i {|i | 1} Suy i =1 E (| i | 1) n   E | i | I{|i |1} +  E I i =1 Vì = = n W =  i i =1 ( x  1) hàm Ei2 E (| i | 1)  Ei2 (| i | 1) i  biến ngẫu nhiên x  , với biến ngẫu nhiên  i  E biến ngẫu nhiên hiệu unordered  i =1 Mặt khác, hai hàm x n i i = X i / Bn W = Sn / Bn Khi martingale thỏa mãn:   E (i | F i ) = B E ( X i | F i ) = n   n n  Ei2 = EX i2 =  Bn i =1  i =1 | 1)  E{|  | I    + 3 + tăng theo n i =1 i =1 = ( E{| i | I{|i |1}} − E{| i | I{|i |1}} i =1  E i =1 n E{ X i2 I{| X i | Bn }} → 0, n →   Bn i=1 n n Nếu   0, n =  + 3 + n E( X i2 )   Đặt Sn :=  X i Bn2 :=  EX i2 + E{( | i | + | i | (| i | −1)) I{|i |1}} + Ei2 E (| i | 1))  X1, X , , X n biến ngẫu nhiên hiệu Cho i =1 i {|i | 1} =  + 3 Bn2 Bn2 n  i =1 E{ X i2 I{| X i | Bn }} + n  E{X +  ta có i =1 Bn3 i I{| X i | Bn }} + Bn3 Bn3 n  E{| X i =1 i i =1 |3 I{| X i |Bn }} n  E{| X i =1 n  E{| X | i I{ Bn | X i | Bn }} i |3 I{| X i | Bn }} ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn Giáo dục, Tập 5, số (2015), 1-6 +  Bn2  E{X i =1  Bn Bn2 Nếu i =1 E{ X i2 I{| X i |Bn }} + n  E{X Bn2 i=1 i I{| X i | Bn }} trình Stein Ta có: E{Wf h (W )} = E ( i f h (W )) i I{ Bn | X i | Bn }} n  E{X i =1 i I{| X i | Bn }} + n  i =1 E{ X i2 I{| X i | Bn }} + n  E{X i =1 iJ   Bn2 =  Ei [ f h (W ) − f h (W − i )] n  E{X Bn2 i=1 i I{| X i | Bn }} +  i I{| X i | Bn }} iJ Vì E{Wf h (W )} = n   E{ [ f (W ) − f (W − ) − f (W )]} EX i2 i =1 iJ (*) h i i h + E{( ii ) f h(W )}  + 3 → , n →  E ( j | F i ) = , j = i + 1, , i + m nên ta có: = EW = E{ iW } =  E{iW } iJ iJ =  E{i (W − i ) + ii } =  E{ii } Theo iJ Định lý 2.6 ta có sup | P(W  z ) −  ( z ) | iJ Do E{ f h (W ) − Wf h (W )} z = sup | P( Sn / Bn  z ) −  ( z ) | = E[( z  E{  }) f (W )] − E{Wf (W )} i i h h iJ = 4(4 + 33 ) = −E( − 3.4 Định lí Cho biến ngẫu nhiên hiệu n martingale thỏa mãn  Ei2 = Với i =1 i i h  E{ [ f (W ) − f (W − ) − f (W )]} i h h i i h Mặt khác, theo tính chất nghiệm phương trình Stein ta có‖ f h‖  2‖ h‖ i2 f h(W ) +  fh (W ) −i f h(W ) + i2 ‖ h‖ Khi Do ‖ FW − ‖   | h(W ) − Eh( Z ) |‖ h‖ {4 E | {ii − E (ii )}| +  E |   |} ‖ FW − ‖    iJ  = E | { i i − E{ ji }}| +  E |  i i |, W = 1 + + n và‖ f h (W − i ) = f h (W ) − i f h (W ) + jAi iJ fh‖  4‖ h‖ Áp dụng khai triển Taylor ta i , đặt Ai = {i + 1, , i + m} , i =   j i i iJ 1 ,  , ,  n m -unordered {  − E (  )}) f (W ) iJ   + 3 → n →  với h Mặt khác, n  E{X i2 I{|Xi|Bn }} → 0, n →  Bn2 i=1  2 i iJ   từ (*) suy f = f h nghiệm phương Chứng minh Gọi n = Bn =  n Bn2  iJ iJ i i Áp dụng Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh 3.5 Đánh giá Khái niệm dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale mở rộng khái niệm dãy biến ngẫu Lê Văn Dũng, Lê Trần Phương Thanh nhiên độc lập, tương tự vậy, khái niệm hiệu m unordered martingale mở rộng khái niệm m – phụ thuộc Ví dụ minh họa cho tồn khái niệm sau: Cho (Yn ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc, có phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, tức P (Yn = −1) = P (Yn = 1) = / Với ( X n ; n N* ) dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng hữu hạn độc lập với dãy (Yn ; nN* ) Đặt n = X nYn , (n ; n N* ) dãy biến ngẫu hiệu m - unordered martingale Kết luận Việc nghiên cứu Bất đẳng thức Berry - Essen phương pháp Stein nhiều tác giả nghiên cứu, đặc biệt nhóm nghiên cứu giáo sư Louis Chen (Đại học Quốc gia Singapore) Trong báo thiết lập số kết tốc độ hội tụ định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên nhiên hiệu unordered martingale phương pháp Stein Tài liệu tham khảo [1] Berry A.C (1941), “The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates”, Trans Amer Math., 49, 122–136 [2] Choi K P and Klass M J (1997), “Some best possible prophet inequalities for convex functions of sums of independent variates and unordered martingale difference sequences”, The Annals of Probability, 25, 2, 803–811 [3] Chen H.Y.L, Goldstein L and Qi-Man Shao (2011), “Normal approximation by Stein’s method”, Springer Press [4] Esseen C G (1942), “On the Liapunov limit of error in the theory of probability”, Ark Mat Astr Fys., 28A, 1–19 NORMAL APPROXIMATION FOR UNORDERED MARTINGALE DIFFERENCE SEQUENCES Abstract: Of all the limit theorems of the probability theory, the central limit theorem plays an important role in statistical analysis and its application However, statistical problems cannnot be solved with infinitely large sample sizes, so the problem of “normal approximation” helps to estimate the required sample size to apply central limit theorems In 1970, Charler Stein introduced his startling technique for normal approximation which is now known as Stein's method This paper establishes some results of normal approximation for sequences of unordered martingale difference random variables The results are the extension of those of the independent random variables sequences Key Words: normal approximation; random variables; unordered martingale difference; Berry-Essen inequality; central limit theorem ... giá Khái niệm dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale mở rộng khái niệm dãy biến ngẫu Lê Văn Dũng, Lê Trần Phương Thanh nhiên độc lập, tương tự vậy, khái niệm hiệu m unordered martingale mở... N* ) dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc, có phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, tức P (Yn = −1) = P (Yn = 1) = / Với ( X n ; n N* ) dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng hữu hạn độc lập với dãy (Yn... lý giới hạn trung tâm Lindeberg dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale sau (| t | 1{I[0; x ] (t ) − I[ − x;0) (t )})dt  − | x | 3.3 Hệ | x | unordered martingale thỏa mãn E{| t | 1+