Không gian cận mêtric sober

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hàn Thị Thanh Lan KHƠNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hàn Thị Thanh Lan KHƠNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Nội dung luận văn có tham khảo, trình bày lại phát triển khái niệm, định lý báo Wei Li, Dexue Zhang (2017), “Sober metric approach spaces”, Topology and its Applications Tôi cam đoan trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Học viên thực luận văn Hàn Thị Thanh Lan LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, em nhận nhiều giúp đỡ chuyên môn từ Giảng viên khoa Toán, giáo viên đồng nghiệp bạn lớp Hình học tơpơ khóa 28 anh chị khóa Đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh Người hướng dẫn khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy nhiệt tình hướng dẫn em nghiên cứu chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có luận văn tốt Em xin gửi lời cám ơn đến Thầy, Cô cơng tác Phịng Sau đại học quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn thủ tục để em hồn thành luận văn u cầu tiến độ Em xin chân thành cảm ơn Giảng viên cơng tác khoa Tốn giảng dạy em suốt trình học tập lớp cao học Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Lý Thường Kiệt – Hóc Mơn đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thành viên gia đình động viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu Cảm ơn bạn Dư Ngọc Minh Anh (email minhanhsp93@gmail.com) giúp đỡ tìm tài liệu chia sẻ kinh nghiệm trình làm luận văn Cảm ơn anh Trần Vũ An bạn Lê Ngô Ngọc Nam lớp cao học Hình học tơpơ khóa 28 học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn Hàn Thị Thanh Lan MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa hàm tử 1.1.1 Hàm tử bao hàm 1.1.2 Hàm tử đơn ánh, toàn ánh, song ánh .4 1.2 Một số định nghĩa phạm trù .4 1.2.1 Phạm trù nhỏ 1.2.2 Phạm trù đầy đủ 1.2.3 Phạm trù đóng .4 1.2.4 Phạm trù 1.2.5 Phạm trù đầy đủ 1.2.6 Phạm trù đầy đủ phản đối xứng 1.3 Nửa phạm trù 1.4 Tập hợp thứ tự 1.5 Một số định nghĩa không gian tôpô 1.5.1 Tập bất khả quy .7 1.5.2 Không gian tôpô Sober 1.5.3 Ánh xạ c tốn tử đóng 1.6 Một số định nghĩa không gian mêtric 1.6.1 Không gian mêtric 1.6.2 Không gian mêtric đối xứng; tách; hữu hạn 1.6.3 Đối d ; Đối xứng d .9 1.6.4 Ánh xạ co; Phép đẳng cự phạm trù không gian Mêtric 1.6.5 Khoảng cách Lawvere (Mêtric Lawvere) 1.6.6 Trọng đối trọng không gian mêtric 1.6.7 Ánh xạ f   .10 1.6.8 Tập hợp tất trọng không gian mêtric 10 1.6.9 Mêtric tách P  X  11 1.6.10 Tích tenxơ trọng đối trọng .11 1.6.11 Liên hợp phải, liên hợp trái trọng đối trọng 11 1.6.12 Lưới Cauchy, Lưới song Cauchy 12 1.6.13 Giới hạn Yoneda 12 1.6.14 Ánh xạ liên tục Yoneda .12 1.6.15 Trọng Cauchy, trọng phẳng .13 1.7 Một số định nghĩa không gian cận 13 1.7.1 Không gian cận 13 1.7.3 Phép co phạm trù không gian cận 15 1.7.4 Hàm quy tính chất 15 Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN: KHÔNG GIAN TÔPÔ, KHÔNG GIAN MÊTRIC, KHÔNG GIAN CẬN VÀ THÀNH PHẦN SOBER CỦA KHÔNG GIAN CẬN 17 2.1 Mối liên hệ không gian: Không gian tôpô, không gian mêtric không gian cận 17 2.1.1 Thứ tự đặc biệt không gian tôpô 17 2.1.2 Mêtric đặc biệt không gian cận 17 2.1.3 Sơ đồ liên hệ không gian: Không gian tôpô, Không gian mêtric Không gian cận 18 2.2 Thành phần sober không gian cận 20 2.2.1 Không gian cận Sober 20 2.2.1.2 Không gian cận Sober 20 2.2.2 Tập X ánh xạ  .20   2.2.3 Không gian X , 22 2.2.4 Ánh xạ X 22 2.2.5 Định lý 22 2.2.6 Phạm trù SobApp phạm trù App .26 Chương KHÔNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER 28 3.1 Tính đầy đủ Yoneda khơng gian mêtric 28 3.1.1 Không gian mêtric đầy đủ Yoneda 28 3.1.2 Tính chất 29 3.1.3 Bổ đề 30 3.1.4 Tính chất 32 3.1.5 Tính chất 33 3.1.6 Tính chất 34 3.1.7 Định lý 35 3.2 Tính đầy đủ Smyth không gian mêtric 35 3.2.1 Không gian mêtric đầy đủ Smyth 36 3.2.2 Bổ đề mối liên hệ lưới Cauchy song Cauchy 36 3.2.3 Tính chất 37 3.2.4 Tính chất 38 3.3 Các tính chất khơng gian cận mêtric 39 3.3.1 Tính chất 39 3.3.3 Tính chất 40 3.3.4 Bổ đề 41 3.3.5 Định lý 42 3.3.6 Định lý 43 3.4 Mối liên hệ tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth đến không gian cận mêtric Sober 45 3.4.1 Định lý 45 3.4.2 Định lý 47 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Giới thiệu đề tài Vào năm 1906, Maurice Frechet lần giới thiệu không gian mêtric sách “Sur quelques points du calcul fonctionnel” Từ đó, nhà khoa học tìm hiểu sâu khơng gian đưa nhiều ứng dụng Khơng gian mêtric xây dựng dựa lý thuyết khoảng cách hai điểm tập hợp Có nhiều mở rộng khơng gian mêtric, có khơng gian cận mêtric Sober W Li, D Zhang giới thiệu báo “Topology and its Applications” vào năm 2017 Trong tôpô, không gian cận mở rộng chung không gian tôpô không gian mêtric, dựa khoảng cách từ điểm đến tập hợp, thay khoảng cách hai điểm không gian mêtric “Không gian cận” giới thiệu lần Robert Lowen tài liệu “Approach spaces: a common supercategory of TOP and MET, Mathematische Nachrichten, 141” vào năm 1989 Đến năm 1997, Lowen lần đề cập không gian cận báo “Approach Spaces: The Missing Link in the Topology – Uniformity - Metric Triad” Lowen đưa tính chất khơng gian cận không gian cận không gian tôpô cảm sinh không gian tôpô không gian mêtric cảm sinh không gian mêtric Luận văn nhằm giới thiệu không gian cận Sober – Một không gian tơpơ Sober góc nhìn mêtric, giới thiệu B Banaschewski, R Lowen C Van Olmen “Sober approach spaces, Topology and its Applications” viết năm 2006 Một vấn đề cần quan tâm khơng gian tơpơ Sober khơng gian cận Sober? Không gian gọi không gian cận mêtric, không gian cận mêtric không gian cận mêtric Sober? Trong [4], “Cho d mêtric thông thường (đối xứng, tách hữu hạn) tập X, thành phần Sober không gian cận mà tạo thành không gian mêtric  X , d   X , d  không gian mêtric đầy đủ” Bài luận văn nhằm mô tả chi tiết kết tổng quát phát biểu sau: “Cho  X , d  không gian mêtric, thành phần Sober khơng gian cận có dạng tạo thành không gian mêtric X , d  không gian cận mêtric  X , d  không gian mêtric đầy đủ Smyth” Không gian mêtric đầy đủ Smyth lần đầu tìm nhà tốn học Smyth, trình bày “Quasi-uniformities: Reconciling domains with metric spaces, Lecture Notes in Computer Science Completeness of quasi-uniform and syntopological spaces, Journal of London Mathematical Society” Không gian mêtric  X , d  gọi đầy đủ Smyth tách lưới Cauchy không gian  X , d  hội tụ X , d sym  Mối quan hệ không gian cận không gian mêtric tương tự mối quan hệ không gian tơpơ tập thứ tự Ta có mối liên hệ tập thứ tự, không gian tôpô, không gian mêtric không gian cận thể qua sơ đồ sau: Ord Met Nội dung luận văn quan tâm đến: - Tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth khơng gian mêtric tính chất liên quan - Tính đầy đủ Yoneda đầy đủ Smyth liên quan đến không gian cận mêtric Sober nào? 42 Chứng minh: (Sử dụng tính chất 3.1.5) Gọi  nguyên tố cận  X , d , chứng minh  trọng phẳng  X , d  Từ định nghĩa nguyên tố cận, ta có ý a  mục 2 tính chất 3.1.5 Dễ dàng kiểm tra  thỏa điều kiện b Thật vậy:   x   max 0, 2    thỏa  ,     Do đó, tồn   y     d  x1 , y    y    d xi , y     i i 1, 2 Ngược lại, ta chứng minh trọng phẳng   X , d  nguyên tố cận X ,d  Theo tính chất 3.1.5, tồn lưới Cauchy x  X,d  lưới Cauchy 0, , d  , kết hợp với đẳng thức mục 1.6.12: inf sup d x, x  ta có:  x   inf sup d x, x   supinf d x, x   sup d x, A , với    x   Do theo bổ đề 3.3.2,  3.3.5 Định lý Cho không gian mêtric  X phần Sober không gian cận Yoneda  X , d  , d , không gian mêtric đặc biệt thành mêtric  X , d  trùng với không gian đầy đủ Chứng minh 43   Gọi X ,d  thành phần Sober  X , d  F X , d  không gian đầy đủ Yoneda  X , d  Theo bổ đề 3.3.4, X F  X  có phần tử trọng phẳng  X , d    Với trọng phẳng  ,  X , d  theo định nghĩa X , mục 2.2.3, ta có:   mêtric đặc biệt  x   d  ,  X,   Suy trùng với d d  3.3.6 Định lý Không gian cận   0, , dR  Đặc biệt, thành phần Sober không gian cận mêtric không gian cận Sober Chứng minh Giả sử Cauchy a  tăng đến vô  hàm 0, , dR  với giá trị Nếu a  lưới Cauchy dãy số thực theo nghĩa thông thường   d R , a , với a  lim a  Định nghĩa ánh xạ a   0, f: xác định f  a d  , , a f   gian cận Vì f song án    mục 2.2.3 nên:  A   0, Thật vậy, theo định nghĩa X ,   d R  f b , f A   sup   f b  R0,,aA,f a0 44 với R0, kí hiệu tập hàm quy 0,   ,dR  Với   R0,, ta có a, a   0,  f     Trường hợp 1: sup A  Trong trường hợp này,  ,dR  0,  thỏa  P b, A   điều kiện  hàm hàm quy  f a   0, a  A     f b  d R  f b , f A  b  , sup A  Trường hợp 2: Vì hàm quy   d R ,sup A thỏa điều kiện  f a  d P     a  A 0, A R   b, A Trường hợp 3: b  , sup A   dR ,sup A hàm quy 0,   ,d :   f a   0, a  A   P A Ngược lại, gọi  hàm quy 0,   ,dR  cho:   f a    a   0, a  A Vì  trọng 0, , dR  (Theo tính chất 3.3.1) nên:   f b     b    a   d R b, a   d R b, a , a  A    f b    b   inf d R b, a   d R b,sup A aA    d R  f b , f A  d R b,sup A   P b, A Vậy ta có điều cần chứng minh 45 3.4 Mối liên hệ tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth đến không gian cận mêtric Sober 3.4.1 Định lý Cho  X , d  không gian mêtric Các điều kiện sau tương đương: 1  X , d  không gian mêtric đầy đủ Smyth 2 Thành phần Sober  X , d  không gian cận mêtric 3 Thành phần đầy đủ Yoneda không gian  X , d  lũy đẳng  ánh xạ YF X  : F X , d  F F X , d y  toàn ánh Trong trường hợp này, thành phần Sober  X , d  sinh thành phần đầy đủ Cauchy  X , d  Chứng minh 1  2: Đầu tiên, dựa kết bổ đề 3.3.4, nguyên tố X ,d  trọng phẳng  X , d  nên trọng Cauchy  X cận , d (theo định nghĩa 3.2.1) Với nguyên tố cận  X ,d  tập khác rỗng i iI nguyên tố cận x Thật vậy, ta có:  d  ,  i  d 46  inf sup d (Theo bổ đề 3.1.3) iI  inf d  ,  iI Khi đó, thành phần Sober X ,d  không gian cận  sinh F X , d    2   3: Vì thành phần Sober X ,d  X ,d  cận mêtric nên phải sinh không gian đầy đủ Yoneda X,d F  X  , theo bổ đề 3.3.4  , d  X ,d  Sober nên tồn nguyên tố cận X  trọng phẳng  X ,d FX   d ,     d ,  Vậy YF X  : F X , d  F F X , d 3   1 : Nếu   Vì cho  tồn ánh YX  trọng phẳng F X , d  Y F X   F X  Suy YX   trọng Cauchy d ,  Trong trường hợp này, thành phần đầy đủ Cauchy đầy đủ trùng Do đó, theo định lý 3.3.5, ta có điều cần chứng minh , Yoneda Hệ Cho  X , d  không gian mêtric đối xứng Khi đó, thành phần Sober X ,d  không gian cận mêtric sinh thành phần đầy đủ Cauchy  X , d  Chứng minh Mọi khơng gian mêtric đối xứng có tính chất đầy đủ Smyth Từ suy 47 điều cần chứng minh 3.4.2 Định lý Cho không gian mêtric  X , d  Các điều kiện sau tương đương: 1 Không gian cận mêtric X ,d  Sober 2   d  không gian đầy đủ Smyth 3 , d  điểm cố định YX : X , d X,  X  phần đầy đủ Yoneda, hay thành F X , d  phép đẳng cấu  Chứng minh 1  2: Theo bổ đề 3.3.4, nguyên tố cận X ,d    X,d  Có a  X :    d , a  d , a Do đó,  X , d  không gian đầy đủ Smyth 2   3: Từ hình thành tính đầy đủ Yoneda tính chất trọng phẳng  X , d  có dạng d , a, suy điều cần chứng minh 3   1: Lấy  nguyên tố cận X ,d  Theo bổ đề 3.3.4,  trọng phẳng  X , d , phần tử thành phần đầy đủ Yoneda  X , d  Vì  X , d  điểm cố định thành phần đầy đủ Yoneda nên có a  X Do đó, X ,d  Sober 48 KẾT LUẬN Với mục đích đặt luận văn tìm hiểu “Khơng gian cận mêtric Sober”, tác giả trình bày số kiến thức chuẩn bị, khái niệm kết liên quan đến mối liên hệ không gian tôpô, khơng gian mêtric, khơng gian cận, tính chất không gian cận Sober, không gian cận mêtric Sober, tính chất liên quan đến tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth không gian mêtric Đồng thời, tác giả bổ sung số chứng minh Bổ đề, Tính chất (Bổ đề 3.1.3, Tính chất 3.1.4) Cụ thể sau: - Trình bày số khái niệm tính chất không gian mêtric trọng, đối trọng, khoảng cách Lawvere, tính chất tập tất trọng Từ đó, hình thành nên mối liên hệ khơng gian: Không gian tôpô, không gian mêtric, không gian cận thơng qua giản đồ: Ord Met - Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian cận phép co, hàm quy, nguyên tố cận điều kiện để không gian cận trở thành khơng gian cận Sober - Trình bày tính đầy đủ Yoneda không gian mêtric thông qua khái niệm lưới Cauchy, giới hạn Yoneda, ánh xạ liên tục Yoneda đầy đủ, tích tenxơ trọng đối trọng, liên hợp trái, liên hợp phải, trọng Cauchy, trọng phẳng tính chất khơng gian - Trình bày tính đầy đủ Smyth khơng gian mêtric thông qua khái niệm lưới song Cauchy, tính chất khơng gian đầy đủ Smyth thơng qua định lý, tính chất, bổ đề chứng minh chi tiết 49 - Trình bày mối liên hệ tính đầy đủ Yoneda, tính đầy đủ Smyth đến không gian cận mêtric Sober thông qua hai định lý cuối Thông qua việc nghiên cứu không gian cận, không gian cận Sober không gian cận mêtric Sober, ta thấy mối liên hệ khơng gian Đó sở để tiếp cận vấn đề liên quan tương lai 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Tráng (2001), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Sư phạm Tp HCM [2] Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, Nxb Giáo dục [3] Wei Li, Dexue Zhang (2017), Sober metric approach spaces, Topology and its Applications [4] B Banaschewski, R Lowen, C Van Olmen (2006), Sober approach spaces, Topology its Applications 153, 3059-3070 [5] R C Flagg, P Sunderhauf (2002), The essence of ideal completion of quantitative form, Theoretical Computer Science 278, 141-158 [6] R Lowen (1989), Approach Spaces: a common supercategory of TOP and MET, Mathematische Nachrichten 141, 183-226 [7] R Lowen (1997), Approach Spaces: The Missing Link in the Topology-Uniformity-Metric Triad, Oxford University Press [8] R Lowen, Index Analysis (2015), Approach Theory at Work, Springer [9] G M Kelly (1982), Basic Concepts of Enriched Category Theory, London Mathematical Society Lecture Notes Series, Vol 64, Cambridge University Press, Cambridge [10] G M Kelly, V Schmitt (2005), Notes on enriched categories with colimits of some class, Theory and Applications of Categories 14, 399423 [11] H P Kunzi, M P Schellekens (2002), On the Yoneda completion of a quasi-metric space, Theoretical Computer Science 278, 159-194 [12] M B Smyth (1987), Quasi-uniformities: Reconciling domains with metric spaces, Lecture Notes in Computer Science, Vol 298, Springer, Berlin, 236-253 51 [13] M B Smyth (1994), Completeness of quasi-uniform and syntopological spaces, Journal of London Mathematical Society 49, 385400 [14] W Li, H Lai, D Zhang (2017), Yoneda completeness and flat completeness of ordered fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems 313, 1-24 [15] D Hofmann, C D Reis (2013), Probabilistic metric spaces as enriched categories, Fuzzy Sets and Systems 210, 1-21 [16] S Vickers (2005), Localic completion of generalized metric spaces, Theory and Application of Categories 14, 328-356 [17] M M Bonsangue, F van Breugel, J J M M Rutten (1998), Generalized metric space: completion, topology, and powerdomains via the Yoneda embedding, Theoretical Computer Science 193, 1-51 [18] F W Laweve (1973), Metric spaces, generalized logic and closed categories Rendiconti del seminario Matématico e Fisico di Milano 43, 135-166 ... TÔPÔ, KHÔNG GIAN MÊTRIC, KHÔNG GIAN CẬN VÀ THÀNH PHẦN SOBER CỦA KHÔNG GIAN CẬN 17 2.1 Mối liên hệ không gian: Không gian tôpô, không gian mêtric không gian cận 17 2.1.1 Thứ tự đặc biệt không. .. vấn đề cần quan tâm khơng gian tơpơ Sober khơng gian cận Sober? Không gian gọi không gian cận mêtric, không gian cận mêtric không gian cận mêtric Sober? Trong [4], “Cho d mêtric thông thường (đối... không gian tôpô 17 2.1.2 Mêtric đặc biệt không gian cận 17 2.1.3 Sơ đồ liên hệ không gian: Không gian tôpô, Không gian mêtric Không gian cận 18 2.2 Thành phần sober không gian cận