Các bài hình học không gian Cho hình chóp S.ABCD có SA =x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 6 2 3 a . Hng dn gii: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên A A’ = a 2 . M là điểm trên A A’ sao cho ' 3 1 AÂAM = . Tính thể tích của khối tứ diện MA’BC’. Hng dn gii: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng :d 1 : 2x + y – 3 = 0, d 2 : 3x + 4y + 5 = 0 và d 3 : 4x + 3y + 2 = 0. • Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d 1 và tiếp xúc với d 2 và d 3 . • Tìm tọa độ điểm M thuộc d 1 và điểm N thuộc d 2 sao cho OM + 4 ON = 0 . Hng dn gii: Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp( SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 60 0 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Hng dn gii: Ta có SA ⊥ mp(ABC) ⇒ SA ⊥ AB ; SA ⊥ AC Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB ⇒ BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ SC ( Định lý 3 đường vuông góc) . Hai điểm A,C cùng nhìn đoạn SB dưới góc vuông nên mặt cầu đường kính SB đi qua A,C. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu đường kính SB. Ta có CA = CB = AB sin 45 0 = a 2 ; = ∠ SCA 60 0 là góc giữa mặt (SBC) và mp(ABC) SA = AC.tan60 0 = a 6 .Từ đó SB 2 = SA 2 + AB 2 = 10a 2 . Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S = 2 d π = π .SB 2 = 10 π a 2 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn ( C ): x 2 + y 2 – 8x – 4y – 16 = 0. • Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. • Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; - 3). Hng dn gii: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;3) và đường thẳng d: = += −= 3 22 1 z ty tx Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều. Hng dn gii: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. H ∈ d ⇔ H ( 1-t; 2+2t;3) ⇔ AH = ( 1-t; 1+2t; 0). Mà AH ⊥ d nên d uAH ⊥ ( -1;2;0). Từ đó có -1(1-t)+2(1+2t) =0 ⇔ t = -1/5 ⇔ H ( 6/5; 8/5; 3). Ta có AH = 5 53 .mà tam giác ABC đều nên BC = 5 152 3 2 = AH hay BH = 5 15 . Gọi: B ( 1-s;2+2s;3) thì 25 15 )2 5 2 () 5 1 ( 22 =++−− SS ⇔ 25s 2 +10s – 2 = 0 ⇔ s = 5 31±− Vậy: B ( )3; 5 328 ; 5 36 ±m và C( 3; 5 328 ; 5 36 m± ) ( Hai cặp). Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là ( - 3 ; 0) và đi qua điểm M ( 1; 5 334 ). Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E). Hng dn gii: Theo bài ra có F 1 ( - 3 ; 0) và F 2 ( 3 ;0) là hai tiêu điểm của (E). Theo định nghĩa của (E) suy ra : 2a = MF 1 + MF 2 = 22 ) 5 334 ()31( ++ + 22 ) 5 334 ()31( +− = 10 ⇒ a = 5. Lại có c = 3 và a 2 – b 2 = c 2 ⇒ b 2 = a 2 – c 2 = 22. Vậy tọa độ các đỉnh của (E) là: A 1 ( - 5;0) ; A 2 ( 5;0) ; B 1 ( 0; - 22 ) ; B 2 ( 0; 22 ). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc α . Tính thể tích hình chóp S.ABC. Hng dn gii: Tính thể tích khối chóp: Hạ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) ( vì: (SBC) ⊥ (ABC) ). Hạ HM ⊥ AB, HN ⊥ AC thì ∠ SMH = ∠ SNH = α ⇒ ∆ SHM = ∆ SHN ⇒ HM = HN ⇒ H là trung điểm của BC ( vì tam giác ABC đều) ⇒ HM = 4 3 2 ah = ⇒ SH = HM.tan α = 4 3a tan α . Vậy thể tích khối chóp là: V S.ABC = 3 1 .SH.S ABC = 16 tan 3 α a . Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB. Hng dn gii: Xác định tọa độ các đỉnh: Đường thẳng AB đi qua M(2;-3) nên có phương trình: a(x – 2) + b(y + 3) = 0, ( a 2 + b 2 ≠ 0). Do tam giác ABC vuông cân tại A nên: 22 0 .50 7 45cos 2 1 ba ba + + == ⇔ 12a 2 -7ab -12b 2 = 0 ⇔ −= = ba ba 34 43 . Với: 3a = 4b,Chọn a = 4, b = 3 ta được d 1 : 4x + 3y + 1 = 0. Với: 4a = - 3b, chọn a =3, b = - 4 ta được d 2 : 3x – 4y – 18 = 0. +)Nếu lấy AB là d 1 : 4x + 3y + 1 = 0 thì AC// d 2 nên AC là:3(x -7) –4(y –7) = 0 ⇔ 3x –4y+7 = 0. Hệ phương trình tọa độ A: =+− =++ 0743 0134 yx yx ⇔ A(-1;1) Hệ phương trình tọa độ B: =−+ =++ 0317 0134 yx yx ⇔ B( -4;5). Ta có: MAMBMBMA 2)8;6(),4;3( =⇒−=−= ⇒ M nằm ngoài đoạn AB ( Thỏa mãn) Hệ phương trình tọa độ C: =−+ =+− 0317 0743 yx yx ⇔ C(3;4). +) Nếu lấy AB là d 2 sẽ không thỏa mãn. Vậy A(-1;1), B(-4;5) và C(3;4). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng = +−= = ∆ 4 27: z ty tx . Gọi ' ' ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x – 3y + z = 0, (Q): x + y – z + 4 = 0. a) Chứng minh rằng hai đương thẳng ∆ và ' ∆ chéo nhau. b) Viết phương trình dạng tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ , ' ∆ . Hng dn gii: a). Đường thẳng ∆ đi qua M(0;-7;4) và có VTCP ).0;2;1( 1 =u Đường thẳng ∆ ’ đi qua N(0;2;6) có VTCP 2 u = ( 1 1 31 ; 11 1 1 ; 11 31 − −− − ) = (2;2;4) Ta có [ 21 ,uu ] = (8;-4;-2) và )2;9;0(=MN ⇒ [ 21 ,uu ]. MN = 0 – 36 – 4 = - 40 ≠ 0. Vậy ∆ , ∆ ’ chéo nhau b). Đường vuông góc chung d của ∆ , ∆ ’ có VTCP: u =(4;-2;-1) ( = ½.[ 21 ,uu ]). Gọi HK là đoạn đường vuông góc chung của ∆ , ∆ ’ với H ∆ ∈ ∆ ∈ K, ’. Ta có: H=( t; -7+2t;4), K(s;2+s;6+2s) ⇒ HK ( s – t; 9 + s – 2t; 2 + 2s) cũng là VTCP của d. Suy ra : 1 22 2 29 4 − + = − − + = − ststs ⇒ s = 21 11 − , t = 7 23 ⇒ H( )4; 7 3 ; 7 23 − Vậy phương trình tham số đường vuông góc chung là: −= −−= += tz ty tx 4 2 7 3 4 7 23 . . Các bài hình học không gian Cho hình chóp S.ABCD có SA =x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng. thuộc d 1 và điểm N thuộc d 2 sao cho OM + 4 ON = 0 . Hng dn gii: Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc. trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; - 3). Hng dn gii: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;3) và đường thẳng d: = += −= 3 22 1 z ty tx