Định lí điểm bất động trong không gian b metric với wt khoảng cách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM SENGDAO SOULIYAVONG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN b- METRIC VỚI ut -KHOẢNG CÁCH Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Sengdao SOULIYAVONG LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2019 Tác giả Sengdao SOULIYAVONG MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương KHÔNG GIAN b - METRIC 1.1 Không gian b — metric 1.2 Định lí Banach khơng gian b- metric .5 Chương ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VỚI cưt - KHOẢNG CÁCH 2.1 cư —khoảng cách cưt — khoảng cách không gian b— metric 2.2 Một số định lí điểm bất động khơng gian b — metric với cưt — khoảng cách 10 2.3 Các lớp m — hàm 21 2.4 Một số định lí điểm bất động m — hàm không gian b — metric với cưt —khoảng cách .23 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO .32 MỞ ĐẦU Định lí điểm bất động Banach (hay nguyên lí co Banach) Banach chứng minh vào năm 1922 Từ có nhiều người tổng quát hóa kết theo nhiều hướng khác Năm 1989, Bakhtin [2] giới thiệu khái niệm không gian b — metric chứng minh Định lí điểm bất động ánh xạ co không gian b — metric, tổng quát hóa ngun lí co Banach khơng gian metric Năm 1996, Kada [6] giới thiệu CƯ —khoảng cách chứng minh Định lí điểm bất động Caristi Năm 2014, Hussian [4] giới thiệu khái niệm uct —khoảng cách không gian b — metric tổng quát, tổng quát CƯ —khoảng cách chứng minh định lí điểm bất động khơng gian b— metric thứ tự phận cách sử dụng CƯÍ —khoảng cách Năm 2015, Khojasteh [7] giới thiệu khái niệm hàm mơ để tổng qt hóa ngun lí co Banach Mục đích luận văn giới thiệu không gian b— metric, mở rộng khơng gian metric trình bày số kết điểm bất động không gian b— metric với cưí — khoảng cách Với mục đích đó, chúng tơi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động không gian b— metric với cưt —khoảng cách” Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [8] [9], gồm 32 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Giới thiệu khái niệm vài tính chất khơng gian b — metric số định lí điểm bất động không gian b— metric Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết nghiên cứu gần S.K Mohanta điểm bất động không gian b — metric với Cút —khoảng cách kết C Mongkolkehaa, Y.J Chob P Kumam điểm bất động không gian b — metric m — hàm với wt —khoảng cách Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương KHƠNG GIAN b - METRIC 1.1 Khơng gian b — metric Định nghĩa 1.1.1 Cho E tập không rỗng k > số thực Hàm p : E X E —> [0, oo) gọi b — metric E i) p(s, t) = - = t ii) p(s, t) = p(t, s) với s, t E E iii) p(s,t) < k(p(s,r) + />(r,t)) với s,t,r E E Cặp (E, p) gọi không gian b — metric với hệ số k Ví dụ 1.1.2 Cho E = {-1,0,1}, p :ExE — [0,oo) xác định p(spb) = p(t,s) với \/s,teE p(s,s) = 0, s E E p{—1,0) = 3, />(—1,1) = />(0,1) = Khi (E,p) khơng gian b — metric với k = ^, khơng khơng gian metric Ví dụ 1.1.3 Cho E — R p : ExE —> R+ thỏa mãn p(s, t) =1 s — 112 với s, t E Khi (E,p) không gian b — metric với k = không không gian metric Định nghĩa 1.1.4 Cho (E^>) không gian b — metric, s E E {sn} dãy E Khi (i) {sn} hội tụ đến s o lim p(sn,s) = Kí hiệu lim s = s s —> s n oo {s } dãy Cauchy o lim p(s ,8 ) = (ii) n ,m^oo (iii) (E,p) đầy đủ 44- dãy Cauchy E hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Cho (E,p) không gian b — metric ánh xạ f : E E Ta nói f liên tục sQ E E với dãy {Sj} E, Sn —> s0 n co f(s ) —*■ f(s) n co Nếu f liên tục điểm sQGE ta nói f liên tục E Định lí 1.1.6 ([1]) Cho (E,p) khơng gian b — metric, giả sử {s} {t } hội tụ đến s, t E E, tương ứng Khi -72 p(s, t) < liminí p(sn, tn)< lim sup p(sn, tn) < k2 p(s, t) k II -\ c -o Đặc biệt, s = t lim p^s^ = Ngồi ra, với mơi r E E, ta có ,r)n^oo < liminí p(s , r) "< limsupn^oor) p(s< kp(s, r) Bổ đề 1.1.7 Cho (E,p) không gian b — metric với hệ số k {s} c E cho s — s —»t Khi s = t Bổ đề 1.1.8 Cho (E,PÌ không gian b — metric với hệ số k {s }n=0 c E Khi đó: p(sn^so) kp(s0,s1) + + kn ^(8^,8^) + kn 1p(sn_1,sn) Chứng minh Ta có S X5„>5o) M/XSO’S1) + ^(S1’S2)] = M5O’S1) +M P „) < kp(sữ,S1) + k2[p(svs2) + p(s2,sj = kpts^s^ + k2p(svs2) + Ă:2p(s2,sn) < MS0’Sl) + - + r 1/9(5„-2’Sn-l)+Â:" ^n-l^n)' Bố đề 1.1.9 Cho {t} dãy không gian b — metric (E,p) với hệ số k cho p(tn,tn+1) < ap(tn_vtn) với < a < ỉ n E N Khi {tn} dãy Cauchy E 1.2 Định lí Banach khơng gian b -metric Định lí 1.2.1 Cho (E,p) khơng gian b— metric đầy đủ với hệ số k, f : E —> E ánh xạ cho với < a < ỉ, p(fs,ft) < ap(s,ì) với s, t E E Khi f có điểm bất động r, với s G E, dãy {fns} hội tụ đến r Chứng minh Lấy s0 £ E kí hiệu t = /"s0 Khi Với n = 1,2 Bổ đề 1.1.9 kéo theo {t} dãy Cauchy, (E,p) đầy đủ, nên BrtE cho n oo Khi p(fr, r) < k(pựr, + p(Ạn+v r)) < k(ap(r, tn) + p(tn+1, r)) n —> oo Do đó, pựr,r) — fr = r Nếu fr = r, ta có p(r, r ) = p(fr, fr^ < ap(r, r ) => r = r □ Định lí 1.2.2 Cho (E,p) khơng gian b— metric đầy đủ với hệ số k Cho f : E E ánh xạ cho với n G N tồn an E (0,1) cho lim an = p(fns, fnt) < anp(s, ì) với s, E E Khi f có điểm bất động Đặt À = -, < A < I r > k Khi (2.13) trở thành Do đó, m > n p(u n, um ) < *[pk^j + p(“.+1>’'j ,M +2) + + ^'—'[piu^u^) + < +1 < [kX‘ + /.-À + + fc”-“-‘A"-2 + k"-’-‘X"-l]p(ua,Ul) + + k"-’-'X"-2 +k"‘-'X"-']p(u0,u1) < [kX" -FA = kX' [1 + kx + A + + ■ + {kxy-'-' }p(u0, g kX" „í.„ U U < „ , yP\ ^ J 1-kX 17 Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {u}là dãy Cauchy E Vì E đầy đủ, nên {u}hội tụ đến điểm w E E Cố định n E N Vì p(u,.) s — nửa liên tục dưới, nên k2Xn p(u , w) < liminí kp(u.u) < ——— p(un0,u)17 n , mXXo n' "1 —/,'A ’ (2.14) Giả sử w không điểm bất động chung S1 S2 Khi theo giả thiết ta có < inf{p(s,w) + mm{XS/ẠẠp(S2(s),s)} : s G E} < inf{p(un,w) + imn{p(S1(un),unỵp(S2(un),un)} : n N} p(unìuì) + r k o 1/ X n—V Tỉ/ Mâu thuẫn dẫn đến k2Xnw = S1(w) = S2(w) :nGN- r □ 1-kX Lấy S1 = S2 = s, ta có: Hệ 2.2.8 Cho pk2là Xncoi —khoang cách trênn 1không gian b — metric đầy đủ p(u0, u2) + cx p(u0,: n G N = < inf1-kX (Evới số k > S : E —> E toàn ánh Giả sử Br > k: p(S (s),S(s)) >rp(S(s),s) (2.15) inf{p(s,t) +p(S(s),s) : s E E} > (2.16) với s € E với t G E với t S(ì) Khi S có điểm bất động E Áp dụng Hệ 2.2.8, ta có kết sau Định lí 2.2.9 Cho (E, p) không gian b — metric đầy đủ với số k > S : E E toàn ánh liên tục Giả sử 3r>k‘ p(S\sỴS{s))>rp(S(s)^ với s G E Khi 3zeE: S(z) = z Chứng minh Xét p cot —khoảng cách E Giả sử tồn t E E với t S(t) inf{p(s, í) + p(S(s),s) :se E} = Khi 3{sJ c E: l^W5n’ + p(s(sn), s„)} = Suy p(sn,t) —> p(S(Sn),8n) —*■ n —> oo Mặt khác ta có < p(S(sn),sn) + p^t) ^0 n oo Suy n lim n S(s ) = t Vì S liên tục, nên S(t) = 5(lim n^oo s ) n^oo = lim S(s ) = t n n Mâu thuẫn kéo theo t S{t), từ inf{p(s,í) + p(S(s),s) :se E} >0 Theo Hệ 2.2.8, 3z E E : S(z) = z Định lí 2.2.10 Cho (Elà khơng gian b— metric đầy đủ với số k > cho S : E E toàn ánh liên tục Giả sử 3r > k : XS(S),S(O) >rmin{X5,S(5)),X5(í),í),^,í)} (2.17) với s, t E E Khi 3zeE: S(z) = z Chứng minh Xét p wt — khoảng cách E Thay t S(s) (2.17), ta có p(S(sỴS\sy) > rmin{X5,S(5)),XS2(5),S(5)),p(5,S(5))} (2.18) với s E Nếu S(s) = S2(s) rõ ràng S có điểm bất động Khơng tính tổng quát, ta giả sử S(s) ^ s2(s) Vì r > k > , nên từ (2.18) suy p(S2(s),S(s)) > rp(S(s),s) với s E E Bằng cách tương tự chứng minh Định lí 2.2.9, ta khẳng định t S(t) inf{^(s,í) + p(S(s),s) : s E E}> Từ đó, theo Hệ 2.2.8, Bz E E : S(z) = z □ 2.3 Các lớp m — hàm Năm 2015, Khojasteh [7] giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng, gọi tắt m — hàm, tổng quát điều kiện co Banach sau: Định nghĩa 2.3.1 ([7]) m —hàm ánh xạ £ : [0, oo) X [0,oo) — R thỏa mãn điều kiện sau: (Q C(0,0) = 0; (C2) s) (£ ) {t } {s } dãy số dương cho lim t = lim s > n^oo n^oo limsup R với i — 1,2,3 xác định (1) = ^(s) — ộ(t) với Ví, s E [0,oo), ộ, V : [0,oo) —> [0,oo) hai hàm liên tục cho ý(ì) = ự)(t) = 0; (2) ờ(t, s) = s — s) t với t, s E ro, oo), g(t,s) f, g : [0,oo)x [0, oo) — (0, oo) hai hàm liên tục theo biến cho f (t, s) > g(t, s) với Yt,s > (3) (t, s) = s — t < với n E N limsupĨ(L,s„) < n n—>oo Lớp tất m — hàm : [0, oo) X [0, oo) —> R kí hiệu z hàm theo nghĩa Khojasteh [7] m— hàm theo nghĩa Roldán- López-de-Hierro, ngược lại khơng ví dụ sau: Ví dụ 2.3.4 Lấy k E R cho k < c E z hàm xác định 2s — 2í, s t Khi ( m — hàm theo nghĩa Định nghĩa 2.3.3, không thỏa mãn điều kiện ((^ ) Định nghĩa 2.3.1 Định nghĩa 2.3.5 Cho (E, d) không gian metric đầy đủ Ánh xạ S : E — E gọi z - co tồn £ E z cho C(d(5s,Sí), d(s, t))>0 (2.19) với s, t G E Chú ý 2.3.6 Nếu lấy C(M) = Xs — t với s, t > 0, X E [0,1) Định nghĩa 2.3.5 z — co trở thành co Banach 2.4 Một số định lí điểm bất động m — hàm không gian b — metric với cưt — khoảng cách Trong mục này, ta xét khái niệm m — hàm tồn điểm bất động cho ánh xạ khơng gian b — metric đầy đủ có wt — khoảng cách Trước tiên C Mongkolkehaa, Y J Chob and P Kumam [9] cải tiến khái niệm m — hàm sau: Định nghĩa 2.4.1 Cho TỊ số thực cho TỊ > m — hàm ánh xạ £ : [0, oo) X [0, oo) —> R thỏa mãn điều kiện sau: «,) «0,0) = 0; ( £2) s) < s — Tjt với s, t > 0; (£ ) Nếu {t} {s } dãy liin snp /y= liin sup t < E với n E N * n — '^ ỵ n n nn số dương • n — '^ lirnsupC^t^s^ oo Ví dụ 2.4.2 Lấy X,TỊ E R cho X > ĩ] > Xét ánh xạ c : [0, oo) X [0, oo) —> R xác định s-ự, s(£ 0, ■ < < t => c(ĩ]t, s) = s — Tft ' ± ' _ K ± As - 7/í ữ oo bất đẳng thức dùng (2.21), ta có £ữ < lmisupư(S"iw0,($'m*M0) < keữ (2.27) k—rQ £ , 1 k^oo tồn {k} > cho limsup d(S n uo,s kr + u0) = ô > £ r^m Theo giả thiết (i) tính chất £, ta có (2.28) /A >/7 -!/^nk + nmk + \ r () 2" O khỉ S (s) = —— 2n+ s— 2" với s E E Hiển nhiên, S không giảm thỏa mãn điều kiện (ii) Thật vậy, với n E N tùy ý, ta có ^(“~) Với n E N, ta có 1n2" □ Lấy hàm Q : [0, co) _™ í 1X lì[0, co) —>Í1R1xác định1 -£-? : m G N Q^m+l / - s — nt C(í, s) = J với t, s e [0, co) + ĩjS 21 " > Tương tự, Ví dụ 2.4.2, hàm xác định m — hàm theo nghĩa Định nghĩa 2.4.1 Bây ta S thỏa mãn điều kiện (i) Lấy s = với (-7-, S(-7-)) G E Khi ta có v 2^ v 2n7 “ C(2á(S.sXs).d(s,Ss)) = í(2đ(-L.7V),đ(L4r)) ' 22n+2 22n+4 1.) = với (s, Ss) E E< Giả sử điều kiện sau xảy ra: Ái (i) với s E E: (s, Ss) E E , inf d(s, t) + d(s,Ss) > với t E E mà t St (ii) nêu hai dãy {^} {Ss } hội tụ đên z, z — Sz (iii) S liên tục E Nêu tồn s E E cho (s , Ssữ) G E (i) Giả sử điều kiện (ii) xảy Lấy t E E với t St cho inf d(s, t) + d(s,Ss): (s,Ss) E E< = Khi đó, tồn dãy {z} cho (z, Szn) E E< inf d(zn, t) + d(zn,Szn) = Do đó, ta có lim d(z , ì) = lini d(z , Sz ) = n^oo n n^oo n n Theo Bổ đề 2.1.8 , ta có lim Szn = t Hơn nữa, lĩin s2zn = t Mặt khác < C{kd(Szn,S\Ỵd(zn,SznỴ) < d(zn,Szn)-kd(Szn,S2zn) (2.33) Từ (2.33) k > 1, suy lim d(Szn,S2zn) < lim kd(Szn,S2zn) < lim d(zn,Szn) = Đặt sn = Szn, ta dãy {sn} {Ssn} hội tụ đến t Do đó, theo giả thiết (ii), ta có t — St Vậy (ii)=> (i) Hiển nhiên, (iii) => (ii) □ KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống vài kết không gian b — metric số định lý điểm bất động không gian b— metric Một số kết nghiên cứu S.K Mohanta điểm bất động không gian b — metric với cưt — khoảng cách Các kết trình bày Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.5, Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.7, Định lí 2.2.9 Định lí 2.2.10 Một số kết gần C Mongkolkehaa, Y.J Chob P Kumam điểm bất động không gian b— metric m— hàm với cưt — khoảng cách Các kết trình bày Định lí 2.4.3, Định lí 2.4.5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aghajani A., Abbas M., Roshan J.R.(2012), Common Fixed Point of Generalized Weak Contractive Mappings in Partially Ordered b-Metric Spaces, Math Slovaca [2] Bakhtin A (1989), “The contraction mapping principle in quasimetric spaces”, Funct Anal Unianơwsk Gos Ped Inst 30, 26-37 [3] Czerwik S (1993), “Contraction mappings in b- metric spaces”, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [4] Hussian N., Saadati R and Agrawal R.P (2014), On the topology and wt-distance on metric type spaces, fixed Point Theory Appl [5] Ili c D., Rako c evi c V (2008), “Common fixed points for maps on metric space with cư - distance”, Appl Math Comput., 199, 599-610 [6] Kada O., Suzuki T and Takahashi W (1996), “Nonconvex minimization theorems and fixed point theorems in complete metric spaces”, Math Japon 44, 381-391 [7] Khojasteh F., Shukla S and Radenovic S (2015), “A new approach to the study of fixed point theorems via simulation functions”, Filomat 96, 1189-1194 [8] Mohanta S.K (2015), “Some fixed point theorems using wt-distance in b-metric spaces”, Fasc Math Nr 54, 125-140 [9] Mongkolkehaa C., Chob Y.J., and Kumam P (2017), “Fixed point theorems for simulation functions in b-metric spaces via the wtdistance”, Appl Gen Topol 18, no 1, 91-105 ’4VZT 1+2 ... Chương KHÔNG GIAN b - METRIC 1.1 Không gian b — metric 1.2 Định lí Banach khơng gian b- metric .5 Chương ĐỊNH LÍ ĐIỂM B? ??T ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN b METRIC VỚI cưt - KHOẢNG CÁCH... à m^oo □ Chương ĐỊNH LÍ ĐIỂM B? ??T ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN b- METRIC VỚI ưt KHOẢNG CÁCH 2.1 — khoảng cách — khoảng cách không gian b — metric Định nghĩa 2.1.1 Cho (E,p) không gian metric Hàm d : ExE... trình b? ?y: Tổng quan hệ thống vài kết không gian b — metric số định lý điểm b? ??t động không gian b? ?? metric Một số kết nghiên cứu S.K Mohanta điểm b? ??t động không gian b — metric với cưt — khoảng cách