Nhóm abel hổn hợp hạng không xoắn 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Lê Thái Sơn NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Lê Thái Sơn NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Tốn học với đề tài “Nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1” cá nhân tơi thực hồn thành hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thu Thủy, hồn tồn khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ báo, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2020 Học viên cao học Lê Thái Sơn LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thu Thủy Qua đây, xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến người Cảm ơn ln giúp đỡ tận tình suốt q trình thực luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Tốn – Tin, đặc biệt thầy tổ Đại số tận tình dạy trang bị cho kiến thức vô quý báu để tơi hồn thành luận văn Cảm ơn q thầy Phịng sau đại học tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập thực luận văn trường Sau cùng, không nhắc tới bạn học viên lớp cao học Đại số khóa 27, người học tập, nghiên cứu thời gian vừa qua Sự giúp đỡ, động viên bạn vô quý báu Xin chân thành cảm ơn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để tơi hồn thiện luận văn cách tốt TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2020 Học viên cao học Lê Thái Sơn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM ABEL 1.2 MỘT SỐ NHÓM ABEL VÀ NHÓM CON ABEL QUAN TRỌNG 1.3 QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ CHƯƠNG MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC CỦA NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN 2.1 NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN 2.2 CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 10 2.3 BẤT BIẾN ULM-KAPLANSKY CỦA MỘT NHÓM ABEL HỖN HỢP THU GỌN 19 2.4 ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN ĐẾM ĐƯỢC 24 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 * Ký hiệu DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU n | a , n | a  Ý nghĩa Tập hợp số tự nhiên  m,n Tập hợp số tự nhiên khác AB AB Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ A B a chia hết (không chia hết) cho n AB AB A o Ước chung lớn hai số nguyên m n A nhóm B A nhóm thực B a  a1 , a2 , h p * a  Nhóm thương A theo nhóm B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B Tổng trực tiếp nhóm A nhóm B Cấp nhóm A Cấp phần tử a Nhóm sinh phần tử a1 , a2 , p-cao độ tổng quát a LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Nhóm Abel hỗn hợp nhóm Abel mà có chứa phần tử cấp vơ hạn phần tử khác cấp hữu hạn Nhóm Abel hỗn hợp xem lớp nhóm tổng quát nhóm Abel Một hướng tiếp cận nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp G xem mở rộng phần xoắn T nhóm khơng xoắn nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1, nhóm thương hạng Rotman J [1], Megibben C [2], Myshkin V.I [3] chứng minh nhóm đếm lớp này, bất biến nhóm xoắn T với lớp tương đương ma trận cao độ H(G) tạo thành hệ bất biến, tạo điều kiện thuận lợi để xem xét toán liên quan tới lớp nhóm Mục đích đề tài Nghiên cứu trình bày có hệ thống kết quan trọng nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Một số tính chất liên quan tới tính chia hết, cao độ lý thuyết nhóm Abel - Các bất biến nhóm Abel xoắn - Ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn - Cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn đếm Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, khái niệm nhóm Abel, số lớp nhóm Abel quan trọng trình bày sơ lược Thêm vào số khái niệm tự số quan hệ thứ tự tập hợp Chương 2: Ma trận cao độ cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Đây nội dung luận văn bao gồm phần Phần 2.1 trình bày định nghĩa, tính chất số khái niệm liên quan nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn Phần 2.2 giới thiệu cao độ ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Phần 2.3 trình bày khái niệm bất biến Ulm-Kaplansky nhóm Abel hỗn hợp thu gọn Phần 2.4 tập trung chứng minh định lý cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn đếm CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp A  với phép toán hai ngơi nhóm nếu: y  z với x , y , z  A (2) Tồn phần tử  (3) Mọi phần  tử x A  x A cho x    x  x với x  A x nghĩa có phần tử đối, ký hiệu có  x 0 Nếu phép tốn “+” có tính giao hốn, có nghĩa A gọi nhóm Abel Trong luận văn này, nhóm ta xét nhóm Abel Vì để đơn giản, thay ghi “nhóm Abel” ta ghi “nhóm” Định nghĩa 1.1.2 Cho A nhóm Tập G  của A x  y G với x , y G Định nghĩa 1.1.3 a  A , đặt a  G  a  x | x G, a  G    b  G   a  b  G với b  A nhóm, gọi nhóm thương Định nghĩa 1.1.4 tổng trực tiếp Mệnh đề 1.1.5 Nhóm A tổng trực tiếp hai nhóm với a  A , có có cách biểu diễn Định nghĩa 1.1.6 Cho A B nhóm Ta có định nghĩa sau: 22 h Khi đó, s n , p  1 nên h p Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1, r  k  t với a ' l h * p  Suy dãy dẫn đến lũy thừa cao p mà mâu thuẫn với việc dãy  Trường hợp 2, Vì vai trị a '  Khi p t tức dãy   thuẫn Vậy Gọi a G  g '0  g ; g ' p Gp , ta có: c   h h * p  h p * a  g '0  g ' p   h p * a  g  g p  23 Từ ta suy phần tử p-riêng theo G ag phần tử p-riêng theo G Suy a có chứa  G 24 2.4 ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN ĐẾM ĐƯỢC Định nghĩa 2.4.1 Cho A A C Một đẳng cấu  : G  H gọi đẳng cấu bảo toàn cao g  G số nguyên tố p , ta có: cao độ lấy Bổ đề 2.4.2 [6, 104.2] Cho A Ulm-Kaplansky với số nguyên tố hợp hạng không xoắn hữu hạn sinh cấu bảo toàn cao độ đẳng cấu bảo toàn cao độ Chứng minh Vì A nhóm thu gọn G nhóm hữu hạn sinh A có hạ xoắn nên theo bổ đề 2.3.4, với a  A \ G p-riêng theo G Khơng tính tổng quát, giả sử a phần tử p-riêng theo G Ta tìm phần tử c C đồng thời thỏa mãn điều kiện c    pa   pc , h p * a   h p * c  c có cao độ lớn c  H Đặt   h p * a  ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1, h p chọn c C cho pc  x h p * c    25 Nếu c H tồn g  G pg  p  1 cho c   g     pa , suy Khi ta có h p c Vì a phần tử p-riêng theo G  g phần tử p-riêng theo với cách chọn a Vì Nếu c khơng phải phần tử p-riêng theo H hp * Lúc Vì a phần tử p-riêng theo G 1 a  h   Suy nên điều mâu thuẫn với cách chọn a Vậy c phần tử p-riêng theo H Trường hợp 2, h p 1 Khi h p * a  b   h p * a  ; h p * b   Suy G thuẫn   Từ * hp  1 a  g  b   h ta có  26 Khi theo giả thiết A cho trước nên  1  a  b  p :GH Vì pd    pa  H h p * c   h p * d  u   h p * d ; h p * u    H Xét ánh xạ  ' : G , a thỏa k , p   với k , p   1; Ta chứng minh  '  ka  g '    '  la  g '' ka  g  '  ka  g '    '  la  g '' ta k  l c  H  1   g ' g ''   Khi pma  g pmc Với g' cấu  1 h G , x  kc   g ' 27 Ta chứng q p minh Khi  h với số nguyên tố q Giả sử q pkc  p g '   hq Giả sử h*  G H V q a cao độ từ Mệnh đề 2.4.3 Cho hữu hạn sinh A a  A có cấp vơ hạn cho a G tồn số nguyên tố pa G Chứng minh Vì A nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn nên tồn số nguyên m , n cho mg  na với g  G Khi đó, ln tồn số ngun tố p cho n  pn ' với n ' số ngun thích hợp Nói cách khác p ( n ' a ) G nên khơng tính tổng quát, ta xem pa G Bổ đề 2.4.4 Cho nhóm A khơng nhóm xoắn G nhóm A Nếu G chứa tất phần tử có cấp vơ hạn A G  A Chứng minh 28 Lấy phần tử x  A có cấp hữu hạn phần tử cấp vơ hạn Vì g có cấp vơ hạn nên x  g có cấp vơ hạn Suy x  g G Khi x   x  g   g G Suy G g  A có g  G chứa phần tử cấp hữu hạn A Vậy G  A Mệnh đề 2.4.5 Cho T A nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn nhóm xoắn Nếu A  A nhóm thu gọn khơng nhóm thu gọn A  T  A Chứng minh Theo định lý 1.2.13 A  D  E với D nhóm chi A Theo mệnh đề 1.2.11 DTD nhóm xét có hạng khơng xoắn 1) Suy TA nhóm thu gọn nên T D   Suy A  E  E TA chọn không phần tử xoắn Điều mâu thuẫn A TA  Định lý 2.4.6 [6, 104.3] Cho A C nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn đếm Khi A C đẳng cấu với khi: Các nhóm xoắn T T  C  A C đẳng cấu với A H v C tương đương với ii Ma trận cao độ H C  A i A Chứng minh nên Th với eo định lý 1.2.1 ta có T  A    D1  E1 T A E1 nhóm thu gọn Khi theo định lý 1.2.12 A  D  E1 ' Vì D1 nhóm chia A E1 nhóm T  A nên suy E1 TE1 ' Vớ suy E2 minh E1 TE 'E2' bảo tồn Do đó, ta đưa giả thiết tốn T  A  ,T khơng bị tính tổng quát Giả sử T  A T C  nhóm thu gọn Nếu A theo mệnh đề 2.4.5 ta có A  C Do đó, giả sử Suy phần tử có cấp vơ hạn đẳng cấu bảo tồn cao độ TA Vì Kaplansky với số nguyên tố Gọi S tập tất đẳng cấu bảo toàn cao độ lượt nhóm có hệ sinh phần tử cấp vô hạn nghĩa quan hệ thứ tự “  ” sau: Với  : G  H  ' S ta có  : GH với G H lần C Trên S ta định A phần tử : G' H' def    '  G  G '  ' G  Ta chứng minh S tập quy nạp Vì   S    i Hi i1,2, ta chứng minh  bị chặn nên S  Lấy   i: Gi  chuỗi Hi Lấy x  Gi cho x Gi Khi   x   i0 x Vậy theo bổ đề Zorn, tồn cực đại S Tiếp theo ta chứng minh G đề sau: Nếu phần tử a  A có cấp vơ hạn a ' Gmax ngun tố thích hợp Vì A biến Ulm-Kaplansky theo số ngun tố tồn cao độ  ' max : Gmax , a ' max phần tử cực đại S Vậy ta chứng minh Gmax chứa tất phần tử cấp vô hạn A Theo bổ đề 2.4.4 Gmax Vậy A C đẳng cấu với  A Lập luận tương tự ta có H 31 KẾT LUẬN Luận văn trình bày có hệ thống số kết liên quan đến nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1, cụ thể sau: (1) Trình bày định nghĩa tính chất cao độ tổng quát phần tử nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn (2) Định nghĩa bất biến Ulm-Kaplansky ứng dụng vào việc chứng minh định lý cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Rotman, “Torsion-free and mixed abelian groups”, Ill.J.Math, vol 5, no 1, pp 131-143,1961 [2] C Megibben, “On mixed groups of torsion-free rank one”, Ill.J.Math, vol 11, no 1, pp 134-144, 1967 [3] V I Myshkin, “Countable abelian groups of rank 1”, Mat Sb, vol 76, no 3, pp 435-448, 1968 [4] T J Pepper, “Structure of Finitely Generated Abelian Groups”, Lake Forest College Senior Thesis, pp 9-17, 2015 [5] L Fuchs, “Infinite Abelian groups”, Academy Press, vol 1, 1970 [6] L Fuchs, “Infinite Abelian groups”, Academy Press, vol 2, 1973 ... đương: (1) A nhóm p-chia (2 ) pA  A Mệnh đề 1. 2 .10 p Mệnh đề 1. 2 .11 Nhóm xoắn T  A nhóm Nhóm thương A T  A nhóm chia 7 Định lý 1. 2 .12 [5, 21. 2] Cho A nhóm D nhóm chia A A  D C với C nhóm. .. A 1. 2 MỘT SỐ NHÓM VÀ NHĨM CON QUAN TRỌNG Nhóm xoắn, nhóm khơng xoắn, nhóm hỗn hợp Mệnh đề 1. 2 .1 Cho T tập hợp tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm T nhóm A gọi nhóm xoắn A A, Định nghĩa 1. 2.2 (1) ... mở rộng phần xoắn T nhóm khơng xoắn nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1, nhóm thương hạng Rotman J [1] , Megibben C [2], Myshkin V.I [3] chứng minh nhóm đếm lớp này, bất biến nhóm xoắn T với lớp