SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài “Toán học - khoa học nghiên cứu quan hệ số lượng hình dạng giới khách quan” (Từ điển Tiếng Việt 1997- NXB Đà Nẵng) “Tốn học” chìa khố hầu hết ngành khoa học, môn học đầy hấp dẫn song lại khó học sinh nói chung học sinh THCS nói riêng Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng giải tốn như: giải phương trình, giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ nhất, ứng dụng hình học… Trong trình giải tập bất đẳng thức, lực tư học sinh phát triển đa dạng, mạnh mẽ cách giải tập khơng hồn tồn có mẫu quy tắc định mảng kiến thức khác Nội dung bất đẳng thức thức đưa vào từ lớp phương pháp chứng minh bất đẳng thức không tập trung vào chương, mục mà nằm rải rác nhiều nội dung kiến thức khác Tuy nhiên, thực tế, q trình học tốn, giải tốn, đặc biệt kỳ thi vào THPT, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chọn, em học sinh lại gặp nhiều toán chứng minh bất đẳng thức Mà để giải tập loại toán học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp nên em gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải khơng biết nên sử dụng phương pháp Qua số năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn thi cho học sinh lớp Đồng thời tham khảo ý kiến đồng nghiệp trình nghiên cứu đề tài năm gần đây, rút số kinh nghiệm việc dạy dạng tốn Những năm học trước, tơi nghiên cứu đề tài nhận thấy vấn đề khó có nhiều ứng dụng kết đạt khả quan Chính thế, năm học tiếp tục nghiên cứu trao đổi đồng nghiệp Đề tài tiếp tục bổ sung thêm số ví dụ tập lấy kì thi tuyển sinh vào THPT, thi thử vào lớp 10 số trường năm học 2018 - 2019 Ngồi ra, tơi xin đưa thêm số ví dụ ứng dụng bất đẳng thức dạng tốn tìm nghiệm ngun hay gặp kì thi học sinh giỏi, thi vào 10 mà năm học trước chưa đề cập tới Với lý trên, xin trình bày đề tài “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số chương trình tốn học THCS ” Song kinh nghiệm cá nhân giới hạn kiến thức chương trình toán Trang 131 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS THCS, khơng tránh khỏi sơ suất mong đồng nghiệp bạn đọc chân thành góp ý! Tôi hy vọng đề tài sử dụng làm tài liệu hướng dẫn em học sinh chứng minh bất đẳng thức đại số Qua rèn khả tư nhằm tạo tiền đề tốt cho việc học toán lớp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu a Mục đích - Tìm hiểu sâu dạng tốn chứng minh bất đẳng thức trường THCS - Bồi dưỡng phát triển tư cho học sinh b Nhiệm vụ Hệ thống hoá số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đưa hệ thống tập để luyện cho học sinh số sai lầm học sinh thường mắc phải Đối tượng nghiên cứu Có nhiều dạng toán liên quan đến mảng kiến thức bất đẳng thức, hạn chế chương trình THCS nên đề tài tơi nghiên cứu số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số chương trình tốn lớp 8; Phương pháp nghiên cứu - Dùng phương pháp nghiên cứu lý thuyết chủ yếu, nghiên cứu thông qua việc đọc, tìm hiểu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu có liên quan - Dùng phương pháp quan sát qua học, thông qua khảo sát thực tế để tìm hiểu dạy học dạng tốn chứng minh bất đẳng thức Trang 231 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS PHẦN NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Các em học sinh thường gặp toán chứng minh bất đẳng thức từ lớp Mặc dù chưa thức làm quen với khái niệm bất đẳng thức từ bậc Tiểu học, học sinh làm quen với dạng tập bất đẳng thức tìm x biết a < x < b (với a, b số đó) Lên lớp 6, tốn bất đẳng thức chủ yếu cho dạng so sánh phân số Đến lớp em học nhiều dạng chứng minh bất đẳng thức toán mức độ đơn giản Lên lớp 9, em tiếp tục gặp dạng toán mở rộng khó Đặc biệt em tham gia vào kì thi chọn học sinh giỏi, thi vào lớp 10, thi vào lớp chọn, dạng tốn chứng minh bất đẳng thức lại hay gặp Đây loại toán phức tạp, việc giúp em nắm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức quan trọng Cơ sở thực tiễn Khi chưa dạy cho em phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số, em lúng túng giải dạng tốn Thơng thường, em phải mị mẫm cách giải, cách giải thiếu suy luận logic Chính mà việc hướng dẫn em số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số cần thiết Do vậy, cố gắng hệ thống lại số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số mà học sinh thường hay gặp Ngồi ra, tơi rút số sai lầm mà em hay mắc phải để khắc sâu phương pháp chứng minh cho em Nội dung đề tài gồm chương: Chương I: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số I Phương pháp dùng định nghĩa tính chất bất đẳng thức II Phương pháp biến đổi tương đương III Phương pháp làm trội, làm giảm IV Phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết V Phương pháp phản chứng VI Phương pháp quy nạp toán học VII Phương pháp hình học VIII Phương pháp đổi biến số Chương II: Những sai lầm học sinh thường mắc phải chứng minh bất đẳng thức đại số Trang 331 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS Chương III : Ứng dụng bất đẳng thức Chương IV: Một số đề thi tập tổng hợp Trang 431 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ I Phương pháp dùng định nghĩa tính chất bất đẳng thức Nội dung - Để chứng minh a b ta xét hiệu a - b chứng tỏ a - b - Để chứng minh a b ta xét hiệu a - b chứng tỏ a - b Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh , với a Côsi) Giải: Do a 0, b nên , 0, b 0 (BĐT , Xét hay (đpcm) Đẳng thức (dấu “=”) xảy a = b Ví dụ 2: Chứng minh a3 + b3 + c3 3abc, với a 0, b (BĐT Cô si) Giải: Xét a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc = (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab] = (a + b + c)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] (vì a 3 Chứng tỏ a + b + c 0, b 0, c 0, c 0) 3abc II Phương pháp biến đổi tương đương Nội dung Dùng phép biến đổi tương đương, biến đổi bất đẳng thức cho thành bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức chứng minh dễ dàng Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: Trang 531 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS Giải: (2) Nếu ac + bd < (2) chứng minh Nếu ac + bd ≥ (2) tương đương với: (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ⇔ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ⇔ (ad - bc)2 ≥ (3) Bất đẳng thức (3) Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng, x ≥ y > (1) Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (2) Theo giả thiết x ≥ y>1 ⇒ Do (2) Vậy bất đẳng thức (1) (đpcm) III Phương pháp làm trội, làm giảm Nội dung Dùng phép biến đổi đưa vế bất đẳng thức cần chứng minh dạng để tính tổng hữu hạn tích hữu hạn + Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn S n = u1 + u2 + … + un biểu diễn số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk = ak - ak-1 Khi đó: Sn = (a1 - a2) + (a2 - a3) + … + (an - an-1) = a1 - an-1 + Phương pháp chung để tính tích hữu hạn P n = u1.u2 un biểu diễn số hạng tổng quát uk thương hai số hạng liên tiếp mhau: Khi đó: Trang 631 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: với số tự nhiên n > Giải: Với k > ta có: Lần lượt thay k = 2, 3, …, n cộng lại ta được: đpcm Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: với số tự nhiên n > Giải: Với số tự nhiên k > 0, ta có: (đpcm) IV Phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết Nội dung Sử dụng số bất đẳng thức bất đẳng Côsi, Bunhiacôpxki, … + Tổng hai số nghịch đảo với xy > Đẳng thức xảy x = y với x y < Đẳng thức xảy x = y Trang 731 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS + Bất dẳng thhức Cơsi với a, b ≥ Đẳng thức xảy a = b với a, b, c ≥ Đẳng thức xảy a=b=c + Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) Tổng quát: (a1b1 + a2b2 + … + anbn) ≤ (a12 + a22 + … +an2)(b12 +b22 +… + bn2) Đẳng thức xảy ai=kbi với k , i =1, 2, …, n Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc, với a, b, c số không âm Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số không âm a b; a c; b c ta được: Vậy ta có: (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc (đpcm) Dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c Ví dụ 2: Cho m2 + n2 = a2 + b2 = Chứng minh rằng: │am + bn│≤ (1) Giải: Theo đầu bài, m2 + n2 = a2 + b2 = ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho cặp số (a, m) (b, n) ta có: (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) = ⇔ │am + bn│≤ (đpcm) Dấu đẳng thức xảy khi: Ví dụ 3: Cho a, b, c số dương Chứng minh: Giải: Trang 831 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ; Ta có: Tương tự: Cộng vế bất đẳng thức: V Phương pháp phản chứng Nội dung Giả sử chứng minh bất đẳng thức đó, ta giả sử bất đẳng thức khơng kết hợp với giả thiết ta suy điều vô lý Khi ta khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ Ví dụ 1: Cho a3 + b3 = Chứng minh rằng: a + b ≤ Giải: Giả sử a + b > ⇒ (a + b)3 > ⇒ + 3ab(a + b) > (vì a3 + b3 = 2) ⇒ ab( a + b) > ⇒ ab(a + b) > a3 + b3 (vì a3 + b3 = 2) Chia vế cho số dương a + b ta có: ab > a2 - ab + b2 ⇒ > (a - b)2 (Vô lý) Vậy a + b ≤ Ví dụ 2: Cho x, y, z > thoả mãn điều kiện xyz = Chứng minh nếu: ba số lớn Giải: Để so sánh số x, y, z với ta xét tích: Trang 931 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS (x - 1)(y - 1)(z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y+ z - (suy từ giả thiết) Trong số: x - 1; y - 1; z - có số dương Thật vậy: Nếu số dương x, y, z > xyz >1 (trái giả thiết) Còn số dương tích (x - 1)(y - 1)(z - 1) < (vơ lý) Vậy có số x, y, z lớn Ví dụ 3: Cho < a, b, c < Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a(2 - b) > 1; b(2 - c) > 1; c(2 - a) > (1) Giải: Giả sử bất đẳng thức đúng, nhân vế với vế chúng lại với ta được: a(2 - b)b(2 - c)c(2 - a) >1 Ta lại có: a(2 - a) = 2a - a2 = - (a2 - 2a + 1) = - (a - 1)2 ≤ Tương tự: b(2 - b) ≤ c(2 - c) ≤ Do < a, b, c < nên: a(2 - a) > b(2 - b) > c(2 - c) > ⇒ Ta có: a(2 - b)b(2 - c)c(2 - a) ≤ mâu thuẫn với (1) Vậy có bất đẳng thức cho sai VI Phương pháp quy nạp toán học Nội dung Để chứng minh mệnh đề T(n) với n số tự nhiên n ta thực bước sau: + Chứng minh mệnh đề T(n0) (kiểm tra mệnh đề với n = n0) + Giả sử mệnh đề T(k) với k (giả thiết qui nạp) + Ta cần chứng minh mệnh đề T(k+1) Khi mệnh đề T(n) với n Ví dụ Trang 1031 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS Khi sử dụng bất đẳng thức đặc biệt cần ý đến điều kiện để có bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh với x ta có: x( - x) ≤ Lời giải sau sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - x ta có ⇒ x(4 - x) Sai lầm cách giải khơng để ý đến điều kiện số a, b bất đẳng thức côsi: a, b ≥ Ở x – x không âm x ∈ [0; 4] Lời giải là: (hiển nhiên với x) Trong sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức cần phân biệt dấu “⇔” dấu “⇒” Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức: (1) với a > 0, b > Giải: ⇔ 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 ⇔ 4(a + b)(a2 - ab + b2) ≥ (a + b)(a + b)2 ⇔ 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2 (vì a + b > 0) ⇔ 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ ⇔ 3(a - b)2 ≥ (2) Bất đẳng thức (2) phép biến đổi tương đương nên bất đẳng thức (1) Trang 1731 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS Sẽ mắc sai lầm lời giải ta thay dấu “ ⇔” dấu “ ⇒” Vì (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) chưa thể kết luận bất đẳng thức (1) hay không? Chú ý: Bất đẳng thức (1) gọi tương đương với bất đẳng thức (2) (1) ⇒ (2) (2) ⇒ (1) Trang 1831 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) m f(x) có giá trị nhỏ m Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M Ta thường hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trường hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý : Xảy dấu '' = '' AB Dấu ''= '' xảy A = Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a b thoả mãn : a + b = Giải: B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = ⇒ a2 + b2 Vậy B = a = b = Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Giải: a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x - ⇒ A = (t - 2)(t + 2) = t2 - -4 Dấu xảy : t = ⇔ x + x - = ⇔ (x - 2)(x + 2) = ⇔ x = -2 ; x = ⇒ A = - x = -2 ; x = ; b, Tương tự Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, C = Trang 1931 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS b, D = c, E = Giải : a, Áp dụng BĐT : Dấu '' = ''xảy AB ⇒C= Dấu '' = '' xảy (2x - 3)(1 - 2x) ⇔ Vậy minC = b, Tương tự : minD = : -3 c, minE = : x x Dùng bất đẳng thức để giải phương trình a Kiến thức : Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) phương trình sau suy luận để nghiệm phương trình Nếu VT = VP giá trị ẩn (thoả mãn TXĐ) ⇒ phương trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn ⇒ phương trình vơ nghiệm b Các ví dụ : Bài 1: a, Tìm giá trị lớn L = + b Giải phương trình : Giải : a Tóm tắt : ( ⇔ - x2 + 4x - = (*) + + + )2 2(2x - + - 2x) = ⇒ MaxL = x = b TXĐ : (*)⇔ = x2 - 4x + + VP = (x - 2)2 + 2 , dấu '' = '' xảy x = ⇒ với x = ( thoả mãn TXĐ ) VT = VP = ⇒ phương trình (*) có nghiệm x = Bài : Giải phương trình : + = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x Trang 2031 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS VP = (x - 3)2 + 4 Dấu '' = '' xảy x = VT = ( + 1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 ⇒VT , dấu '' = '' xảy ⬄ x=2 = ⇒ khơng có giá trị x để VT = VP ⇒ Phương trình vơ nghiệm Bài : Giải phương trình : + =5 HD : ⇒VT 2; ⇔ Dấu '' = '' xảy : ⇒ phương trình có nghiệm : x = ; y = Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình: a Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi phương trình hệ , suy luận kết luận nghiệm Lưu ý : Một số tính chất : a a2 + b2 2ab b a + c < ; c > ⇒ a < b c a > b > b Các ví dụ : Bài : Giải hệ phương trình : (1) ⇔ x3 = - - 2(y - 1)2 ⬄ x3 (2) ⇔ x2 -1 ⇔x ( + y2 - (*) 2y) ⇔ -1 x (**) Từ (*) (**) => x = -1 Thay x = -1 vào (2) ta có : y = ⇒ Hệ phương trình có nghiệm : x = -1 ; y = - Kiến thức : Biến đổi phương trình hệ , sau so sánh với phương trình lại , lưu ý dùng bất đẳng thức quen thuộc Bài 2: Giải hệ phương trình (với x, y, z > 0) Giải : Áp dụng: Nếu a, b > : Trang 2131 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS (2) ⇔ ⇔6 Mặt khác : x, y, z > nên 6 Dấu '' = '' xảy x = y = z , thay vào (1) ta : x + x2 + x3 = 14 ⇔ (x - 2)(x2 + 3x + 7) = ⇔x-2=0 ⇔ x=2 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm ngun Ngồi cịn có số ứng dụng khác bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo giải, học sinh phải nắm kiến thức bất đẳng thức vận dụng Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Bài : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : =2 Giải : Khơng tính tổng qt , ta giả sử x 2= ⇒ 2z y z , ta có : , mà z nguyên dương Vậy z = Thay z = vào phương trình ta : Theo giả sử , x y , nên = y nguyên dương nên y = y = Với y = khơng thích hợp Với y = ta có: x = Vậy (2 ; ; 1) nghiệm phương trình Hốn vị số , ta nghiệm phương trình : Trang 2231 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Trang 2331 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS CHƯƠNG IV: MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ ĐỀ THI Bài Chứng minh rằng: 2a4 + ≥ 2a3 + a2 với a (Đề thi học sinh giỏi 1979 - 1980) Bài Chứng minh bất đẳng thức: x12 + x22 + x32 + x42 + x52 ≥ x1(x2 + x3 + x4+ x5) (Đề thi học sinh giỏi 1985 - 1986) Bài Cho x ≥ 0, y ≥ x + y2 = Chứng minh rằng: (Đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHTH 1995 - 1996) Bài Chứng minh bất đẳng thức: |a + b| < |1 + ab| (với | a| < , | b| < 1) (Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8) Bài Cho A = a12 + a22 + … + an2, B = b12 + b22 + … + bn2, C = a1b1 + a2b2 + … + anbn Chứng minh rằng, với x ta có: Ax2 - 2Cx + B ≥ (Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8) Bài Cho số a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ Chứng minh rằng: (Bài toán bất đẳng thức chọn lọc) Bài Cho a, b, c, d, a + b + c3 số không âm Chứng minh rằng: 3 (Bất đẳng thức chọn lọc) Bài Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: Bài Cho a 0, b (Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố) n > Chứng minh bất đẳng thức: (Bất đẳng thức chọn lọc) Bài 10 Cho x ≥ y ≥ Chứng minh rằng: (Đề thi học sinh giỏi năm 1991) Bài 11 Chứng minh rằng, với n ≥ ta có: 2n+3 > 2n + Trang 2431 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS (Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 8) Bài 12 Chứng minh bất đẳng thức: với ab > (Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8) Bài 13 Chứng minh với n ∈ N ta có: (Đề thi chọn học sinh giỏi năm 1980 - 1981) Bài 14 Chứng minh bất đẳng thức: (với n ∈ N, n ≥ 2) (Tốn ơn thi vào lớp 10) Bài 15 Giả sử a b số nguyên dương cho số nguyên Gọi d ước số a b Chứng minh: (Đề thi vào lớp chuyên ĐHTH 1995 - 1996) Bài 16 Cho số a > 0, b > 0, c > Chứng minh bất đẳng thức: (Thi học sinh giỏi toàn quốc 1979) Bài 17 Cho a ≥ , b ≥ , c ≥ Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) (Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp năm 1994) Bài 18 Cho x > 0, y > x + y = Chứng minh: (Đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên Lý - Hoá ĐHTH 1992) Bài 19 Chứng minh a, b, c số dương thoả mãn: abc = ab + bc + ca thì: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 khối THPT chuyên Toán - Tin ĐH Vinh năm 2002) Bài 20 Cho số dương a, b, c ab > c thoả mãn: a3 + b3 = c3 + Chứng minh: a + b > c + (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi tỉnh Hải Dương 2004 - 2005) Bài 21 Cho a > c, b > c, c > Chứng minh rằng: Trang 2531 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình toán học THCS Bài 22 Cho a + b = Chứng minh Bài 23 Cho Chứng minh rằng: Bài 24 Cho Chứng minh rằng: Bài 25 Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: (BĐT Nesbit) Bài 26 Gọi a, b, c, p cạnh, nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: (Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định 2005 -2006) Bài 27 Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: (x + z)4 + (z + y)4 (x + y)4 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2006 - 2007) Bài 28: Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = Chứng minh x2y2(x2 + y2) ≤ (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2006 - 2007) Bài 29: Cho a, b, c dương Chứng minh rằng: (Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ năm học 2006 - 2007) Bài 30: Chứng minh với số thực x ta ln có: (x – )4 + (x – 3)3 + 6(x – )2(x – 3)2 ≥ (Đề thi vào THPT năm học 2008 - 2009) Bài 31: a Cho hai số x, y ≥ Chứng minh bất đẳng thức: (1) b Áp dụng bất dẳng thức (1), chứng minh: Với số a, b, c dương cho : a ≥ c; b ≥ c, ta có: (Đề thi vào 10 THPT, tỉnh Hà Tây năm học 2008 – 2009) Bài 32: Trang 2631 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS a) Cho a + b + c = 2011 Tính giá trị biểu thức A = b) Chứng minh rằng: 2(x4 + y4) xy3 + x3y + 2x2y2 với x, y (Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp huyện Thanh Trì năm học 2010 – 2011) Bài 33 : Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức : (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2011 – 2012) Bài 34 : Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ biểu thức : (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2012 – 2013) Bài 35 : Chứng minh : Với số a, b, c, d tùy ý ta có : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ ab + ac + ad (Đề thi học sinh khiếu lớp 8, huyện Thanh Trì, năm học 2013 – 2014) Bài 36 : Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc Chứng minh: (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2013 – 2014) Bài 37 : Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2014 – 2015) Bài 38 : Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2015 – 2016) Bài 39 : Với số thực x, y thỏa mãn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2016 – 2017) Bài 40 : Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + b2 +c2 Trang 2731 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2017 – 2018) Trang 2831 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trên số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số chương trình Tốn học THCS mà tơi tổng hợp, phân loại Qua tập minh họa phương pháp chứng minh bất đẳng thức, cho dù chưa đầy đủ xong phần toát lên phương pháp mà áp dụng cho năm qua lớp 8; Sau sử dụng đề tài để bồi dưỡng cho số học sinh khá, giỏi lớp, nhận thấy em tự tin giải toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng để giải tốn có liên quan Do thời gian có hạn, trình độ học sinh lớp không đồng nên tiến hành dạy khảo sát với 10 học sinh giỏi lớp Kết thu 10 em đạt trung bình (100%) có em đạt điểm trở lên (Năm học 2011 – 2012 có em đạt điểm trở lên, năm học 2012 – 2013 có em đạt điểm trở lên, năm học 2013 - 2014 có em đạt điểm trở lên, năm học 2014- 2015 có em đạt điểm trở lên, năm 2015 – 2016 có em đạt điểm trở lên, năm 2016 – 2017 có em đạt điểm trở lên, có em đạt điểm 10) Trong năm học trước nghiên cứu đề tài thấy sau áp dụng vào thực tế, kết thu khả quan Đồng thời đề tài đồng nghiệp đánh giá cao (đã nhiều năm đạt giải B C cấp thành phố) Vì năm học (2017 – 2018) tiếp tục nghiên cứu đề tài để nghiên cứu sâu hơn, kĩ từ trao đổi với bạn bè đồng nghiệp nhằm tháo gỡ phần khó khăn cho bạn bè đồng nghiệp dạy cho học sinh mảng kiến thức Và nghĩ, tiếp tục nghiên cứu đề tài năm để đề tài ngày hoàn thiện cho thu kết cao năm học tới Cuối cùng, tơi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp! Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Phương Trang 2931 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách toán phát triển lớp 6, 7, 8, - NXB Giáo Dục Các dạng tốn ơn thi vào lớp 10 - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình Một số vấn đề phát triển đai số - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình Tốn bồi dưỡng học sinh lớp - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình Tốn bồi dưỡng học sinh lớp - NXB Giáo dục - Vũ Hữu Bình Sai lầm phổ biến giải toán - NXB Giáo dục - Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang Các đề thi tuyển sinh mơn tốn vào lớp 10 chủ đề thường gặp NXB ĐHSP - Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho Các toán chọn lọc bất đẳng thức - NXB Giáo dục - Nguyễn Đề, Vũ Hồng Lâm 500 tốn chọn lọc bất đẳng thức tập 1, - NXB Hà Nội - Phan Huy Khải 10 Tuyển tập 180 toán bất đẳng thức - NXB Giáo dục - Võ Đại Mau 11 263 toán bất đẳng thức chọn lọc - NXB Giáo dục - Nguyễn Vũ Thanh 12 Phương pháp giải 100 toán chọn lọcvề chuyên đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ - NXB Giáo dục - Phan Văn Phùng 13 23 chuyên đề giải 100 toán sơ cấp - NXB Giáo dục - Nguyễn Văn Vĩnh 14 Ơn tập thi vào lớp 10 mơn Tốn 15 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ vài tài liệu khác Trang 3031 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS MỤC LỤC Trang 3131 ... b2 +c2 Trang 2 731 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2 017 – 2 018) Trang 2 831 Một số phương pháp chứng... tương đương III Phương pháp làm trội, làm giảm IV Phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết V Phương pháp phản chứng VI Phương pháp quy nạp tốn học VII Phương pháp hình học VIII Phương pháp đổi... nghiệm phương trình Hốn vị số , ta nghiệm phương trình : Trang 2 231 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trương trình tốn học THCS (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Trang 2 331 Một