PHÂN LOẠI đề TUYỂN SINH vào 10

Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 PHÂN LOẠI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THEO CHỦ ĐỀ NĂM HỌC 2018-2019-2020-2021 Sưu tầm từ nguồn: • đề tuyển sinh vào 10 hệ chuyên năm học 2020-2021 • đề tuyển sinh vào 10 năm học 2019-2020 • đề tuyển sinh vào 10 hệ chuyên năm học 2018-2019 • đề tuyển sinh vào 10 năm học 2018-2019 • đề học sinh giỏi lớp năm học 2018-2019 Tôi phân loại thành chủ đề sau: • Chủ đề 1: Căn bậc hai toán liên quan trang • Chủ đề 2: Bất đẳng thức trang 41 • Chủ đề 3:Phương trình trang 65 • Chủ đề 4:Hàm số toán liên quan trang 105 • Chủ đề 5: Hệ phương trình trang 125 • Chủ đề 6: Giải toán cách lập pt, hệ pt trang 143 • Chủ đề 7:Hình học trang 155 • Chủ đề 8: Số học- đa thức trang 235 Tra mã lời giải Ngày 24/11/2020 Vũ Ngọc Thành Bản Vàng Pheo Phong Thổ Lai Châu Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu • đề tuyển sinh vào 10 hệ chuyên năm học 2019-2020 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài [id5701](Ts10 chuyên Bình Phước 20-21) Cho biểu thức √ √ a a √ A= 1− : √ − √ a+1 a+1 a a+ a+a+1 Rút gọn biểu thức A √ Tính giá trị A a = 2021 − 2020 Bài [id5702](Ts10 chuyên Bình Thuận 20-21) √ √ + + − √ √ x+ x 4−5 x √ với x ≥ x = Rút gọn biểu thức B = + 1−x 1− x Tính giá trị biểu thức A = Bài [id5703](Ts10 chuyên Bình Định chuyên tin 20-21) Thu gọn biểu thức: A= 4+ √ 15 √ 5− √ 4− √ 15 Bài [id5704](Ts10 chuyên Bình Định chun tốn 20-21) Tìm tất giá trị ngun x để biểu thức √ √ √ 3x + x − x+1 x−3 √ P = −√ −√ x+2 x−3 x+3 x−1 nhận giá trị nguyên Bài [id5705](Ts10 chuyên Gia Lai chuyên tin 20-21) √ √ x− x x+ x 1− √ , với x ≥ 0, x = 1 Rút gọn biểu thức A = − √ x+1 x−1 Xác định a, b để đường thẳng (d) : y = (a − 2)x + b (a = 2) cắt trục tung điểm có tung độ √ √ − cắt trục hồnh điểm có hồnh độ √ a−1 a+1+2 a Bài [id5706](Ts10 chuyên Gia Lai chuyên toán 20-21)Rút gọn biểu thức A = √ + √ , a−1 a+1 với a ≥ 0, a = Bài [id5707](Ts10 chuyên Gia Lai không chuyên 20-21)Rút gọn biểu thức √ √ √ (x + x − 1) x+1 x+2 √ P = −√ −√ , x+ x−2 x+2 x−1 với x ≥ x = Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Chủ đề 1: Căn bậc hai toán liên quan Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài [id5708](Ts10 chuyên Hà Nam 20-21)Cho biểu thức √ √ x+3 x+2 x+ x 1 √ P = − : √ +√ x−1 x+ x−2 x+1 x−1 Rút gọn biểu thức P √ x+1 Tìm x để − ≥ P Bài [id5709](Ts10 chun Hịa Bình 20-21)Rút gọn biểu thức: √ √ √ a−9 3− 2+ √ − √ A = √ b) B = a−3 1− 1+ Bài 10 [id5710](Ts10 chuyên Hưng Yên 20-21) Cho biểu thức M= 2x + 1 √ −√ x−1 x3 − : 1− x+4 √ x+ x+1 với x ≥ 0, x = 1, x = Rút gọn biểu thức M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên dương Bài 11 [id5711](Ts10 chuyên Hải Phòng 20-21)Cho biểu thức √ √ x x √ √ −√ : 1+ P = x+1 x x+ x−x−1 x−1 Rút gọn P Tìm tất giá trị x để P ≤ − Bài 12 [id5712](Ts10 chuyên Hậu Giang 20-21)Tính giá trị biểu thức A= √ 43 − 30 + √ − Bài 13 [id5713](Ts10 chuyên Kiên Giang 20-21) Cho biểu thức √ √ √ x−2 x+1 x √ A= √ +√ + (x ≥ 0, x = 1) x−1 x+2 x+ x−2 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu với x > 0; x = 1 Rút gọn biểu thức A Hãy so sánh giá trị biểu thức A với Bài 14 [id5714](Ts10 chun Kon Tum 20-21) Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức A = √ 28 + √ √ 63 − − Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 √ x+1 √ : √ (x > 0, x = 1) Rút gọn biểu thức B = √ x x+x+ x x − x Bài 15 [id5715](Ts10 chuyên Long An 20-21)Cho biểu thức √ √ √ 2( x − 3) x+3 x x−3 √ √ − √ + P = √ ( x + 1)( x − 3) x+1 3− x Rút gọn biểu thức P Tìm x để P số nguyên Bài 16 [id5716](Ts10 chuyên Ninh Bình 20-21) a2 + a2 (a + 1)2 + (a + 1)2 với a ∈ Z Chứng minh P số tự nhiên √ √ x−1 1 : √ −√ với x = + Tính giá trị biểu thức A = x −x x x+1 Cho P = Bài 17 [id5717](Ts10 chuyên Phú Thọ chuyên Tin 20-21) x2 + y Cho < x < y thỏa mãn 2x + 2y = 5xy Tính E = x − y2 2 Cho x = √ + 3−2 √ 2021 − 2 Tính giá trị biểu thức P = (2x3 − 6x + 2008) Bài 18 [id5718](Ts10 chuyên Quảng Bình 20-21)Cho biểu thức: √ √ √ x+2 x− x−3 x− x √ √ P = √ − +√ : x+1 x− x−2 x− x−2 x−2 Rút gọn biểu thức P Chứng minh P ≤ Bài 19 [id5719](Ts10 chuyên Quảng Nam 20-21) Cho biểu thức √ x+ x 18 √ A= + − , √ 1+ x+4 x+4 x−2 x−3 x−9 với x ≥ v` a x = Rút gọn biểu thức A Bài 20 [id5720](Ts10 chuyên Quảng Ngãi 20-21) Rút gọn biểu thức √ √ √ a a− a a+ a A= − √ · √ −√ , 2 a a+1 a−1 với a > 0, a = Bài 21 [id5721](Ts10 chuyên Quảng Ninh 20-21)Cho biểu thức √ √ √ √ √ x+1 x−1 x+2 x+4 √ + √ A= √ x− √ + x−2 3− x x−5 x+6 x−1 với x ≥ 0, x = 1, x = 4, x = Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu với x ≥ 0; x = Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Rút gọn A Tìm x để A < Bài 22 [id5722](Ts10 chuyên SP Hà Nội V1 20-21) Cho biểu thức √ √ 8x x−1 x √ + √ −√ (x > 0; x = 4; x = 9) : P = 2+ x 4−x x−2 x x Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Rút gọn biểu thức P √ Tìm m cho m( x − 3).P > x + với x > Bài 23 [id5723](Ts10 chuyên Sơn La 20-21)Tính giá trị biểu thức: √ A= 2021 + 2020 2019 √ √ + − − 2020 2020 + 2020 2020 √ + 2020 1+ √ Bài 24 [id5724](Ts10 chun Thái Ngun chun tin 20-21)Khơng sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức √ √ A = − − + −1 + − Bài 25 [id5725](Ts10 chuyên Vinh Long 20-21) √ 3 √ √ Cho biểu thức A = + x2 + x + x3 − 27 √ tính giá trị A x = + 2020 Tính giá trị biểu thức B = √ 5− 3− √ x √ + + Tìm điều kiện xác định A x √ 29 − 12 √ x−4 x+ x+2 + √ Bài 26 [id5726](Ts10 chuyên Vũng Tàu 20-21)Rút gọn biểu thức P = √ x x − ( x + 1)2 + với ≤ x = Bài 27 [id5727](Ts10 chuyên Yên Bái 20-21)Cho biểu thức √ √ √ √ a+1 a−1 a2 + a a √ P = √ −√ +4 a : a−1 a+1 a+1 , với a > 0, a = 1 Rút gọn biểu thức P Tìm tất giá trị a để P > Bài 28 [id5728](Ts10 chuyên Đồng Tháp 20-21) Cho biểu thức A = √ x −√ x−1 x−1 : √ x+ x Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Tìm tất giá trị x thỏa 2A − x = Bài 29 [id5729](Ts10 chuyên Điện Biên 20-21)Cho biểu thức: √ √ 2a + a 2(a − 1) a2 − a √ − √ + √ P = a+ a+1 a a−1 ( với a > 0, a = 1) Tìm giá trị nhỏ P Bài 30 [id3513](TS10 Ninh Bình 19-20) Rút gọn biêu thức A = √ √ + 18 Bài 31 [id3514](TS10 Bạc Liêu 19-20) Rút gọn biểu thức: √ √ A = 45 − 20 √ √ √ − 27 √ − − 12 B = √ 3− Bài 32 [id3515](TS10 Bắc Ninh 19-20) Khi x = biểu thức √ A B √ C có giá trị x+2−1 D Bài 33 [id3516](TS10 Bến Tre 19-20) Rút gọn biểu thức: A = √ √ 27 − 12 Bài 34 [id3517](TS10 Cần Thơ 19-20) Giá trị rút gọn biểu thức √ √ √ P = 27 + 300 − 75 √ A 31 B √ √ C √ D −3 Bài 35 [id3518](TS10 Cần Thơ 19-20) Điều kiện x đề biểu thức A x≥− B x ≥ C x ≥ −2 Bài 36 [id3519](TS10 DAK LAK 19-20) Rút gọn biểu thức: √ √ √ √ 22 A = 32 − + √ 11 √ 5−3 √ √ 2x − có nghĩa D x≥ 5+3 +6 √ √ √ Bài 38 [id3521](TS10 Hưng Yên 19-20) Rút gọn biểu thức P = 5( + 2) − 20 Bài 37 [id3520](TS10 Hịa Bình 19-20) Rút gọn: A = Bài 39 [id3522](TS10 Hậu Giang 19-20) Rút gọn biểu thức √ √ √ √ 4+ 8+ 2− 3− √ √ A= 2+ 2− Bài 40 [id3523](TS10 Lai Châu 19-20) Rút gọn biểu thức sau: Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Rút gọn P Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 √ √ √ + 25 − √ √ √ 3 + 12 − 27 √ √ √ √ 16 − 25 + So sánh A với Bài 42 [id3525](TS10 Long An 19-20) √ √ √ Rút gọn biểu thức: K = + 45 − √ x−4 x+2 x Rút gọn biểu thức: Q = √ + √ (với x > ) x+2 x Bài 43 [id3526](TS10 Lào Cai 19-20) Tính giá trị biểu thức sau: √ + √ 5+ 6− √ Bài 44 [id3527](TS10 Lâm Đồng 19-20) Tính √ √ √ 27 + 12 − Bài 45 [id3528](TS10 Lạng Sơn 19-20) Tính giá trị biểu thức sau A= √ 16 − √ √ √ √ √ 4; B = 5 − + 5; C = 2−5 Bài 46 [id3529](TS10 Nghệ An 19-20) Rút gọn biểu thức sau: √ √ √ √ A = 12 − + 60 √ 4x x2 − 6x + B = với < x < x−3 x Bài 47 [id3530](TS10 Ninh Bình 19-20) Rút gọn biểu thức √ √ x x P =√ −√ + x+3 x−3 x−9 (với x ≥ 0, x = ) Bài 48 [id3531](TS10 Ninh Thuận 19-20) Rút gọn biểu thức : √ √ √ a a−1 a+1 √ P = − √ −√ 2 a a+1 a−1 với a > a = + √ Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 41 [id3524](TS10 Quang Nam 19-20) Cho biểu thức A = Bài 49 [id3532](TS10 Quảng Nam 19-20) Rút gọn biểu thức A= Cho biểu thức √ 12 + √ 2−1 −√ √ 3− √ x √ + √ B= − x+ x x−1 x− x với x > x = Rút gọn biểu thức B tìm x để B = Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 50 [id3533](TS10 Sơn La 19-20) Rút gọn biểu thức √ x +√ (x − 4) P = √ x+2 x−2 (với x ≥ x = ) với x ≥ 0; x = Rút gọn A √ Tìm giá trị cảu A x = + Bài 52 [id3535](TS10 Quảng Ninh 19-20) √ √ Thực phép tính: − Rút gọn biểu thức: 28(a − 2)2 , với a Bài 53 [id3536](TS10 THUA THIEN HUE 19-20) Tìm giá trị x cho biểu thức A = x − có giá trị dương √ √ √ Đưa thừa số ngồi dấu căn, tính giá trị biểu thức B = 22 − 32 + 42 √ √ 1−a a √ 1− a √ + a Rút gọn biểu thức C = với a ≥ a = 1−a 1− a Bài 54 [id3537](TS10 Thái Bình 19-20) Cho √ √ x+2 x+1 x+ x+1 √ ;B = √ − √ − A= √ x+1 x−1 x x−1 x+ x+1 với x ≥ , x = .Tính giá trị biếu thức A x = .Rút gọn biểu thức B .Tìm x cho C = −A.B nhận giá trị số nguyên Bài 55 [id3538](TS10 Thái Nguyên 19-20) Chứng minh A= √ 5+6− √ ( − 1) + 2018 số nguyên Bài 56 [id3539](TS10 Thái Nguyên 19-20) Rút gọn biểu thức a−1 P =√ b−1 với a < b > √ b−2 b+1 a2 − 2a + Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 51 [id3534](TS10 Thanh Hóa 19-20) Cho biểu thức: √ x+2 √ A= √ − −√ x+3 x+ x−6 x−2 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 57 [id3540](TS10 Tây Ninh 19-20) Cho biểu thức √ √ √ 2 ( x + 1) + ( x − 1) x+1 √ √ A= − x−1 ( x − 1) ( x + 1) với x ≥ , x = Tìm x số phương để 2019A số nguyên Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 58 [id3541](TS10 Bình Phước 19-20)Cho biểu thức √ √ √ x x x+1 √ : P = √ + x−1 x− x với x > 0; x = Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P = Bài 59 [id3542](TS10 Bình Định 19-20) Cho biểu thức: A= √ x+2 x−1+ √ x−2 x−1 với x ≥ 1 Tính giá trị biểu thức A x = Rút gọn biểu thức A ≤ x ≤ Bài 60 [id3543](TS10 Bắc Giang 19-20) Rút gọn biểu thức √ √ √ (x − x + 1) x − x A= − √ :√ x−4 x+2 x−2 với x > 0; x = Bài 61 [id3544](TS10 Bắc Ninh 19-20) Cho biểu thức √ √ √ 2 ( x + 1) + ( x − 1) x+1 √ √ A= − x−1 ( x − 1) ( x + 1) với x ≥ , x = Rút gọn biểu thức A Tìm x số phương để 2019A số nguyên Bài 62 [id3545](TS10 Hà Nam 19-20) Rút gọn biếu thức: A= √ √ − 45 + 5−1 √ 5−1 Bài 63 [id3546](TS10 Trà Vinh 19-20) Rút gọn biểu thức: A = √ 20 − √ √ 45 + 80 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 64 [id3547](TS10 Hà Nam 19-20) Cho biểu thức: B= 1 √ − √ 3− x 3+ x √ 3+ x √ , x (với x > 0; x = ) Bài 65 [id3548](TS10 Hà √ Nội 19-20) ( x + 1) Cho hai biểu thức A = 25 − x B= √ 15 − x +√ x − 25 x+5 √ x+1 :√ x−5 với a, b Tìm giá trị biểu thức A x = Rút gọn biểu thức B Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât Bài 66 [id3549](TS10 Hà Tĩnh đề 01 19-20) Rút gọn biểu thức sau: √ √ A = 50 − 18 B = a2 2 − +a a+1 : a2 1−a (với a = a = ±1 ) + 2a + Bài 67 [id3550](TS10 Hà Tĩnh Đề 02 19-20) Rút gọn biểu thức: √ √ A = 72 − B = a2 1 − +a a+1 : a2 1−a với a = a = ±1 + 2a + Bài 68 [id3551](TS10 Hải Dương 19-20) Rút gọn biểu thức: √ √ 2x x x−1 √ + √ −√ P = : 3+ x 9−x x−3 x x với x > 0, x = 9, x = 25 Bài 69 [id3552](TS10 Hải Phòng 19-20) Cho hai biểu thức: A= √ 20 − √ √ 45 + : √ √ x+2 x x−9 √ 5; B = +√ x x+3 (với x > ) Rút gọn biểu thức A, B Tìm giá trị x cho giá trị biểu thức B giá trị biểu thức A √ √ x Bài 70 [id3553](TS10 Khánh Hòa 19-20) Cho biểu thức P = 4x − 9x + √ với x > x 10 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Rút gọn biểu thức tìm tất giá trị nguyên x để B > Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện a + b + c = 1 + + = Chứng a b c minh ba số a, b, ccó số Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y + z = 2045 F = (x − 18)2021 + (y − 7)2021 + (z − 2020)2021 Bài 64 [id6015](Ts10 chuyên Thái Nguyên chuyên toán 20-21)Cho hai số thực a, b thỏa mãn ab = Chứng minh a9 + b9 = (a4 + b4 ) (a5 + b5 ) − 16 (a + b) Bài 65 [id6016](Ts10 chuyên Điện Biên 20-21)Cho xy + yz + xz = xyz = Chứng minh rằng: yz xz xy + + = x2 y z Bài 66 [id1129](TS10 chuyên Nghệ An 19-20) Cho đa thức P (x) = ax2 + bx + c (a ∈ N∗ ) thỏa mãn P (9) − P (6) = 2019 Chứng minh P (10) − P (7) số lẻ Bài 67 [id1130](TS10 chuyên Ninh Bình 19-20) Cho P (x) đa thức bậc n với hệ số nguyên, n ≥ Biết P (1) P (2) = 2019, chứng minh phương trình P (x) = khơng có nghiệm ngun Bài 68 [id1131](HSG9 Hà Tĩnh 18-19)Dãy số (an ) thỏa mãn an+1 = an + 3, ∀n ∈ N ∗ a2 + a19 = 25 Tính tổng S = a1 + a2 + + a20 Bài 69 [id1132](TS10 chuyên Bình Thuận 19-20) Chứng minh số M = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương Bài 70 [id1133](TS10 chuyên Bình Thuận 19-20) Chứng minh số M = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương Bài 71 [id1134](TS10 chuyên Bình Định 19-20) Gọi n số x1 ; x2 ; x3 ; ; xn (n ∈ Z, n ≥ 3) thỏa mãn: số xi i = , n 2019 −2019 x1 x2 + x2 x3 + + xn−1 xn + xn x1 = Chứng minh n bội Bài 72 [id1135](TS10 chuyên Bạc Liêu 19-20) Chứng minh số có dạng A = n6 − n4 + 2n3 + 2n2 số phương, n ∈ N, n > Bài 73 [id1136](TS10 chuyên Bến Tre 19-20)Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a2019 +b2020 +c2021 bội số Chứng minh a2021 + b2022 + c2023 bội số Bài 74 [id1137](TS10 chuyên Chuyên ĐHSP 19-20) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 chia hết cho 14 Chứng minh abc chia hết cho 14 Bài 75 [id1138](TS10 chuyên DAK LAK 19-20) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 42019 + 3n có chữ số tận Bài 76 [id1139](TS10 chuyên HCM 19-20) Cho m, n hai số nguyên Chứng minh 7(m + n)2 + 2mn chia hết cho 225 mn chia hết cho 225 Bài 77 [id1140](TS10 chuyên Hà Nam 19-20) Tìm tất số tự nhiên n cho 7n + 147 số phương 240 Bài 79 Tính giá trị biểu thức: Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu (x − 18)3 + (y − 7)3 + (z − 2020)3 = Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 78 [id1141](TS10 chuyên Hà Nội chuyên tin 19-20) Cho biểu thức P = ab (a + b) + , với a, b số nguyên Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho P chia hết cho [id1142](TS10 chuyên Hà nội 19-20) Cho biểu thức P = abc (a − 1) (b + 4) (c + 6) , với a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b + c = 2019 Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho Bài 80 [id1143](TS10 chuyên Hà nội 19-20) Tìm tất số tự nhiên n để giá trị biểu thức √ √ Q = n + + n + n + số nguyên Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 81 [id1144](TS10 chuyên Hà Tĩnh 19-20) Cho a, b, c số nguyên đôi khác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh (a4 + b4 + c4 ) số phương Bài 82 [id1145](TS10 chun Hịa Bình Chun Tin 19-20) Tìm tất số phương có chữ số cho chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống Bài 83 [id1146](TS10 chuyên Hải Dương 19-20) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a2 +a = 3b2 +b Chứng minh rằng: 2a + 2b + số phương Bài 84 [id1147](TS10 chun Hải phịng 19-20) Tìm số nguyên tố p; q thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: p2 q + p chia hết cho p2 + q pq + q chia hết cho q − p Bài 85 [id1148](TS10 chuyên Hậu Giang 19-20) Cho trước số nguyên dương m Tìm số nguyên dương n cho m + n + số phương mn + lập phương số tự nhiên n5 + 29n Bài 86 [id1149](TS10 chuyên Nam Định 19-20) Chứng minh n số nguyên 30 số nguyên Bài 87 [id1150](TS10 chuyên Nam Định 19-20) Tìm tất cặp số tự nhiên (x; y) cho (x2 + y − 3x + 2y) − (x2 + y + 4x + 2y + 3) số phương Bài 88 [id1151](TS10 chun Nghệ An 19-20) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho x2 y+x+y chia hết cho xy + y + Bài 89 [id1152](TS10 chuyên PTNK ( VÒNG ) năm 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên n cho 2n + chia hết cho Cho n số tự nhiên n > Chứng minh 2n + không chia hết cho 2m − với số tự nhiên m cho < m ≤ n Bài 90 [id1153](TS10 chuyên Quảng Nam 19-20) Chứng minh với số nguyên dương n, số M = 9.34n − 8.24n + 2019 chia hết cho 20 Bài 91 [id1154](TS10 chuyên Quảng Ngãi 19-20) Số tự nhiên n = 1116 có tất ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích tất ước số Bài 92 [id1155](TS10 chuyên Thái Nguyên 19-20) Cho a số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh (a4 − 1) (a4 + 15a2 + 1) chia hết cho 35 Bài 93 [id1156](TS10 chuyên Thái Nguyên 19-20) Cho P (x) đa thức bậc bốn có hệ số bậc cao Biết P (2016) = 2017, P (2017) = 2018, P (2018) = 2019, P (2019) = 2020 Chứng minh P (2020) số tự nhiên chia hết cho 241 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 94 [id1157](TS10 chuyên Vĩnh Long 19-20) Chứng minh với số tự nhiên n n3 + 9n + không chia hết cho Bài 95 [id1158](TS10 chuyên Phú Thọ 19-20) Với số thực x, kí hiệu [x] số nguyên lớn √ = 1; − = −2 khơng vượt q x Ví dụ Chứng minh x − < [x] ≤ x < [x] + = [x + 1] với x ∈ R Bài 96 [id1159](TS10 chuyên Quảng Trị 19-20) Cho số tự nhiên có chữ số abc Chứng minh rằng: abc chia hết cho 21 a − 2b + 4c chia hết cho 21 Bài 97 [id1160](TS10 chuyên Thanh hóa 19-20) Cho hai số nguyên dương x, y với x > thỏa mãn điều kiện 2x2 − = y 15 Chứng minh x chia hết cho 15 Bài 98 [id1161](TS10 chuyên Yên Bái 19-20) Chứng minh A = 11 22 số phương 2019 2020 Bài 99 [id1162](HSG9 Bà Rịa Vũng Tàu 18-19) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh: 46n + 296.13n chia hết cho 1947 Cho A số phương gồm chữ số thỏa mãn ta cộng thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B gồm chữ số Tìm hai số A B Bài 100 [id1163](HSG9 Bình Phước 18-19) Chứng minh với n số chẵn n3 + 20n + 96 chia hết cho 48 Bài 101 [id1164](HSG9 Bình Thuận 18-19) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 18n + 2020 số phương Bài 102 [id1165](HSG9 Bắc Giang 18-19) Chứng minh 12 số tự nhiên có ba chữ số, ln tồn hai số cho ghép chúng lại cạnh để số có sáu chữ số chia hết cho 11 Bài 103 [id1166](HSG9 Gia Lai 18-19) Chứng minh với số nguyên n, số A = 3n3 + 15n chia hết cho 18 Bài 104 [id1167](HSG9 Hà Nội 18-19) Biết a; b số nguyên dương thỏa mãn a2 − ab + b2 chia hết cho 9, chứng minh a b chia hết cho Bài 105 [id1168](HSG9 Hà Nội 18-19) Tìm tất số nguyên dương n cho 9n + 11 tích k (k ∈ N, k ≥ 2) số tự nhiên liên tiếp Bài 106 [id1169](HSG9 Hịa Bình 18-19) Chứng minh A = a3 − 7a + 12 chia hết cho với số a ∈ Z Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Bài 107 [id1170](HSG9 Hải Dương 18-19) Chứng minh a31 + a32 + a33 + + a3n chia hết cho , biết a1 , a2 , a3 , , an chữ số 20192018 242 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu √ Có số nguyên dương n ≤ 840 thỏa mãn [ n] ước n? Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 108 [id1171](HSG9 Hải Phòng 18-19) Cho biểu thức P = a1 + a2 + a3 + + a2019 với a1 ; a2 ; a3 ; ; a2019 số nguyên dương P chia hết cho 30 Chứng minh Q = a51 +a52 +a53 + +a52019 chia hết cho 30 Bài 109 [id1172](HSG9 Kiên Giang 18-19) Cho đa thức hệ số nguyên P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 Bài 110 [id1173](HSG9 Lai Châu 18-19) Tìm dư phép chia: x200 − 2x91 + cho x2 − Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu hai số nguyên a, b khác Chứng minh: P (a) − P (b) chia hết cho (a − b) Bài 111 [id1174](HSG9 Lâm Đồng 18-19) Chứng minh 2n3 + 3n2 + n chia hết cho với số nguyên n n Bài 112 [id1175](HSG9 Nghệ An bảng A 18-19) Chứng minh A = 22 + 4n + 16 chia hết cho với số nguyên dương n Bài 113 [id1176](HSG9 Nghệ An bảng B 18-19) Chứng minh A = 4n + 17 chia hết cho với số nguyên dương n Bài 114 [id1177](HSG9 Quảng Bình 18-19) Tìm số tự nhiên n cho C = 2019n + 2020 số phương Bài 115 [id1178](HSG9 Quảng Ngãi 18-19) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b = c3 − 2018c Chứng minh A = a3 + b3 + c3 chia hết cho Bài 116 [id1179](HSG9 Quảng Ngãi 18-19) Cho B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n (n − 1) (n − 2) với n ∈ N∗ Chứng minh B không số phương Bài 117 [id1180](HSG9 Quảng Ninh bảng A 18-19) Tìm tất số nguyên n cho giá trị biểu thức 2n2 + 18n − chia hết cho 13 Bài 118 [id1181](HSG9 Quảng Trị 18-19) Cho số nguyên a , b , c thỏa mãn a2 c2 2c + = 2 a +b a +c b+c Chứng minh bc số phương Bài 119 [id1182](HSG9 Thanh hóa 18-19) Cho n ∈ N∗ Chứng minh 2n + 3n + số phương n chia hết cho 40 Bài 120 [id1183](HSG9 Vĩnh Phúc 18-19) Chứng minh rằng: A = 1.2.3 2017.2018 + 1 1 + + + + 2017 2018 chia hết cho 2019 Bài 121 [id1184](HSG9 Hà Tĩnh 18-19) Cho đa thức P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P (1) = 3, P (2) = 6, P (3) = 11 Tính Q = 4P (4) + P (−1) Bài 122 [id1185](HSG9 Kiên Giang 18-19) Cho đa thức P (x) hệ số nguyên thỏa P (9) = 10 P (10) = Tồn hay không số nguyên x0 cho P (x0 ) = x0 243 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 123 [id1186](HSG9 Nam Định 18-19) Cho đa thức P (x) Q(x) thỏa mãn P (x) = [Q (x) + Q (1 − x)] với x Biết hệ số P (x) số ngun khơng âm P (0) = Tính P [3P (3) − P (2)] Bài 124 [id1187](HSG9 Quảng Bình 18-19) Tìm a b để đa thức bình phương đa thức Bài 125 [id1188](TS10 chuyên Bình Dương 19-20) Tìm tất số nguyên x cho x−3 x2 + số nguyên Bài 126 [id1189](TS10 chuyên Bình Thuận 19-20) Tìm tất số tự nhiên n để phương trình x2 − n2 x + n + = (ẩn số x) có nghiệm số nguyên Bài 127 [id1190](TS10 chuyên Bình Thuận 19-20) Tìm tất số tự nhiên n để phương trình x2 − n2 x + n + = (ẩn số x) có nghiệm số nguyên Bài 128 [id1191](TS10 chuyên Bắc Giang 19-20) Tìm tất số nguyên tố x, y, z thỏa mãn (x + 2) (y + 3) (z + 4) = 8xyz Bài 129 [id1192](TS10 chuyên Bắc Ninh 19-20) Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn (xy + x + y) x2 + y + = 30 Bài 130 [id1193](TS10 chuyên Chuyên ĐHSP 19-20) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 y − 4x2 y + y + 4x2 − 3y + = Bài 131 [id1194](TS10 chuyên Cần thơ 19-20) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2020 x2 + y − 2019 (2xy + 1) = Bài 132 [id1195](TS10 chuyên DAK LAK 19-20) Tìm số tự nhiên (a1 ; a2 ; a3 ; ; a2019 ) thỏa mãn: a1 + a2 + a3 + + a2019 ≥ 20192 a21 + a22 + a23 + + a22019 ≤ 20193 + Bài 133 [id1196](TS10 chuyên DAK NONG 19-20) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 2x2 y − = x2 + 3y 244 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu P (x) = x4 − 2x3 + 3x2 + ax + b Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 134 [id1197](TS10 chuyên Gia lai 19-20) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − 3y + 2xy − 2x − 10y + = Bài 135 [id1198](TS10 chuyên Hà Tĩnh 19-20) Tìm nghiệm nguyên phương trình Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu x2 + x − = (x − 1) 2y + y Bài 136 [id1199](TS10 chun Hịa Bình 19-20) Có đội bóng đá A, B, C, D, E thi đấu bảng theo thể thức vòng tròn (mỗi đội gặp trận, trận lượt trận lượt về) Trong trận đấu, đội thắng điểm, đội thua điểm, đội hịa điểm Kết thúc vịng bảng, số điểm đội thống kê sau: Đội.A.B.C.D.E tương ứng số điểm là.15.14.10.5.4 Hỏi tất trận đấu diễn có trận hòa? Bài 137 [id1200](TS10 chuyên Hải Dương 19-20) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện: x2 − 6xy + 10y = 2(x − 5y) Bài 138 [id1201](TS10 chuyên Ninh Bình 19-20) Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn x2 − xy + y = x + y + Bài 139 [id1202](TS10 chuyên Phú Yên 19-20) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 85 x2 + y = · x+y 13 Bài 140 [id1203](TS10 chuyên Quảng Ngãi 19-20) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x+y+3+1= √ x+ √ y Bài 141 [id1204](TS10 chun Quảng Ninh 19-20)Tìm số ngun khơng âm a, b, n thỏa mãn: n2 = a + b n3 + = a2 + b2 Bài 142 [id1205](TS10 chuyên Thái Bình 19-20) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình √ √ √ x + y = 2020 245 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 143 [id1206](TS10 chuyên Thái Bình 19-20) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M (a, b) gọi điểm nguyên a b số nguyên Chứng minh tồn điểm I mặt phẳng tọa độ 2019 số thực dương R1 ; R2 ; R2019 cho có k điểm nguyên nằm đường tròn (I; Rk ) với k số nguyên dương không vượt 2019 Bài 144 [id1207](TS10 chuyên Tiền Giang 19-20) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn Bài 145 [id1208](TS10 chuyên Tuyên Quang 19-20) Tìm tất giá trị nguyên x để A= x + x2 + x + x4 + 3x3 + 7x2 + 3x + nhận giá trị số nguyên Bài 146 [id1209](TS10 chuyên Vĩnh Long 19-20) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 − xy − 9x − 3y + = Bài 147 [id1210](TS10 chuyên Bình Phước 19-20) Giải phương trình nghiệm nguyên 4y = + √ 199 − x2 − 2x Bài 148 [id1211](TS10 chuyên Quảng Trị 19-20) Tìm tất số nguyên tố x, y, z thỏa mãn xy = z − Bài 149 [id1212](TS10 chuyên Thanh hóa 19-20) Tìm tất cặp số ngun (x;y) thỗ mãn : y + y = x4 + x3 + x2 + x Bài 150 [id1213](TS10 chuyên Thừa Thiên Huế 19-20) Có số nguyên x cho số nguyên ? Bài 151 [id1214](TS10 chuyên Vĩnh Phúc 19-20) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn 9x2 − 3xy − 24x − 2y + y + 28 = Bài 152 [id1215](TS10 chuyên Yên Bái 19-20) Tìm số x, y nguyên thỏa mãn: x3 − y − 2y − 3y − = 246 22020 3x + Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu (2x + 5y + 1) 2|x|−1 + y + x2 + x = 65 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 153 [id1216](HSG9 Bình Phước 18-19) Tìm nghiệm nguyên phương trình 4y + 6y − = x Bài 154 [id1217](HSG9 Bình Định 18-19) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Bài 155 [id1218](HSG9 DAK LAK 18-19) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + y + 2xy + 6x + 4y = 20 Bài 156 [id1219](HSG9 Hà Nam 18-19) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 − 5x + = 3y Bài 157 [id1220](HSG9 Hải Dương 18-19) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 + x + 2y + y = 2xy + xy + Bài 158 [id1221](HSG9 Kiên Giang 18-19) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: x2 − y + = y + 2x Bài 159 [id1222](HSG9 Lai Châu 18-19) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 − 3y Bài 160 [id1223](HSG9 Lâm Đồng 18-19) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 5y − 3xy = Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu 2xy + x + y + = x2 + 2y + xy Bài 161 [id1224](HSG9 Lạng Sơn 18-19) Tìm tất cặp (x; y) nguyên thỏa mãn x2 y + (x − 2)2 + (2y − 2)2 − 2xy (x + 2y − 4) = Bài 162 [id1225](HSG9 Nam Định 18-19) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: (x − y − 1) (x + − y) + 6xy + y (2 − x − y) = (x + 1) (y + 1) 247 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 163 [id1226](HSG9 Nghệ An bảng A 18-19) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y + x − 2y + = xy Bài 164 [id1227](HSG9 Nghệ An bảng B 18-19) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Bài 165 [id1228](HSG9 Ninh Bình 18-19) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 y − x2 + 5y − 22x − 121 = Bài 166 [id1229](HSG9 Quảng Nam 18-19) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 + 2y + 2xy − 4x − 6y + = Bài 167 [id1230](HSG9 Quảng Ngãi 18-19) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 4x = + 3y Bài 168 [id1231](HSG9 Quảng Ninh bảng A 18-19) Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn x3 = y + 2019 Bài 169 [id1232](HSG9 Thanh hóa 18-19) Tìm nghiệm ngun phương trình x2 y (x + y) + x = + y (x − 1) Bài 170 [id1233](HSG9 Trà Vinh 18-19) Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn x3 + y + z = x + y + z + 2017 Bài 171 [id1234](TS10 chuyên Bình Thuận 19-20)Trong buổi tổ chức tun dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay nhau, An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay không lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi tổ chức tuyên dương đó? 248 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu xy − = 2y Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 172 [id1235](TS10 chuyên Bình Định 19-20) Tại đỉnh đa giác 2020 cạnh ta đánh số số tự nhiên từ đến 1009 Chứng minh tồn đỉnh đa giác cho (kí hiệu A , B , C , D với số đánh tương ứng a , b , c , d ) cho ABCD hình chữ nhật a+b=c+d Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 173 [id1236](TS10 chuyên Bắc Ninh 19-20) Cho 2020 kẹo vào 1010 hộp cho khơng có hộp chứa nhiều 1010 kẹo hộp chứa kẹo Chứng minh tìm thấy số hộp mà tổng số kẹo hộp 1010 Bài 174 [id1237](TS10 chuyên Hà Nội chuyên tin 19-20) Trên bàn có hai túi kẹo : túi thứ có 22 viên kẹo, túi thứ hai có 29 viên kẹo An Bình chơi trò chơi sau : lượt chơi, bạn chọn túi kẹo lấy viên kẹo túi kẹo Hai bạn luân phiên thực lượt chơi Bạn khơng thể thực lượt chơi người thua Nếu An người lấy kẹo trước, chiến thuật chơi để An người thắng Bài 175 [id1238](TS10 chuyên Hà nội 19-20) Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh mặt phẳng tồn hai điểm tơ màu có khoảng cách d Gọi tam giác có ba đỉnh tơ màu tam giác đơn sắc Chứng minh mặt phẳng tồn hai tam giác đơn sắc hai tam giác vuông đồng dạng với theo tỉ số k= 2019 Bài 176 [id1239](TS10 chuyên Hải phòng 19-20) Viết lên bảng 2019 số: 1; 1 1 ; ; ; ; 2018 2019 xy (các số lại bảng giữ x+y+1 nguyên) Tiếp tục thực thao tác trên bảng lại số Hỏi số bao nhiêu? Từ số viết xóa số x; y viết lên bảng số Bài 177 [id1240](TS10 chuyên Khánh Hịa 19-20) Huyện KS có 33 cơng ty, huyện KV có 100 cơng ty Biết rằng, cơng ty huyện KS hợp tác với 97 cơng ty huyện KV Chứng minh có cơng ty huyện KV hợp tác với tất công ty huyện KS Bài 178 [id1241](TS10 chuyên Kon Tum 19-20) Cho tập hợp A gồm 41 phần tử số nghuên khác thỏa mãn tổng 21 phần tử lớn tổng 20 phần tử lại Biết số 401 402 thuộc tập A Tìm tất phần tử tập hợp A Bài 179 [id1242](TS10 chuyên Nam Định 19-20) Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không 49 bút đem tặng cho tất 32 bạn học sinh lớp 9A cho nhận bút thầy Chứng minh có số bạn lớp 9A nhận số lượng bút tổng cộng 25 Bài 180 [id1243](TS10 chuyên Nghệ An 19-20) Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm đỉnh tam giác mà tam giác ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 249 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 181 [id1244](TS10 chuyên Ninh Bình 19-20) Trong hình trịn có diện tích 1009cm2 lấy 2019 điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh 2019 điểm ln tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 1cm2 Gọi k số quốc gia có học sinh tham dự buổi gặp gỡ Chứng minh n < k + 10 2 Biết số học sinh tham dự buổi gặp gỡ 60 Chứng minh tìm 15 học sinh đến từ quốc gia Bài 183 [id1246](TS10 chuyên Quảng Ngãi 19-20) Trên bảng vng, người ta điền tồn dấu + Sau thực q trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) theo bước sau: Các ô dòng thứ i đổi dấu i lần, i = 1, 2, , 2019 Các ô cột thứ j đổi dấu 3j + lần, j = 1, 2, , 2019 Tính số dấu cịn lại bảng vng sau thực xong trình đổi dấu Bài 184 [id1247](TS10 chuyên Quảng Ninh 19-20) Cho trước p số nguyên tố Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm A (p8 ; 0) B (p9 ; 0) thuộc trục Ox Có tứ giác ABCD nội tiếp cho điểm C, D thuộc trục Oy có tung độ số nguyên dương Bài 185 [id1248](TS10 chuyên Thái Nguyên chuyên tin 19-20) Hai bạn Thái Nguyên chơi trò lấy kẹo hộp có 2019 kẹo Cách chơi sau: “ Mỗi người đến lượt lấy số kẹo lũy thừa với số mũ tự nhiên 2, lấy kẹo cuối người thắng cuộc” Bạn Thái người lấy kẹo trước Hãy chiến thuật giúp cho bạn Nguyên người thắng Bài 186 [id1249](TS10 chuyên Thái Nguyên chuyên tin 19-20) Cho 19 điểm nằm hay nằm cạnh lục giác cạnh 3cm Chứng minh có hai số điểm cho có khoảng √ cách khơng vượt 3cm Bài 187 [id1250](TS10 chuyên Long An chuyên tốn dự bị 19-20) Có nhóm bạn hái nấm Số nấm bạn hái tổng số nấm hái Số nấm bạn hái nhiều tổng số nấm hái Hỏi nhóm bạn có người? Bài 188 [id1251](TS10 chuyên Long An 19-20) Cho số tự nhiên 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Từ số tự nhiên ta thành lập số tự nhiên gồm ba chữ số khác số tự nhiên thành lập phải chia hết cho Ta thành lập tất số tự nhiên vậy? Bài 189 [id1252](TS10 chuyên Phú Thọ 19-20) Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn trịn Chứng minh ln tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ Bài 190 [id1253](TS10 chuyên Thanh hóa 19-20) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng phân biệt cho khơng có hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tam giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 250 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 182 [id1245](TS10 chuyên PTNK 2019-2020 V2) Trong buổi gặp gỡ giao lưu học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy 10 học sinh có học sinh đến từ quốc gia Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 191 [id1254](TS10 chun Vĩnh Phúc 19-20) Bạn Bình có 19 viên bi màu xanh, 21 viên bi màu đỏ 23 viên bi màu vàng Bình thực trị chơi theo quy tắc sau: Mỗi lần Bình chọn viên bi có màu khác nhau, sơn chúng màu thứ ba (Ví dụ: Nếu Bình chọn viên bi gồm viên bi màu xanh viên bi màu đỏ Bình sơn viên bi thành màu vàng) Hỏi sau số hữu hạn lần thực trị chơi theo quy tắc trên, bạn Bình thu tất viên bi màu hay không ? Tại ? Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 192 [id1255](TS10 chuyên Yên Bái 19-20) Từ đa giác 15 đỉnh, chọn đỉnh Chứng minh có đỉnh số đỉnh chọn ba đỉnh tam giác cân Bài 193 [id1256](HSG9 Bình Thuận 18-19) Trên đường trịn (C) bán kính cho 2019 điểm phân biệt A1 , A2 , A3 , A4 , , A2019 Chứng minh tồn điểm M (C) thỏa mãn M A1 + M A2 + M A3 , + + M A2019 > 2019 Nội Dung Bài 194 [id1257](HSG9 Bình Định 18-19) Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn Bài 195 [id1258](HSG9 Bắc Ninh 18-19) Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi mơn Tốn mang số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 1000 Chứng minh chọn học sinh thi tốn có tổng số báo danh mang chia hết cho Bài 196 [id1259](HSG9 Gia Lai 18-19) Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh, đồn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 907 Chứng minh chọn học sinh đồn có tổng số báo danh chia hết cho Bài 197 [id1260](HSG9 Hà Nội 18-19) Xét bảng vng cỡ 10 × 10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai ô chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Bài 198 [id1261](HSG9 Hưng Yên 18-19) Trên mặt phẳng có 25 điểm phân biệt, biết điểm cho tìm điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 13 điểm 25 điểm nói Bài 199 [id1262](HSG9 Hải Phịng 18-19) Bên đường trịn có đường kính AB = 19 cho 38 đoạn thẳng, đoạn thẳng có độ dài Chứng minh tồn đường thẳng vng góc song song với AB giao hai đoạn 38 đoạn cho Bài 200 [id1263](HSG9 Kiên Giang 18-19) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a + b − lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 49 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Bài 201 [id1264](HSG9 Lạng Sơn 18-19) Cho đa giác 30 đỉnh Chứng minh đỉnh đó, gồm có đỉnh chứa đỉnh tạo nên hình thang cân Bài 202 [id1265](HSG9 Nam Định 18-19) Cho đa giác có 10 đỉnh hình vẽ (4 đỉnh A, B, C, D B, C, D, E C, D, E, F J, A, B, C gọi đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số nguyên thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 251 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số mà tổng số lớn 21 Bài 204 [id1267](HSG9 Nghệ An bảng B 18-19) Cho 2019 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng đường thẳng (d) không qua điểm cho Chứng minh số giao điểm đoạn thẳng có hai đầu mút hai điểm 2019 điểm nói với đường thẳng (d) số chẵn Bài 205 [id1268](HSG9 Ninh Bình 18-19) Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 210 Chứng minh đoạn thẳng ln tìm ba đoạn thẳng để ghép thành tam giác Bài 206 [id1269](HSG9 Sơn La 18-19) Cho hình vng ABCD 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích Chứng minh 2019 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Bài 207 [id1270](HSG9 Vĩnh Phúc 18-19)Cho 1000 điểm phân biệt M1 , M2 , M1000 mặt phẳng Vẽ đường trịn (C) bán kính R = tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn (C) cho SM1 + SM2 + + SM1000 ≥ 1000 Bài 208 [id1271](TS10 chuyên Hà Nội chuyên tin 19-20) Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức P = x3 + 3x2 + x + lũy thừa số nguyên tố Bài 209 [id1272](TS10 chuyên Bình Phước 19-20) Tìm tất cặp số nguyên tố (p,q) cho p2 − 2q = 41 Bài 210 [id1273](TS10 chuyên Vĩnh Phúc 19-20) Tìm tất số nguyên dương p, m, n thỏa mãn 2m p2 + = n5 , p số nguyên tố Bài 211 [id1274](HSG9 Bắc Ninh 18-19) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3 − 4p + số phương Bài 212 [id1275](HSG9 Ninh Bình 18-19) Tìm tất số nguyên tố ( p ; q ; r ) cho pqr = p + q + r + 160 Bài 213 √ [id1276](HSG9 Thái Bình 18-19)Tìm tất số nguyên dương (x; y; z) cho x + y 2019 √ số hữu tỉ x2 + y + z số nguyên tố y + z 2019 √ Bài 214 [id1277](TS10 chuyên Bắc Ninh 19-20) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 12n2 + √ số nguyên Chứng minh 12n2 + + số phương 252 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Bài 203 [id1266](HSG9 Nghệ An bảng A 18-19) Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân nằm hình vng mà khơng chứa biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính 91 điểm 2019 điểm cho Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 215 [id1278](TS10 chuyên Thái Nguyên 19-20) Tìm tất số nguyên tố p cho p2 + 59 có sáu ước số dương Bài 216 [id1279](TS10 chuyên Chuyên ĐHSP 19-20) Cho tập hợp X thỏa mãn tính chất sau: Tồn 2019 tập A1 , A2 , , A2019 X cho tập A1 , A2 , , A2019 có ba phần tử hai tập Ai , Aj có phần tử chung với ≤ i < j ≤ 2019 Chứng minh Số phần tử X phải lớn 4039 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Tồn tập hợp tập hợp A1 , A2 , , A2019 cho giao tập hợp có phần tử Bài 217 [id1280](Ts10 Ninh Bình 19-20) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng ước nguyên dương p2 số phương Bài 218 [id1281](TS10 chun Bình Thuận 19-20)Trong buổi tổ chức tuyên dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay nhau, An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay khơng q lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi tổ chức tuyên dương đó? Bài 219 [id1282](TS10 chuyên Bắc Giang 19-20) Cho tập hợp T gồm 2019 số nguyên dương đôi khác số lớn thuộc T 4036 Chứng minh tập hợp T có hai số phân biệt mà số bội số Bài 220 [id1283](TS10 chuyên Khánh Hòa 19-20) Cho A = 20 + 21 + 22 + + 22019 B = 22020 Chứng minh rằng: A, B hai số tự nhiên liên tiếp Bài 221 [id1284](TS10 chuyên Lâm Đồng 19-20) Biết rng 1111 5555 2018 chă oo so a 2018 chă oo so a5 l tớch hai số lẻ liên tiếp Tính tổng hai số lẻ Bài 222 [id1285](TS10 chuyên Tiền Giang chuyên tin 19-20) Tìm số tự nhiên có chữ số dạng abcd , biết tích hai số ab cd 380 đồng thời tăng số ab thêm đơn vị giảm số cd đơn vị tích khơng đổi Bài 223 [id1286](TS10 chun Tây Ninh 19-20) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd cho abcd = k (k ∈ N∗ ) ab − cd = (các chữ số tự nhiên a, b, c, d giống nhau) Bài 224 [id1287](HSG9 An Giang 18-19) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương số sau bỏ chữ số hàng chục hàng đơn vị cộng với số 2419 Bài 225 [id1288](HSG9 DAK LAK 18-19) Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Bài 226 [id1289](HSG9 Gia Lai 18-19) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Có thể lập số tự nhiên có chữ số đơi khác lớn 2019 253 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 2 1− 2.3 3.4 tích 2019 thừa số Tính S (kết để dạng phân số tối giản) Bài 227 [id1290](HSG9 Hà Nội 18-19) Cho S = 1− Bài 228 [id1291](HSG9 Hà Tĩnh 18-19) Tìm số thực a biết a + − √ 15; 2020.2021 √ − 15 số a nguyên Bài 229 [id1292](HSG9 Phú Thọ 18-19) Bạn Thắng chia số 2018 cho 1, 2, 3, , 2018 viết 2018 số dư tương ứng, sau bạn Việt chia số 2019 cho 1, 2, 3, , 2019 viết 2019 số dư tương ứng Hỏi có tổng số dư lớn lớn Bài 230 [id1293](HSG9 Sóc Trăng 18-19) Chứng minh tổng chữ số số phương khơng thể 2019 Bài 231 [id1294](HSG9 Tiền Giang 18-19) Với số thực x , ta định nghĩa phần nguyên x , kí hiệu [x] số nguyên lớn khơng vượt q x Hãy tìm phần ngun của: B= x2 + 4x2 + √ 36x2 + 10x + x số nguyên dương Bài 232 [id1295](HSG9 Tiền Giang 18-19) Tìm số tự nhiên n biết bỏ ba chữ số tận bên phải số có √ giá trị n Tìm năm số thực dương cho số bình phương tổng bốn số lại 254 Vũ Ngọc Thành, Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu Chứng minh năm số nguyên dương đôi phân biệt tồn số có tổng hợp số ... 2019 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 256 [id3621](TS10 chun Hịa Bình Chun Tin 19-20)1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: D = x3 + x2 − 10x + Bài 258 [id3623](TS10... biết: 4x − = D x=2 Bài 104 [id3698](TS10 Quảng Nam 18-19) Rút gọn biểu thức sau: √ √ x y−y x 11 10 x−y √ − √ ;B = A= √ − −√ √ √ với x > 0; y > xy x+ y 5+2 4− 5 13 Tuyển sinh vào trường chuyên năm... 1+ 1 101 + + n n+1 (n + 1) 49 Tuyển sinh vào trường chuyên năm học 2018-2019-2020-2021 Bài 85 [id3752](TS10 Hà Nội 18-19) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = √ √ √ 1−x+ 1+x+2 x Bài 87 [id3754](TS10 Hưng