SKKN toán 9 một số SAI lầm của học SINH TRONG dạy học môn TOÁN NHÌN từ PHƯƠNG DIỆN HOẠT ĐỘNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN NHÌN TỪ PHƯƠNG DIỆN HOẠT ĐỘNG A MỞ ĐẦU I BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Ở trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh, xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Dạy học giải tốn có vai trị đặc biệt trường phổ thông Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Tốn trường phổ thơng có lúc, có chỗ cịn chưa tốt, biểu qua việc lực giải tốn học sinh cịn hạn chế học sinh mắc nhiều sai lầm Một nguyên nhân quan trọng giáo viên chưa ý cách mực việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học Vì điều nên học sinh nhiều gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Đề tài đời bối cảnh việc tiếp thu tri thức cách có ý thức kích thích việc tự học sinh phân tích cách có suy nghĩ nội dung sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc sai lầm tư duy, lí luận chất sai lầm chưa quan tâm mức Hiện nay, để bắt nhịp đổi theo hình thức thi trắc nghiệm Bộ Giáo dục Đào tạo, việc phát sai lầm giải toán học chưa xuất cần thiết, tạo tình bẫy cho phương án nhiễu xây dựng đáp án câu trắc nghiệm khách quan II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tôi chọn đề tài “Một số sai lầm học sinh hoạt động dạy học mơn tốn nhìn từ phương diện hoạt động” lý sau đây: +) Đây nội dung đòi hỏi tư logic cao, kết hợp với hoạt động nhận thức quan trọng chương trình tốn THPT +) Các dạng tốn chương trình THPT đa dạng, nhiều cấp độ nên khơng tránh khỏi học sinh gặp sai lầm tiếp cận giải toán +) Đây tài liệu chuyên sâu phát triển nhận thức học sinh dạy học mơn tốn dựa việc phát sửa chữa sai lầm trình nhận thức, học tập +) Nội dung đề tài nâng cao nhận thức lí luận rèn luyện kĩ thực hành, tích lũy kinh nghiệm dạy học nghiên cứu khoa học giáo dục để nâng cao hiệu dạy học III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sai lầm thường gặp giải tốn học sinh thuộc chương trình Trung học phổ thông Đối tượng nghiên cứu Hệ thống tốn chương trình Tốn THPT mà học sinh hay gặp sai lầm giải IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp giáo viên có kỹ phát sai lầm học sinh nhận thức, kỹ phân tích sai lầm học sinh thể qua sản phẩm học tập Bước đầu giáo viên có kỹ đề xuất lựa chọn biện pháp phòng ngừa, sửa chữa sai lầm học sinh dạy học mơn tốn - Nhằm giúp học sinh hiểu sâu sắc chất vấn đề, dự đoán tránh sai lầm học tập, sống, góp phần phát triển thao tác phân tích – tổng hợp, trừu tượng hóa – khái quát hóa - Nội dung đề tài kết hợp yếu tố chẩn đoán nhận thức học sinh với biện pháp điều chỉnh hành vi học sinh trình nhận thức, trình học tập tri thức mơn tốn Từ đó, bồi dưỡng học sinh phương pháp, kỹ giải toán, nâng cao khả tư duy, sáng tạo cho học sinh học toán V ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thời gian qua, có nhiều tác giả nghiên cứu mảng đề tài này, điểm khác biệt xem xét sai lầm học sinh tơi khơng xếp theo dạng tốn, nói cách khác là, khơng tiến hành theo đường nêu sai lầm theo chủ đề kiến thức, mà sai lầm học sinh (khi giải Toán Đại số Giải tích) đề cập làm sáng tỏ từ phương diện hoạt động toán học, có kết hợp yếu tố chẩn đốn nhận thức học sinh với biện pháp điều chỉnh hành vi học sinh trình nhận thức, q trình học tập tri thức mơn tốn, thơng qua toán đa dạng, phong phú với nhiều tình giúp học sinh khắc phục sai lầm B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài nêu số sai lầm học sinh hoạt động dạy học mơn tốn nhìn từ phương diện hoạt động Các đối tượng học sinh tiếp thu phương pháp kỹ giải tốn qua ví dụ nêu đề tài để giải tốn cách có hiệu II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Đối với học sinh: Khi chưa học tập phương pháp rèn luyện kĩ năng, có số em học sinh suy nghĩ ,tập trung làm tập dạng Đối với giáo viên: Tài liệu viết dạng tập có chưa có tính chất hệ thống, chưa ý đến phương pháp dạy học môn III CÁC BIỆN PHÁP Đà TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Ứng với dạng hoạt động, giáo viên xây dựng số tình có chứa lời giải sai lầm, hướng dẫn học sinh phân tích, tìm sai lầm từ ví dụ cụ thể, sau tổng hợp lại để khái quát cho lớp toán loại Công cụ chủ yếu: Bài kiểm tra, phiếu điều tra Một số sai lầm học sinh dạy học mơn tốn Có nhiều cách phân loại sai lầm học sinh nhận thức tri thức toán Các sai lầm đề cập sau nhìn từ phương diện hoạt động tốn học - Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng - Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt - Sai lầm liên quan đến thao tác tư - Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan - Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm điều kiện áp dụng định lí - Sai lầm liên quan đến chuyển đổi toán - Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức - Những sai lầm liên quan đến suy luận Trong mục để ám lời giải có mắc phải sai lầm, tơi dùng kí hiệu (?) sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm học sinh Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng Phân chia khái niệm thao tác logic ta thường gặp Cịn giải tốn thường xun ta phải xét trường hợp này, xét trường hợp kia, hay ta gọi chung phân chia trường hợp Trong dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình, hoạt động phân chia trường riêng thường gặp tốn giải biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số; giải PT, BPT có chứa ẩn mẫu thức, có chứa ẩn dấu thức, giải phương trình, bất phương trình tích, Trong dạng toán giải biện luận, khái niệm phân chia tham số, dạng toán sau, khái niệm phân chia tập xác định Trong chủ đề Tổ hợp Xác suất, hoạt động phân chia trường hợp riêng thường gặp toán đếm, Trong dạy học hình học, hoạt động phân chia trường hợp thường gặp tốn dựng hình, quỹ tích, xác định chân đường vng góc, Nhìn nhận từ góc độ tổng qt việc phân chia trường hợp q trình giải tốn vơ phong phú đa dạng, khơng theo khn mẫu cố định Do đó, thực học sinh gặp nhiều khó khăn, mắc phải nhiều sai lầm, chí khơng tìm sở để phân chia trường hợp Chẳng hạn, học sinh thường gặp khó khăn sai lầm sau giải tốn có liên quan đến việc phân chia trường hợp 1 Không biết chia thành trường hợp nào, nói cách khác khơng biết tìm tiêu chí làm sở cho phân chia Đây khó khăn lớn học sinh trình giải tốn liên quan đến phân chia Về phương diện giáo viên lúc trình bày cho học sinh mang tính chất áp đặt, giáo viên quan tâm đến tính đắn khâu biến đổi không quan tâm dến việc làm để học sinh hiểu rõ lại chia trường hợp cụ thể Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình Rất nhiều học sinh giải sau: (!) Học sinh kết luận (!): Ở lời giải học sinh chưa hiểu chất thuật ngữ “giải biện luận” nên suy giá trị tham số Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình : (1) Sai lầm thường gặp: (1) (!) (!): Học sinh không xét trường hợp Ở tốn giáo viên phải phân tích để học sinh hiểu lại phân chia trường hợp Ví dụ 4: Giải biện luận theo tham số a bất phương trình (1) (?): Gặp tốn này, học sinh nên phân chia tham số a thành trường hợp Nhiều học sinh ngỡ số: a, 2a, 3a dĩ nhiên 3a lớn nhất, điều kiện bất phương trình x > 3a biến đổi Việc phân chia trường hợp a = 0; a < 0; a > phần quan trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay cho điều kiện: x �a; x �2a; x �3a Khi lần tiếp xúc với thuật ngữ “Giải biện luận” hẳn nhiều học sinh cảm thấy khó hiểu cho dù giáo viên có cố gắng giải thích Thực tế học sinh quen với việc giải phương trình, cịn giải biện luận có khác với việc giải phương trình hay khơng? Chính điều băn khoăn khơng giải thích làm học sinh nhiều cảm thấy lúng túng gặp toán giải biện luận Học sinh không nắm vững chất tham số, không hiểu nghĩa cụm từ giải biện luận, lẫn lộn biện luận theo m tìm m Khi giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm Ví dụ 5: Tìm điều kiện tham số m để phương trình vơ nghiệm: mx2 – 2mx + = (?): Học sinh đưa lời giải: phương trình có nghiệm khi: ∆’ = - 2m  (!): Giáo viên mâu thuẫn cho học sinh lời giải trên, rõ ràng với m = phương trình trở thành: 0.x – 0x + = phương trình cho vơ nghiệm Học sinh thấy khó hiểu gặp mâu thuẫn này, lời giải sai lầm m = phương trình khơng cịn phương trình bậc hai nữa, nên việc vận dụng biệt số ∆’ trường hợp m = khơng cịn Ở đây, học sinh không ý thức biệt số ∆’ nhắc tới (tồn tại) phương trình bậc hai Học sinh không ý thức suy biến tham số, áp dụng thuật giải cách máy móc vào trường hợp không thuộc hệ thống Phân chia chưa đầy đủ (phân chia thiếu trường hợp) Ví dụ 1: Tìm m cho phương trình: x2  2(m 1)x  m có nghiệm dương Nhiều học sinh giải sau: Phương trình có nghiệm dương Phương trình có nghiệm thõa mãn: TH1: TH2: Vậy: (!) Hoặc có học sinh giải: Phương trình có nghiệm dương phương trình có nghiệm kép dương (!) (!): Theo tình học sinh phân chia thiếu trường hợp dẫn đến sai kết Ví dụ 2: Có số tự nhiên, mà số có chữ số phân biệt cho: a) Khơng có mặt chữ số chữ số b) Có mặt chữ số chữ số Rất nhiều HS xem có kết câu a) câu b) dễ dàng suy Nguyên nhân suy nghĩ chủ quan HS lý luận sau: Tập hợp số tự nhiên, mà số có chữ số phân biệt chia làm loại: Loại tập hợp số tự nhiên, mà số có chữ số phân biệt khơng có mặt 1; loại tập hợp hợp số tự nhiên, mà số có chữ số phân biệt có mặt chữ số Từ dẫn đến kết câu b) là: Ở cách giải này, HS dựa vào tiêu chí có mặt hay khơng có mặt chữ số chữ số số tự nhiên có chữ số phân biệt để phân chia trường hợp Tuy nhiên, cách phân chia học sinh chưa đầy đủ cịn thiếu loại có mặt chữ số khơng có mặt chữ số loại có mặt chữ số khơng có mặt chữ số Phân chia không độc lập (thừa trường hợp) Ví dụ 1: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 2? Có học sinh thực lời giải toán sau: Số cách lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Số cách lập số tự nhiên có chữ số khác khơng có chữ số Suy ra, có tất - cách lập số tự nhiên có chữ số khác thiết có mặt chữ số (!): Sai lầm học sinh không loại trừ trường hợp số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có dạng Đây dạng số tự nhiên khơng thõa mãn u cầu tốn Như học sinh không trừ số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết Ví dụ 2: Với tốn: "Bạn Hoa có 20 sách gồm sách toán, sách lý, sách hóa Hoa chọn ngẫu nhiên sách kệ bạn mượn Hỏi có cách chọn để sách có đủ loại?", nhiều HS giải sau: Chọn sách từ 20 sách có cách Công việc chọn ngẫu nhiên viên bi hộp cho khơng có đủ loại thực phương án sau: Phương án 1: Chỉ có loại sách tốn sách lý có cách Phương án 2: Chỉ có loại sách tốn sách hóa có cách Phương án 3: Chỉ có loại sách lý sách hóa có cách Vậy số cách chọn để sách có đủ loại cách chọn Lời giải sai lầm chỗ: Các phương án đưa chưa độc lập, việc thực công việc phương án bị trùng lặp phương án Chẳng hạn, cách chọn có loại sách tốn sách lý, trường hợp sách tốn lặp lại cách chọn có loại sách tốn sách hóa Cũng với tốn trên, có HS giải sau: Cơng việc chọn ngẫu nhiên sách hộp thực phương án sau: Phương án 1: Chỉ có loại sách toán sách lý: cách Phương án 2: Chỉ có loại sách tốn sách hóa: cách Phương án 3: Chỉ có loại sách lý sách hóa: cách Phương án 4: Chỉ có sách tốn: cách Phương án 5: Chỉ có sách lý: cách Phương án 6: Có sách tốn, sách lý sách hóa: x cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có: cách chọn Lời giải sai lầm chỗ: Các phương án đưa chưa độc lập, việc thực công việc phương án bị trùng lặp phương án Chẳng hạn cách chọn có loại sách tốn sách lý, trường hợp sách toán lặp lại phương án có sách tốn Từ đó, đưa nhận xét tổng quát nguyên nhân sai lầm HS phân chia toán đếm thành trường hợp riêng đơn giản để đếm, dựa vào tiêu chí để phân chia, khơng biết u cầu việc phân chia khái niệm, từ dẫn đến sai lầm phân chia không đầy đủ trường hợp, trường hợp đưa không độc lập 1.4 Phân chia khơng liên tục Ví dụ 1: Một nhóm học sinh 20 em gồm học sinh nam 12 học sinh nữ Có cách chọn học sinh nhóm cho có học sinh nữ Học sinh giải vắn tắt: (?): Số cách chọn học sinh nhóm cho có học sinh nữ là: (!): Học sinh gặp sai lầm phân chia trường hợp không liên tục dẫn đến thiếu trường hợp “4 học sinh nữ học sinh nam ứng với số cách chọn là: ” Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt Sai lầm cú pháp ngữ nghĩa Trong dạy học Toán, nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo giải tập, giáo viên nhấn mạnh vào quy tắc có tính chất thuật giải hướng dẫn học sinh vận dụng đắn quy tắc Mặt khác, để chống lại việc lĩnh hội kiến thức cách hình thức máy móc, giáo viên cần yêu cầu học sinh hiểu chất, sở quy tắc, thuật giải Do đó, dạy học, giáo viên cần tập luyện cho học sinh xem xét toán từ hai phương diện ngữ nghĩa cú pháp, đặc biệt mặt ngữ nghĩa Việc xem xét toán từ hai phương diện ngữ nghĩa cú pháp rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích, tổng hợp so sánh Về phối hợp hai mặt ngữ nghĩa cú pháp giảng dạy ngôn ngữ Tốn học, A A Stơliar cho rằng: "Mặt ngữ nghĩa nói chung phải trội tất giai đoạn trình giảng dạy, mặt cú pháp nên áp dụng chỗ mà cần phải nắm vững angôrit xác định" Chẳng hạn, không học sinh cho rằng: ; ; logc(a.b) = logca.logcb; ; (-x)n = - xn (không cần ý tới n chẵn, n lẻ), ; ; Có toán học sinh giải theo quy tắc hình thức mà khơng biết chất Ví dụ 1: chứng minh số tự nhiên Khơng em áp dụng cơng thức hình thức lúng túng việc chứng minh tử số chia hết cho mẫu số Điều có nghĩa em khơng nắm chất ký hiệu số tập gồm k phần tử lấy n phần tử (!): Phải thật hiểu chất ký hiệu có lời giải hay Có tượng học sinh biến đổi chưa hẳn họ nắm kiến thức cách thực thụ Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp cách hình thức khơng hẳn hiểu ngữ nghĩa kí hiệu tốn học Ví dụ 2: Học sinh học “vần” số công thức “lim tổng tổng lim”, “lim tích tích lim” hay “đạo hàm tổng tổng đạo hàm”, không hiểu chất cơng thức Ví dụ 3: Khi học xong định lí giới hạn hàm số, học sinh trả lời nhanh kết x2  2x x2  2x lim  với cách suy nghĩ hình thức thay giá trị x = vào x  tính x�1 x  x2  3x  lim x1 kết Suy nghĩ kiểu nên học sinh cho x�1 Điều cho thấy học sinh khơng hiểu lim 2 Bị ám ảnh ngôn ngữ thông thường từ tiếng Việt Ví dụ 4: Trong tiếng Việt đại to tiểu, học sinh ấn tượng với điều này, nên nghĩ hàm số có cực đại lớn cực tiểu Nhưng thực ra, hàm số có cực trị giá trị cực tiểu lại lớn giá trị cực đại Áp đặt tính chất liên quan đến khái niệm cho khái niệm khác có từ gần giống Ví dụ 5: Học sinh nghĩ: “Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương tổng, hiệu, tích, thương đạo hàm,” bắt chước tính chất “Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương tổng, hiệu, tích, thương giới hạn”; Ngồi sai lầm học sinh cịn sử dụng ngôn ngữ cách tùy tiện: “đồ thị đồng biến”; “hàm số cắt trục hoành”; “điểm uốn hàm số”; “tiệm cận hàm số” , hay nói “tổ hợp chập k n phần tử ”, “chỉnh hợp chập k n phần tử ” khơng thấy rằng, thay đổi từ làm thay đổi hẳn mệnh đề, dẫn đến sai mệnh đề Khi phiên dịch từ ngôn ngữ Tiếng Việt sang ngơn ngữ Tốn học học sinh thường hay mắc sai lầm Chẳng hạn, tìm m để hàm số có hai khoảng đồng biến tồn miền xác định học sinh phiên dịch thành hai khoảng đồng biến ( Sai lầm liên quan đến thao tác tư Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ Nhiều học sinh giải tốn sau: (?): Với x, y thì: Vậy hay Sai lầm học sinh không giá trị x, y để Giáo viên cần phân tích để học sinh nhận rằng: , tồn giá trị cho kết luận Đối với tốn khơng tồn : Ví dụ 2: Tìm a để tập nghiệm trùng (?): Ta có: Do đó, u cầu tốn (!): Học sinh khơng xét đến tính chất hàm số có tập giá trị [0; 1] (!): Yêu cầu toán Ví dụ 3: Với tốn, giải hệ phương trình , nhiều HS giải sau: Trừ theo vế phương trình (1) (2) ta được: Trường hợp 1: vào (1) ta có Trường hợp 2: vào (1) ta có Trong ví dụ này, đa số học sinh biết phân chia thành hai trường hợp để giải lại không thực thao tác tổng hợp để kết luận nghiệm hệ phương trình Ví dụ 4: Phân tích ứng dụng tính đơn điệu hàm số dẫn đến kết quả: "Nếu hàm số f(x) đơn điệu (a; b) từ , tương đương với x = y" Tuy nhiên, GV phân tích khơng sâu sắc nên dẫn tới tình trạng HS nhớ nội dung: "Nếu hàm số f(x) đơn điệu ", mà khơng rõ f hàm số đơn điệu khoảng Kết dẫn tới sai lầm giải tốn Chẳng hạn, với phương trình , nhiều HS giải sau: Xét hàm số , hàm số đạo hàm nên phương trình có khơng q nghiệm Nhận thấy nên phương trình có nghiệm Rõ ràng HS không quan tâm đến điều kiện hàm số phải đơn điệu khoảng Ở đây, hàm số đơn điệu khoảng xác định , suy khoảng phương trình có khơng q nghiệm Xét riêng , phương trình có nghiệm nhất, tương tự , phương trình có thêm nghiệm Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hồnh Có học sinh giải sau: (?): Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành phương trình có nghiệm Đây cách giải sai Dễ thấy đồ thị hàm bậc ba tiếp xúc với trục hồnh khơng thiết có nghiệm ngồi điểm tiếp xúc cịn tồn điểm cắt khác Sai lầm cách phân tích học sinh quen với đồ thị hàm bậc hai, mà đồ thị hàm bậc hai parabol nên parabol tiếp xúc với trục hồnh phương trình thiết có nghiệm kép Tuy nhiên, sang hàm số bậc 3, bậc điều khơng cịn Ngoài ra, biểu sai lầm HS khơng tìm dấu hiệu chất, ngộ nhận dấu hiệu chung dấu hiệu chất (trừu tượng hố sai); khơng tiên đốn số trường hợp suy biến tổng quát, Ví dụ 6: Tìm ngun hàm Hãy khái qt hóa tốn HS tìm ngun hàm sau: (?): Vì x 1 x 2005  1 x I  2006 � 1  1 x � � �  x   1 x  2005   1 x 2005  1 x 2006 2007 C 2006 2007 nên HS dễ dàng khái quát hóa tốn tổng qt: Tìm ngun hàm , với HS đưa kết sau: (!): Tuy nhiên lời giải mắc phải sai lầm sau: Nếu  khơng ngun khơng có nghĩa với x làm cho khơng dương Nếu Nếu Nguyên nhân sai lầm HS không ý thức suy biến nguyên hàm thay đổi nên khái quát hóa sai Ví dụ 7: Tính đạo hàm hàm số (?): Ta có: nên (!): Nếu tính đạo hàm hàm số điểm cách gán giá trị đối số để tìm giá trị hàm số lấy đạo hàm với hàm số điểm thuộc miền xác định hàm số cho kết Đối với giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng cơng thức tính đạo hàm điểm định nghĩa Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan Trong sống toán học, cảm nhận, cảm thụ quan trọng Nói riêng hình học vấn đề trực quan lại cần thiết Trực quan giúp cho ta phát vấn đề, chẳng hạn có tốn hình học, ta vẽ hình chuẩn thấy lặp lặp lại số quy luật nhiều ta khám phá vấn đề ẩn náu đằng sau hình ảnh trực quan Tuy nhiên, tốn học khơng chấp nhận việc chứng minh mà khơng có lập luận có cách rõ ràng Vì trực quan chỗ dựa để khám phá phép chứng minh Nếu khơng nhận thức điều nhiều ta đưa kết luận sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan Ví dụ 1: Cho (P): Xác định m để (P) cắt d hai điểm phân biệt A, B cho AB = (?): Hoành độ giao điểm (P) d nghiệm phương trình: (1) Đặt = gọi đồ thị , gọi đồ thị đường thẳng Khi đó, (P) cắt d hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = ứng với cắt đường thẳng hai điểm phân biệt A, B cho AB = (!): Thơng qua hình ảnh trực quan học sinh cảm nhận hai điểm A B điểm cần tìm, ứng với m = y (P1) O A m - x B m Hình (!) Học gặp phải sai lầm cho (P) cắt d hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = tương đương với cắt đường thẳng hai điểm phân biệt A, B cho AB = 3, trực quan học sinh nhầm tưởng hai giao điểm của (P) với đường thẳng d hai giao điểm với đường thẳng có tọa độ giao điểm, thực có hồnh độ khơng tung độ Dẫn đến đáp án sai Lời giải là: Hoành độ giao điểm (P) d nghiệm phương trình (1) 10 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Gọi Khi đó: AB = (*) Áp dụng định lí Vi-et: (*) thõa mãn Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0; 2) đường thẳng Tìm đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B BC = 2AB (?): Thông qua hình vẽ trực quan có học sinh dự đốn tọa độ điểm B(0; 1) C(2; 2) C(-2; 0) Sau đó, cố gắng chứng minh hai điểm B, C có tọa độ điểm cần tìm Điều dẫn đến sai lầm y A C O B C x -2 Hình Lời giải là: A(0; 2) nên AB:y=−2x+2 Tọa độ B nghiệm hệ: Gọi ) Theo giả thiết BC = 2AB: Vậy Sai lầm liên quan đến không nắm vững nội hàm khái niệm điều kiện áp dụng định lí 5.1 Sai lầm khơng nắm vững nội hàm khái niệm Tốn học Thực tiễn sư phạm cho thấy trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm ngoại diên khái niệm dẫn tới học sinh hiểu khơng trọn vẹn, chí hiểu sai lệch chất khái niệm Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học mở rộng thu hẹp khái niệm trước đó, việc khơng nắm hiểu khơng khái niệm có liên quan làm học sinh khơng hiểu, khơng có biểu tượng khái niệm 11 Sai lầm khái niệm Toán học (đặc biệt khái niệm ban đầu có tính chất tảng) dẫn đến hệ tất yếu học tốn Vì nói “mất gốc” học sinh kiến thức Toán học trước hết coi “mất gốc” khái niệm Ví dụ 1: Khơng nắm vững khái niệm nghiệm phương trình bất phương trình x   x   � 2 �x �2 nên giải phương trình học sinh không thừa nhận kết nghiệm, lâu học sinh nghĩ nghiệm phương trình giá trị rời rạc, đơn lẻ mà khơng phải khoảng, đoạn Ví dụ 2: Nắm khái niệm hàm số, khái niệm giới hạn hàm số cách hình thức nên khơng học sinh cho kí hiệu f(x) kí hiệu tích hai đại lượng fx, xem � � 0; 0.� 0; 1�  Chẳng hạn, = (�)  (�)  Ví dụ 3: Do khơng nắm vững khái niệm phương trình nên học sinh khơng cho phương trình theo ẩn m Học sinh quen với phương trình theo ẩn x, ẩn y, ẩn z, nên gặp phương trình chứa đồng thời hai giá trị x m học sinh cho x ẩn m tham số Hay không hiểu khái niệm nghiệm hệ phương trình nên giải hệ cho nghiệm x = 2; y = kết luận hệ phương trình có hai nghiệm Ví dụ 4: Do nắm khái niệm tiếp xúc cách trực quan từ hình vẽ nên dẫn tới sai lầm giải tốn “tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục hoành” Học sinh quan niệm tiếp xúc đồ thị cắt trục hoành điểm nhất, khơng hình dung khái niệm tiếp xúc hai đường nên cho tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số bậc ba không tiếp xúc với hàm bậc ba Ví dụ 5: Khơng nắm vững “hệ trục trục tọa độ Đề vng góc” nên nhiều học sinh lấy đơn vị đo hai trục tọa độ khác cho dễ vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 6: Học sinh khơng nắm vững giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nên tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, khơng tìm điều kiện xẩy dấu “=” biến số, giả sử không tồn dấu “=” học sinh kết luận tồn giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Chẳng hạn như: (?): Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức Học sinh giải sau: (!): Mâu thuẫn với giả thiết Đối với toán này, ràng buộc điều kiện nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy thông thường hai số dương Bằng cách đốn S nhận giá trị nhỏ nhất, điểm rơi Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số ( cho “điểm rơi a = 3” , tức ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây: Lời giải đúng: : với a = Min S = 12 Ví dụ 7: Một sai lầm khác tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ học sinh có xem giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến cho dấu xẩy để suy giá trị cần tìm Chẳng hạn, tìm giá trị nhỏ biểu thức (?): Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có với suy với Dấu “=” Vậy giá trị nhỏ M (!): Nhầm lẫn quy tắc cho quy tắc kia, chẳng hạn: nhầm lẫn quy tắc cộng quy tắc nhân Đại số tổ hợp Ví dụ 8: Một lớp có 20 bạn nữ 23 bạn nam Cần chọn hai bạn nam nữ tham dự đại hội đồn trường, hỏi có cách chọn? (?): Học sinh giải sau: Áp dụng quy tắc cộng cho 20 + 23 = 43 cách chọn Thực phải dùng quy tắc nhân ta có 20 23= 460 cách chọn Ta thấy giáo viên chọn bạn áp dụng quy tắc cộng Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý Cấu trúc thông thường định lý có dạng A � B A giả thiết định lý, B kết luận định lý Sai lầm phổ biến học định lý xem thường ngôn ngữ điều kiện giả thiết A nên suy kết luận sai lầm: khơng có A suy B; khơng có A suy khơng có B; sử dụng định lý tương tự chưa Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ A; có B suy có A; có A suy B, mà trọng tới phương pháp giải Tốn Do q trình áp dụng vào giải Toán học sinh hay áp dụng thiếu điều kiện sử dụng khơng xác; sử dụng định lí định nghĩa Đặc biệt định lý học sinh bị “mất gốc” không hiểu chất nên sử dụng định lý không hiểu rõ phạm vi sử dụng định lý Ví dụ 1: Tính tích phân I = (?): I = dx � x dx � x2 1  1 y x2 gián đoạn x = � 1;1 nên không sử dụng (!):Ta thấy hàm số cơng thức Niutơn – Lapnít để tính tích phân Giả thiết cơng thức Niutơn – Lapnít hàm số y = f(x) liên tục [a; b] nên cách giải thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí Thực tích phân khơng tồn Ví dụ 2: Giải hệ phương trình (?): Xét hàm nên hàm số đồng biến Thay x = y vào hệ ta tìm nghiệm là: (!): Thực ra, ta có định lý: Nếu f(t) đồng biến (a; b) Nói cách khác ta có định lí nêu lên mối liên hệ dấu đạo hàm đơn điệu hàm số khoảng (a; b) Không có định lí đề cập đến vấn đề tập D bất kì, nói riêng 13 D hợp hai khoảng rời Hơn nữa, Sách giáo khoa hành khơng có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến tập bất kỳ, mà có khoảng, đoạn hay nửa khoảng thơi! Ta lại xét tình học sinh gặp sai lầm sau: Ví dụ 3: Giải phương trình (1) (?): Với điều kiện (1) Xét hàm số , suy hàm số đồng biến Mà f(3) = nên x = nghiệm (!): Sai lầm chỗ: Hàm f(x) đồng biến đồng biến , phương trình f(x) = có khơng q nghiệm có khơng q nghiệm , khơng phải phương trình f(x) = có khơng q nghiệm Như f(3) = nên x = nghiệm , f(x) = có nghiệm Sai lầm áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm tốn chứng minh bất đẳng thức thường khơng giống nhau, với toán học sinh gặp lỗi khác Cụ thể, ta phân tích ví dụ sau: Ví dụ 4: So sánh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta có: đẳng thức xảy (!): Học sinh khơng để ý đến điều kiện bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho số a b Lời giải đúng: Ta có: + : + : Ví dụ 5: Chứng minh với a ta có: (?): Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a - a ta có: (!) Học sinh gặp sai lầm phân tích ví dụ 1, tức áp dụng định lí Cauchy cho số a b a b không âm Ở đây, a – a không âm Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ tổng (?) Học sinh giải: Phân tích: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm: , ta có: Vậy B = 14 (!) Dấu hiệu "mỗi số hạng không âm" thỏa mãn, nhiên dấu hiệu "tích khơng đổi" thỏa mãn Tuy nhiên, với cách phân tích số hạng B đẳng thức không xảy Tách phải Ở mức độ khó hơn, GV ràng buộc thêm giả thiết , tìm giá trị nhỏ Sẽ nhiều HS làm tương tự tốn trên, phân tích , tiếc đẳng thức xảy Lúc GV gợi ý sau: Hãy nhận xét giá trị B cho giá trị gần số 0?! Cho thêm số giá trị khác x thuộc tính giá trị B điểm đó, so sánh với giá trị B ! Với cách làm vậy, HS dự đoán giá trị nhỏ B đạt GV gợi ý thêm để củng cố niềm tin cho HS liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ B hoàn toàn tự nhiên, áp dụng cho số để đẳng thức xảy ra? Để ý nên suy hay Chúng ta cần phân tách B thành tổng số hạng dư lượng , lượng cịn lại có tích khơng đổi Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số đẳng thức xảy nên suy Do tách B sau: Ví dụ 7: Sai lầm viêc áp dụng định lý phép biến đổi tương đương “Nếu cộng vào hai vế phương trình với hàm số mà không làm thay đổi tập xác định phương trình ta phương trình tương đương” Điều cần ý phép biến đổi không làm thay đổi điều kiện phương trình Trong thực phép biến đổi tương đương nhiều học sinh làm theo “quán tính” mà hồn tồn khơng ý thức việc biến đổi không hiểu sở phép biến đổi Chính điều tạo sở cho sai lầm biến đổi sau: 3x+ Phương trình cho có điều kiện cịn thực phép chuyển vế rút gọn , ta làm điều kiện nên phép biến đổi khơng phải phép biến đổi tương đương Do đó, xuất nghiệm ngoại lai x = Hay toán sau: Giải phương trình: (?): (!): Phương trình vơ nghiệm biến đổi thừa điều kiện , tức phép biến đổi cộng hai vế phương trình với khơng tương đương Việc nắm bắt kiến thức phép biến đổi tương đương để giải phương trình, bất phương trình điều không dễ học sinh, đặc biệt phép biến đổi bình phương hai vế thường dùng để giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Học sinh thường nhầm lẫn phương trình hệ phương trình tương đương Ví dụ 8: Khi giải phương trình (1) có học sinh thực sau: 15 (?): (1) (!) Học sinh thực phép biến đổi bình phương hai vế làm thay đổi tập xác định phương trình (1), dẫn đến xuất phương trình hệ Vì khơng loại nghiệm x = Ví dụ 9: Sai lầm việc áp dụng hệ định lý giá trị trung gian hàm số liên tục "Nếu hàm số liên tục đoạn [a; b] tồn điểm cho " [79, tr 171] Chẳng hạn, xét hàm số Ta có , giả thiết f liên tục đoạn [-1; 1] không thỏa mãn Do đó, khơng thể kết luận phương trình có nghiệm Vận dụng định lí máy móc, đưa điều kiện không cần thiết chẳng hạn, tốn tam thức bậc hai “Tìm điều kiện để f(x) = ax  bx  c (a �0 ) có hai nghiệm phân biệt ”, học sinh thường đưa điều kiện thỏa mãn toán sau: Trong hệ điều kiện này, điều kiện bị thừa Sự “thừa” không sai nhiều gặp phải cồng kềnh chấp nhận thất bại chỗ Nói cách khác, lẽ khơng cần xử lí điều kiện đằng lại hướng vào việc giải điều kiện , mà nhiều điều lại không vượt qua nổi, ta chấp nhận bỏ Sai lầm liên quan đến chuyển đổi toán Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện ẩn phụ, cho rằng, phương trình f(x) = có nghiệm phương trình g(t) = có nghiệm, g(t) biểu thức thu từ f(x) thông qua phép đặt ẩn phụ t  (x) Nói cách khác, phương trình xuất phát có dạng f[g(x)] học sinh thường đặt t = g(x) để đưa phương trình f(t) = 0, quan niệm rằng, phương trình f[g(x)] = có nghiệm f(t) = có nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình (?): Đặt , phương trình trở thành (!): Học sinh sai lầm không đặt điều kiện cho ẩn t, sau giải theo qn tính hay theo thói quen học sinh lại tiếp tục sai lầm viết logarit số âm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: có nghiệm (?): Phương trình (1) Đặt , (!) Phương trình (1) trở thành Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm (!): Sai lầm học sinh toán điều kiện chưa phải điều kiện đủ với t, điều kiện t phải 16 Khi đặt ẩn phụ, có đặt điều kiện, điều kiện hẹp rộng không sát, đặt ẩn phụ t = (x) để đưa phương trình ẩn t, nhiên học sinh đưa điều kiện cần t, điều kiện cần đủ (!): Ngồi sai lầm đặt điều kiện ẩn phụ khơng xác giải phương trình, bất phương trình phương pháp đặt ẩn số phụ, học sinh thường gặp sai lầm phát biểu chuyển đổi yêu cầu toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ Một sai lầm phổ biến học sinh thường mang yêu cầu toán ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ Chẳng hạn: Ví dụ 3: Giải bất phương trình (?): Bài với học sinh họ bình phương hai vế cách khơng ngần ngại Có học sinh lập luận rằng: Bất phương trình tương đương với (!): Sở dĩ học sinh lập luận họ nghĩ, với bất phương trình dạng , điều kiện x f(x) ≥ Do vế trái không âm, mà vế phải không nhỏ vế trái nên vế phải khơng âm Vì hai vế khơng âm, ta có quyền bình phương hai vế để bất f(x) �0 � � � f(x) � g(x) � phương trình tương đương Với lập luận thế, họ tìm Thực ra, khơng thể thỏa mãn bất phương trình ban đầu với tồn giá trị cho 2x – < Nguyên nhân sai lầm “vế trái ≥ 0, vế trái ≤ vế phải vế phải ≥ 0” điều x nghiệm bất phương trình, f(x) �g(x) tương đương với f(x) �0 � � � f(x) � g(x) � hệ tập nghiệm bất phương trình khơng phải tương đương tập xác định Ví dụ 4: Giải bất phương trình (?): Bất phương trình Phép biến đổi bỏ sót nghiệm x = (!): Bất phương trình Một số sai lầm học sinh chuyển đổi từ biến sang biến khác mà khơng tìm miền giá trị biến Ví dụ 5: Tìm cực trị hàm số (?): Đặt Xét (!): Nguyên nhân sai lầm: tìm điểm cực trị theo x nên đổi biến số lấy đạo hàm cần sử dụng cơng thức đạo hàm cho hàm hợp: Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số (?): Một số học sinh giải sau: 17 đặt x; hàm số viết lại , Bảng biến thiên: - - t g'(t) + + + + g(t) 2 - Dựa vào bảng biến thiên � không tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số (!): Sai lầm: Học sinh chuyển tốn khơng tương đương cho giá trị lớn giá trị nhỏ f(x) trùng với giá trị lớn giá trị nhỏ g(t), t �� nên sau đổi biến khơng tìm miền xác định g(t) Lời giải đúng: Ta có: � max f ( x)  0; f ( x)  2 � � Qua số ví dụ phân tích sai lầm nhận thấy học sinh chưa nắm rõ chất định nghĩa dẫn đến không nắm vững kiến thức liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức Theo nhà tốn học A Ia Khinsin, chủ nghĩa hình thức nhận thức học sinh thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức học sinh có phá vỡ mối quan hệ tương hỗ, đắn nội dung bên kiện toán học cách diễn đạt bên ngồi kiện ấy” Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn (?): Học sinh cho x2 nghiệm lớn x1 nghiệm nhỏ nên sau tìm điều kiện có nghiệm tìm nghiệm thay vào hệ thức cho toán, với suy nghĩ làm vai trị bình đẳng hai nghiệm, thực chất hai nghiệm có vai trị nhau, x1, x2 kí hiệu hình thức, nghiệm có chứa bậc hai thay vào phương trình vơ tỷ, dễ học sinh giải sai phương trình phức tạp (!): Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*) Theo Định lí Viét giả thiết x1, x2 thỏa mãn Giải hệ so sánh với (*) tìm m cần tìm m = Ví dụ 2: Giải bất phương trình 18 (?): Học sinh bị hình thức tốn che khuất nên sau thời gian biến đổi khơng tìm hướng giải (!): Chỉ cần ý chút ta có: Nếu ln Nếu mẫu thuẫn với giả thiết Vậy nghiệm bất phương trình Ví dụ 3: Học sinh bị ảnh hưởng hình thức nên cho –x số âm tương tự có dấu trừ đằng trước nhỏ 0, nên học sinh không chấp nhận viết cho biểu thức bậc hai âm Ví dụ 4: Giải biện luận phương trình (!): Học sinh khó khăn khơng giải dạng tốn phương trình bậc ba tổng quát họ khơng có thuật giải Khi giáo viên gợi ý xem phương trình phương trình bậc hai ẩn a tạm xem x tham số học sinh phân vân với kiểu trao đổi vai trò ẩn tham số cho Nhưng thực đưa phương trình ẩn a ta phương trình: Khi tốn giải dễ dàng hơn, cần giải biện luận Cách giải có nhờ cách nhìn linh hoạt, khơng hình thức, nhìn rõ chất vai trị kí hiệu phương trình Cũng sai lầm nên học sinh giải hệ phương trình ẩn x, y, z khơng giải hệ có dạng với ẩn a, b, c, chẳng hạn: Giải hệ phương trình ẩn x, y, z , học sinh khơng biết đổi vai trị ẩn tham số để giải Những sai lầm liên quan đến suy luận Suy luận hình thức tư Suy luận trình suy nghĩ để rút mệnh đề từ nhiều mệnh đề cho Một suy luận thường có cấu trúc logic A � B , A tiền đề, B kết luận Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút kết luận tức cách lập luận Học sinh thiếu kiến thức logic, sử dụng mệnh đề sai ngộ nhận mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề mắc sai lầm suy luận Sai lầm suy luận giải Tốn có kiểu sai lầm sau: Sai lầm luận Sai lầm thuộc loại trực giác: dựa vào mệnh đề sai ngộ nhận, mệnh đề chưa chứng minh đúng, dựa vào mệnh đề tương đương với mệnh đề cần chứng minh m 1 x2  2 m 1 x  m �0 x  Ví dụ 1: Tìm m để f(x) = x �  (?): Để f(x) ≥ a � �,  �0 � m 19 (!): Kết cách ngẫu nhiên Về nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc Chỉ khác ta dùng mệnh đề Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: (1) (?) Sai lầm thường gặp: (1) (!): Với (1) nghiệm đúng, nên nghiệm (1) Cách giải làm nghiệm hệ phương trình Lời giải đúng: (1) Ví dụ 3: Tìm a để tập nghiệm trùng (?): Ta có: Do đó, u cầu tốn (!): Học sinh khơng xét đến tính chất hàm số có tập giá trị [0; 1] (!): Yêu cầu tốn Ví dụ 4: Tính giới hạn Một số học sinh thực hiện: (!): Cách giải sai lầm coi Bài toán phải xét giới hạn trái giới hạn phải x = Ta tính Do đó, giới hạn khơng tồn Sai lầm luận chứng Sai lầm chủ yếu sai lầm suy luận không logic Ví dụ 1: Giải phương trình (*) Sai lầm thường gặp: (*) ! (!): Nguyên nhân sai lầm: với mẫu thức nên nghiệm ngoại lai Ví dụ 2: Giải phương trình: (?): (!): Phép biến đổi từ thành không tương đương, kết Ví dụ 3: Kinh nghiệm cho thấy việc chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc sai lầm sau đây: Xuất phát từ bất đẳng thức phải chứng minh, họ thực loạt phép biến đổi sau tới bất đẳng thức quen thuộc, chẳng hạn, chứng minh Bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b khơng âm Học sinh lập luận sau: Bình phương hai vế bất đẳng thức (1) ta được: 20 Nhân hai vế (2) với ta (a + b) ≥ 4ab Chuyển vế phải sang vế trái, ta có: (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 ≥ Vì bất đẳng thức (a - b) ≥ nên bất đẳng thức (1) Lập luận học sinh, mặt logic, chưa phải phép chứng minh Đó cố gắng để tìm đường lối chứng minh Nếu ta kí hiệu mệnh đề là: ; ; ; lập luận mô tả sau: Để chứng minh bất đẳng thức (1) cần lập luận theo chiều ngược lại, tức chứng minh theo dãy kéo theo sau: Học sinh hay vận dụng quy tắc suy luận sai nên: chứng minh phản chứng phủ định mệnh đề, biết phủ định khơng phủ định hồn tồn xét thiếu trường hợp, lấy “lớn hơn” để mẫu thuẫn với “bằng nhau” sai lầm bỏ sót, cịn lấy “không nhau” “nhỏ hơn” lại phạm sai lầm “trùng lặp”, có nhiều cụm từ “nhiều nhất”, “ít nhất” gây nhiễu cho học sinh khơng biết nên phủ định nào, mệnh đề chứa lượng từ với mọi, tồn Nhiều biết phải dẫn tới mâu thuẫn kết thúc chứng minh, học sinh nghĩ tới mâu thuẫn với giả thiết khơng nghĩ rằng, mâu thuẫn với định lí, tiên đề, kết luận chứng minh đúng, dẫn đến hai mâu thuẫn lẫn nhau, kết hợp giả thiết dẫn tới mâu thuẫn với chân lí khác Trong q trình chứng minh phản chứng, học sinh xem thường kết luận cuối nên dễ sai lầm kết luận: lấy kết luận trung gian thay cho kết luận cuối dùng kết luận phận thay cho kết luận tồn Nhiều học sinh khơng hiểu đâu điều kiện cần, điều kiện đủ Trong sử dụng kí hiệu �, � cách tùy tiện, đặc biệt phép toán kéo theo lại nguyên nhân dẫn tới nhiều sai lầm Sự thiếu hiểu biết quy tắc suy luận nên dẫn tới sai lầm lí luận chứng minh, có học sinh cho rằng: Nếu dãy số tăng bị chặn có giới hạn, mà dãy số có giới hạn nên dãy số phải tăng bị chặn Ngay việc sử dụng từ nối “hoặc”, “và” điều khó khăn nhiều học sinh Chẳng hạn, biến đổi phương trình tích A B = 0, học sinh viết A = B = Không nắm vững mối quan hệ phép phủ định lượng từ ,  nên học sinh dễ phát biểu sai mệnh đề nhiều dẫn đến chứng minh sai, khó khăn chứng minh Chẳng hạn, để chứng minh phương trình có nghiệm, học sinh nghĩ tới điều kiện để phương trình có nghiệm, để ý cần nghiệm đủ Thậm chí, giáo viên nghiệm rõ ràng mà học sinh chưa chịu phép chứng minh (cứ tưởng phép chứng minh phải lí luận thật ghê gớm!), chứng minh hàm số y  x  x  khơng có tiệm cận, học sinh khơng biết làm IV HIỆU QUẢ MANG LẠI CỦA ĐỀ TÀI - Đề tài thiết kế cho giáo viên nhằm giúp giáo viên có nhìn chiều sâu nhận thức toán học tư logic học sinh q trình giải tốn Từ đó, giáo viên dự đốn có biện pháp sửa chữa sai lầm học sinh dạy học nội dung cụ thể 21 - Đối tượng để áp dụng học sinh đại trà, có khả học tốn từ trung bình trở lên - Kết đạt được: Sau thân nghiên cứu đề tài, đồng thời triển khai đề tài vận dụng vào dạy tốn em học sinh hạn chế tối đa tình trạng giải sai, “sai lầm nối tiếp sai lầm”, tăng cường tính tích cực độc lập cho học sinh tư trình vận dụng kiến thức vào thực tiễn C KẾT LUẬN I NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM Để đề tài mang lại hiệu cao cần phải bổ sung mảng kiến thức liên kết sâu sát với thực tiễn, mang tính “lối mịn”, phân dạng tốn cụ thể, chi tiết dạng cần nêu kinh nghiệm giải Bên cạnh đó, phải nêu lời giải chi tiết II Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI Các sai lầm học sinh giải Tốn cịn tương đối phổ biến Những sai lầm nhìn nhận từ góc độ hoạt động tốn học, đồng thời phân tích ngun nhân chủ yếu dẫn đến khó khăn, sai lầm đó; Từ giúp học sinh hình thành phương pháp kỹ giải tốn góp phần phịng tránh sửa chữa sai lầm học sinh giải Tốn, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI Đề tài dùng để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh cấp THPT để em đạt điểm tối đa tham gia kỳ thi THPT Quốc gia Hướng phát triển đề tài: Bổ sung thêm tốn khó, đa dạng, mang tính ứng dụng gắn liền với thực tiễn đồng thời đề xuất số biện pháp sư phạm nhằm góp phần hạn chế sai lầm học sinh dạy học Toán IV NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Đề tài viết với tinh thần trách nhiệm cao, mong muốn phần giúp thầy dạy Tốn, em học sinh THPT có tài liệu tham khảo học tập, hi vọng thầy giáo, cô giáo em tìm thấy nhiều bổ ích, lí thú đề tài Tuy nhiên đề tài chắn khơng khỏi thiếu sót Tơi mong nhận động viên, đóng góp chân thành quý thầy cô em để đề tài phong phú hơn, hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài (2012), Đại số 10, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), Doãn Minh Cường – Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên (2013), giải tích 11, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2013), giải tích 12, NXB Giáo dục 22 Nguyễn Thi Mỹ Hằng – Phạm Xuân Chung – Trương Thị Dung (2016), Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học mơn Tốn trường THPT, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm Lê thống Nhất (1996), Rèn luyện lực giải Tốn cho học sinh phổ thơng trung học thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Tốn, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm – Tâm lí, Trường Đại học sư phạm Vinh, Vinh Các tài liệu mạng Internet 23 ... đường nêu sai lầm theo chủ đề kiến thức, mà sai lầm học sinh (khi giải Tốn Đại số Giải tích) đề cập làm sáng tỏ từ phương diện hoạt động toán học, có kết hợp yếu tố chẩn đoán nhận thức học sinh với... lầm học sinh hoạt động dạy học mơn tốn nhìn từ phương diện hoạt động Các đối tượng học sinh tiếp thu phương pháp kỹ giải toán qua ví dụ nêu đề tài để giải tốn cách có hiệu II THỰC TRẠNG CỦA VẤN... thức tri thức toán Các sai lầm đề cập sau nhìn từ phương diện hoạt động tốn học - Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng - Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt - Sai lầm liên quan