Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 22 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
22
Dung lượng
857 KB
Nội dung
1 KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2016 - 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm) Cho A = 12n Tìm giá trị n để: 2n a) A phân số b) A số nguyên Câu (4,0 điểm) a) Khơng quy đồng tính tổng sau: A = b) So sánh P Q, biết: P = 1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 Câu (3,0 điểm): Tìm x, biết: a) (7x - 11)3 = 25.52 + 200 b) x + 16 = - 13,25 Câu (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi số cịn lại Cuối năm có thêm số cịn lại Tính số học sinh lớp 6A Câu (2,0 điểm) Cho ababab số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab bội Câu (5,0 điểm) Cho xAy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm, C điểm tia Ay a) Tính BD b) Biết BCD = 850, BCA = 500 Tính ACD c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK Đáp án đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu Đáp án a) A = 12n phân số khi: 12n + Z , 2n + Z 2n + 2n Câu n Z n -1,5 2n (4,0 điểm) 0,5 0,5 (3,0 điểm) b) A = 12n = 6- Câu Điểm 0,5 0,5 A số nguyên 2n + Ư(17) 2n + 1; 17 0,5 n 10; 2; 1; 7 1 1 1 1 1 1 a) Tính A = 20 30 42 56 72 90 0,5 =-( 1 1 1 ) 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 = - ( ) 5 6 10 =-( = 1 ) 10 3 20 0,5 0,5 0,5 0,5 b) So sánh P Q Biết: P = Q= 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2010 2011 2012 2010 2011 = + 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2012 + 2011 2012 2013 Ta có: 2010 < 2011 2012 2013 2011 < 2011 2012 2013 2012 < 2011 2012 2013 => 2010 2011 2012 + + < 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2010 2011 2012 2011 2012 2013 Kết luận: P > Q a) (7x-11)3 = 25.52 + 200 0,25 => (7x -11)3 = 32.25 + 200 0,25 => (7x -11)3 = 800 + 200 0,25 => (7x -11)3 = 1000 = 103 0,25 => 7x - 11 = 10 0,25 => 7x = 21 0,25 => x = b) x + 16 = - 13,25 Câu => x + = 0,5 => x = - 0,5 => x = -30 (3,0 điểm) => x = -9 Câu (3,0 điểm) Số học sinh giỏi kỳ I 10 số học sinh lớp Số học sinh giỏi cuối số học sinh lớp học sinh - 10 số học sinh lớp 0,25 0,25 0,75 0,75 0,75 1 10 số học sinh lớp nên số học sinh lớp 4: 10 = 40 0,75 (học sinh) ababab = ab 10000 + ab 100 + ab (2,0 điểm) 0,5 = 10101 ab Câu Do 10101 chia hết hay ababab chia hết cho 0,25 Cy A 0,5 0,5 ababab bội D 0,5 B a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax 0,25 � A nằm D B Câu � BD = BA + AD = + = (cm) 0,5 b) Biết BCD = 850, BCA = 500 Tính ACD 0,5 Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD 0,5 (5,0 điểm) => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350 0,25 c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0,5 - Lập luận K nằm A B - Suy ra: AK + KB = AB � KB = AB – AK = – = (cm) 0,25 0,5 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B - Suy ra: KB = KA + AB � KB = + = (cm) 0,25 0,25 0,5 0,25 * Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm Ngày kiểm tra: 27/01/2017 0,25 ĐỀ SỐ Câu I: (4.0 điểm) Thực phép tính 5.(22.32 )9 (22 )6 2.(22.3)14 34 1) A = 5.228.318 7.2 29.318 5 � � 12 12 12 12 5 � � 85 : 13 169 91 158158158 2) B = 81 � 47 289 4 6 � �4 6 �711711711 13 169 91 � � 289 85 Câu II: (4.0 điểm) 1) So sánh P Q Biết P = 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 a + 21 = b Câu III: (4.0 điểm) 1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y M37 13x +18y M37 2) Cho A = 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2012 B = ( ) 2013 : 2 2 2 2 Tính B – A Câu IV (6.0 điểm) Cho xÂy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm 1) Tính BD 2) Lấy C điểm tia Ay Biết BĈD = 800, BĈA = 450 Tính AĈD 3) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK Câu V: (2.0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên x, y cho: x y 18 10n 2) Tìm số tự nhiên n để phân số B đạt GTLN Tìm giá trị lớn 4n 10 Đáp án đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp Câu Nội dung a) Ta có: A 5.(2 ) (2 ) 2.(2 3) 5.228.318 7.229.318 2 14 Điểm 0.5 5.218.318.212 2.2 28.314.34 5.228.318 7.229.318 0.5 5.230.318 229.318 228.318 (5 7.2) 0.5 229.318 (5.2 1) 228.318 (5 14) 2.9 9 2 0.5 KL:… Câu 5 5� � 12 12 12 12 5 � � 85 : 13 169 91 158158158 b) Ta có: B 81 � 47 289 4 6 6� �4 6 �711711711 13 169 91 � � 289 85 � � 1 � � 1 1� � 12 � 1 �5� 1 � � �158.1001001 289 85 � � 13 169 91 � � 81 � � : 1 � � 1 � 711.1001001 �4 � � 1 � 6� 1 � � � � � � 289 85 � � 13 169 91 � � 12 �158 � 81 � : � �4 �711 81 18 324 64,8 KL:…… 0.5 0.5 0.5 0.5 a) Ta có: Q= + 2010 2011 2012 2010 2011 = + + 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2012 2011 2012 2013 Lần lượt so sánh phân số P Q với tử là: 2010; 2011; 2012 thấy phân thức P lớn phân thức Q Kết luận: P > Q b) Từ liệu đề cho, ta có: 1.0 0.75 0.25 + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: Câu a = 21m; b = 21n ƯCLN(m, n) = (1) (2) 0.5 + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra: � BCNN 21m; 21n 420 21.20 � BCNN m; n 20 0.5 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra: � 21m 21 21n � 21. m 1 21n � m 1 n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có 0.5 Trường hợp: m = 4, n = m = 2, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = m = 2, n = ta số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 a) Ta có: 5(13x 18 y ) 4(7 x y ) 65x 90 y 28x 16 y 0.5 0.5 37 x 74 y 37( x y) M 37 Hay 5(13x 18 y ) 4(7 x y )M37 (*) 0.5 Vì x y M37 , mà (4; 37) = nên 4(7 x y)M37 0.5 Do đó, từ (*) suy ra: 5(13 x 18 y ) M37 , mà (5; 37) = nên 13x 18 y M37 0.5 b) Ta có: 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2012 2 2 2 3 3 3 A ( ) ( ) ( ) ( ) 2013 2 2 A Câu (1) 0.5 (2) 0.5 Lấy (2) – (1), ta được: 3 3 A A ( )2013 2 2 32013 A ( ) 2013 A 2012 2 2 Vậy B A Câu 0.5 32013 32013 22014 22012 0.5 Hình vẽ: C y 0.5 D A B a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax x � A nằm D B 0.5 � BD = BA + AD = + = 10 (cm) 0.5 KL:… 0.5 b) Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD => ACD + ACB = BCD 0.5 => ACD = BCD – ACB = 800 – 450 = 350 0.5 KL:… 0.5 c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0.5 - Lập luận K nằm A B 0.25 - Suy ra: AK + KB = AB 0.25 � KB = AB – AK = – = (cm) 0.25 0.25 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B 0.25 - Suy ra: KB = KA + AB 0.25 � KB = + = (cm) 0.25 * Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm 0.25 x x 2x 1 � � 18 y y 18 18 y 0.25 a) Từ � (2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 Vì x số tự nhiên nên 2x – ước số lẻ 54 Ta có bảng sau: Câu 2x – 1 x y 54 18 Vầy (x; y) = (1; 54); (2; 18); (5; 6); (14; 2) b) B 27 14 10n 22 = 2,5 + 4n 10 4n 10 Vì n �N nên B = 2,5 + Mà 0.25 0.25 0.25 0.25 22 22 đạt GTLN đạt GTLN 4n 10 4n 10 0.25 22 đạt GTLN 4n – 10 số nguyên dương nhỏ 4n 10 - Nếu 4n – 10 = n = 11 �N (loại) 0.25 0.25 - Nếu 4n – 10 = n = Vậy GTLN B = 13,5 n = ĐỀ SỐ ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn tốn lớp Thời gian làm bài: 120 phút 10 PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27 99) b) Tính tổng: A = 2 2 1.4 4.7 7.10 97.100 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = + 52 + 53 + … + 580 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho b) M số phương Câu (2,0 điểm) a) Chứng tỏ rằng: 2n , n �N phân số tối giản n3 b) Tìm giá trị nguyên n để phân số B = 2n có giá trị số nguyên n3 Câu (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1; chia cho dư 2; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11 Câu (2,0 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Oy, Oz, Ot cho � 30o; xOz � 70o; xOt � 110o xOy � a) Tính � yOz zOt b) Trong tia Oy, Oz, Ot tia nằm tia cịn lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz tia phân giác góc yOt 11 Câu (1,0 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y = 0,25 0,25 (Loại) +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = 13 (Loại) +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 0,25 17 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = 53 (Loại) 0,25 Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : 0,25 1 1 2n Ta có 1 1 (2n) 1 1 A 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) A b 0,25 �1 1 � �1 1 � A � � � � �2 n � 4� 1.2 2.3 3.4 ( n 1) n � 0,25 1� 1 1 1 1� A � � 4� 2 3 (n 1) n � 1� 1� A � � (ĐPCM) 4� n� 0,25 2,5 Vẽ hình D C y (a+20)o (a+10)o x 22o ao 48o A O B E 0,25 Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao 0,25 18 Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB 0,25 � COA � (a 10 a) Nên tia OC nằm hai tia OA v OD COD � DOB � � => � AOC COD AOB => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o 0,25 => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v OB � 180 48 132 � AOy 180 BOy AOx 22 b Ta có : � o c o o o 0,25 o Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy � � � 132o xOy � 132o 22o 110o => � AOx xOy AOy 22o xOy Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc 0,25 AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên 0,25 0,25 o � � � AOC COD AOD � AOD a o a 10 2a o 10o 2.50o 10o 110o 0,25 � � Vì AOx AOD(22o 110o ) nên tia Ox nằm hai tia OA OD � xOD � � � 110o xOD � 110o 22o 88o => AOx AOD 22o xOD 0,25 Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o 1,5 Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có : A 103 102009 102008 102007 102006 8.125 102009 102008 102007 102006 A � 125 10 � a 2009 10 2008 10 2007 10 2006 M (1) 1� � 0,25 Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư 0,25 Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b Chứng minh A số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên A 102012 102011 102010 102009 có chữ số tận 0,25 0,25 0,25 19 Vậy ADỤC khơngVÀ phải sốTẠO chỉnh phương ĐỀ sốTHI phương số 6có PHỊNG GIÁO ĐÀO HỌC SINHlàGIỎI LỚP chữ sốHOẰNG tận cùngHOÁ ; 4; ; ; HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 Chú ý: - Mọi cách giải thích khác ghi điểm tối đa -HẾT - Bài (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a A = : ( 3) 18 b B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 � � � � � �� � 1 1 � 1 � � � � � � � 1.3 � � 2.4 � � 3.5 � � 2014.2016 � 1 c C � Bài (4,0 điểm) a Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b Tìm chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; dư c Chứng tỏ p số nguyên tố lớn p2 - chia hết cho Bài (4,5 điểm) a Cho biểu thức: B (n Z , n 3) n3 0,25 20 Tìm tất giá trị nguyên n để B số nguyên b.Tìm số nguyên tố x, y cho: x2 + 117 = y2 c Số 2100 viết hệ thập phân có chữ số Bài (5,0 điểm) � = 550 Trên tia Bx; By lấy điểm A; C Cho góc xBy (A �B; C �B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho � ABD = 30 a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm � b Tính số đo DBC � = 900 Tính số đo � c Từ B vẽ tia Bz cho DBz ABz Bài (2,0 điểm) a Tìm chữ số a, b, c khác thỏa mãn: abbc ab �ac �7 2012 b Cho A (7 2015 94 392 ) Chứng minh A số tự nhiên chia hết cho HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP - MƠN: TỐN NĂM HỌC 2014 - 2015 Bài Nội dung cần đạt a A= Điểm 1,5 đ 1 2.2 1.3 : ( 3) = 18 6 b B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 0,5 đ = 3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012 1,0 đ 0,5đ � �� �� � � � 22 32 42 20152 �� �� �� � � 1.3 �� 2.4 �� 3.5 � � 2014.2016 � 1.3 2.4 3.5 2014.2016 1 c C = � (2.3.4 2015).(2.3.4 2015) (1.2.3 2014).(3.4.5 2016) 0,5 đ 2015.2 2015 2016 1008 0,5 đ (4,5 đ) x 12 � (4,0 đ) x 15 � �� a Biến đổi được: (x - 3)2 = 144 122 (12) � � x 12 x 9 � � Vì x số tự nhiên nên x = -9 (loại) Vậy x = 15 1.0 đ 0.5 đ 21 b Do A = x183y chia cho dư nên y = Ta có A = x1831 Vì A = x1831 chia cho dư x1831 - M9 � x1830 M9 0,5 đ 0,5 đ x + + + + M9 x + M9, mà x chữ số nên x = Vậy x = 6; y = c Xét số nguyên tố p chia cho 3.Ta có: p = 3k + p = 3k + ( k �N*) 0,5 đ 0.25đ Nếu p = 3k + p2 - = (3k + 1)2 -1 = 9k2 + 6k chia hết cho 0.25đ Nếu p = 3k + p2 - = (3k + 2)2 -1 = 9k2 + 12k chia hết cho 0.25đ Vậy p2 - chia hết cho a Để B nhận giá trị nguyên n - phải ước 0.25đ 0,5 đ => n - �{-1; 1; -5; 5} => n �{ -2 ; 2; 4; 8} 0,75 đ Đối chiếu đ/k ta n �{ -2 ; 2; 4; 8} b Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 y2 = 121 y = 11 (là số nguyên tố) 0,25 đ 0,5 đ * Với x > 2, mà x số nguyên tố nên x lẻ y2 = x2 + 117 số chẵn (4,5 đ) => y số chẵn 0,5 đ kết hợp với y số nguyên tố nên y = (loại) 0,25 đ Vậy x = 2; y = 11 c Ta có: 1030 = 100010 2100 = 102410 Suy : 1030 < 2100 (1) 0,25 đ 0,5đ Lại có: 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 1031=231.528.53=231.6257.125 0,5đ Nên: 2100< 1031 (2) Từ (1) và(2) suy số 2100 viết hệ thập phân có 31 0,5đ chữ số (5,0 đ) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C => AC = AD + CD = + = cm 22 b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC ta có đẳng thức: 0 � � � � => DBC ABC � ABD DBC ABC � ABD = 55 – 30 = 25 0,5 đ 1,0 đ c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên 0,5 đ tia BA nằm hai tia Bz BD 0 Tính � ABz 900 � ABD = 90 30 60 0,5 đ - Trường hợp 2: Tia Bz, BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia 0,5 đ BD nằm hai tia Bz BA 0,5đ 0 0 Tính � ABD = 90 30 120 ABz , = 90 + � a Ta có: abbc ab �ac �7 (1) 100 ab + bc = ab ac ab (7 ac - 100) = bc bc bc Vì < < 10 nên < ac - 100 < 10 ab ab ac - 100 = 100 < ac < 110 14 100 110 ac 16 Vậy ac = 15 7 thay vào (1) 1bb5 1b �15 �7 1005 + 110b = 1050 + 105.b (2,0 đ) 5b = 45 b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = b) Vì 2012 ; 92 bội nên 2012 2015 92 94 bội � 20122015 4.m m �N * ;9296 4.n n �N * Khi 20122015 tức 2012 2015 Dễ thấy 2012 9294 3 7 4m 3 4n 1 1 m n 392 có tận hay 2012 2015 94 94 392 > mà 2012 2015 2015 94 392 M 10 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 94 392 M 10 suy 2015 94 A (7 2012 392 ) 5.k; k �N Suy A số tự nhiên chia hết cho 0,25 đ ... +…+ S = (5+ 52 +53 +54 ) +55 (5+ 52 +53 +54 )+ +52 009 (5+ 52 +53 +54 ) a Vì (5+ 52 +53 +54 ) =780 M 65 b 2 ,5 0, 25 0, 25 Vậy S chia hết cho 65 Gọi số cần tìm a ta có: (a -6) M11 ;(a-1) M4; (a-11) M19 (a -6 +33) M11;... 100 50 Câu (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) a) Ta có: M = + 52 + 53 + … + 58 0 = + 52 + 53 + … + 58 0 = (5 + 52 ) + (53 + 54 ) + (55 + 56 ) + + (57 9 + 58 0) = (5 + 52 ) + 52 . (5 + 52 ) + 54 (5 + 52 ) + + 57 8 (5. .. 228.318 (5 7.2) 0 .5 229.318 (5. 2 1) 228.318 (5 14) 2.9 9 2 0 .5 KL:… Câu 5 5� � 12 12 12 12 5? ?? � � 85 : 13 169 91 158 158 158 b) Ta có: B 81 � 47 289 4 6 6� �4 6? ??