Quá trình tán xạ siêu hạt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Yến QUÁ TRÌNH TÁN XẠ SIÊU HẠT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THÚC TUYỀN Hà Nội-2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG 1.1.Siêu đối xứng 1.2 Siêu không gian siêu trường 1.2.1.Siêu không gian 1.2.2 Siêu trường 1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral) 11 1.2.4 Siêu trường vectơ 15 1.3 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng 17 1.3.1 Lý thuyết trường chuẩn Abel 17 1.3.2 Lý thuyết trường chuẩn non-Abel 20 1.3.3 Vi phạm siêu đối xứng 22 1.3.4 Trường vật lý MSSM 24 CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ 27 2.1 Ma trận tán xạ tiết diện tán xạ học lượng tử 27 2.1.1 Khái niệm ma trận tán xạ S 27 2.1.2 Ý nghĩa vật lí ma trận tán xạ S 29 2.1 Khái niệm tiết diện tán xạ 31 2.1.4.Các biến Mandelstam 31 2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân 34 2.2.Ma trận tán xạ tiết diện tán xạ lý thuyết trường lượng tử 39 2.2.1 S- ma trận khai triển Dyson 39 2.2.2 Tiết diện tán xạ 48 CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e 52 3.1 Yếu tố ma trận 52 3.2 Tiết diện tán xạ vi phân 59 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 MỞ ĐẦU Siêu đối xứng có tiên đốn kịch tính, là, hạt chất trường biết có siêu hạt đồng hành với spin sai khác 1/2 đơn vị [1] Như vậy, lepton có siêu đồng hành gọi slepton, quark có siêu đồng hành squark Squark slepton boson vô hướng Mỗi hạt gauge truyền tương tác có siêu đồng hành gaugino: photon truyền tương tác điện tử có photino, hạt Yang-Mills truyền tương tác yếu có Yang-Millsino, hạt gluon truyền tương tác mạnh có gluino Các gaugino fermion Majorana Tiên đoán coi kịch tính nay, sau 40 năm tìm kiếm, chưa tìm siêu hạt đồng hành Nếu tìm thấy, siêu đối xứng đối xứng thực tự nhiên, khơng tìm thấy, siêu đối xứng giả định, chưa có đảm bảo Khi siêu đối xứng đúng, thay cho spinơ diễn tả hạt chất đó, ta có “siêu đa tuyến”, bao gồm trạng thái fermion (spinơ) lẫn trạng thái boson (vô hướng) Thay cho vectơ diễn tả trường tương tác đó, ta có “siêu đa tuyến”, bao gồm trạng thái boson (vectơ) lẫn trạng thái fermion (spinơ Majorana) [2]-[3] Khi đó, q trình tán xạ hai hạt trở nên phức tạp tham gia q nhiều hạt Chính chưa tính đóng góp tất hạt hạt đồng hành, cho nên, ta chưa thể tìm vùng lượng tìm thấy siêu hạt Nhiệm vụ đặt cho tác giả luận văn thạc sỹ nghiên cứu số q trình tán xạ tính đến siêu đối xứng Để tính đến đóng góp tất hạt ta phải dùng đến phần mềm chuyên dụng FormCalc, FeynArts Trong luận văn tác giả tính tay, giới hạn trình cụ thể Luận văn phân chia làm ba chương Chương đề cập đến khái niệm siêu đối xứng, viết tắt SUSY, từ suy Lagrangian tương tác hạt với hạt, hạt với siêu hạt đồng hành siêu hạt đồng hành với Chương tóm tắt đặc trưng tốn tán xạ, cơng thức cần thiết cho tính tốn Chương tính q trình tán xạ phi đàn tính e e Các kết luận tách riêng thành mục cuối Việc lựa chọn trình tán xạ có sinh siêu hạt từ hủy cặp e e có chủ ý Hiện có máy va chạm hadron lớn (LHC), số liệu thu từ máy gia tốc lepton (LEP) phong phú có vai trị quan trọng việc tìm kiếm kiểm chứng lết luận SUSY Thêm nữa, máy gia tốc đạt đến thang lượng không nhỏ (cỡ TeV ), vậy, tính tốn lý thuyết kiểm tra trung tâm CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG 1.1.Siêu đối xứng Siêu đối xứng (SUSY) đối xứng fermion boson [1]-[4] Các phép biến đổi siêu đối xứng sinh toán tử spinơ Q, Q , biến trường fermion thành trường boson ngược lại Q | Boson | Fermion ; Q | Fermion | Boson Do trường boson trường fermion có thứ nguyên khác 1/2, cho nên, thứ nguyên Q phải 1/2 Toán tử Q, Q gọi vi tử sinh lẻ Chúng với vi tử sinh nhóm Lorentz, gọi vi tử sinh chẵn, lập thành đại số, đó, ngồi đại số nhóm Poincaré, ta cịn có: Q,P Q,J ,J Q Q,Q Q,Q Q,Q P Với: 1,,1,, Trong đại số phép toán vi tử sinh chẵn (hai toán tử boson B ) chẵn lẻ (một toán tử boson B toán tử fermion F ) giao hoán tử, phép toán cho hai vi tử sinh lẻ (hai toán tử fermion F ) phản giao hoán tử Kết phép tốn là: B,BB, F,FB, B,FF Dĩ nhiên, đồng thức Jacobi tổng qt hóa tương thích với quy tắc (1.2): B1,B2 ,B3B2,B3 ,B1 B1,B2 ,F B, F1 , F2 F1, F2 , F2 Đại số có hai phép tốn, giao hốn tử phản giao hoán tử, thỏa mãn đồng thưc Jacobi tổng quát gọi đại số Lie phân bậc hay siêu đại số Lie Mục đích lý thuyết siêu đối xứng đưa mô tả thống cho fermion boson, tức là, cho trường chất lẫn trường truyền tương tác Điểm bật siêu đối xứng kết hợp boson fermion vào đa tuyến tối giản hữa hạn Siêu đối xứng làm phong phú thêm cho vật lý hạt bản; mô hình siêu đối xứng đơn giản có nhiều hệ lý thú, đặc biệt, chúng hạn chế nhiều loại giản đồ phân kỳ lý thuyết nhiễu loạn Siêu đối xứng đối xứng biết liên hệ hạt có spin khác boson fermion, có ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực phát triển vật lý lý thuyết giai đoạn nay, chẳng hạn lý thuyết dây Ngồi có nhiều nguyên nhân mặt tượng luận làm cho SUSY trở nên hấp dẫn Một là, hứa hẹn giải vấn đề phân bậc tương tác (hierachy) tồn mơ hình tiêu chuẩn Hai là, SUSY hạt Higgs xuất cách tự nhiên hạt vô hướng nhẹ Để diễn đạt SUSY thuận tiện nhất, ta dùng phương tiện siêu không gian siêu trường 1.2 Siêu không gian siêu trường 1.2.1.Siêu không gian Vi tử sinh spinơ nhóm siêu đối xứng khơng thể biểu diễn tốn tử vi phân theo tọa độ khơng thời-gian thông thường Để khắc phục điều này, người ta mở rộng không-thời gian cách đưa vào tọa độ spinơ phản giao hoán , bên cạnh tọa độ vectơ giao hốn x [5] Khơng gian mở rộng gọi siêu khơng gian, tọa độ phản giao hốn gọi tọa độ lẻ, tọa độ giao hoán gọi tọa độ chẵn Do tọa độ lẻ cơng cụ, chúng khơng thể có mặt biểu thức cuối Lagrangian, cho nên, bước tính tốn cuối tích phân theo tất tọa độ lẻ Tích phân theo tọa độ lẻ tính đạo hàm theo tọa độ Nếu dùng hình thức luận spinơ bốn thành phần tọa độ lẻ spinơ Majorana , cịn dùng hình thức luận spinơ hai thành phần tọa độ lẻ cặp hai spinơ Weyl ( , ), đó, spinơ Weyl loại hay tay chiêu, spinơ Weyl loại hai, hay tay đăm [6] Chỉ số khơng có chấm, , số * có chấm Các ma trận Pauli bốn chiều có số có chấm số khơng có chấm Tensơ Ricci có hai số khơng chấm hai số có chấm Trong luận văn này, ta sử dụng hình thức luận spinơ hai thành phần (xem phụ lục A) Do tính phản giao hốn tọa độ spinơ: ,, Từ suy ra, bình phương biến tọa độ lẻ không, tức biến lũy linh Biến lũy linh gọi biến Grassmann Biến tọa độ lẻ phải có thứ nguyên 1/ Khi đó, vi tử sinh Q, Q siêu đối xứng biểu diễn toán tử vi phân theo tọa độ sau: Q Q Phép biến đổi siêu đối xứng đạo hàm không giao hoán nhau, nghĩa là, hàm trường đạo hàm khơng biến đổi Để có đạo hàm giao hoán với vi tử sinh phản giao hoán, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến sau đây: D D Đạo hàm hiệp biến có thứ nguyên 1/2 1.2.2 Siêu trường Siêu trường hàm trường siêu khơng gian Chúng vơ hướng, vectơ hay spinơ Do tính lũy linh, khai triển siêu trường theo lũy thừa tọa độ lẻ hữu hạn Ví dụ, khai triển siêu trường vơ hướng ( x , , ) theo lũy thừa M e d hình vẽ thu M d cách trực tiếp.Và đó, ta thấy rằng, trường hợp này, việc lựa chọn hướng cho mũi tên không ảnh hưởng tới kết Chúng ta cần tính Hình 3.3 giản đồ cho trình e+ e- γγ với quy ước chiều mũi tên photino khác hình 3.1(d) Như trình bày chương hai, tính tiết diện tán xạ ta cần tính M M * nên ta lấy liên hợp phức biểu thức (3.2), được: M fi fi fi * Mb e Khi đó, lấy tổng theo spin ta được: Mb spin * u ( k )(1 Mb spin uT(k) / 2( 54 M b 2hs u ( k1 )(1 )u ( p1 ) v ( p2 )(1 )v(k2) spin u T ( k1 ) (1 ) 0u * ( p1 ) v T ( p ) (1 ) 0 v * ( k ) hs u ( k1 )(1 hs Tr (1 ) u ( p1 ) u ( p1 )(1 ) u ( p1 )u ( p1 )(1 5 )u ( k1 ) ) u ( k1 ) u ( k1 ) Tr (1 Trong hs Mặt khác ta lại có: (s) u ( s ) (p)u (p) p M p M s (s) v(s)(p)v (p) s u ( s ) ( p ) v ( s ) T ( p ) ( p M ) CT s u(s)T s v(s)T s v ( s ) ( p )u ( s ) T ( p ) ( p M )CT s 55 (3.10) (3.11) (3.9) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) Trong u ( p ), v ( p) spinor mô tả trạng thái vào hạt phản hạt,u ( p ), v ( p) spinor mô tả trạng thái hạt phản hạt p p Sử dụng (3.10), (3.11) ta có: (s) u ( p1 )u s (s) v ( p2 ) v s Thay (3.16),(3.17) vào (3.9) : Mb spin Tr Khai triển biểu thức tính vết ta được: 56 Mb spin spin Cuối cùng, ta được: Mb hs Tr (3.18) (3.19) (3.20) (1 Mb2 16 hs p1 k1 p2 k2 hs Tr (1 ) spin 16hsp1 u ( p1 )u ( spin p1 ) Tương tự, lấy liên hợp phức biểu thức (3.5) tính tốn ta được: (1 Md s Bây ta tính, (k2 )vT M b M d* s (1 M b M d* s (1 hs u ( k1 )(1 )v )u ( p1 ) v ( p2 ) ( k )(1 ) v T ( p2 )vT ( p2 )(1 )vT (k1 )u(k1 ) Trong hs (3.21) 57 (3.22) (3.23) (3.24) Áp dụng cơng thức (3.10) đến (3.15) ta có: Khi biểu th M b M d* hs (1 ) p1 me s (1 )(k (3.25) M b M d* (3.26) s (3.27) (k2 M )C Mặt khác ta lại có: C T (1 ) T ( p me ) T (1 (3.28) ) T C (1 )( p me ) T (1 ) (3.29) nên 58 (3.30) (3.31) (3.32) M b M d = -8e M ( s me Trong đó: 3.2 Tiết diện tán xạ vi phân Tính tốn tương tự cho q trình (c) (d) hình 3.1 Cuối ta tiết diện vi phân trình tán xạ e e d Để kiểm tra dấu số hạng nhiễu loạn, ta giả sử tương tác hình 3.4(a) thay cho bốn giản đồ hình 3.1 Hình 3.4 Giản đồ đỉnh tương tác bốn fermion 59 Tính tốn vết thích hợp cho giản đồ ta được: e Tr 2 / M e Tr v (p m) 2 22 222 22 4e /M e (t M me ) ( u M me ) 16 me M s ( M me ) Rõ ràng (3.36) hoàn toàn tương tự (3.35) trường hợp Trong trường hợp M γ tương tác hình 3.4(b) Tính tốn vết thích hợp ta được: M Với giới hạn Tiết diện tán xạ là: d d 2M t M me ( M eR t )( M eR u) 60 Thực tế, ta lấy gần me=0 trình (3.35): 61 KẾT LUẬN Tiết diện tán xạ trình e e rõ ràng khác khơng ảnh hưởng việc tồn siêu hạt có hội kiểm nghiệm ta tính đến hết q trình Biểu thức (3.39) có bỏ qua khối lượng electron Tuy nhiên, biểu thức hữu hạn nhỏ, chứng tỏ khối lượng selectron khơng nhỏ Siêu đối xứng có bị vi phạm Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ vào thừa số M / s khơng phải photino hạt có spin 1/2 Điều nói đến [11] 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hà Huy Bằng (2006), Các giảng Siêu đối xứng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1996), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật lý thống kê,NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Hà Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt bản, NXB Đại học Quốc gia Nội Tiếng Anh Aitchison, I J R and Hey, A J G (2004), Gauge theories in Particle Physics, Vol I, IOP Pubishing Ltd 2004 Aitchison, I J R and Hey, A J G (2004), Gauge theories in Particle Physics, Vol II, IOP Pubishing Ltd 2004 Aitchison, I J R (2007), Supersymmtry in Particle Physics an elementary introduction, Cambridge university press Bilal, A (2001), “Introduction to Supersymmetry”, arXiv:hep-th/0101055v1 10 Jan 2001 Wess, J and Bagger, J (1992), Supersymmetry anh Supergravity, Princeton series in Physics 10 Peskin, M and Schroeder, D (1995), An introduction to Quantum field theory, Perseus Books Publishing 1995 11 Weinberg, S (2000), The quantum theory of fields – volume III – Supersymmetry, Cambridge universiry press 63 TÀI LIỆU DẪN (References) [1] H.E Haber and G.L Kane, Phys Rep 117 (1985) 75; H.P Nilles, Phys Rep 110 (1984) [2] Phạm Thúc Tuyền, Nhập môn siêu đối xứng, giảng cho SV môn VLLT, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội (2005) [3] Hà Huy Bằng, Các giảng Siêu đối xứng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2006) [4] S Weinberg, The Quantum Theory of Fields, V.3 Supersymmetry, Cambridge University Press (2000) [5] A Salam, J Strathdee, Nucl Phys B76 (1974) 477 131 [6] S Martin, Supersymmetry Primer, hep-ph/9709356; M Dress, An Introduction to Supersymmetry, hep-ph/9611409; M Drees and M.M Nojiri, Nucl Phys B369 (1992) 54, and Phys Rev D47 (1993) 376 [7] J Wess, J Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press (1992) [8] X.R Tata, in Proceedings of the Mt Sorak Symposium on the Standard Model and Beyond, Mt Sorak, Korea, 1990 J Rosiek, Phys Rev D (1990) 41 [9] Phạm Thúc Tuyền, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, 2011 [10] Nguyễn Xuân Hãn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (1996) [11] H Goldberg, Phys Rev Lett 50 (1983) 1419 64 ... tán xạ Giả sử có hạt bia miền không gian A hạt đạn qua miền không gian Xác suất tán xạ P định nghĩa sau: P (2.21) A Trong xác suất tìm tán xạ đơn vị thể tích gọi tiết diện tán xạ tồn phần q trình. .. cập đến khái niệm siêu đối xứng, viết tắt SUSY, từ suy Lagrangian tương tác hạt với hạt, hạt với siêu hạt đồng hành siêu hạt đồng hành với Chương tóm tắt đặc trưng tốn tán xạ, cơng thức cần thiết... [2]-[3] Khi đó, q trình tán xạ hai hạt trở nên phức tạp tham gia q nhiều hạt Chính chưa tính đóng góp tất hạt hạt đồng hành, cho nên, ta chưa thể tìm vùng lượng tìm thấy siêu hạt Nhiệm vụ đặt