Một số bài toán hình học tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _****** VŨ MINH HẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _****** VŨ MINH HẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ ANH VINH Hà nội – 2015 MỤC LỤC CHƢƠNG BÀI TỐN PHỦ HÌNH 1.1 Một số lý thuyết sở 1.2 Một số toán phủ hình CHƢƠNG BÀI TOÁN ĐỒ THỊ, TÔ MÀU 19 2.1 Lý thuyết tốn tơ màu 19 2.2 Phương pháp tơ màu giải tốn hình học 20 2.2.1 Một số tốn tơ màu đồ thị 20 2.2.2 Một số tốn tơ màu vng .37 2.2.3 Một số toán dùng phƣơng pháp tơ màu vng tính chất bất biến41 CHƢƠNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN 47 3.1 Nguyên lý cực hạn 47 3.2 Ứng dụng nguyên lý cực hạn 47 3.2.1 Một số tốn đánh giá góc 47 3.2.2 Một số toán đánh giá khoảng cách, độ dài .54 3.2.3 Một số tốn đánh giá diện tích, thể tích 63 LỜI NÓI ĐẦU Các tốn hình học tổ hợp tốn hay nhiều người quan tâm Trong đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế thường xun xuất tốn hình học tổ hợp Đó lý luận văn trình bày số tốn hình học tổ hợp Luận văn “Một số tốn hình học tổ hợp” chia làm chương: Chƣơng Trình bày số lý thuyết tốn phủ hình cách giải tốn dạng Chƣơng Trình bày tốn đồ thị, tơ màu số toán thuộc dạng sử dụng kì thi học sinh giỏi nước quốc tế Chƣơng Trình bày nguyên lý cực hạn tốn hình học tổ hợp sử dụng nguyên lí cực hạn Mục đích luận văn trình bày ngắn họn dễ hiểu lý thuyết tốn : phủ hình, đồ thị, tơ màu, tốn sử dụng ngun lý cực hạn trình bày chi tiết cách giải tốn Mặc dù có nhiều cố gắng việc nghiên cứu thực luận văn khơng thể tránh khỏi có sai sót, kính mong góp ý q báu thầy, cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn CHƢƠNG BÀI TỐN PHỦ HÌNH Bài tốn phủ hình dạng tốn có nhiều thực tế Ví dụ việc lát vỉa hè, quảng trường, sàn nhà, viên gạch đa giác giống Câu hỏi đặt “Những viên gạch đa giác lồi giống lát kín mặt phẳng?” Mặt phẳng lấp đầy đa giác giống cho hai đa giác tuỳ ý khơng có điểm chung, có chung cạnh chung đỉnh Từ câu hỏi có số dạng tốn sinh ra, “Phủ hình mạng lưới ô vuông”, “Phủ đa giác lồi đa giác vị tự (hoặc đồng dạng) với nó”, Dưới luận văn trình bày số định lí, hệ tốn cho dạng tốn phủ 1.1 Một số lý thuyết sở Một hệ thống vô hạn ô vuông tạo nên mặt phẳng gọi mạng lưới đỉnh ô vuông Các ô vuông gọi ô vuông sở Các đỉnh ô vuông điểm ngun (điểm có tung độ hồnh độ số nguyên) hệ trục toạ độ song song với cạnh hình vng sở có đơn vị gốc độ dài cạnh hình vng sở Một đa giác có đỉnh đỉnh lưới mạng ô vuông gọi đa giác nguyên Ta có tính chất mạng lưới ô vuông định lí sau Định lí Đa giác có đỉnh điểm lưới vng hình vng Mạng lưới vng có ứng dụng thực tế sử dụng để tính diện tích hình phẳng Ta có định nghĩa sau Đa giác nguyên : Đa giác có đỉnh điểm có toạ độ nguyên Tam giác đơn: Tam giác có đỉnh có toạ độ nguyên mà không chứa đỉnh nguyên bên cạnh Định lí Diện tích tam giác đơn mạng lưới ô vuông đơn vị Định lí (Định lí Picard) Các đỉnh đa giác P có cạnh không tự cắt (không thiết phải lồi) nằm điểm nguyên Bên có n điểm nguyên, cịn biên m điểm ngun Khi diện tích SP =n+ m −1 1.2 Một số tốn phủ hình Sau luận văn trình bày số tốn phủ hình Những tốn tham khảo tài liệu [1], [2] [4] mục tài liệu tham khảo Bài toán Trên tờ giấy có vết mực diện tích nhỏ Chứng minh ta kẻ carơ tờ giấy với hình vng đơn vị (cạnh 1) cho khơng có đỉnh mạng lưới vuông rơi vào vết mực Giải Giả sử ta phủ tờ giấy mạng lưới ô vuông đơn vị Sau đem cắt ô vuông đơn vị rời xếp chồng lên Giả sử phần vng bị thấm mực thấm thẳng qua tất vng Khi diện tích vết mực nhỏ Nên vng có điểm khơng bị thấm mực Ta đánh dấu điểm Ta đem trải vng cũ Các điểm đánh dấu tạo thành lưới vng phủ tờ giấy mà khơng có điểm chúng nằm vết mực Vậy toán giải Bài toán Cho tam giác nhọn ABC có diện tích Chứng minh tồn tam giác vng có diện tích khơng vượt phủ kín ∆ABC A Giải Gọi BC cạnh lớn tam giác nhon ABC có diện tích R Kẻ trung tuyến AM Đặt MA = R C D Vẽ đường tròn (M;R) cắt BC D, E B E H M a Ta có DAE = 90 Các điểm B, C đối xứng qua M, chúng nằm đường trịn Ta chứng minh tam giác vng ADE tam giác phải tìm Rõ ràng ∆ADE phủ ∆ABC , cần chứng minh SADE ≤ Kẻ đường cao AH Đặt MB = MC = a Ta có S ADE = DE AH = R AH ; AH = BC SABC = R a = a nên SADE = a R Ta chứng minh a ≤ Thật vậy, hai góc AMB, AMC tồn góc lớn 900 , chẳng hạn AMC ≥ 900 , AM2 +MC2 ≤ AC2 Suy R + a ≤ AC ≤ BC2 = 4a2  R ≤ 3a R ⇒ a≤ Vậy tam giác ADE vng có diện tích khơng vượt q phủ kín ∆ABC Bài tốn Một khu vực dân cư có hình tứ giác lồi Tại trung điểm cạnh tứ giá, người ta đặt trung tâm phát nhận sóng Vùng phát sóng nhận sóng lớn hình trịn có đường kính cạnh tứ giác Có thể khẳng định toàn khu vực dân cư phủ sóng hay khơng? Giải A Giả sử có điểm M nằm khu B dân cư có hình tứ giác lồi ABCD mà khơng bị phủ hình trịn M hình vẽ D C Lúc M nằm ngồi đường trịn có đường kính AB, BC, CD, DA nên AMB < 900 , BMC < 900 , CMD < 900 , DMA < 900 Suy tổng bốn góc nhỏ 3600 , vơ lí Vậy khơng tồn điểm M Hay khẳng định khu dân cư phủ sóng Bài tốn Cho 100 điểm mặt phẳng, hai điểm có khoảng cách không 1, ba điểm đỉnh tam giác tù Chứng minh tồn hình trịn có bán kính phủ 100 điểm cho Giải Gọi A, B hai điểm có khoảng cách lớn 100 điểm cho, ta có AB ≤ Vẽ đường trịn có đường kính AB, hình trịn có bán kính khơng q Ta chứng minh hình trịn Thật vậy, vẽ hai đường thẳng vng góc với AB A B tạo thành dải Nếu tồn điểm C cho nằm dải BC > AB AC > AB, trái với cách chọn hai điểm A, B Nếu tồn điểm C cho nằm dải nằm ngồi hình trịn ∆ ABC khơng có góc tù, trái với đề Bài toán Cho bốn điểm mặt phẳng, hai điểm có khoảng cách lớn Chứng minh phủ tất bốn điểm hình trịn có đường kính khơng q Giải Ta chứng minh bốn điểm cho, tồn hai điểm có khoảng cách lớn Xét ba trường hợp : a) Bốn điểm A, B, C, D đỉnh tứ giác lồi Tồn góc lớn 900 , chẳng hạn A Ta chứng minh BC > Thật vậy, A ≥ 900 nên BC2 ≥ AB2 + AC2 =1+1 = Vậy BC > b) Ba điểm (chẳng hạn A, B, C) đỉnh tam giác, điểm thứ tư D nằm biên  Nếu D nằm biên tam giác, chẳng hạn D nằm A C AD > 1, DC > nên AC > > Gọi AB mắt lớn đường gấp khúc khép kín Tức đoạn thẳng lớn đoạn thẳng tạo nên đường gấp khúc Giả sử AC BD hai mắt kề với mắt AB Ta có: • AC < AB nên B khơng điểm gần A • BD < AB nên A không điểm gần B Chứng tỏ A B không nối với Vơ lí! Điều chứng tở không nhận đường gấp khúc khép kín từ cách nối Bài tốn 52 Trên mặt phẳng cho 2015 điểm thoả mãn ba điểm số chúng thẳng hàng Chứng minh 2015 điểm cho thẳng hàng Giải Giả sử ngược lại 2015 điểm cho không thẳng hàng A R B Q C D Dựng qua cặp điểm số 2015 điểm đường thẳng Số đường thẳng nối hoàn toàn xác định, hữu hạn Xét khoảng cách khác nhỏ từ 2015 điểm đường thẳng vừa dựng Số khoảng cách tồn hữu hạn Gọi khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bé (A, B, C ba điểm 2015 điểm cho) Theo giả thiết, BC cịn có điểm thứ D khác B C 60 Vẽ AQ ⊥ BC, khoảng cách AQ bé (theo giả sử) ta có ba điểm B, C, D phải có hai điểm nằm phía điểm Q, giả sử hai điểm A D Giả sử: CQ < DQ vẽ CR ⊥ AD, dễ thấy CR < AQ (vơ lí) Điều chứng tỏ 2015 điểm cho thẳng hàng Bài toán 53 Cho tứ giác ABCD thoả mãn bán kính đường trịn nội tiếp bốn tam giác ABC, BCD, CDA DAB Chứng minh tứ giác ABCD hình chữ nhật Giải Giả sử rABC = rBCD = rCDA = rDAB Vẽ hình bình hành ABB’C ADD’C B B' C E A D D' Suy tứ giác BB’D’C hình bình hành Do đó: ∆ABC = ∆B'CB ∆ADC = ∆D'CD  =r r ABC =r ,r B ' CD ADC D ' CD Mặt khác: ∆ABD = ∆CB' D' (c.c.c) ⇒ rABD = rCB ' D' Theo giả thiết: rABC = rBCD = rCDA = rDAB  =r r B ' CB CB ' D ' =r D ' CD =r CBD Gọi E giao điểm BD’ DB’ Ta chứng minh C ≡ E 61 Giả sử C khác E ⇒ C thuộc vào bốn tam giác: EBD, EBB’, EB’D’, ED’D Giả sử C thuộc vào miền tam giác BDE