Về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phan Viết Thư Hà Nội 2014 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Chương I Các kiến thức sở 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian đo Độ đo 1.3 Độ đo Lebesgue 1.3.1 Độ đo Lebesgue 1.3.2 Độ đo Lebesgue k 1.4 Hàm số đo 1.4.1 Cấu trúc hàm số đo 1.4.2 Các dạng hội tụ 1.5 Không gian định chuẩn 1.6 Tích phân Lebesgue 1.7 Không gian tô pô 10 12 Chương II Các không gian hàm 2.1 Không gian 2.1.1 Không ℒ gian 12 12 L 2.1.2 2.1.3 Khơng gian 12 13 ℒ Tính chất tuyến tính 2.1.4 Cấu trúc L 2.1.5 Cấu trúc thứ tự 2.1.6 Các tính chất quan L 2.1.9 Không gian L 2.2 Không gian 15 L hàm Borel 14 trọng 2.1.7 Cấu trúc nhân L 2.1.8 Hoạt động 13 cácL phức 18 L 19 19 20 L 2.2.1 Không gian 2.2.2 20 tự Cấu trúc thứL 2.2.3 21 L Chuẩn không gian Riesz 2.2.4 24 L 26 Nhắc lại kỳ vọng có điều kiện 2.2.5 L 2.2.6 28 hoàn chỉnh Không gian 2.2.7 L ∞ L 32 phức Không gian 2.3 33 thứ tự 2.3.1 Cấu trúc L 2.3.2 2.3.3 Chuẩn ngẫu Tính đối L ∞ ∞ L 34 35 ∞ 2.3.4 2.3.5 2.3.6 Kỳ vọng có điều kiện Không gian L ∞ Không gian 37 mật Một không gian trù L 2.4 21 41 ∞ 42 L 43 phức 43 L thứ tự 2.4.1 Cấu trúc L 2.4.2 Chuẩn 44 L không gian trù mật 2.4.3 2.4.4 L Một số Tính đối ngẫu không gian 2.4.5 2.4.6 2.4.7 Thứ tự - đầy đủ Kỳ vọng có điều Khơng gian L kiện L 44 L 48 50 L 54 54 55 2.4.8 Không gian Chương III Một số L 3.1 Hội tụ theo độ đo phức dạng hội tụ quan trọng khả tích 56 57 57 57 3.1.1 Các định nghĩa 3.1.2 Các nhận xét 58 3.1.3 3.1.4 Hội tụ 58 điểm Tính chất khơng gian tơpơ tuyến tính lớp 61 khơng gian đo ( ) 3.1.5 Một mô tả tương tự tôpô hội tụ theo độ đo 65 3.1.6 3.1.7 Nhúng Không L vào gian phức LL 70 70 3.2 Khả tích 3.2.1 70 Định nghĩa 3.2.2 66 Các tính chất ổn định phạm vi rộng lớp tập khả tích hay 71 mơ tả tương tự tính khả tích 74 3.2.3 Một số ℒ L 3.2.4 Mối liên hệ tính khả tích tôpô hội tụ theo độ đo 78 3.2.5 Không gian 80 phức 3.3 Hội tụ yếu ℒ KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO L 80 87 L 88 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo: PGS TS Phan Viết Thư, người tận tình giúp đỡ, hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô giáo, nhà khoa học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Trong q trình hồn thành luận văn, đạo ân cần chu đáo thầy cô giáo thân cố gắng, song không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy cơ, bạn để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển LỜI NÓI ĐẦU Bản luận văn giới thiệu không gian hàm Lp Các không gian Lp không gian hàm định nghĩa thông qua việc sử dụng chuẩn tổng quát hóa cách tự nhiên từ chuẩn p không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều chúng gọi không gian Lebesgue) Theo Bourbaki, chúng đưa Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary) Các không gian Lp lập nên lớp quan trọng khơng gian Banach giải tích hàm, khơng gian véc tơ tơ pơ, chúng có ứng dụng quan trọng vật lí, xác suất thống kê, tốn tài chính, kỹ thuật nhiều lĩnh vực khác Mặc dù lớp khơng gian hàm quan trọng có nhiều ứng dụng giáo trình giải tích hàm lí thuyết độ đo tích phân bản, không gian chưa mô tả chi tiết Với mong muốn trình bày ý tưởng chung sâu nghiên cứu không gian , nhằm giúp cho việc sử dụng không gian cách có hệ thống thuận tiện, tác giả chọn đề tài luận văn là: “Về số không gian hàm thường gặp” Luận văn chia thành chương: Chương I: Các kiến thức sở Chương II: Các không gian hàm Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng khả tích Trong chương I, tác giả nêu khái niệm định lí giải tích hàm Đó khái niệm không gian metric, không gian đo với khái niệm độ đo, hàm đo với tính chất hội tụ khả tích, khái niệm không gian định chuẩn, khái niệm không gian tô pô Đây kiến thức sở sử dụng chương II chương III luận văn Mục đích chương II thảo luận không gian hàm Lp ,1 p tính chất Điều đặc biệt ta coi khơng gian khơng gian không gian lớn gồm lớp tương đương hàm (hầu như) đo Chính vậy, khơng gian hàm trình bày không gian , không gian (không gian hàm đo khả tích), khơng gian (khơng gian hàm bị chặn cốt yếu), không gian (không gian hàm số có lũy thừa bậc p mơ đun khả tích X) Các khơng gian trình bày cách hệ thống theo nội dung: xây dựng khái niệm, cấu trúc thứ tự, xét chuẩn nó, xét tính đối ngẫu, vài không gian trù mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) cuối mở rộng cho không gian phức Trong chương III, tác giả mô tả số dạng hội tụ quan trọng không gian L Đó hội tụ theo độ đo L hội tụ yếu L Ngoài chương này, tác giả tính chất ổn định phạm vi rộng lớp tập khả tích ℒ hay L Do thời gian có hạn việc nắm bắt kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo tận tình thầy góp ý chân thành bạn đọc Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển Chương I Các kiến thức sở 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Giả sử X tập khác rỗng, metric X ánh xạ d : X X số thực, thỏa mãn điều kiện: d(x,y) x y d(x,y) d(y,x) x,y X d(x,y) d(x,z) d(z,y) x,y,z X i) ii) iii) Tập hợp X với khoảng cách d cho X, gọi khơng gian metric, kí hiệu (X,d) Hàm d (x, y) x y x, y X metric tập (khoảng cách thông thường) Không gian metric tương ứng gọi đường thẳng thực Định nghĩa 1.2 a) Dãy xn n không gian metric X gọi dãy nếu: 0, N( ), m, n N suy d (x m , x n ) b) Không gian metric X gọi không gian metic đầy đủ dãy không gian X hội tụ đến phần tử khơng gian Chẳng hạn, khơng gian Euclide n không gian đầy đủ Không gian C a , b không gian đầy đủ Định nghĩa 1.3 Giả sử E tập X Tập hợp tất điểm dính E, gọi bao đóng tập hợp E, kí hiệu E Định nghĩa 1.4 Giả sử E tập X Tập E gọi là: Tập đóng tập E chứa tất điểm tụ Tập mở điểm điểm Tập hợp tất điểm E gọi phần E, kí hiệu int E i) ii) iii) Tập hợp E gọi trù mật tập hợp A bao đóng E chứa A Đặc biệt, tập E trù mật khơng gian X E gọi trù mật khắp nơi X F {x : x F, f (x) 0}, F {x : x F, f (x) 0} bỏ qua được, F u F u F u F u) Nếu F , F E F 76 sup F |u | u A |Gu| 2, sup u A,G ,G F F I Tiếp theo, F ,G I sup |u | sup FG u A F u A |u | sup G |u | u A hữu hạn, F G I Cuối cùng, (Fn )n I , F Fn , n cho tồn n (FFi ) X‚ E ; dãy đ FFF ề u t h u ộ c v o ,F v ì v ậ y i n i n i n Tồn F I cho H ‚ F bỏ qua với H I Nhận thấy E ‚ F chứa tập không bỏ qua I ; đặc biệt, chứa nguyên tử hay tập không bỏ qua có độ đo nhỏ Nhưng điều có nghĩa khơng gian đo E ‚ F khơng ngun tử, hồn tồn hữu hạn khơng có tập khơng bỏ qua đo có độ đo nhỏ (E ‚ F) E ‚ F E thuộc vào I , điều cần chứng minh Do với u |u | A, sup |u | hữu hạn u A ( ) Đặt M / Nếu u A , biểu diễn u f • , f : X đo được, xét F {x : f (x) M E(x)} Khi M (F E) F f F u , (F E) / M Do F u Tương tự, F ( u) , với F {x : f (x) M E(x)} Nghĩa (| u | M E• ) (| f | M E) F F |f | F F |u | , với u A Do tùy ý nên A khả tích 2.6.9 Nhận xét: (a) Tất nhiên điều kiện (ii)-(iv) định lý này, giống (i), chuyển trực tiếp sang ngôn ngữ L1 Do tập khác rỗng A L1 khả tích sup | F f | hữu hạn với nguyên tử Fhay với mỗi0 f A tìm E,0 cho Evà | F f | | với dãy rời f A, Fvà (F E) , hay lim sup | n f A Fn 77 | với dãy không giảm (Fn )n , lim sup | n f A có giao Fn rỗng f L0 ( ), M Hệ 3.10 Giả sử (X, , ) không gian xác suất Với đặt F( f ,M) {x : x dom f ,| f (x) | M} Khi tập khác rỗng A L1( ) khả tích lim sup |f | Mf A F ( f ,M ) Chứng minh: (a) Nếu A thỏa mãn điều kiện, inf sup (| f | M X ) inf sup M f A | f | 0, M f A F ( f ,M ) A khả tích (b) Nếu A khả tích đều, và0 , có số M cho (| f | M X ) A; với f sup | f | hữu hạn (mệnh đề 3.7) Lấy f M A M0 max(1,(1 ) / ) Nếu f A | f | F( f , M ) (| f | M0 X ) M0 F( f , M ) (| f | M0 X) |f| nơi dom f , |f | (| f | M 0X ) F ( f ,M ) Do nên lim sup |f | | f | F ( f ,M ) 3.2.4 Mối liên hệ tính khả tích tơpơ hội tụ theo độ đo Mf A Định lý 3.11 Giả sử (X, , ) không gian đo a) Nếu ( fn )n dãy khả tích gồm hàm nhận giá trị thực X, | f (x) lim f (x) với hầu hết x X , f khả tích lim f f | ; n n flim n n f n n b) Nếu A L1 L1 ( ) khả tích đều, tơpơ chuẩn tơpơ hội tụ theo độ đo L0 L0 ( ) đồng A c) Với u L với dãy (u ) , khẳng định sau tương đương: (i) u lim u theo chuẩn n (ii) {un : n n n n } khả tích (un )n hội tụ tới u theo độ đo 78 Nếu (X, , ) nửa hữu hạn, A L1 khả tích đều, bao đóng A A theo tôpô hội tụ theo độ đo tập khả tích Chứng minh: (a) Đầu tiên ý sup Fatou cho ta biết | f | khả tích, với |, Bổ đề |f |và | f | lim inf | f n n n |f | limsup |fn | Ta có { fn n f:n } n khả tích tổng hai tập khả tích (mệnh đề 3.7c) Cho trước , có số M 0, E cho E (| fn f | M E) với n Hơn | fn f | M E hầu khắp nơi, lim sup |fn f | lim sup (| fn n f | M E) n lim sup |fn f| M E , n theo định lý hội tụ làm trội Lesbegue Do tùy ý nên limn |fn f | lim f f n n (b) Giả sử TA ,GA tôpô A tương ứng cảm sinh chuẩn L tôpô hội tụ theo độ đo • (i) Cho trước0 , giả sử F, M cho Fvà (| v | M F ) với v A , xét |f F, g | (| f | khắp nơi dom f M F) L0 Do || u v ||1 Nghĩa là, với (| g | M F) M (| f g| (| v | M F• ) M (| u v | F) dom g , | u v | (| u | M F• ) với u,v L0 bất kỳ, định nghĩa 3.1 Khi với f , g M F (u,v) với u , v F• ) A , tìm F, M cho với u , v (u,v) A, || u v || F 1 M Từ suy tập A mở TA mở GA (ii) Theo hướng khác, có F (u,v) || u v ||1 với u L1 tập có độ đo hữu hạn F, tập A mở GA mở TA u theo , A un : n khả tích Thật vậy, cho trước , m (c) Nếu (un )n cho || un u ||1 n m Đặt v | u | |ui | L1 , giả sử M 0, Esao cho E (v M E• ) Khi đó, với w A, 79 i m (| w | M E• ) Suy E (v M E• ) • E (v M E ) (| w | v) (| w| M E• ) || (| w| v) ||1 Vậy theo giả thiết, ta chắn {un : n } A {u} {un : n } khả tích đều, hai tôpô đồng A (bởi (b)) (un )n hội tụ tới u theo tôpô hội tụ tới u theo tơpơ cịn lại (d) Bởi A bị chặn theo chuẩn (mệnh đề 3.7.a) nửa hữu hạn, A L (mệnh đề 3.5 (b-i)) Cho trước , giả sử M 0, E cho E • (| u | M E )với u A • Các ánh xạ u | u | , u u M E , u u : L0 L0 liên tục theo tôpô hội tụ theo độ đo (mệnh đề 3.1), {u :|| u ||1 } đóng theo tơpơ đó, {u : u L0 , (| u | M E• ) } đóng phải chứa A Do (| u | M E• ) với u A Do tùy ý nên A khả tích đều.□ 3.2.5 Khơng gian phức Các định nghĩa định lý bên phát biểu lại không gian hàm nhận giá trị phức mà khó khăn gì, cần thay đổi: không gian phức, số bổ đề 3.9 phải thay đổi Dễ dàng thấy rằng, với u L1 ( ) , || u ||1 || Re(u) ||1 || Im(u) ||1 2sup F Re(u) 2sup F (Thực chứng minh || u ||1 F Im(u) 4sup F sup | F u F F u | ) Do vài lập luận định F lí 2.33 cần phải viết lại với số khác, kết khơng ảnh hưởng 3.3 Hội tụ yếu Bây ta chuyển sang nét đặc trưng tính khả tích đều: đưa mô tả tập compact tương đối yếu Ta xếp nội dung vào mục riêng biệt dùng tới kiến thức giải tích hàm, đặc biệt tơpơ yếu không gian Banach Phần lập luận định lý rõ ràng ta tách rời trường hợp đơn giản Bổ đề 3.12 Giả sử (X, , ) không gian đo, G phần tử Giả sử G độ đo không gian G, G E E với E G,E 80 Đặt U {u : u L1( ),u G• u} L1( ) Khi có đẳng cấu S không gian định chuẩn thứ tự U L1 ( G ) , cho S( f • ) ( f G )• với f L1( ) cho f • U Rõ ràng U không gian tuyến tính L1 ( ) Chú ý f G khả tích, | f G | d G |f | Gd|f | d với f L1( ) Nếu f , g L1( ) f gh.k.n , f ; cơng thức S xác định ánh xạ từ U tới L1( ) G (cf ) G c( f G , S tuyến tính Bởi f gh.k.n f S bảo tồn thứ tự Bởi | f với u U h.k.n G G ) Bởi ( f g) G ( f G ) (g G ), với f , g L1( ) tất c g G G |d G g G G h.k.n |f | d với f L ( ),|| Su ||1 || u ||1 G Để thấy S toàn ánh, lấy v L ( ) Biểu diễn v g G g L1( ) Ta có f L1( ) , f(x) =g(x) với x domg , G x X ‚ G; f • U f g v S( f • ) S[U ] với G Để thấy S bảo toàn chuẩn, ý rằng, với f L1( ) bất kỳ, | f G | d G |f | Gd , u f • U có || Su ||1 |fG|d G |f | Gd || u G• ||1 || u ||1 □ Hệ 3.12 Giả sử (X, , ) không gian đo bất kỳ, G tập đo biểu diễn hợp đếm tập có độ đo hữu hạn Xác định U bổ đề 3.12, h : L1 ( ) phiếm hàm tuyến tính liên tục Khi có v L ( ) cho h(u) u vd với u U 81 Chứng minh: Giả sử S :U L1( ) S 1:L1( ) U đồng phơi xác định bổ đề 3.12 Khi G tuyến tính liên tục, h hS thuộc vào không gian G định chuẩn đối ngẫu (L1( ))* L1( ) Khi tất nhiên G G G - hữu hạn, địa phương hóa được, định lí 2.13b tồn v L ( ) cho G h1 (u) u v1d với u L ( ) G Biểu diễn v gx g• g : G 1 g1 x với x G , với x X ‚ G hàm đo bị chặn Đặt G ; g : X hàm • đo bị chặn, v g L ( ).Nếu u U , biểu diễn u f f L1( ) ; h(u) h(S 1Su) h1 (( f G )• ) ( f G ) g1d G ( fg)d f G g Gd f gd u v G Do u nên ta có điều phải chứng minh Định lý 3.13 Giả sử (X, , ) không gian đo A tập L1 L1 ( ) Khi A khả tích compact tương đối L1 tôpô yếu L1 Chứng minh: (a) Giả sử A compact tương đối tơpơ yếu Ta tìm cách thỏa mãn điều kiện (iii) định lí 3.10 (i) Nếu F, chắn sup | F u | , u F u thuộc vào (L1)* , u A * h (L ) ảnh tập compact tương đối h phải bị chặn (ii) Giả sử Fn sup | F u | n dãy rời Giả sử, có thể, n khơng hội tụ đến Khi tồn dãy tăng ngặt n(k) u A thuộc cho inf sup | 2k u A k u | Fn ( k ) Với k, chọn u k A cho | Fn ( k ) uk | Bởi A compact tương đối tơpơ yếu, tồn điểm tụ u u thuộc L1 tôpô yếu Đặt k k j j / với j 82 Bây ta chọn dãy tăng ngặt k( j) j với theo cách quy nạp, j, j1 F n ( k ( j )) (| u ||uk (i ) |) j i j1 u F i u k(j) F n ( k (i )) n ( k ( i )) j j với j, coi Thật vậy, cho * trước k(i) |u| i j , đặt v |uk (i ) | ; i i lim k Fn theo định lý hội tụ làm trội Lesbegu e, ngược lại tồn số k* cho k* k(i) với i j Fn ( k ) v* j với k k* Theo đó, ( k ) v* j w u F F n ( k ( i )) i n ( k (i )) w : L1 liên tục tôpô yếu L u, u thuộc vào tập mở yếu chứa {uk : k k*}, tồn k( j) k* cho j u u k(j) F i j n ( k ( i )) F Điều tiếp diễn xây dựng , theo tôpô yếu, Giả sử v điểm tụ GF i n(k (i)) , ta có i, v Gi Gi u u k(j) j Gi Gi i < j, limj u với i; đặt Gi Gi , ta có v v G G G i i Gi i G i i u G u, rời j1 Với j, u G i i j1 |u | k(j) i j u u G i G k(j) i i G i j1 j jii i i j1 i 83 i u Nói cách khác, | G uk ( j ) | Vì u k ( j) G G i j k ( j) i Điều với j; tập mở yếu chứa v giao {uk ( j) : j |Gv| | G u | }, Hay nói cách khác, u G u G i |u | G i i i i điều vơ lí Sự mâu thuẫn limsup | , i Fn u | 0.Vì Fn n tùy nu A ý, A thỏa mãn điều kiện định lí 3.10 (iii) khả tích (b) Bây giả sử A khả tích Ta tìm tập compact yếu C A (i) Với n (| u | Mn , Mn , chọn En En• ) n cho En với u A Đặt C {v : v L1,| F v | M n (F En ) n n , F } , ý A C , u A f , |Fu| F (| u | M n En• ) FM n với n Nhận thấy C - bị chặn, || u ||1 2sup u 2(1 M0 (F M n (F En ) E0 )) 2(1 M E0 ) F F với u En• n C (sử dụng bổ đề 3.9) (ii) Bởi ta tìm cách chứng minh định lý không gian đo (X, , ) , ta khơng thể sử dụng định lí 2.13b để xác định đối ngẫu L1 Tuy nhiên, hệ 3.12 bên định lí 2.13b ``gần'' đúng, theo nghĩa sau đây: h (L1)* , tồn v L cho h(u) u v với u C Thật vậy, đặt G n En , xác định U L1 định lí 3.12 hệ 3.12 Theo hệ 3.12, tồn v L cho h(u) u v với u U Nhưng u C , ta biểu diễn u f f : X đo Nếu F F G , F f Fu 2n Mn (F 84 En ) n với n , F f ; suy f hầu khắp nơi X ‚ G , u U , f G h.k.n f u u G• , tức là, chứng minh h(u) u v , ta có điều phải (iii) Vì đến, có mơ tả đầy đủ, khơng phải (L1( ))* , mà tác động lên C Giả sử F siêu lọc L1 chứa C Với F, đặt F ulimF F u ; sup uC định nghĩa tốt Nếu E, F phần tử rời , E F u E u F u với u C , (E F) lim u u lim u F u F E F lim u F E u E F F Suy : cộng tính Tiếp theo, liên tục thực theo Thật vậy, cho trước , lấy n cho n , đặt / 2(Mn 1) nhận xét | F | sup u n M n (F En ) u C F (F En ) Theo định lý Radon-Nykodym , tồn f0 L1 cho F f0 F với F Đặt u f • L1.Nếu n , Fthì F u u F u | F | sup p F uC u0 | | C (iv) Tất nhiên điểm mấu chốt F hội tụ u tới u0 Thật vậy, giả sử h (L1)* , | | tồn v L cho h(u) u v với u C Biểu diễn v g• , g : X bị chặn - đo Giả sử , lấy a0 a1 an cho ai với i a0 g(x) an với x X Đặt uC Vì n Fi {x : g(x) đặt g ai} với i n , Fi , v g• ; i | v v || Ta có n u va i n F i i1 uai Fi i1 tùy ý, nên limsupu h(u0 ) | limsup u v u0 v Do h F | h(u) n a u i F i1 tùy ý, u0 giới hạn Do C theo tôpô L1 Do F tùy ý, C compact yếu L1 , việc chứng minh hoàn thành F limsup u v u0 vu0 v u0 v u F || u0 ||1|| v T : L1( ) L1( ) tốn tử tuyến tính liên tục Khi T[A] tập khả tích L1( ) A tập khả tích L1 ( ) Điểm mấu chốt T liên tục tôpô yếu Nếu A v || sup || u ||1|| v v || uC su Hệ 3.13 Giả sử (X, , ) (Y,T, ) hai không gian đo bất kỳ, L1( ) khả tích đều, có tập compact yếu C A , định lí 3.13, ảnh tập compact ánh xạ liên tục, phải compact yếu ; T[C] T[A] khả tích theo định lí 3.12 Dễ dàng chứng minh định lí 3.12 cho L1 Trong chứng minh, ta cần thay đổi số áp dụng bổ đề 3.9, lập luận 3.2.4, phần (b-i) chứng minh KẾT LUẬN Luận văn trình bày hai nội dung là: Mơ tả chi tiết tính chất không gian hàm không gian L trường hợp ≤ ≤ ∞ Nghiên cứu số dạng hội tụ quan trọng (hội tụ theo độ đo, hội tụ yếu) không gian L tính khả tích khơng gian L Do hạn chế thời gian nên luận văn chưa đề cập đến không gian hàm L trường hợp ≤ ≤ Khi có điều kiện, tác giả trở lại nghiên cứu thêm vấn đề Tác giả mong nhận ý kiến nhận xét thầy cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Nguyễn Văn Toản (2002), Bài tập giải tích đại, Xí nghiệp in chuyên dung Thừa Thiên Huế [5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [6] D.H.Fremlin (2003), Measure theory, Volume 2, Readerin Mathematics, University of Essex [7] Frank Burk (1998), Lebesgue Measure and Integral An Introduction, John Wiley & Sons, Inc 88 ... khơng gian không gian không gian lớn gồm lớp tương đương hàm (hầu như) đo Chính vậy, khơng gian hàm trình bày khơng gian , khơng gian (khơng gian hàm đo khả tích), khơng gian (không gian hàm bị chặn... , x n ) b) Không gian metric X gọi không gian metic đầy đủ dãy không gian X hội tụ đến phần tử khơng gian Chẳng hạn, không gian Euclide n không gian đầy đủ Không gian C a , b không gian đầy đủ... lập không gian gồm lớp tương đương hàm số, nói hai hàm số tương đương chúng trùng tập bỏ qua 2.1.1 Không gian Định nghĩa 2.1 Giả sử ( X , , ) không gian đo Ta viết L0 , hay L0 ( ) , không gian hàm