Ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – 2016 Möc löc Mºt sŁ k‰ hi»u Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 1.2 Khæng gian Euclide Tp lỗi 1.3 1.4 H H m m nh x⁄ ìn i»u suy rºng 2.1 C¡c ành ngh¾a 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 C¡c °c tr÷ng cıa ¡nh 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Sü tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn giÊ ỡn iằu 3.1 BĐt flng thức bin phƠn 40 3.2 Sỹ tỗn ti nghiằm 43 T i li»u tham kh£o B£ng k‰ hi»u R ÷íng thflng thüc Rn f :X!R int A A khæng gian Euclide n chi•u t“p sŁ thüc suy rºng ¡nh x⁄ i tł X v o R phƒn cıa A bao âng cıa A dom(f) mi•n hœu hi»u cıa f epi(f) trản ỗ th ca f R=R[f ; +1g (x) rf(x) 00 ’ (x) r f(x) h:; :i jj:jj jxj af f(A) coA (x; y) = f x + (1 )y j (0; 1)g [x; y] = f x + (1 )y j [0; 1]g L(f; ) = fx X j f(x) g ⁄o h m cıa ’ t⁄i x gradient cıa f t⁄i x ⁄o h m b“c hai cıa ’ t⁄i x ma tr“n Hessian cıa f t⁄i x t‰ch n væ hữợng R chu'n n khổng gian R tr tuyằt i ca s x bao lỗi affin ca A bao lỗi ca A on thflng m ni x v y o⁄n thflng âng nŁi x v y t“p møc dữợi M u nh x ỡn iằu l mt khĂi niằm suy rng rĐt tỹ nhiản ca h m s ìn i»u Kh¡i ni»m n y sau ới  ữổc quan tƠm nghiản cứu tnh ph dửng ca loi toĂn tò n y nhiãu lắnh vüc kh¡c nhau, °c bi»t Gi£i t‰ch phi tuy‚n T‰nh ìn i»u sau â ÷ỉc mð rºng t‰nh ìn i»u suy rºng nh÷ gi£ ìn i»u, tüa ìn i»u, v.v Lu“n v«n n y tr…nh b y mºt c¡ch câ h» thŁng nhœng nºi dung cì b£n v• ¡nh x⁄ ìn i»u suy rºng v mºt v i ứng dửng v o nghiản cứu sỹ tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn Lun vôn ữổc trnh b y gỗm chữỡng Chữỡng 1: Kin thức chu'n bà T¡c gi£ tr…nh b y c¡c ki‚n thøc cỡ bÊn vã lỗi, h m lỗi v cĂc h m lỗi suy rng CĂc kin thức cỡ bÊn ữổc sò dửng nghiản cứu cĂc vĐn ã ch÷ìng Ch÷ìng 2: nh x⁄ ìn i»u suy rºng Nºi dung ch‰nh cıa ch÷ìng n y t“p trung tr…nh b y cĂc nh nghắa vã Ănh x ỡn iằu v ìn i»u ch°t, ¡nh x⁄ gi£ ìn i»u, ¡nh x⁄ gi£ ìn i»u ch°t, ¡nh x⁄ tüa ìn i»u, ¡nh x⁄ ìn i»u m⁄nh v gi£ ìn i»u m⁄nh ỗng thới nảu cĂc c trững ca Ănh x ỡn i»u suy rºng nh÷ l ¡nh x⁄ ìn i»u suy rng chiãu, mi liản hằ gia Ănh x tỹa ìn i»u v ¡nh x⁄ gi£ ìn i»u, ¡nh x⁄ ìn i»u suy rºng kh£ vi, v ¡nh x⁄ ìn iằu suy rng affin Chữỡng 3: Sỹ tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn giÊ ỡn iằu ¥y lu“n v«n tr…nh b y mºt v i øng dửng v o nghiản cứu sỹ tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn TĂc giÊ lun vôn xin b y tọ lặng knh trồng v bit ỡn sƠu sc tợi PGS.TS Nguyn Nông TƠm  hữợng dÔn t“n t…nh t¡c gi£ ho n th nh lu“n v«n n y T¡c gi£ cơng xin b y tä lỈng bi‚t ìn ch¥n th nh ‚n c¡c thƒy ph£n bi»n ¢ d nh thíi gian åc v âng gâp nhi•u þ ki‚n quþ b¡u cho t¡c gi£ T¡c gi£ xin trƠn trồng cÊm ỡn ban lÂnh o khoa ToĂn Cỡ Tin håc, khoa Sau ⁄i håc v c¡c thƒy cæ giĂo trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, i hồc QuŁc gia H Nºi ¢ trang bà ki‚n thøc, t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi cho t¡c gi£ suŁt thíi gian t¡c gi£ håc t“p t⁄i tr÷íng CuŁi cịng, t¡c giÊ xin cÊm ỡn gia nh, bn b v ỗng nghiằp  quan tƠm, ng viản v chia sà t¡c gi£ ho n th nh lu“n v«n cıa m…nh H Nºi, ng y 20 th¡ng 11 n«m 2015 T¡c giÊ lun vôn ức Minh Thiảm Chữỡng Kin thøc chu'n bà Ch÷ìng n y tr…nh b y mºt s ni dung vã lỗi, h m lỗi v h m lỗi suy rng, bao h m h m tỹa lỗi v ca h m giÊ lỗi Nhng ni dung tr…nh b y ch÷ìng n y chı y‚u chån t i li»u [2] 1.1 Khæng gian Euclide T“p hæp n T R := fx = (x1; :::; xn) : x1; :::; xn Rg vỵi hai ph†p to¡n T T (x1; :::; xn) + (y1; :::; yn) := (x1 + y1; :::; xn + yn) T T T (x1; :::; xn) := ( x1; :::; xn) ;2 R l“p th nh mºt khỉng gian v†c tì Euclide n chi•u T n N‚u x = (x1; :::; xn) R th… xi gåi l th nh phƒn ho°c tåa º thø i cıa n x V†c tì khỉng cıa khæng gian n y gåi l gŁc cıa R v ÷ỉc k‰ hi»u T ìn gi£n l 0, v“y = (0; :::; 0) n Trong R ta T nh nghắa tch vổ hữợng chnh tc h:; :i nhữ sau: vợi T n x = (x1; :::; xn) ; y = (y1; :::; yn) R , hx; yi = X n i=1 xiyi: T T n ổi ta cặn kỵ hiằu l x y Khi â vỵi måi x = (x1; :::; xn) R ta ành ngh¾a v un X p kxk := u hx; xi = t (xi) i=1 v gåi l chu'n Euclide ca vc tỡ x 1.2 Tp lỗi nh nghắa 1.1 Tp X n R ữổc gồi l lỗi, n‚u 8x; y X; R : 1) x + (1 ) y X: n M»nh • 1.2 Cho X R ( I) l c¡c lỗi, vợi I l ch s bĐt k Khi õ X = X cụng lỗi T 2I n Mằnh ã 1.3 Cho cĂc Xi R lỗi, i R (i = 1; 2; :::; m) Khi â 1X1 + ::: + mXm cụng l lỗi Mằnh n • 1.4 Cho c¡c t“p Xi • c¡c X1 ::: R Xm l lỗi R lỗi, (i = 1; 2; : : : ; m) Khi â t‰ch i n ::: R n m : n nh nghắa 1.5 Cho X R Giao ca tĐt cÊ cĂc lỗi chứa X ữổc gồi l bao lỗi (convex hull) ca X, k hiằu l coX n nh nghắa 1.6 GiÊ sò X R Giao ca tĐt cÊ cĂc lỗi õng chứa X ữổc gồi l bao lỗi õng ca X v k hi»u l coX n M»nh • 1.7 Cho X R lỗi Khi õ, i) Phn intX v bao õng X ca X l cĂc lỗi; ii) Nu x1 intX; x2 X, th… f x1 + (1 )x2 : < x1 1g intX: 1.3 H m lỗi n nh nghắa 1.8 Cho h m f : X ! R, â X f ; +1g, c¡c t“p R ,R=R[ epi(f) = f(x; ) X Rj f(x) g ; dom(f) = fx Xj f(x) < +1g ữổc gồi ln lữổt l trản ỗ th v miãn hu hiằu ca f n nh nghắa 1.9 Cho X R l mt lỗi, f : X ! R H m f ữổc gồi l lỗi trản X nu trản ỗ th epi(f) ca nõ l mt lỗi n R R Nu dom f 6= ; v < f(x) vỵi måi x X ta nâi h m f l ch‰nh th÷íng Hmf ÷ỉc gåi l lêm trản X nu f l h m lỗi trản X nh lỵ 1.10 GiÊ sò f1; :::; fm l cĂc h m lỗi chnh thữớng trản X Khi â, tŒng f1 + ::: + fm l mºt h m lỗi Ta nhc li mt s c trững v tnh chĐt ca h m lỗi mt bin khÊ vi nh lỵ 1.11 Cho : (a; b) ! R i) N‚u ’ kh£ vi tr¶n (a; b) th… lỗi trản (a; b) v ch khỉng gi£m tr¶n (a; b) ii) N‚u ’ câ ⁄o h m bc hai trản (a; b) th lỗi tr¶n (a; b) v ch¿ 00 ’ (t) > vỵi måi t (a; b) iii) N‚u lỗi trản [a; b] th liản tửc trản (a; b) n nh lỵ 1.12 Cho X l lỗi khổng gian R v f : X ! R Khi õ, cĂc iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng: a) f ( x + (1 ) y) f (x) + (1 ) f (y) [0; 1] ; 8x; y X: b) f ( x + (1 ) y) > f (x)+(1 ) f (y) > 1; 8x; y X cho x + (1 ) y X: l trữớng hổp Ơm nh x⁄ cıa v‰ dö Nh“n x†t 2.28 l Ănh x tỹa ỡn iằu trản lỗi õng R +, vợi x= ta cõ T T v (Mx + q) = 0; Mºt h» qu£ thó tł nh÷ng v Mv < 0: ành l‰ 2.29 ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau n 0 H» qu£ 2.33 GiÊ sò rng tỗn ti x R cho F (x ) = M x + q Khi n â ¡nh x⁄ F (x) = M x + q; l ìn i»u tr¶n R (tøc l , M l nòa xĂc nh dữỡng) 0 v ch tỗn ti mt lƠn cn m N (x ) cıa x cho F l ¡nh x⁄ tüa ỡn iằu trản N (x ) Chứng minh iãu kiằn ı: Hi”n nhi¶n v… måi ¡nh x⁄ ìn i»u l tỹa ỡn iằu iãu kiằn cn: ỵ rng v v theo T n M x + q = vỵi måi v R ; ành l‰ 2.27, 2.29 ta câ T v Mv Do â , M l nòa xĂc n vợi mồi v R : ành d÷ìng Ngay l“p tøc ta cơng câ h» qu£ sau H» qu£ 2.34 N‚u F (x) = M x + q l tüa ìn i»u, nh÷ng khỉng ìn iằu trản n mt lỗi m S R Khi â F (x) 6= vỵi måi x S n CuŁi cịng, ta x†t tr÷íng hỉp °c bi»t ð â S = R Trong tr÷íng hỉp n y, tnh tỹa ỡn iằu tữỡng ữỡng vợi tnh ỡn iằu nh lỵ 2.35 Nu Ănh x F (x) = M x + q l â n nâ l ¡nh x⁄ ìn i»u tr¶n R , tøc l , M l 38 n tüa ìn i»u tr¶n R Khi nòa xĂc nh dữỡng n Chứng minh GiÊ sò r‹ng M l ¡nh x⁄ tüa ìn i»u tr¶n R , khổng n ỡn iằu Khi õ tỗn ti v R cho T v Mv 0; vỵi t2 < t1: iãu n y suy khổng cõ tnh chĐt bÊo to n dĐu trản I x;v , õ F khổng l Ănh x tỹa ỡn iằu, mƠu thuÔn vợi giÊ thit Kt lun Trong chữỡng lun vôn  tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t vã Ănh x ỡn iằu suy rng 39 Chữỡng Sỹ tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn gi£ ìn i»u Trong ch÷ìng n y chóng ta s‡ sß dưng t‰nh gi£ ìn i»u cıa ¡nh x⁄ ” nghiản cứu sỹ tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn Nhng kin thức trnh b y chữỡng n y chı y‚u mỉ phäng ho°c l§y tł [1], [3] v [7] 3.1 BĐt flng thức bin phƠn n n Cho K l mºt t“p kh¡c rØng cıa R v F l mºt ¡nh x⁄ tł R v o chnh nõ B i toĂn bĐt flng thức bin phƠn k‰ hi»u bði (V I(K; F )) l t…m mºt v†c tì x K cho hF (x); y xi vỵi måi y K Ta k‰ hi»u S (V I(F; K)) l t“p c¡c v†c tì x thọa mÂn (3.1) Dữợi Ơy l mt s giÊ thit c in CĂc giÊ thit vã cĐu trúc ca cĂc tp, Ơy sò dửng giÊ thit sau: 40 (H1) K l lỗi õng, CĂc giÊ thit vã tnh liản tửc trản F , Ơy ta sò dửng giÊ thit: (H2) F l liản tửc trản K C¡c gi£ thi‚t t‰nh ìn i»u v• F , Ơy ta xt dng iãu kiằn yu: (H3) F l giÊ ỡn iằu trản K, tức l vợi mồi x1; x2 K; n‚u hF (x1); x2 x1i ) hF (x2); x2 x1i Mºt b i to¡n liản quan mt thit vợi (V I(F; K)) l tm x K cho Sup hF (x) ; y Ta k‰ hi»u b i to¡n n y l xi 0 vỵi måi y K: (V ) v S(V ) l t“p nghi»m cıa nâ Rª r ng S(V I(F; K)) S(V ) Hìn nœa, gi£ thi‚t (H1) suy S(V I(F; K)) = S(V ) thĐy iãu n y, ta cõ U(x) = fd T (K; x) : kdk 1g — â T (K; x) l nân ti‚p tuy‚n cıa K t⁄i x Cho x S(V ) th… inf hF (x); di = d2U(x) Theo nh lỵ minimax c in, tỗn ti mt im yản ngỹa cho hF (x); di vỵi måi d U(x) v â x S(V I(F; K)) Theo Karamadian [5], ta ÷a b i to¡n (V 00): T…m x K cho hF (y); x yi vỵi måi y K 00 K‰ hi»u S(V ) l t“p nghi»m cıa (3.2) Rª r ng S(V I(F; K)) S(V F gi£ ìn i»u Theo [1], Auslender ÷a h m º l»ch g(x) = sup [hF (y); x 00 ) yi : y K] n H m n y khổng Ơm trản K, õng v lỗi trản R nhữ mt supremum ca cĂc h m affin Hìn nœa x 41 00 â b i to¡n (V ) câ th” xem nh÷ b i to¡n gi£m lỗi Cõ th xÊy g l mt h m khỉng phị hỉp ” tr¡nh tr÷íng hỉp n y ta sò dửng h m sau Ơy h i ^ g^ = sup hF (y); x yi : y K n Ơy, g^ l khổng Ơm trản K, lỗi âng tr¶n R ngo i nâ hœu h⁄n tr¶n n R bði c¡ch x¥y düng h ^ i F (y); x y jj jj x + vỵi måi y Vỵi cịng mºt c¡ch thøc, b i to¡n (V 00 K: ) câ li¶n quan ‚n vi»c cüc tiu hõa ca g^ trản K t quan hằ tữỡng ÷ìng ta câ: x x K v g^(x) = Tuy nhiản cĂc cổng thức iãu kiằn ca b i toĂn ti ữu khổng sò dửng ữổc cho möc ‰ch t‰nh to¡n v… c¡c bi”u thøc cıa h m gi¡m o⁄n nâi chung l khæng tŒng qu¡t K‚t qu£ sau l cıa Karamadian [5] M»nh • 3.1 Gi£ sß r‹ng c¡c gi£ thi‚t (H1); (H2) v (H3) óng Khi â S(V I(K; F)) = S(V ) = S(V 00 ) Chøng minh Ta ¢ bi‚t r‹ng S(V I(K; F )) = S(V 0) Bao h m S(V I(K; F )) S(V 00 ) d„ d ng ÷ỉc suy tł F l ¡nh x⁄ gi£ ìn i»u GiÊ sò rng x x = S(V ) th tỗn ti y Cho t [0; 1], t“p Tł (0) < v F l i•u â suy x 2= S(V 00 ) 42 3.2 Sü tỗn ti nghiằm Trong mửc n y, ta giÊ sò c¡c gi£ thi‚t (H1); (H2) v (H3) thäa m¢n v ành ngh¾a m = inf g(x); v M = fx K : g(x) = mg x2K (Trong bi”u thøc trản, g cõ th ữổc thay th bng g^ mºt h m º l»ch hœu h⁄n) Khi â M l mt lỗi õng; Nu S(V I(F; K)) = S(V 00 ); N‚u m = v M 6= ; th… M = S(V I(F; K)) = S(V ) = S(V 00 ) Ta bi‚t r‹ng theo gi£ thi‚t (H1) v (H2), t“p S(V I(F; K)) l kh¡c rỉng K compact thĐy iãu n y, xt v‰ dö, ¡nh x⁄ H(x) = P roj K (x F (x)) â l mºt sŁ d÷ìng cŁ ành v P rojK (y) l h…nh chi‚u cıa y tr¶n K phị hỉp vỵi chu'n Euclide Khi â x S(V I(F; K)) v ch¿ x H(x) Khi â k‚t qu£ ÷ỉc rót tł ành l‰ im bĐt ng Eilenberg-Montgomery Ơy chúng tổi khổng cn gi£ thi‚t ìn i»u Khi M l mºt t“p compact khĂc rỉng, chứng minh iãu trản dỹa v o tnh chĐt ca h m inf-compact lỗi Nhc li rng mt h m h ữổc gồi li infcompact trản K nu vỵi måi t“p H t = fx K : h(x) tg l compact v kh¡c rØng n BŒ • 3.2 GiÊ sò D l lỗi, õng khĂc rỉng cıa R ; fhkg l mºt d¢y n khỉng gi£m cĂc h m lỗi õng thch hổp trản R tợi mt h m lỗi õng th ch hổp h GiÊ sò thảm rng h(y) < vợi y D n o â N‚u h l infcompact tr¶n D th hk l inf-compact trản D vợi k lợn nh lỵ 3.3 GiÊ sò thảm v o cĂc giÊ thi‚t (H1); (H2); v (H3) r‹ng M l t“p âng bà ch°n v kh¡c rØng Khi â m = v M = S(V I(F; K)) = S(V ) = S(V 00 ) 43 Chøng minh Gi£ sß ph£n chứng m > Vợi mồi s nguyản dữỡng k °t Ck = fx K : jjxjj kg ; v gk(x) = sup [hF (y); x yi : y Ck] : X†t b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n (Vk): t…m xk Ck cho hF (xk); y xki vợi mồi y Ck Nhữ vy xk v F (xk) tỗn ti v Ck l âng v bà ch°n Do â gk(xk) = Ta hÂy chứng minh jjxkjj = k bng ph nh Ngữổc l⁄i ta s‡ câ hF (xk); y xki Tł vỵi måi y K cho jjy xkjj k jj xkjj; â ta s‡ suy hF (xk); y xki vợi mồi y K; dÔn n xk S(V I(F; K)), mƠu thuÔn vợi m > BƠy giớ, t g(x) = lim gk(x) vợi mồi x v d¢y gk l khỉng gi£m Ngo i k!1 ra, g l inf-compact tr¶n K M l compact kh¡c rØng Do â ta suy câ mºt sŁ p cho gp l inf-compact tr¶n K X¡c ành R = fx K : gp(x)0:5mg v r = sup [jjxjj :2 R] T“p R l compact Nâ công kh¡c rØng g p(xp) = Do v“y r l hœu h⁄n L§y k > max(p; r) th… jjx kjj = k v â x k 2= R Nâ dÔn n mƠu thuÔn sau = gk(xk) gp(xk) > 0:5m > Công câ th” x£y M kh¡c rØng v S(V I(F; K)) rØng (trong tr÷íng hỉp n y m > 0) ho°c m = vỵi S(V I(F; K)) v M rØng L§y K = [1; 1), F (x) = f x g, â m = 1; S(V ) = ; v M = K hoc vợi K nhữ vy, F (x) = f x g â m = 0; v M = S(V I(F; K)) = ; BƠy giớ ta thu ữổc mºt i•u ki»n cƒn v ı theo thu“t ngœ cıa nân ti»m 44 c“n K1 cıa K v d¢y nân cüc cıa £nh cıa K qua ¡nh x⁄ F Ta nhc li rng nõn tiằm cn ca lỗi âng K ÷ỉc x¡c ành bði K1 = fd : a + td K; 8t > 0g — ¥y a l mt im c nh tũy ỵ K v mºt nân cüc cıa t“p kh¡c rØng S l t“p S = fd : hd; xi 0; 8x Sg : nh lỵ 3.4 GiÊ sò cĂc giÊ thi‚t (H1); (H2) v (H3) óng Khi â S(V I(F; K)) l t“p kh¡c rØng v compact v ch¿ K1 \ (F (K)) = f0g Chøng minh Ta x†t h m º l»ch hœu h⁄n g^ L§y a K cŁ ành, â g^ l inf-compact trản K v ch vợi mồi d K1 h i h ^ g^(a + td) = sup F ; a + td y : y i K t !1 ^ !1 ^ i i•u â tữỡng ữỡng vợi yảu cu tỗn ti y K v F (y) cho F (y); d > Do â S(V I(F; K)) ho°c rØng ho°c khæng bà ch°n v ch tỗn 2 h^ i h t⁄i mºt sŁ d K1; d = cho F (y); d vỵi måi y K nh l trản cõ chứa cĂc trữớng hổp tm thữớng â K l compact (tł dâ th… K1 = f0g) Ti‚p theo ta tr…nh b y mºt d⁄ng Łi ngÔu ca nh l trản BƠy giớ cho mt khĂc rỉng S, k hiằu co(S) l bao lỗi ca nâ v barr(S) l nân ch°n cıa nâ, tøc l barr(S) = fF (x) : sup [hF (x); xi : x S] < 1g : nh lỵ 3.5 Nu c¡c gi£ thi‚t (H1); (H2) v (H3) l thäa m¢n Th… S(V I(F; K)) l t“p compact kh¡c rØng v ch¿ int (barr(K) + co (F (K))) : Chøng minh °t K = barr(K) v Khi â °t T l K+T 0\ =K 45 nân lỗi to bi co (F (K)) : T: T T compact v T K + T lỗi, iãu ki»n n y ÷ỉc l m y‚u th nh K + T = R K + T công l nân ÷æc sinh bði K + co (F (K)) : Nh“n x†t 3.6 Ta câ c¡c nh“n x†t sau N‚u i•u ki»n ành l‰ 3.5 câ th” thay th‚ b‹ng iãu kiằn tữỡng ữỡng int (co [barr(K) + F (K)]) : Khi K l mºt nân th… K1 = K v barr(K) = K Khi F l affin th… F (K) = co (F (K)) : Ta cụng cõ th nảu rê nh l 3.4 v 3.5 hai tr÷íng hỉp n y n Khi K = R v F l vi phƠn dữợi ca h m lỗi f, th iãu kiằn tữỡng ữỡng nh l‰ 3.5 trð th nh int (domf ), nõ l iãu kiằn cn v tt nhĐt cho t‰nh inf-compact cıa f ành l‰ n y ¢ câ mºt c¡ch chøng minh ºc l“p bði Auslender [2] tr÷íng hỉp °c bi»t, ð â F l ìn i»u cüc ⁄i Ta công câ k‚t qu£ sau H» qu£ 3.7 Gi£ sß r‹ng (H1); (H2) v (H3) óng Gåi K l ^ cho K K v cho ^ N‚u K kh¡c rØng v ^ Chøng minh Tł gi£ thi‚t F K F (K) p döng ành l‰ 3.4 Hằ quÊ 3.8 GiÊ sò thảm v o cĂc giÊ thi‚t (H 1); (H2) v (H3) l bi¶n nân cıa K câ mºt phƒn kh¡c rØng Khi â S(V I(F; K)) kh¡c rØng v compact v ch¿ int (barr(K)) \ co ( F (K)) 6= ;: 46 Chøng minh p döng ành l‰ 3.5 Nh“n x†t 3.9 T K barr(K) Hằ quÊ 3.8 trũng vợi iãu kiằn ı sau cıa Harker v Pang [3]: câ x K cho F (x) int (K ) BƠy giớ ta ữa mt ứng dửng v o b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn affin Mằnh ã 3.10 GiÊ sò rng K = fx : x 0; Bx bg v F (x) = Ax + q vợi F l giÊ ỡn iằu trản K Khi â S(V I(F; K)) l compact kh¡c rØng v ch mt cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn i) Câ x 0v y t cho Ax + B y > v Bx t ii) Câ x C v y cho Ax + B y + q > 0: Chøng minh — ¥y K1 = fd : d 0; Bd 0g M°t kh¡c d (F (K)) v ch¿ sup [hAx + q; di : x 0; Bx 0] 0: Bi tnh i ngÔu quy hoch tuyn tnh, iãu n y tữỡng t inf hB; ui : u ÷ìng vỵi t 0; B u A d + hq; di: Do â, K1 \ (F (K)) = f0g v ch¿ u 0; d t 0; A d t 0; Bd t n Bu v hq; di + hb; ui 0)d=0 Cho e = (1; 1; 1; : : : ; 1) R th… i•u kiằn tữỡng ữỡng vợi t iãu t t t sup he; di : u 0; q d + b u 0; A d B u 0; Bd â t÷ìng ữỡng vợi tỗn ti cĂc s 0; x 0; y cho t Ax + q + B y > v Bx b Khi â x†t hai tr÷íng hổp =0v BƠy giớ giÊ sò rng K l nõn lỗi õng, v xt b i toĂn phử: tm x K cho F (x) K v hx; F (x)i = 47 Khi â, ta thĐy b i toĂn n y tữỡng ữỡng vợi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn(V I(F; K)) Bi nh l 3.4 v Mảnh ã 3.10 cõ th sò döng (khi â K ch‰nh l K) Chflng h⁄n ta câ k‚t qu£ sau H» qu£ 3.11 (Karamadian [5], iãu kiằn giÊi ữổc cht.) GiÊ sò rng F (x) = Ax + q l gi£ ìn i»u tr¶n oc-tan khỉng ¥m X†t b i to¡n phư affin: t…m x cho F (x) v hx; F (x)i = Khi â, t“p nghi»m l kh¡c rØng v compact v ch¿ câ x cho Ax + q > Chøng minh p döng M»nh ã 3.10 iãu kiằn (i) l tỗn ti x cho Ax 0, i•u ki»n (ii) l tỗn ti x cho Ax + q > CÊ hai iãu kiằn dÔn n iãu phÊi chứng minh C¡c k‚t qu£ sau ÷ỉc tr…nh b y theo [7] n n nh lỵ 3.12 Cho K R l mt lỗi õng v F : K ! R l mºt ¡nh x⁄ li¶n tưc X†t c¡c ph¡t bi”u sau (1) Tỗn ti im quy chiu x ref L< := x K : hF (x); x x l b chn (cõ th rỉng ) ref i Khi â x @ \ K v ta câ hF (x); x x i < iãu n y x ref cho thĐy r‹ng (3.4) khỉng óng cho c°p ; x Nh÷ v“y t‰nh ch§t (3) l óng cho b i to¡n V I(K; F ) (2) khỉng thäa m¢n iãu ngữổc li php ko theo (1) ) (2) cıa ành l‰ 3.12 l sai tr÷íng hỉp tŒng qu¡t V‰ dö 3.15 (2) ; (1) Cho K = R; F (x) = x(x 1) vỵi måi x R L§y = ( 1; 1) v x ref = 0, ta th§y r‹ng (3.4) óng Theo â d„ d ng ch rng vợi ref bĐt k x R; t“p L< x¡c ành bði (3.3) l khæng b chn Nhữ vy, t nh chĐt (1) nh l‰ 3.12 khỉng óng cho b i to¡n V I(K; F ), (2) óng Chóng ta th§y r‹ng tnh chĐt (1) (tữỡng ứng, tnh chĐt (2)) nh l 3.12 l mt iãu kiằn khổng l iãu kiằn cn cho sỹ tỗn ti nghiằm ca b i to¡n V I(K; F ) Nh“n x†t 3.16 Li¶n quan quan h» bao h m L < L , lữu ỵ rng bao õng ca L< cõ th l t“p thüc sü cıa L Th“t v“y, x†t b i to¡n V I(K; F ) ÷ỉc mỉ t£ V dử 3.15 v nhn thĐy rng, vợi x L = f0g [ [1; +1) 49 ref = 0, L< = (1; +1), K‚t lu“n Trong ch÷ìng 3, t¡c gi£ ¢ tr…nh b y mºt v i øng dưng cıa ¡nh x⁄ ìn i»u suy rºng v o nghiản cứu sỹ tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn 50 Kt lun Lun vôn  trnh b y mºt c¡ch câ h» thŁng c¡c nºi dung sau: Mºt sŁ kh¡i ni»m v nhœng t‰nh ch§t cì bÊn ca h m lỗi v h m lỗi suy rºng Mºt sŁ kh¡i ni»m v °c tr÷ng cıa ¡nh x⁄ ìn i»u suy rºng Ùng dưng t‰nh ìn i»u suy rng ca Ănh x nghiản cứu sỹ tỗn ti nghiằm ca bĐt flng thức bin phƠn V khÊ nông v iãu kiằn cõ hn, lun vôn chc chn khỉng th” tr¡nh ÷ỉc thi‚u sât K‰nh mong c¡c thƒy cổ v cĂc ỗng nghiằp gõp ỵ kin tổi cõ iãu kiằn chnh sòa lun vôn ữổc tt hỡn 51 T i li»u tham kh£o [1] J P Crouzeix (1993), "Pseudomonotone Variational Inequalitiy Problems: Existence of Solutions", Mathematical Programming78, pp 305-314 [2] G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam The Netherlands [3] P T Harker, J S Pang (1990), "Finite Dimensional Inequality and Nonlinear Complementarity Problems: A Survey of Theory Algo-rithms and Applications", Mathematical Programming48, pp 161-220 [4] S Karamadian and S Schaible (1990), "Seven Kinds of Monotone Maps", J Optim Theory and Applications66, pp 37-46 [5] S Karamadian (1976), "Complementarity problems over cones with monotone and pseudomonotone maps ", J Optim Theory and Ap-plications18, pp 445-454 [6] S Karamadian, S Schaible and J P Crouzeix (1993), "Characteri-zations of Generalized Monotone Maps", J Optim Theory and Ap-plications76, pp 399-413 [7] B T Kien, J.-C Yao and N D Yen (2008), "On the Solution Ex-istence of Pseudomonotone Variational Inequalities", J Global Op-tim.41, pp 135-145 52 ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... tr÷ng cıa ¡nh x⁄ ìn i»u suy rºng nh÷ l Ănh x ỡn iằu suy rng chiãu, mi liản h» giœa ¡nh x⁄ tüa ìn i»u v ¡nh x⁄ gi£ ìn i»u, ¡nh x⁄ ìn i»u suy rºng kh£ vi, v ¡nh x⁄ ìn i»u suy rºng affin Ch÷ìng 3:... khĂi niằm lỗi, h m lỗi v h m lỗi suy rng Nhng ki‚n thøc n y s‡ dịng ‚n c¡c ch÷ìng sau 16 Ch÷ìng nh x⁄ ìn i»u suy rºng Chữỡng n y trnh b y trung vã Ănh x ỡn iằu suy rng, bao gỗm: Ănh x ỡn i»u,