Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng .Ngay cả khi áp dụng cùng một phương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộ
Trang 1Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng Ngay cả khi áp dụng cùng một phương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoat của từng người
sử dụng Do vậy , khó có thể nói rằng một phương pháp chứng minh bất đẳng thức nào đó đă chiếm vị trí độc tôn trong toán học
Nhưng khi nói về những bất đẳng thức cơ bản ,chúng ta phải nhắc tới bất đẳng thức Cô si Đây là bất đẳng thức vô cùng quan trọng và rất thiết thực trong chương trình Toán học phổ thông.
Bất đẳng thức Cô si được áp dụng để chứng minh nhiều bài toán ,từ đơn giản đến phức tạp Các em học sinh Trung học cơ sở cũng có thể hiểu và
vận dụng vào các bài toán hai biến Nhưng , cũng có những bài toán trở thành những thách thức lớn trong giới chuyên môn.
Trong khuôn khổ của bài tập này,em không có tham vọng trình bày tất cả những vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cô si, chỉ xin đưa ra một số cách chứng minh và những bất đẳng thức suy rộng của nó
Hi vọng vốn kiến thức nhỏ bé này sẽ đem lại chút kiến thức bổ ích cho các bạn trong lớp ,nhất là trong thời điểm chúng ta sắp xuống trường phổ thông thực tập.
Em xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư,Tiến sĩ Nguyễn Minh Tuấn đã
giảng dạy nhiệt tình cho chúng em về chuyên đề Bất đẳng thức ,giúp em
học hỏi thêm nhiều kiến thức và tự tin hoàn thành bài tập này www.vietmaths.com
Trang 2Giải
ab b
Giải
0 ) (
2 ) ( ) ( 2
2 2
b a
Giải (I.1.1) abc 3 3 abc abc 3 abc 4 3 abc
2
2 ab c abc abc
c b
3
2 2
Trang 32 ab c abc
abc c
b a
c b
b) a b c abc
3
3 3
3
Ví dụ 2.Với a1,a2, ,a nlà các số thực không âm, chứng minh rằng
n n
i i n
i
a n
1
1 1
) ( 1
n (I.1.2) hiển nhiên đúng
Giả sử (I.1.2) đúng với nk(k 2 ) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với
1
1 1
S
k k
i i k
i i k
Theo giả thiết quy nạp thu được
S
k k k
i i
Trang 4Để chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 ta cần chứng minh
1 1 1
1 1 1
1
) ( 1
) (
i i k
k k
i
i
a k
a a
k k k
i i k
) (
Vậy (I.1.2) được chứng minh
Cách 2 (Dùng quy nạp kiểu Côsi).
2
,
1
n (I.1.2) hiển nhiên đúng
Giả sử (I.1.2) đúng với n số không âm ta chứng minh (I.1.2) đúng với 2n sốkhông âm
i i n
i
n
a n
2
1 2
) ( 2
1
1 1
n
i i n n
a 2
1 2
1
) (
1 1
1
) ( 1
i
a
Trang 51 1 1
1 1
1 1
1 1
1
) ( )
k
i i k
1 1
i
i a a k
1 1 1 1
1 1
1
) ) (
1 1
i
1 1
i i a
x1 2 n
n
n x x
a1 2 n n
n a a
a1. 2 (6)ii) Nếu tồn tại ak = 0, thì hiển nhiên (5) đúng và (6) đúng
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.www.vietmaths.com
Trang 6Ví dụ 3 Cho a i 0 (i 1 ,n); i(i 1 ,n) là các số hữu tỉ dương; 1
; chứngminh rằng
n
n n
n a a a a a
2 1 2
2 1
nên ta có thể viết
) , 1 (i n N
n i P n
i i i
1
) , 1 ( , 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
n
P P
n P P n
P
n n
n
P P
a a a P
P P
a a
a a
a a a a
2 1 2
1
2 2
2 1 1
2 1
n
a a a a N
P a
N
P a
2 1 2
2 1
n n
n a a a a a
2 1 2
2 1
Ví dụ 4 Với a i 0 (i 1 ,n);m i(i 1 ,n) là các số hữu tỉ dương; chứng minh rằng
m m
n m m n
n n
a a a m
m m
a m a
m a
1
2 2 1
n
i m m
Khi đó
n n
n a a a a a
2 1 2
2 1
( theo bất đẳng thức (I.1.3).www.vietmaths.com
Trang 71 1
i
1 1
i i a
gọi là trung bình điều hòa
Trong mục này chúng ta quan tâm tới các bất đẳng thức được chứng minh nhờcác tính chất của các dạng trung bình như;
1 Trung bình nhân
2 Trung bình căn
3 Trung bình điều hòa
4 Mối liên hệ giữa các dạng trung bình
I Trung bình nhân.
Chúng ta có các kết quả cơ bản sau:
Ví dụ 1 Với a i,b i(i 1 ,n) là những số thực dương Chứng minh rằng
n n
i
i i n
n
i i n
1 1
1
) (
) ( )
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
i i i
i b a
a P
i i i
i b a
a n
a
n 1
1www.vietmaths.com
Trang 8i m
j ij n
1 1
) (
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
1 ) (
j
m
j ij
ij a
a P
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được
n a
a n
1 1
i m
j ij
ij m
j
n a
i i n
) ( 1 ) 1
GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với
n n
i i n
1
) ( 1 ) 1
1 (
i n
a a
a n a n
P
1
1 1
1 1
1 1 1
Trang 9Ví dụ 4.Với a i,b i(i 1 ,n)là những số thực dương,chứng minh rằng
n n n
i i n
n
i i n
1 1
) ( ) ( 1 ) 1
GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với
n n
i i n
1
) ( 1 ) 1
1
1
) (
1 ) 1
( ) 1
( ) 1
1 (
1 1
i n
n
i n
i
b b
a
a b
a P
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được
a n
b a n
P
1
1 1
b
n 1 1 1
1 1 1
m
i
i m
i
a
1 1
1
) (
) (
m
i i m
i
i m
i
a
1 1
1
1
) (
) (
i i A
i i B
1
) (
1
m
i i i i
i C B A
1
m
i i i i
i C B A
B
1 ) (
www.vietmaths.com
Trang 10Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được
A m
C B A
C B A
Bất đẳng thức (I.2.5.1) là trường hợp riêng của bất đẳng thức (I.2.5.2)
II Trung bình căn.
Ta có tính chất: tổng trung bình căn lớn hơn hoặc bằng trung bình căn của tổng
Ví dụ 6 Với a i,b i(i 1 ,n) là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng
2
1 2
1 1
2 2
) ( )
i i n
1 b
a a22 b22 (a1a2)2 (b1b2)2Bình phương hai vế ta nhận được
2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 1 2
1 b a b 2 (a b )(a b ) (a a ) (b b )
(a12b12)(a22b22) a1a2 b1b2
2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2
(a b a b a a b b
0 ) ( 1 2 2 1 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với nk
2
1 2
1 1
2 2
) ( )
i i k
1
2
1 2
1
) ( )
i
a a k21b k21
www.vietmaths.com
Trang 11 2
1
1 2 1
1
) ( ) (
1 1
i i n
2 3 2
1 3
1 b a b (a a ) (b b )
Lập phương hai vế bất đẳng thức ta thu được
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
2 3 2 3 1 3 1
2 3 2 2 3 1 3
(a b a b a1a1a2 b1b1b2 a12a2 b12b2
2 3 2 3 1 3
1 1
1
) ( ) (
k
i k
i
1 3
1
k
k b a
1
1 1 3
1
1
) ( ) (
i
a
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
III Trung bình điều hòa
Ta xét các bất đẳng thức cơ bản sau
Ví dụ 8 Chowww.vietmaths.coma i,b i 0 (i 1 ,n),chứng minh rằng
Trang 12i i
n
i i n
i i n
i i i
i i
b a
b a b
a
b a
1 1
1 1
1
) )(
(
(I.2.8)
GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với
i i b b a
b a
i i
n
i i n
i i
b a
b a
1 1
1 1
) )(
i i
n
i i
b a
b
1 1
2
1
) (
Ta có
2
1 2
1
) (
i
b a
b
1
2
) (
c b a c
c b
b a
a P
6 3
3 2
) (
6 3 3
3 2 2
2 1
c b
b a
a
c b a c
b a
9 2
4 1
1
Ta có
2 2
) 3 3
3 2
2
2 1
1
1 ( 6
c
b b
Trang 13) 6
(
36 N abc
c b a
IV Các bất đẳng thức liên hệ giữa các dạng trung bình
Ví dụ 10.Với a, b là các số thực dương, chứng minh rằng
2 2
ab b a
ab
2
0 ) (
4
) ( 2
2
2 2
2 2 2
a b a b
a b a
Đúng
Suy ra
2 2
ab b
3 3
2 2
b a b
a
(I.2.11)Giải :
Lũy thừa 12 cả hai vế bất đẳng thức trên ta nhận được
3 4 4 4
3 3
) (
2 ) (a b a b
Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.1)
3 4 4 4
4 4 4 4
3 3
) (
2 ) )(
1 1 ( ) 1 1 ( ) (a b a a a b b b a b a b .(đpcm).
Bài 2 Với awww.vietmaths.com,b,c 0, chứng minh rằng
Trang 146 6 6 5
5 5 5
3 3
c b a c
5 6 6 6 6
5 5 5
) (
3 ) (a b c a b c
Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.2) ta có
6 6
5 5 5
) 1 1 1 ( ) (a b c a a a a a b b b b b c c c c c
) )(
1 1 1 ( 6 6 6 a6 b6 c6
Bài 3 Với a,b,c 0, chứng minh rằng
) 1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3) ( 1 ab2) ( 1 bc2) ( 1 ca2) (1 a 3 )
Hướng dẫn
Ta có
) 1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3) ( 1 ab2)3)
1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3) ( 1 bc2)3)
1 ( a3 ( 1 b3) ( 1 c3) ( 1 ca2)3Nhân các vế của 3 bất đẳng thứctrên ta thu được đpcm
Bài 4 Với a,b,c 0, chứng minh rằng
) 1
( a3b3 ( 1 b3 c3) 3 3 3
) 2 1 ( ) 1
( c a abc
Hướng dẫn
Sử dụng
) 1
( a1b1 ( 1 b1c1) 3 3
3 2 1 3
3 2 1 1
1 ( c a a a a b b b
Trang 15 2 1 2
1 b
1 2
1 c
b c12 a12 (a1a2 a3)2 (b1b2 b3)2Chọn a1 a2 a3 1 ;b1 a,b2 b,b3 c ta thu đpcm
Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.10) ta có
2
AB B
AB B
2
AB B
A
B( ) 2
AB B
B Đúng.( B 0,AB)
Ta chứng minh
A B A
2
2A B
Trang 16Ví dụ 2 Với AB 0,chứng minh rằng
A B
A B
A
B
1 1
) 2 ( ) 2
B
A B
Đặt A a B b
1 1
,B b a
) 2 ( ) 2 (a b a b
( 2
b a b
b a
) (
b a
b
) 2
1 (
1 (
2 ) 1 (
Trang 17Xét f (t) t ( 1 t) , ( 0 t 1 )
1 1
'
) 1 )(
1 ( )
(t t t
f
1 1
) 1
1 ( 2
2
1 ( 2 ) 2
1 ( )
2 ) (
2 ) (
3 )
a2 2 2
bc c
b2 2 2
ca a
c2 2 2Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được
ca bc ab c b
a2 2 2
Trang 18) (a2 b2 c2 2 ab bc ca 2ca
a 3 abc
) ( a b c ( 1 1 1 )(abc) 3 (abc)
Suy ra
c b
a
2
) 3
( ) ( a b c 2 abc 2
2
) (
2 ) (
)(
1
( AB ( 0 1 ) mạnh hơn tùy thuộc vào độ gần 1 của Chúng taxây dựng một số BĐT nhờ việc đưa tham số vào bất đẳng thức và các trườnghợp đặc biệt của nó
Ví dụ 1 Với 0 ,, 1, chứng minh rằng
) (
2ab a b b
a (II.2.1.1)
) ( 2 ) ( 2 ) (
ca bc ab c b
Giảiwww.vietmaths.com
Trang 19a) 2 2 2
) (
2ab a b b
a
0 ) 1 ( ) (
0 ) ( ) 2 (
2
2 2
a
b a ab
b a
b) Áp dụng kết quả của câu a ta có :
2 2
2
) (
2ab a b b
a
2 2
2
) (
2bc b c c
b
2 2
2
) (
2ca c a a
c
Công vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được
2 2
2 2
2 2
) ( 2 ) ( 2 ) (
ca bc ab c b
) ( )
b c b
) (b c
c
2
) (c a
a
(II.2.2)Giải
2ab a b b
2
c b a a
) ( ) (
b c b
) (b c
c
2
) (c a
) ( )
b c b
) (b c
c
2
) (c a
a
(đpcm)
www.vietmaths.com
Trang 20Ví dụ 3 Với m, nlà các số tự nhiên; a,b,c 0, chứng minh rằng
b a b a
) )(
( 2
n n m m
b a b
(II.2.3)trong đó 0 1
Giải
Ta chứng minh bổ đề sau : Với m, n là các số tự nhiên ; a,b 0 thì
) )(
(a mb m a nb n 0Thật vậy:
m m
b a b a b
a
b a
m m
b a b a b
a
b a
Đúng
Áp dụng kết quả của bổ đề ,ta có
(II.2.3) ( 1 )( m m)( n n) 0
b a b a
Ví dụ 4 Vớia,b 0 ;m,n là các số tự nhiên, chứng minh rằng
) )(
( 4
) 2
( 2
n n m m n
m n
m n m
b a b a b
a b
Áp dụng bất đẳng thức (II.2.3) ta có
n m
2
n m
b a b a
) )(
( 2
n n m m
b a b
Suy ra
) )(
( 4
) 2
( 2
n n m m n
m n
m n m
b a b a b
a b
) 2 ( ) )(
( 4
1
)
Ví dụ 5 Vớiwww.vietmaths.coma,b 0 ; 0 1 , chứng minh rằng
Trang 21) )(
( 3
2 )
3 3
b a b a b
a ab b
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (II.2.4) với m 2 ,n 1 ta có
) )(
( 4
) 2
( 2
2 2 3
3 3
b a b a b
a b
3 3
b a b a b
a ab b
)( ) (
3
c b c b c
) )(
( 3
a c a c
( 3
2 )
3 3
b a b a b
a ab b
( 3
b a b a
( 3
c b c b
( 3
a c a c
) )(
( 3
c b c b c
) )(
( 3
a c a c
www.vietmaths.com
Trang 22Ví dụ 7 Với a,b,c 0 ; 0 ,, 1;m, n là các số tự nhiên , chứng minh rằng
m
c b a c b a c
( )( )
3
n n m m
b a b a
n n m m
c a c a
) )(
( 3
n n m m
c b c
GiảiBất đẳng thức đã cho tương đương với
) )(
)(
1
( a mb m a nb n ( 1 )(a m c m)(a n c n) ( 1 )( m m)( n n) 0
c b c b
m n m n
m
c b a c
b a
) 3
(
9
n n m m
b a b a
) )(
( 9
n n m m
c a c a
) )(
( 9
n n m m
c b c
m m
c b a c b a
) 3
( 3
n n
c b a c b a
) 3
( 3
c
b
2 2
Áp dung kết quả của bất đẳng thức (II.2.2.1)
2 2
2
) (
2ab a b b
a
Trang 232 2
2
2
) ( 2
b b
a b
2
2
) ( 2
c c
b c
b
2 2
2
2
) ( 2
b a
c a
b b a
Cộng vế với vế của 4 bất đẳng thức trên ta thu được
2 2
b
a
2 2
c
b
2 2
2 a b a b b
) )(
( 3
2 b c b c c
) )(
( 3
2 c a c a
(II.2.10) Giải
Áp dụng bất đẳng thức (II.2.5) ta có
) )(
( 3
2 )
3 3
b a b a b
a ab b
Suy ra
b b
Trang 242 a b a b b
) )(
( 3
2 b c b c c
) )(
( 3
a b a
8 4 1 1
1
) 1 1 ( 2
b a
ab
2
) ( a b ab
b
Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta thu được
2 2
2 2 2
) (
) 1 1 ( )
1 1 ( 2 ) (
2 4 )
a ab b
a ab b
4 4 ) )(
1 1
ab b
a b
a
ab b
a b
a
ab b
a b
a
Thu được
ab b
a b a
8 4 1 1
Trang 25Ta chứng minh
) ( 2
2
2 2
b a b
Nếu (ab) 0 bất đẳng thức đúng
Nếu (ab) 0 bất đẳng thức
2 2
2
) ( 2
1 ) (a b ab
ab b
a b
a2 2 2
0 2
2
2
a b ab
0 ) ( 2
a b (Đúng)
Vậy
) ( 2
2
2 2
b a b
) ( 2
2
2 2
c b c
) ( 2
2
2 2
a c a
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta thu được
2 2
a
c
Giải
Trang 26) ( 2
3
2 2
b a ab
2
) ( 4
3 ) (a b ab ab
) 2 (
3 ) (
4 a2 b2 ab a2 b2 ab
ab b
a2 2 2
0 2
2
2
a b ab
0 ) ( 2
a b (Đúng)
Vậy
) ( 2
3
2 2
b a ab
b
) ( 2
3
2 2
c b bc
c
) ( 2
3
2 2
a c ca
3
2 2
c b a ca
5 3
2 2
b a ab
b
2 2
2
) ( 4
5 ) 3 (a b ab ab
) 2 (
5 ) 3 (
4 a2 b2 ab a2 b2 ab
ab b
a2 2 2
www.vietmaths.com
Trang 270 2
2
2
a b ab
0 ) ( 2
a b (Đúng)
Vậy
) ( 2
5 3
2 2
b a ab
b
) ( 2
5 3
2 2
c b bc
c
) ( 2
5 3
2 2
a c ca
2
2 2
c b a ca
2
2 2
b a ab
2
) ( 4
2 ) (a b ab ab
) 2 )(
2 ( ) (
4 a2 b2 ab a2 b2 ab
ab b
a ) ( 2 ) 2 )(
2 ( 2 2
0 ) 2 )(
2 ( 2 2
0 ) )(
2 ( 2
Vậy
) ( 2
2
2 2
b a ab
b
a
www.vietmaths.com
Trang 28) ( 2
2
2 2
c b bc
c
b
) ( 2
2
2 2
a c ca
2
2 2
c b a ca
2 2
2
) (
3
a b a b
Suy ra
ab b
3
a b
( 4
3 4
3 4
5 4
5 2
5 ( 2
Trang 29ab b
a2 2
2
3 2
5 ( 2
b2 2
2
3 2
5 ( 2
c2 2
2
3 2
5 ( 2
Em xin chân thành cảm ơn
www.vietmaths.com
Trang 30www.vietmaths.com