TỔ HỢP LỚP 10

TỔ HỢP - XÁC SUẤT THỐNG KÊ A. TỐ HỢP I.QUI TẮC ĐẾM 1. Qui tắc cộng Giả sử một công việc được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực bởi n + m cách. Vd: Các nhóm I, II, III, IV lần lượt có 8, 10, 9, 12 sinh viên. Cần rút một sinh viên trong các nhóm trên thì có 8+10+9+12= 39 khả năng lựa chọn. 2. Qui tắc nhân Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách. Vd: Các nhóm I, II, III, IV lần lượt có 8, 10, 9, 12 sinh viên. Cần rút sinh 4 viên, mỗi nhóm một sinh viên thì có 8.9.10.12 = 8 640 khả năng lựa chọn. II. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 1. Hoán vị Cho A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu là n P . 1.2.3 .( 1) ! P n n n n = − = Vd: Số cách sắp xếp cho 4 học sinh ngồi cùng bàn là 4! 1.2.3.4 24= = (cách) 2. Chỉnh hợp Cho 1 k n≤ ≤ Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ k sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử. Kí hiệu k n A ( 1)( 2) .( 1) k n A n n n n k = − − − + ! ( )! k n n A n k = − Qui ước : 0! = 1. Vd: Có mấy cách chọn 3 học sinh trong 7 học sinh xuất sắc để tham gia 3 hội thảo khác nhau ? Giải : Số cách chọn là 3 7 7! 7.6.5 210 (7 3)! A = = = − (cách) 3. Tổ hợp Cho tập A gồm n phần tử. Một tổ hợp chập k ( 1 k n≤ ≤ ) của n phần tử là một tập con của A gồm k phần tử lấy từ n phần tử của A Kí hiệu k n C ( 1)( 2) .( 1) ! k n n n n n k C k − − − + = ! !( )! k n n C k n k = − Vd : có mấy cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh đi thăm các anh thương binh ? Giải : Số cách chọn là 3 10 10.9.8 120 1.2.3 C = = (cách)  Tính chất của các số k n C k n k n n C C − = ; 1 1 1 k k k n n n C C C + + + + = III. NHỊ THỨC NIU-TƠN  Công thức nhị thức Niu-tơn 0 1 1 ( ) . . n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b − − + = + + + + + 0 n k n k k n k C a b − = = ∑ ( quy ước 0 0 1a b= = )  Vế phải có n+1 hạng tử.  Tổng số mũ của a và b bằng n.  Vì k n k n n C C − = nên các hệ số ở vế phải có vị trí đối xứng nhau thì bằng nhau. Vd : Số hạng thứ 4 của 7 ( )a b+ là 3 7 3 3 4 3 35 7 C a b a b − = IV. TAM GIÁC PA-XCAN Trong công thức nhị thức Niu-tơn như trên, cho 0,1, .n = và sắp xếp hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa-xcan. n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 … Vd : 5 5 4 3 2 2 3 4 5 ( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b+ = + + + + + V. ÁP DỤNG CỦA NHỊ THỨC NIU-TƠN Trong khai triển của ( ) n a b+ cho a=b=1, ta có 0 1 2 . 2 n n n n n n C C C C + + + + = B. XÁC SUẤT: Định nghĩa: (theo cỗ điển) Xét một phép thử với không gian các biến cố sơ cấp gồm n trường họp (biến cố sơ cấp) đồng khả năng (khả năng xảy ra như nhau), trong đó có m trường họp (biến cố sơ cấp) thuận lợi cho sự kiện A. Khi đó, xác suất của sự kiện A, kí hiệu P(A), được xác định bởi hệ thức. m P( A ) n = Trong đó: m là trường hợp thuận lợi cho A n là số trường hợp có thể xảy ra. I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên là phép thử không đoán được trước kết quả, nhưng có thể liệt kê hết kết quả, có thể lập lại nhiều lần ttrong những điều kiện giống nhau. Phép thử thường kí hiệu bởi chữ T. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra gọi là không gian mẫu. Kí hiệu E. Vd: Thả 1 con xúc xắc, đếm số điểm ở mặt trên, là một phép thử ngẫu nhiên. Không gian mẫu của phép thử này là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Biến cố : ( sự kiện) Là kết quả ghi nhận được sau khi thực hiện phép thử. là tập con của không gian mẫu E.  Biến cố sơ cấp và không gian sự kiện sơ cấp (không gian mẫu) : là tập con gồm đúng một phần tử của không gian mẫu. Trong ví dụ trên {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} là các biến cố sơ cấp.  Biến cố chắc chắn Ω : biến cố Ω được gọi là chắc chắn nếu Ω luôn xảy ra sau khi thực hiện phép thử. là không gian mẫu E. Vd : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.  Biến cố không thể có : Là tập ∅ . Biến cố ∅ dược gọi là không thể nếu ∅ luôn luôn không xảy ra sau khi thực hiện một phép thử. Vd : {7} là biến cố không thể. Cho A và B là hai biến cố trong khôpng gian mẫu E.  Biến cố hợp của A và B : Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu A ∪ B được gọi là hợp của hai biến cố A và B  Biến cố giao của A và B : Cho hai biến cố A và B, Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ki hiệu là A ∩ B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.  Biến cố đối: Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “ không xảy ra A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của A.  Biến cố xung khắc : Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và b được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra,kí hiệu A ∩ B = ∅ . II. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ i) Biến cố không thể có, có xác suất bằng 0. ii) Biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1. iii) Nếu không gian mẫu E cóa n biến cố sơ cấp đồng khả năng thì mỗi biến cố sơ cấp có xác suất là 1 n . vi) Nếu biến cố A gồm có m biến cố sơ cấp (0 )m n≤ ≤ thì xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A) là m n . P(A) = m n Trong đó : m : số trường hợp thuận lợi cho A. n số trường hợp có thể xảy ra. Vd : Thả 1 con xúc xắc nhìn số chấm hiện ra ở mặt trên. Không gan mẫu E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; P(7) = 0 ; P(E) = 1; P (3) = 1 6 nếu A = {2, 4, 6} thì P(A) = 3 1 6 2 = . III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT 1. Tính chất cơ bản a) Với mọi biến cố A : 0 P(A) 1≤ ≤ . b) P( ) 0∅ = ; P(E) = 1. c) Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì P(A B) P(A) P(B)∪ = + . d) A là biến cố bù của A thì P( A ) = 1 – P(A) . Vd : A = {2, 4, 6} , thì A = {1, 3, 5} A và B là hai biến cố độc lập ⇔ P(A.B) = P(A).P(B) Ta có : P( A ) = 1 – P(A) = 1 1 1 2 2 − = . 2. Công thức cộng xác suất Với mọi biến cố A, B P(A B) P(A) P(B) P(A B) ∪ = + − ∩ . Vd : A = {2, 4, 6}; B= {2, 3} Ta có : A ∪ B = {2, 3, 4, 6}; A ∩ B = {2} P(A) = 3 6 = 1 2 ; P(B) = 2 6 = 1 3 . P(A ∪ B) = 4 2 6 3 = ; P(A ∩ B) = 1 6 . P(A ∪ B) = 1 1 1 4 2 2 3 6 6 3 + − = = . IV.XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 1. Thí dụ : Thả 2 con xúc xắc có màu khác nhau xanh và đỏ. Xúc xắc cho x điểm. Xúc xắc đỏ cho y điểm. Gọi A là biến cố “x > y” ; B là biến cố “x + y = 6”. Giả sử đã biết A xảy ra. Xác suất của B ∩ A trong không gian mẫu A gọi là xác suất có điều kiện của B khi A xảy ra, kí hiệu là P(B/A). 2. Xác suất có điều kiện Xác suất của sự kiện B, với giả thiết (thông tin) sự kiện A đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện. P(B A) P(B/ A) P(A) ∩ = 3. Công thức nhân xác suất P(A B) P(A).P(B/ A) ∩ = 4. Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suát xảy ra của biến cố kia. Vd : Tìm xác suất của biến cố : số điểm của xúc xắc xanh là chẳn, số điểm của xúc xắc đỏ là lẻ. Ta có : P(A.B) = P(A).P(B) = 1 1 . 3 3 = 1 9 Chú ý : Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì i) A và B cũng độc lập ; ii) A và B cũng độc lập ; iii) A và B cũng độc lập ; THỐNG KÊ Bài 1: MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Thống kê: Là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lí số liệu. 2. Mẫu số liệu: Ví dụ: Điều tra số học sinh của mỗi lớp học của một trường Phổ thông trung học. Dấu hiệu X là số học sinh của mỗi lớp. Đơn vị điều tra là một lớp học, ( 10A hoặc 10B, v.v…) Giá trị của dấu hiệu X (kí hiệu x) là số học sinh của mỗi lớp. Ví dụ giá trị x của 10A là 41. Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra gọi là mẫu. Ví dụ: tập { } 10 ,10 ,10A B C . Số phần tử của một mẫu gọi là kích thước mẩu. Ví dụ: mẫu trên có kích thước mẫu là 3 (3 lớp). Các gía trị của dấu hiệu thu được trên một mẫu gọi là mẫu số liệu ( mỗi giá trị như thế còn gọi là một số liệu của mẫu). Nếu số liệu trong mẩu được viết thành dãy hay bảng thì mẫu số liệu đó là dãy số liệu hay bảng số liệu. Điều tra trên mọi đơn vị điều tra gọi là điều tra toàn bộ. Điều tra trên một mẫu gọi là điều tra mẫu. Bài 2: TRÌNH BÀY MỘT MẪU SỐ LIỆU 1. Bảng phân bố tần số - tần suất 2.1.1. Ví dụ: Điều tra số điểm Toán của 95 học sinh thấy: 4 emm được điểm 9; 12 em được điểm 8; 27 em được điểm 7; 28 em được điểm 6; 13 em được điểm 5; 6 em được điểm 4; 3 em được 3 điểm; 2 em được 2 điểm. Mẫu số liệu trên có 8 giá trị khác nhau (9,8,7,6,5,4,3,2). Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó. Tần suất i f của giá trị i x là tỉ số giữa tần số i n và kích thước mẫu N. i f i n N = Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm. Sau đây là bảng tần số - tần suất của ví dụ 2.1.1. Giá trị 9 8 7 6 5 4 3 2 Tần số 4 12 27 28 13 6 3 2 N=95 Tần suất % 4,2 12,6 28,4 29,5 13,7 6,3 3,2 2,1 CHÚ Ý: • Kích thước mẫu N bằng tổng các tần số; • Có thể viết bảng trên dưới “dạng dọc”. 2. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Ghép các số liệu trong ví dụ 2.1.1 thành lớp theo các đoạn có độ dài bằng nhau ( theo tiêu chí giỏi, khá, trung bình, yếu) ta có bảng. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp của ví dụ 2.1.1. Lớp Tần số Tần suất [9;8] 16 16,8 [7;6] 55 57,9 [5;4] 19 20 [3;2] 5 5,3 N=95 CHÚ Ý: a) 16 = 4 + 12 55 = 27 + 28, v.v . b) 1600 16,8 95 ≈ 5500 57,9 95 ≈ Tần số của mỗi lớp là tỉ số giữa tần số của lớp đó và kích thước mẫu (95 học sinh). 3. Biểu đồ • Biểu đồ tần số, tần suất ghép lớp hình cột. Độ cao của cột biểu diễn số đo tần số; bề rộng của cột biểu diễn một lớp. Hình dưới là biểu đồ tần số ghép lớp hình cột của ví dụ trên. . mỗi lớp. Đơn vị điều tra là một lớp học, ( 10A hoặc 10B, v.v…) Giá trị của dấu hiệu X (kí hiệu x) là số học sinh của mỗi lớp. Ví dụ giá trị x của 10A là. nhau ? Giải : Số cách chọn là 3 7 7! 7.6.5 210 (7 3)! A = = = − (cách) 3. Tổ hợp Cho tập A gồm n phần tử. Một tổ hợp chập k ( 1 k n≤ ≤ ) của n phần tử là