tổng hợp kiến thức hình 9 theo chủ đề

CHỦ ĐỀ 3: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN R M • • P O• •N I/ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN Định nghĩa đường trịn * Đường trịn tâm O bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng R * Kí hiệu: (O ; R) (O) Điểm thuộc khơng thuộc đường trịn * Điểm M ∈ (O ; R) hay M nằm đường tròn hay (O) qua M  OM = R * Điểm N nằm ngồi đường trịn  ON > R • O A• •B * Điểm P nằm đường trịn  OP < R Đường kính đường tròn Đoạn thẳng nối hai điểm đường tròn qua tâm O gọi đường kính đường tròn tâm O Tâm O đường tròn trung điểm đường kính Cách xác định đường tròn Một đường tròn xác định biết tâm bán kính biết đường kính Chú ý * Qua ba điểm không thẳng hàng A , B , C ta vẽ đường trịn có tâm giao điểm ba đường trung trực ∆ABC * Qua hai điểm A , B cho trước ta vẽ vơ số đường trịn có tâm nằm đường trung trực đoạn AB * Không vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng Tâm đối xứng trục đối xứng đường tròn * Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn * Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn => Một đường trịn có tâm đối xứng có vơ số trục đối xứng II/ ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN Dây đường trịn Đoạn thẳng nối hai điểm đường trịn gọi dây đường trịn •M N• • O A• •B Ví dụ: Dây MN (O) Đường kính AB gọi dây (O) So sánh độ dài đường kính dây Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Quan hệ vng góc đường kính dây Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Định lý 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ I/ PHƯƠNG PHÁP * Trong đường trịn đường kính dây lớn * Trong đường trịn: + Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây * Để chứng minh điểm thuộc đường tròn: cần nhớ: + Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền tâm vòng tròn ngoại tiếp + Trong tam giác , tâm vòng tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác + Trong tam giác thường: - Tâm vòng tròn ngoại tiếp giao điểm đường trung trực cạnh tam giác - Tâm vòng tròn nội tiếp giao điểm đường phân giác tam giác - Các đỉnh hình chữa nhật thuộc đường trịn tâm giao điểm hai đường chéo - Các đỉnh hình vng thuộc đường trịn tâm giao điểm hai đường chéo => PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh điểm A 1,A , ,A n thuộc đường tròn ta chứng minh điểm A 1,A , ,A n cách điểm O cho trước II/ BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a AM ,BN ,CP đường trung tuyến Chứng minh điểm B,P,N ,C thuộc đường trịn Tính bán kính đường trịn Giải Vì tam giác ABC nên trung tuyến đồng thời đường cao  AM ,BN ,CP vng góc với BC,AC,A B  tam giác BPC,BNC tam giác vuông với BC cạnh huyền  MP = MN = MB = MC  Các điểm B,P,N ,C thuộc đường trịn Đường kính BC = a , tâm đường trịn Trung điểm M BC µ µ Ví dụ Cho tứ giác A BCD có C + D = 90 Gọi M ,N ,P,Q trung điểm AB,BD,DC,CA Chứng minh điểm M ,N ,P,Q thuộc đường trịn Tìm tâm đường trịn Giải Kéo dài AD,CB cắt điểm T tam giác TCD vng T + Có MN đường trung bình tam giác ABD => NM / /A D + MQ đường trung bình tam giác ABC => MQ / /BC Mặt khác AD ⊥ BC ⇒ MN ⊥ MQ Chứng minh tương tự ta có: Suy MNPQ Hay điểm NQ,MP MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ hình chữ nhật M ,N ,P,Q thuộc đường trịn có tâm giao điểm O hai đường chéo Ví dụ Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm AC ; G trọng tâm tam giác A BM Gọi Q giao điểm BM GO Xác định tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BGQ Giải Vì tam giác ABC cân A nên tâm O vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm đường trung trực BC Gọi K giao điểm AO BM Dựng đường trung tuyến MN ,BP tam giác A BM cắt trọng tâm G Do MN / /BC ⇒ MN ⊥ A O Gọi K giao điểm BM AO K trọng tâm tam giác ABC suy GK / /AC Mặt khác ta có OM ⊥ AC suy GK ⊥ OM hay K trực tâm tam giác OMG ⇒ MK ⊥ OG Như tam giác BQG vuông Q Do tâm vịng trịn ngoại tiếp tam giác GQB trung điểm I BG µ µ Ví dụ Cho hình thang vng ABCD có A = B = 90 BC = 2AD = 2a, Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC ; M trung điểm HC Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BDM Giải Gọi N trung điểm BH MN đường trung bình tam giác HBC suy MN ⊥ AB , mặt khác BH ⊥ AM => N trực tâm tam giác A BM => AN ⊥ BM Do MN / / = BC ⇒ MN / / = AD nên ADMN hình bình hành Suy A N / /DM Từ ta có: DM ⊥ BM hay tam giác DBM vng M nên tâm vịng trịn ngoại tiếp tam giác DBM trung điểm O BD Ta có R = MO = 1 a BD = AB2 + AD2 = 4a2 + a2 = 2 2 Ví dụ Cho lục giác ABCDEF tâm O Gọi Chứng minh điểm M ,I,O,N ,D nằm M ,N đường tròn Giải trung điểm CD,DE AM cắt BN I ABCDEF lục giác => OM ⊥ CD,ON ⊥ DE ⇒ M ,N ,C,D nằm đường trịn đường kính OD · Vì tam giác ∆OBN = ∆OAM nên điểm O cách AM ,BN => OI phân giác góc AIN Kẻ OH ⊥ AM ⇒ DH = 2OH   DH ⊥ AM (Do OH Kẻ OK ⊥ BN ⇒ DK = 2OK   DK ⊥ BN (Do đường trung bình tam giác DAH OK JO = = DK JD với J = AD ∩ NB ) Do OK = OH ⇔ DH = DK · · => D cách AM ,BN hay ID phân giác AIN ⇒ OID = 90 Vậy điểm M ,I,O,N ,D nằm đường trịn đường kính OD Ví dụ Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC,N điểm thuộc đường chéo AC cho AN = AC Chứng minh điểm M ,N ,C,D nằm đường trịn Giải · Ta thấy tứ giác MCDN có MCD = 90 nên để chứng minh điểm M ,N ,C,D · nằm đường tròn ta chứng minh MND = 90 Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với A B cắt BC,AD E,F Xét ∆vuông NEM ∆vuông DFN có EM = NF = ∆NEM = ∆DFN => · · · · · · NME = DNF,MNE = NDF ⇒ MNE + DNF = 900 Suy điểm 1 AB,EN = DF = AB 4 M ,N ,C,D => => ∆ MND vuông N nằm đường trịn đường kính MD Cách 2: Gọi K trung điểm ID với I giao điểm hai đường chéo Dễ thấy MCKN hình bình hành nên suy CK / /MN Mặt khác NK ⊥ CD,DK ⊥ CN ⇒ K trực tâm tam giác CDN ⇒ CK ⊥ ND ⇔ MN ⊥ ND Ví dụ Cho tam giác ABC có trực tâm H Lấy điểm M ,N thuộc tia BC cho MN = BC M nằm B,C Gọi D,E hình chiếu vng góc M ,N lên A C,AB Chứng minh cácđiểm A ,D,E,H thuộc đường tròn Giải Giả sử MD cắt NE K Ta có HB / /MK · · vng góc với AC suy HBC = KMN ( góc đồng vị) · · Tương tự ta có HCB = KNM kết hợp với giả thiết BC = MN ⇒ ∆BHC = ∆KMN ⇔ S∆BHC = S∆KM N ⇒ HK / /BC Mặt khác ta có BC ⊥ HA nên HK ⊥ HA hay H thuộc đường trịn đường trịn đường kính AK Dễ thấy E,D ∈ (AK ) nên cácđiểm A ,D,E,H thuộc đường tròn II/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Vẽ (O) đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh: CD ⊥ AB; BE ⊥ AC b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh: AK ⊥ BC Bài 3: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm DE, DC, BC, BE Chứng minh điểm M, N, P, Q thuộc đường trịn µ = 60o Bài 5: Hình thoi ABCD có A Gọi O giao điểm hai đường chéo E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, B, F, G, D, H thuộc đường tròn Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm C thuộc đường (O) Đường trịn (I) đường kính OA cắt OC D Vẽ CH ^ AB a) Chứng minh A, C, D, H thuộc đường tròn b) Chứng minh OD = OH Từ HD // AC µ µ Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có C = D = 60 , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Bài 8: Cho (O) đường kính MN, I thc OM, K thuộc ON Qua I, K vẽ dây AB CD vng góc với MN a) C/m MN đường trung trực AB CD b) C/m ABCD hình thang cân Bài 9: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm AB (điểm M khác O) Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6cm ; MA = 4cm Tính CD c)* Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MH MK = MC 2R Bài 10: Cho đường trịn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN · b) Giả sử AOB = 90 Tính OM theo R cho CM = MN = ND Bài 11: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường trịn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 30 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE Bài 12: Cho hình chữ nhật A BCD , kẻ BH vng góc với AC Trên cho AM DN = AH DC Chứng minh điểm M ,B,C,N A C,CD ta lấy điểm nằm đường tròn 0 · · Gợi ý: BCN = 90 , chứng minh BMN = 90 CHUYÊN ĐỀ 4: DÂY – KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM TỚI DÂY M ,N H K Q P M Định lý 1: Trong đường trịn: a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm Tóm tắt: Cho (O), hai dây MN PQ Kẻ OH ⊥ MN H, OK ⊥ PQ K * Nếu MN = PQ => OH = OK Q P N O M • HK * Nếu OH = OK => MN = PQ Định lý Trong hai dây đường tròn: a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn Tóm tắt: Cho (O), hai dây MN PQ Kẻ OH ⊥ MN H, OK ⊥ PQ K * Nếu PQ > MN => OK < OH * Nếu OK < OH => PQ > MN BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ Bài 1: Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường trịn Vẽ tia Ax cắt (O) B, c tia Ay cắt (O) D, E cho xÂO > yÂO So sánh dây DE BC Hướng dẫn Kẻ OI ⊥ BC, OH ⊥ DE OI = OA.sinÔx OH = OA.sinOÂy Mà OÂx > OÂy nên sin OÂx > sin OÂy => OI > OH => BC < DE (liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Bài 1: Cho (O; 5cm), dây AB = 8cm a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB b) Gọi I điểm thuộc dây AB cho AI = 1cm Kẻ dây CD qua I vng góc với AB Chứng minh CD = AB Bài 2: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên đường trịn Vẽ dây BC vng góc với OA A Vẽ dây EF qua A khơng vng góc với OA Hãy so sánh độ dài hai dây BC EF ? Bài 3: Cho (O), hai dây AB CD nhau, tia AB CD cắt E nằm bên đường tròn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD Chứng minh: EH = EK EA = EC Bài 4: Cho (O), hai dây AB, CD (AB < CD), tia AB CD cắt K nằm bên ngồi đường trịn Đường tròn (O; OK) cắt KA KC M N Chứng minh: KM < KN Bài 5: Cho (O), hai dây AB CD nhau, tia AB CD cắt I nằm bên đường tròn Chứng minh: 10 ... pháp trùng khít (Cách đề cập phần góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây) II/ BÀI TẬP MẪU µ µ · Ví dụ 1.Cho hình thang vng A BCD (A = B = 90 ) có O trung điểm AB góc COD = 90 Chứng minh CD tiếp... giác góc BOM, mà ∠AOM ∠BOM hai góc kề bù => ∠COD = 90 0 13 3/ Theo ∠COD = 90 0 nên tam giác COD vng O có OM ⊥ CD ( OM tiếp tuyến ) 14 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có OM2 = CM DM,... BD =R2 => AC BD = 16 4/ Theo ∠COD = 90 0 nên OC ⊥ OD (1) 17 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R 18 => OD trung trực BM => BM ⊥ OD 19 Từ (1) Và (2) => OC // BM