S6 chuyen de 7 chu de 2 chủ đề 2 bội và ước của số nguyên

CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 7-SỐ NGUYÊN CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT A Các định nghĩa Ước Bội số nguyên Với a, b  Z b 0 Nếu có số nguyên q cho a bq ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Nhận xét - Nếu a bq ta nói a chia cho b q viết a : b q - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số ngun - Các số  ước số nguyên Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết  a  k  b Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k số Ước chung hai hay nhiều số ước tất số  a, b, c  Ước chung số a, b, c kí hiệu ƯC Bội chung hai hay nhiều số bội tất số  a , b, c  Bội chung số a, b, c kí hiệu là: BC Ước chung lớn Bội chung nhỏ - Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số - Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác không tập hợp bội chung số B Các tính chất - ( a,1) 1;  a,1 a - Nếu a b  (a , b) b;  a, b  a - Nếu a, b nguyên tố  ( a, b) 1;  a, b a.b - ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a dm 10 2.5 (a, b) d ;   (m, n) 1; (10,15) 5;   (2,3) 1 b  dn 15  3.5   - Nếu Ví dụ: Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN - Nếu - c am 30 10.3  (m, n) 1;  (2,3) 1  10,15 30;  c bn 30 15.2 Ví dụ:  a, b c;  ab (a, b). a, b  - Nếu a ước b  a ước b - Nếu a bội b  a bội b PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm ước bội số nguyên Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số cho số nguyên) Dạng 3: Phương trình ước Dạng 1: Tìm ước bội số nguyên I.Phương pháp giải - Từ việc tìm ước bội số tự nhiên suy ước bội số nguyên - Chú ý: Nếu a ước b  a ước b Nếu a bội b  a bội b II.Bài tốn Bài 1: Tìm bội ; - Lời giải: bội là: 0;3;  3; 6;  bội  là: 0;3;  3;6;  Bài 2: Tìm tất ước - 3; 6; 11; - Lời giải: Ư   3  1; 3 Ư    1; 2; 3; 6 Ư  11  1; 11 Ư   1  1 Bài 3: Cho hai tập hợp số A = {2;3;4;5;6} và B = {21;22;23} a) Có thể lập tổng dạng (a + b) với a Î A b Î B ? b) Trong tổng có tổng chia hết cho 2? Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN a) Số nhiêu tổng dạng (a + b) với a Ỵ A b Ỵ B 5.3 15 tổng b) Số tổng chia hết cho là: 3.1  2.2 7 tổng Bài 4: Điền số vào ô trống cho đúng: x 36 y - x :y - 7 - - 34 11 - 17 - 50 - Lời giải: x 36  49 - 34 11 y - - 3 - 17 - 50 - x :y  12 -  11 Bài 5: 1) Cho A 1      99  100 a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng ? c) A có ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? 2) Thay a, b chữ số thích hợp cho 24a 68b45 a 3b   b   3) Cho a số nguyên có dạng Hỏi a nhận giá trị giá trị sau: a 11; a 2002; a 2003; a 11570; a 22789; a 29563; a 299537 Lời giải: 1a) A  50 1b) A2 cho 5, A khơng chia hết cho 3t cho 1c) A có ước tự nhiên có 12 ước nguyên.c tự nhiên có 12 ước nguyên nhiên có 12 ước tự nhiên có 12 ước nguyên.c nguyên  5,9  1 2)Ta có: 45 9.5 mà  b 0 24a 68b 5    b 5 Do 24a68b45 suy Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Th1: b 0 ta có số 24a 680    a     9  a  209  a 7 Để 24a 6809 Th2: b 5 ta có số 24a 685    a    5 9 hay a  259  a 2 Để 24a 6859  a 7, b 0  Vậy y  a 2, b 5 3)Số nguyên có dạng ng a 3b   b   hay a số chia dư Vậy y a nhậy n giá trị ng giá trị là a 2002; a 22789; a 29563 Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số cho số nguyên) I.Phương pháp giải A Tìm số n ( n  Z ) để số A chia hết cho số B B số nguyên, A, B số phụ thuộc vào số n A kB  m  k , m  Z  - Viết số A dạng - Lập luận: + Vì kB chia hết cho B , nên để A chia hết cho B số m phải chia hết cho B hay B ước m + Giải điều kiện B ước số m , ta tìm n II.Bài tốn  3n  8  n  1 Bài 1: Tìm n   biết: Lời giải: Ta có: 3n  3n   3  n 1  Suy : Vậy  3n  8  n 1  n  1  Ư (5)  1; 5 n    6;  2;0; 4 Bài 2: Tìm số nguyên n để n  3n    n  3 Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Lời giải: Ta có Vì n  3n  n  n  3  n nên để n  n  3  n  3 ,  3n    n  3 6 n  3  n  3 ước Mà n  Z nên   n  3   3; 6  n   0;  6;3;  9 Vậy n   0;  6;3;  9 n  3n    n  3 n 1 Bài 3: Tìm tất số nguyên n để phân số n  có giá trị số nguyên Lời giải: n 1  n  1  n   Ta có n  số nguyên Ta có n   n    3,   n  2  n  1  n   3 n   ước   n      3;  1;1;3  n    1;1;3;5 Vậy n    1;1;3;5 n 1 n  có giá trị số nguyên Bài 4: Tìm số nguyên n để  n  2n chia hết cho n  Lời giải: Ta có Vì  n  2n 5  n  n   n  n    n   ,   n  2 Vậy 5n nên để phải ước n    3;  1;3; 7  2n   n   5 n     n      5;  1;1;5  n    3;  1;3;7  n  2n chia hết cho n  Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Bài 5: Cho A n n  Tìm n nguyên để A số nguyên Lời giải: Ta có Ta có A  n  1  n    5,  n  1  n     n  4 Vậy n n  số nguyên  n  1  n   phải ước n    9;  5;  3;1 5 n     n      5;  1;1;5  n    9;  5;  3;1 A số nguyên 4n  Bài 6: Tìm số nguyên n để phân số 2n  có giá trị số nguyên Lời giải: 4n   4n    2n  1 Ta có 2n  số nguyên Ta có 4n  2  2n  1  7,   2n  1 Vậy ước n    3; 0;1; 4  4n    2n  1  2n  1  2n  1   7;  1;1;7  n    3; 0;1; 4 4n  2n  có giá trị số nguyên 3n  Bài 7: Tìm giá trị nguyên n để phân số A = n  có giá trị số nguyên Lời giải: Ta có A 3n  3n    n  1  5   3  n n n n Để A có giá trị ngun n  nguyên 5 n  1 Mà n  nguyên hay n  ước Do Ư  5  1; 5 Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Ta tìm n 2; n 0; n 6; n  Bài 8: Cho phân số: A n n  ( n  Z; n  ) a) Tìm n để A có giá trị ngun b) Tìm n để A phân số tối giản Lời giải: a) A n  n 1  6  1  n 1 n 1 n 1    1; 2; 3; 6 A nhận giá trị nguyên n  1 Ư n 1 1 2 3 6 n 2 3 4 7   n  1, n  5 1   n  1,  1 b) A tối giản  n  không chia hết cho n  không chia hết cho n 2k  n 3k  1 k  Z Bài 9: a) Tìm hai số tự nhiên a b biết BCNN (a, b) 180 ; UCLN (a, b) 12 b) Tìm n   để phân số A 4n  2n  có giá trị nguyên Lời giải: a) Ta có ab 180.12 2160  m, n  1 m n Giả sử a b Vì UCLN (a, b) 12 nên a 12m, b 12n với Suy 12m.12n 2160  mn 15 Ta có bảng sau: Vậy ta có hai cặp m n a b 15 12 180 36 60  a; b   12;180  ,  36;60  Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN b) A 4n   2n   7   2  2n  2n  2n  2n     1; 7 A có giá trị nguyên  2n   Ư Ta có bảng sau 2n  n Vậy 1 1 7 2 5 n    1;  2; 2;  5 12n  A 2n  Tìm giá trị n để: Bài 10: Cho a) A phân số b) A số nguyên Lời giải: 12n  12n   , 2n   , 2n  0  A n  a) phân số n    n  1,5 12n  17 A 6  2n  2n  b) A số nguyên 2n   Ư (17)  2n    1; 17  n    10;  2;  1;7 Bài 11: a) Tìm giá trị n số tự nhiên để n  chia hết cho n  b) Tìm x số chia phép chia 235 cho x số dư 14 Lời giải: a )  x    x    5 x     x     x    3;  1;  7;3 Ư (5)  1; 5 b)235 : x dư 14  235  14x  x  14   221x  x  14   x   17; 221 Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN  3n  8  n 1 Bài 12: Tìm n  biết: Lời giải: Ta có: 3n  3n   3  n 1  Suy :  3n  8  n 1  n  1 U (5)  1; 5 Tìm được: n    6;  2;0; 4 Bài 13: a) Cho abc  deg 7 Chứng minh abc deg 7 b) Tìm số nguyên n cho n  1n  Lời giải: a) Ta có: abc deg 1000.abc  deg   1001  1 abc  deg 1001abc  abc  deg 1001abc  abc  deg  Vì 1001abc 7.143abc  7.143.abc 7 (1) abc  deg 7 (gt) (2) Từ (1) (2) suy abc deg 7 b) Ta có: n  n  n  1     n  1   Vì n  n  1 n    n  1 n 1 3n   n  1 U (3)  1; 3  n    2;0;  4; 2 Để n  2n  Bài 14: 90 a) Cho A 3      Chứng minh A chia hết cho 11 13 b) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho xy  x  y  0 Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN 90 a)A có 90 số hạng mà 905 nên A 3      A   32  33  34  35    36  37  38  39  310     386  387  388  389  390  3    32  33  34   36    32  33  34    386    32  33  34  121.(3  36   386 )11  A11 A có 90 số hạng mà 903 nên: A   32  33    34  35  36     388  389  390  3    32   34    32    388    32  13   34   388  13  A13 b) xy  x  y 1 0  x  y     y      x  1  y    1   3    Từ suy  x; y     0;  1 ;   4;3  Bài 15: Tìm tất số nguyên n để: n 1 a)Phân số n  có giá trị số nguyên 12n  b)Phân số 30n  phân số tối giản Lời giải: n 1  n  1  n   a) n  số nguyên Ta có: n   n    ,  n   U (3)   3;  1;1;3  n  1  n   3 n    n    1;1;3;5 30n   d   *  12n  1d ,30n  2d b)Gọi d ƯC 12n    12n  1   30n    d   60n   60n   d  1d mà d  *  d 1 Vậy phân số cho tối giản Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Bài 16: Tìm số nguyên n để phân số M 2n  n  có giá tri số nguyên Lời giải: a)M  2n  2n  10  3  2     n   (3)  1; 3 n n n Ư  n   2; 4;6;8 n 3 Bài 17: Tìm số tự nhiên n để phân số 2n  có giá trị số nguyên Lời giải: n 3 Để phân số 2n  có giá trị ngun n  32n    n  3 2n    2n     2n    2n     2n  2n      2n   82n  Suy  2n     2; 4; 8 Sau thử trường hợp  n 5 Bài 18: Cho A 3n  n  , tìm n  để A có giá trị nguyên Lời giải: Ta có Để A 3n   17 3  n4 n4 A     n    (  17)  1; 17 Ư Lập bảng xét giá trị ta có n    5;  3; 21;13 A nguyên Dạng 3: Phương trình ước I.Phương pháp giải Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN P  x, y  m A  x, y  B  x, y  m - Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn ta đưa dạng từ suy A  x, y  ; B  x, y  ước m suy giá trị x, y II.Bài toán Bài 1: Tìm tất cặp số nguyên x, y cho xy  x  y  0 Lời giải: xy  x  y  0  x  y     y      x  1  y    1       Từ suy  x; y     0;  1 ;   4;3  Bài 2: Tìm x, y nguyên biết: x  y  xy 40 Lời giải:  y 1 x  y  41   x  1  y  1 41 1.41 41.1    41  41   1 Sau lập bảng ta thu được:  x; y     40;  ;  0; 40  ;   2;  42  ;   42;    Bài 3: Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn x  y 14 Lời giải: Xét x  y 14 (1) Ta có: 142; x 2  y 2  y 2 Ta có y  14  y  14 :  y 2 , mà y chẵn nên y 2 Thay vào (1)  x 2 Vậy x 2; y 2  x  1  y  3 12 Bài 4: Tìm số tự nhiên x, y biết: Lời giải: a )  x  1  y   12 1.12 3.4 (do x  lẻ) Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN x  1  x 0  y 15 x  3  x 1  y 4  x  1  xy  1 3 Bài 5: Tìm số nguyên x, y cho: Lời giải: Vì  x  1  xy  1 3, x  , y    Do đó, Ta có: x  1 , xy  1  x   U (3)  1; 3 Vậy cặp x 1 -1 -3 xy  x -3 -3 -2 -4 y ktm 1  x; y  thỏa mãn là:   2;1 ;  2;1 ;   4;0  a 1   a , b Bài 6: Tìm số nguyên biết rằng: b  Lời giải: a 1 2a        2a    b  3 14 b3 14 b 3 Do a, b   nên 2a   U (14) 2a    1; 7  a   0;3; 4;7 Vì 2a  lẻ nên Vậy  a; b    0;  5 ;  3;  17  ;  4;11 ;  7;  1   x  1   y  2 Bài 7: Tìm số nguyên x, y cho Lời giải: Ta có:  x  1   y  2 2.1 1.2      1   1    Sau lập bảng, ta có trường hợp: Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN  x, y     0;5 ,   1;  ,  3;  ,  2;1   x 1  y  5 8 Bài 8: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn Lời giải: Vì x, y    y   U (8) mà y  lẻ nên  y  1  y 3  x 7  y    y 2  x    x    xy  1 5 Bài 9: Tìm số nguyên x, y biết rằng: Lời giải: Ta có:  x    xy  1   1   5 1.5 Lập bảng thử trường hợp ta được:  x; y    1;   ;   3;0  ;  3;   x   x , y y 18 Bài 10: Tìm số tự nhiên cho: Lời giải: x x 2x         y 18 18 y 18 y Từ :   x  1 y 54 1.54 2.27 3.18 6.9 Vì x số tự nhiên nên x  ước số lẻ 54 Vậy 2x  x 27 14 y 54 18  x; y   1;54  ;  2;18  ;  5;6  ;  14;  Bài 11: Tìm số nguyên x y, biết: xy  x  y 3 Lời giải: xy  x  y 3   xy  x    y   1 Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN  x  y  1   y  1 1   y  1  x   1  y  1  y 2 *)     x  1  x   y   *)    x    y 0   x  Vậy x  1; y 2 x  3; y 0  x  1  y  5 12 Bài 12: Tìm số tự nhiên x, y cho Lời giải: Ta có: x  1; y   U (12) 1.12 2.5 3.4  x  1  x 0; y 17    x  3  x 1; y 9 Do x  lẻ Vậy  x; y   0,17  ;  1,9  x  y     y    55 Bài 13: Tìm x, y nguyên biết: Lời giải: x  y     y    55   y    x  1  55 Ta có bảng sau: 1  55 5  11 55 11 27  KTM   53  KTM  1 3 3y  2 x 1 x y Vậy ta có cặp  x; y   5;  1 ,  2;  3 Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Bài 14: Tìm số nguyên x, y cho : xy  x  y  Lời giải: xy  x  y    x  1  y    4( x, y  ) Ta có bảng sau: x 1 2 4 y x 4 2 1 1 3 y 2 Vậy ta có cặp Bài 15:  x; y   0;  ,  2;   ,   1;  ,  3;  ,   3;3 ,  5;1  y  1  x   10 Tìm x, y   biết Lời giải: xy  x  y 14  x(2 y  1)  y  14   x  y  1  4(2 y  1) 10   y  1  x   10 Vì x, y  nên y   , x   , suy y  1, x  ước nguyên 10 y  lẻ Lập bảng y 1 1 -5 x x 10 -10 -2 14 -6 y -1 -3  x 14  x   x 6  x 2 ; ; ;  y  y  y      y  Vậy  x    y  3  Bài 16: Tìm nguyên tố x, y thỏa mãn : Lời giải: Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Do –4  12     22.( 1) nên có trường hợp sau: ( x  2)2 1  x  1  x 3      y  y     y  TH1:   x    x 1    y    y  ( x  2)2 22  x  2     y 2 y     TH2:  x 4   y 2  x    x 0    y    y 2  x  1   y –1 12 Bài 17: Tìm số x, y  N biết: Lời giải:  x 1  y –1 12 1.12 2.6 3.4 12.1 6.2 4.3 ;x, y  N Mà y –1 số lẻ  y –1 1; y –1 3 Với y –1 1 y 1 x  12  x 11 Ta x 11; y 1 Với y –1 3  y 2 x  4  x 3 Ta x 3; y 2  x 1  y  1 12 Kết luận: với x 11; y 1 x 3, y 2 y   Bài 18: Tìm số nguyên x, y biết: x Lời giải: y 1 y     x x  x   y  5.6 30 Mà Ư(30 (4)  x,  y  Ư(30) (1) )   30;  15;  10;  6;  5;  3;  2;  1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30  Mặt khác  y số lẻ (3) Trang 17 (2) CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Từ (1, (2), (3), (4) ta có bảng sau: 1 y  15 5 3 1 15 x 2 6  10  30 30 10 y 8 3 2 1 Vậy cặp số nguyên  x, y  cần tìm là:   2;8 ;   6;  3 ;   10;  ;   30;  1 ;  30;0  ;  10;1 ;  6;  ;  2;  Bài 19: Tìm số tự nhiên x, y cho ;  x  1  y  5 12 Lời giải: Ta có x  ; y  ước 12 12 1.12 2.6 3.4 Do x  lẻ x  1 x  3  x  1  x 0 ; y  12  y 17 x  3  x 1 ; y  4  y 9 Vậy  x, y   0,17  ;  1,9  Bài 20: a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 b) Tìm số x, y nguyên biết xy  12 x  y Lời giải: a)Ta có: abc 37  100.abc 37  abc 0037    ab.1000  c00 37     ab.999  c00  ab  37      ab.999  cab 37 Mà ab.999 ab.37.2737  cab 37 Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUN Vậy abc37 cab37 b)Ta có xy  12  x  y  xy  x  y  12 0  x  y  1   y  1  11 0   x  1  y  1  11  1.11 1  11 11   11.1 Vậy x  11 -1 11 y x 11 -11 -1  10 12 y 12 -10  x; y      10;  ;  0;12  ;  2;  10  ;  12;0   Bài 21: Tìm tất cặp số nguyên cho tổng chúng tích chúng Lời giải: x 0, y 0 x 2, y 2 Bài 22: a)Tìm số dư phép chia chia số tự nhiên cho 91 Biết lấy số tự nhiên chia cho dư chia cho 13 dư b)Tìm cặp số nguyên  x; y  x 1  y biết: Lời giải: a)Gọi số tự nhiên a Theo ta có: Suy : a 7 p  5; a 13q   p, q   a  7 p  14 7  p   7 a  13q  13 13  q  1 13 Ta có : a  97; a  913;  7,13  1 a  991  a  91k  a 91k  91k  91  82 91  k  1  82 Do Nên a chia cho 91 có dư 82 Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN x x 5 1      x    y  1 5.1 y  y  b)Ta có:   x    y  1 5.1 1.5  5.( 1) ( 1).( 5) Thay hết tất trường hợp ta có:  x; y    0;  ;   4;6  ;   10;0  ;   6;     HẾT  Trang 20