Một số vấn đề về vành nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Thạnh MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ TP Hồ Chí Minh – Năm 2010 Lời cảm ơn Lời cảm ơn xin chân thành gửi đến PGS TS Bùi Tường Trí, người thầy hướng dẫn, giúp đỡ tơi tận tình q trình thực hồn thành luận văn Kế đến, xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn – Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giảng dạy, truyền đạt kiến thức giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành chương trình đào tạo trường Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp khóa 17 nhiệt tình giúp đỡ, trao đổi có đóng góp tích cực q trình học tập hồn thành luận văn Và cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình mình, đặc biệt bố mẹ cố gắng tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập nghiên cứu sát cánh động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Bảng kí hiệu tốn học : vành tự đồng cấu nhóm cộng : vành giao hốn của : nhóm -đồng cấu mơđun phải từ : vành tự đồng cấu -môđun phải : : : đến vành ma trận vuông cấp hệ số vành ma trận vuông cấp lấy hệ số thể phạm trù -môđun phải : bao nội xạ môđun phải : bao hữu tỉ môđun phải : Jacobson vành : tâm vành : centroid vành : vành thương (cổ điển) phải vành : vành thương tối đại phải vành : vành thương Martindale phải vành : vành thương Martindale đối xứng vành : : : mở rộng centroid vành linh hóa tử trái, phải tập linh hóa tử iđêan Mở đầu Vành nguyên tố lớp vành khơng giao hốn đặc biệt Càng nghiên cứu sâu thêm chúng, ta phát nhiều tính chất thú vị Chính điều góp phần tác động đến việc chọn nghiên cứu lớp vành nguyên tố làm đề tài luận văn thạc sĩ Tuy nhiên, ta biết lớp vành nguyên tố đề tài rộng lớn mà trình độ kiến thức thân bao quát hết Xuất phát từ báo “Some comments on Prime rings” Herstein Lance W Small đăng năm 1979, thấy lớp vành nguyên tố đặc biệt thỏa mãn tính chất thú vị mà lớp vành nguyên tố tổng quát nói chung chưa có Cụ thể tính chất nội dung luận văn tơi tóm lượt sau Ta nhắc lại, vành gọi nguyên tố tích hai idean (hai phía) khác khơng ln khác với khơng Điều tương đương với hay ) , Vấn đề đặt liệu có không ( tức vành nguyên tố, hay khơng? Tổng qt ta tìm vành nguyên tố phần tử khác cho hay khơng? Posner Schneider tìm cách giải vấn đề thu định lý việc khơng thể có hệ thức dạng cho lớp vành nguyên tố liên quan việc có hệ thức dạng cho lớp vành nguyên tố khác Dựa báo Herstein Small, đưa kết xa thơng qua ba định lý chương luận văn Để chứng minh hoàn chỉnh định lý ta cần đến hai định lý không phần quan trọng khác định lý Goldie định lý Martindale Hai định lý liên quan đến vành thương dạng khác Định lý Goldie nói vành thương cổ điển vành Cịn định lý Martindale nói mở rộng centroid vành Mà tâm vành thương tối đại tâm vành thương Martindale đối xứng Do ta dành chương để xây dựng vành thương trình bày tính chất Tóm lại, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm liên quan đến iđêan, môđun, bao nội xạ, bao hữu tỉ centroid môt vành; định nghĩa vành khơng giao hốn đặc biệt, tính chất mối liên hệ chúng Chương Vành thương tính chất Chương xây dựng loại vành thương: cổ điển, tối đại, Martindale phải Martindale đối xứng Sau chứng số tính chất mối liên hệ chúng Đồng thời trình bày hai định lý quan trọng Goldie Martindale Chương Một số vấn đề vành nguyên tố Đây phần luận văn Chương trình bày làm rõ vấn đề đặt báo I.N.Herstein Lance.W.Small để thấy lớp vành nguyên tố có tính chất nói cịn lớp vành khơng thể có điều Phần cuối kết luận lại làm luận văn mặt hạn chế chưa làm tác giả Mặc dù nỗ lực, cố gắng khó tránh khỏi sai sót hạn chế, kính mong quý thầy cô, đồng nghiệp bạn đọc sẵn lịng góp ý Xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Tập (1) vành gọi iđêan phải nếu: , (2) Chú ý  Ta có định nghĩa tương tự cho iđêan trái  gọi iđêan hai phía vừa iđêan trái vừa iđêan phải, ta gọi tắt iđêan  Nếu iđêan phải Định nghĩa 1.1.2 Các iđêan đặc biệt  Iđêan gọi iđêan nguyên tố  Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối đại khơng nằm iđêan phải (trái, hai phía) thực  Iđêan phải (trái, hai phía) gọi iđêan phải (trái, hai phía) tối tiểu khơng chứa iđêan phải (trái, hai phía) thực  Iđêan phải gọi qui  Iđêan phải gọi cốt yếu có giao khác (0) với iđêan phải khác rỗng  Phần tử gọi lũy linh tồn số ngun  Iđêan phải (trái, hai phía) của lũy linh cho gọi nil-iđêan phải (trái, hai phía) phần tử  Iđêan phải (trái, hai phía) số nguyên gọi iđêan phải (trái, hai phía) lũy linh tồn cho với m phần tử Nhận xét  Iđêan phải  Nếu lũy linh tồn số nguyên lũy linh cho nil-iđêan (điều ngược lại nói chung khơng đúng)  Tổng hai iđêan lũy linh lũy linh, điều cho tổng hữu hạn iđêan lũy linh Định nghĩa 1.1.3 Cho trường (tổng quát thể), không gian vectơ phải tập với hai phép toán: cho: (1) phép cộng giao hoán: , , (2) phép cộng có tính kết hợp: (3) phép cộng có đơn vị: tồn cho , (4) tồn phần tử đối: , (5) phép nhân ngồi có tính kết hợp: , (6) phân phối với phép nhân ngoài: , (7) phân phối với phép cộng: , , (8) đơn vị phép nhân ngoài: , , , Nhận xét  Ta gọi tắt không gian vectơ phải không gian vectơ  Nếu iđêan phải Định nghĩa 1.1.4 Cho ánh xạ từ vành, nhóm cộng Abel vào biến cặp thành , (1) , (2) (3) với tự nhiên trở thành không gian vectơ gọi R-mơđun phải có cho: Chú ý  Ta dùng “ -môđun” để gọi tắt cho “ -mơđun phải” R-mơđun  Nếu R-môđun trung thành Định nghĩa 1.1.5 Iđêan Bổ đề 1.1.6 - môđun trung thành gọi - môđun bất khả qui Định nghĩa 1.1.7 tầm thường và có hai mơđun Bổ đề 1.1.8 (Bổ đề Schur) Nếu -mơđun bất khả qui thể (vành có phần tử khác khả nghịch) Bổ đề 1.1.9 Nếu - môđun bất khả qui đẳng cấu với mơđun phải tối đại Hơn nữa, tồn iđêan phải qui) Ngược lại, cho với iđêan ( iđêan phải qui gọi -mơđun bất khả qui Nhận xét Nếu vành có đơn vị iđêan phải tối đại qui Vành giao hốn tử Cho R-mơđun, cộng Kí hiệu , ánh xạ cho đồng cấu nhóm tập tất tự đồng cấu nhóm cộng vành với phép toán cộng nhân đồng cấu nhóm Xét ánh xạ đồng cấu vành Mà nên Bổ đề 1.1.10 Đặc biệt, đẳng cấu với vành vành R-môđun trung thành , vành ta đồng Định nghĩa 1.1.11 Vành giao hoán tử là đơn cấu nhúng vào Rõ ràng vành Với Do vành tự đồng cấu mơđun ta có: đồng cấu mơđun Như ta đồng , Centroid vành Cho vành gọi nghĩa ánh xạ Gọi thường gọi vành tự đồng cấu nhóm cộng vành ta định với nằm Ta vành nhân , ta kí hiệu là tập phần tử , với giao hoán phần tử Nhận xét Lấy Suy Với sinh tất ánh xạ Định nghĩa 1.1.12 Centroid vành với Với ta có -đồng cấu song môđun Như centroid vành vành tự đồng cấu song môđun Định nghĩa 1.1.13 gọi đại số trường (1) vành (2) khơng gian vectơ (3) Nhận xét Nếu có đơn vị thỏa điều kiện sau: với nằm tâm Định nghĩa 1.1.14 Căn Jacobson vành tất môđun bất khả qui Nếu , kí hiệu tập hợp phần tử khơng có mơđun bất khả qui ta qui ước linh hố gọi vành radical Theo định nghĩa ta có hai phía với chạy khắp -môđun bất khả qui iđêan Bổ đề 1.1.15 Nếu iđêan phải tối đại qui với Định lý 1.1.16 hai phía lớn Bổ đề 1.1.17 Nếu chạy khắp iđêan phải tối đại qui iđêan nằm iđêan phải qui nằm iđêan phải tối đại qui với Định lý 1.1.18 chạy khắp iđêan phải tối đại qui Nhận xét chứa nil-iđêan phía   Nếu iđêan vành Định lý 1.1.19 Định lý 1.1.20 Kí hiệu vành ma trận vng cấp n Khi Môđun nội xạ bao nội xạ Định nghĩa 1.1.21 Môđun gọi nội xạ với đơn cấu mơđun -đồng cấu tồn -đồng cấu cho , nghĩa biểu đồ sau giao hoán A B h I Nhận xét  Tích trực tiếp  -môđun nội xạ -môđun nội xạ -đồng cấu nội xạ với mở rộng Định nghĩa 1.1.22 (1) nội xạ, -mơđun ta có với nội xạ chẻ - Do mơđun gọi mở rộng nội xạ tối tiểu mơđun nếu: Lại có Do nên rõ ràng Nếu ngun tố iđêan có Do đơn giản tập iđêan khác (0) vành nửa nguyên tố Mệnh đề 2.4.5 Cho , Chứng minh Ta giả sử nên , có (vì Xét phần tử Do Điều vành nửa nguyên tố Định nghĩa 2.4.6 Cho iđêan phải chứa Với ta có đơn giản tập iđêan mà cốt yếu phải (hay hai phía) Khi đó, ta định nghĩa tập sau: Nhận xét  vành tồn hay Thật vậy, với cho Do hạn) nên kín với phép giao (hữu Suy Ta lại có Hồn toàn tương tự cho vành , suy Dựa vào định nghĩa rõ ràng Khi đó, gọi vành thương Martindale phải cịn vành gọi vành thương Martindale đối xứng  Trong định nghĩa ta chọn iđêan trùng đóng kín với phép giao hữu hạn Nhắc lại, theo bổ đề 1.1.29, với vành ta ln có Tuy nhiên nói chung iđêan phải iđêan (cốt yếu) , định nghĩa 2.4.5 đòi hỏi phải gồm lớp tương đương Mệnh đề 2.4.7 cặp với gọi tương đương lớp tương đương có dạng Hai Nếu ta xem phần tử phép cộng nhân mơ tả sau có tính chất phản xạ đối xứng Ta Chứng minh Ta thấy quan hệ cặp có tính chất bắc cầu Giả sử hàm tương ứng Rõ ràng theo mệnh đề 2.4.4 Với và ta có với Vì Do với Với ta có lớp cho phép nhân trái với Ngược lại, cho trước theo định lý 2.3.8, với xác định phép nhân trái với nên theo định nghĩa Vì Vì nên lớp xác định Ta xét phép nhân, ta Nếu tương tương ứng với tương ứng với điều kiện Nhận xét có Biểu diễn phép cộng lớp tương đương hợp lý ứng với , Như ta thiết lập tương ứng – tập lớp tương đương dạng có với với Điều liên quan đến mệnh đề 2.3.8 Ta sử dụng kết nhiều lần với Mệnh đề 2.4.8 Cho Nếu Chứng minh Nếu cho Từ Mệnh đề 2.4.9 Nếu Nếu ta Do theo trường hợp ta vành nửa nguyên tố và suy , nên tồn miền nguyên (tương ứng vành nguyên tố, nửa nguyên tố ) Chứng minh Trước tiên, giả sử cho miền nguyên Lấy Ta có Khi điều dẫn đến cho Theo mệnh đề 2.4.8, cho ta hay Do đó, miền nguyên Tiếp theo ta giả sử nguyên tố Với cho Chọn giống ta có nhận xét Vì nguyên tố nên Trường hợp cuối hay hay nửa nguyên tố tương ta lại Với trường hợp nguyên tố nửa nguyên tố mệnh đề ta thay Phần chứng minh ta thực tương tự Tuy nhiên trường hợp miền ngun nói chung thay Cho đại số tự trường miền nguyên có Ta có ví dụ sau với Khi theo mệnh đề 2.4.8 ước , nghĩa không miền nguyên (Example 14.13 tài liệu [4]) Định lý 2.4.10 Cho vành (1) vành iđêan cho chứa Khi nguyên tố (tương ứng nửa nguyên tố ) (2) Nếu Gọi nửa nguyên tố Chứng minh (1) Ta chứng minh cho trường hợp nguyên tố trường hợp nửa nguyên tố tương tự Giả sử nguyên tố, ta xét iđêan khác không Khi theo giả thiết Do iđêan khác khơng iđêan nằm nên nguyên tố Ngược lại, ngun tố Khi với iđêan khác khơng iđêan khác không cho ta nguyên tố (2) Vì nửa nguyên thủy (cũng của ), Điều nên ta có tập Ta xây dựng đồng cấu sau ta lấy Để định nghĩa với , ta có Với Mà theo giả thiết nên Vì Khi ta định nghĩa thu hẹp đến Tương tự, với , Hơn với nên ta định nghĩa Vì Với thu hẹp đến -đồng cấu phải Lấy định nghĩa tốt nghịch đảo Do ta sử dụng chúng để đồng , ta có Ta kiểm tra Nếu Ta cần với Tương tự ta Nhưng , điều Do 2.5 Mở rộng centroid vành Đặt vành thương phải tối đại vành bao nội xạ môđun , tâm Bổ đề 2.5.1 Cho với vành Khi đó, giao hoán với tất phần tử Chứng minh Ta chứng minh chiều nếu, chiều hiển nhiên giao hoán với phần tử Giả sử Khi tồn cho với phần tử Theo giả thiết ta có Điều dẫn đến mâu thuẫn Mệnh đề 2.5.2 Cho nên iđêan phải trù mật iđêan trái Thật vậy, với nên Suy Hơn nữa, , ta có nên vành nửa nguyên tố ta có: ( Chứng minh Với theo mệnh đề giao hoán với phần tử nên Ngược lại, phần tử tâm nên phần tử tâm phần tử hay , kết bổ đề 2.5.1 Vậy ta đẳng thức Cịn đẳng thức cuối tương tự, phần tử tâm hoán với phần tử nên phần tử tâm Định nghĩa 2.5.4 Vành (giao hoán) centroid Do Định lý 2.5.3 Với tâm Ta có Chứng minh Do vành nửa nguyên tố Nếu ( Do giao gọi mở rộng thường kí hiệu Nhắc lại, ta xem phần tử lớp tương đương với mô tả mệnh đề 2.4.6 Do phần tử mở rộng centroid có dạng lớp tương đương trên, nhiên có tính chất đặc biệt hơn, có dạng Mệnh đề 2.5.5 Các phần tử mở rộng centroid với -đồng cấu song môđun Chứng minh Lấy lớp phần tử thỏa tính chất Khi đó, lớp tương ứng với , mơđun trái nên phần tử phép nhân trái với Vì Điều nên theo bổ đề 2.5.1, hay , ta có Định nghĩa 2.5.6 Vành với hơn, iđêan phải -đồng cấu môđun trái, mà đồng thời -đồng cấu song mơđun có phụ thuộc vào phần tử lũy đẳng Khi đó, gọi vành qui von Neumann phần tử thể viết dạng với Khi với Do -đồng cấu mơđun phải nên -đồng cấu giao hốn với tất Ngược lại, giả sử lớp tương ứng với phần tử và dẫn đến biểu diễn dạng với Tổng quát phần tử lũy đẳng thích hợp vành nửa nguyên tố mở rộng centroid Mệnh đề 2.5.7 Với vành qui von Neumann Chứng minh Lấy , ta có iđêan thay , thuộc đẳng cấu với Gọi , ta giả sử xác đinh Lấy , nên , sau -đồng cấu song mơđun, với , với , theo bổ đề 2.4.1 ta có Giờ ta định nghĩa Xét iđêan Đặt với Ta kiểm tra -đồng cấu song mơđun Khi phần bù song mơđun Do , ta có xác định cịn Do vậy, đồng cấu song môđun từ song môđun nên Vậy Hệ 2.5.8 Nếu vào Mà đồng cấu vành qui von Neumann vành nguyên tố mở rộng centroid Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.9 , trường vành nguyên tố vành nguyên tố Mặt khác tâm vành nguyên tố miền nguyên Do miền nguyên Theo mệnh đề 2.5.7, vành qui von Neumann Ta cần chứng minh phần tử khác không khả nghịch Lấy cấu song mơđun Theo mệnh đề 2.5.5 ta xem cho phép nhân bên trái lớp với Ta thấy -đồng đơn ánh Nếu nghịch đảo nghịch đảo Định nghĩa 2.5.9 Cho vành , đại số trường Ta gọi PI-vành hay vành thỏa mãn đồng thức đa thức có đa thức khác không với hữu hạn biến không giao hốn với lựa chọn hệ số lấy cho Ta mở rộng khái niệm cách tổng quát Định nghĩa 2.5.10 Vành gọi GPI-vành hay vành thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng quát hóa có đa thức đơn thức biến nằm chen đơn thức cho phần tử có vai trị hệ số Trong phần sau ta sử dụng định nghĩa cho trường hợp đặc biệt đơn thức lấy Tiếp theo ta phát biểu định lý Martindale liên quan mở rộng centroid vành nguyên tố thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng qt hóa (khơng tầm thường), phần chứng minh định lý xin phép không nêu mà trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo Định lý 2.5.11 (Định lý Martindale) Nếu vành nguyên tố thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng quát hóa khơng tầm thường vành vành ngun thủy có chứa iđêan phải tối tiểu eS với với mở rộng centroid phần tử lũy đẳng cho là thể đại số hữu hạn chiều Với Và vành nửa nguyên tố vành gọi đóng tâm gọi bao đóng tâm trùng với bao đóng tâm Trong phần chứng minh định lý trên, , đồng thời tâm với thể đại số hữu hạn chiều Chi tiết cụ thể chứng minh định lý xin tham khảo tài liệu [5] Chương Một số vấn đề vành nguyên tố Như giới thiệu phần mở đầu, tóm lược lại mà Posner Schneider làm sau: vài bước sơ cấp phần tử, họ (1) Bằng việc tuyến tính hóa vành ngun tố ba phần tử phải (2) Với vành nguyên tố tổng quát ta xa ba phần tử Tuy nhiên, họ vành nguyên tố có Iđêan phải tối đại (và cho vành nguyên thủy có Iđêan phải tối đại) (i) Nếu vô hạn (ii) Ngược lại - modun trung thành bất khả qui, có hữu hạn có phải phần tử ta tìm cho khơng thể có phần tử khác khơng phần tử khác cho không Trong chương đưa số kết mạnh Trước tiên ta nhắc lại số qui ước, ta gọi vành Goldie thay cho vành Goldie phải, vành thương thay cho vành thương phải, thứ tự thay cho thứ tự phải Bây ta bắt đầu với bổ đề 3.1 Các bổ đề Bổ đề 3.1.1 Cho vành vành Goldie nguyên tố qui Khi (1) vành thương ta có vành Goldie nguyên tố (2) Nếu cho Chứng minh Theo định lý Goldie, thể vành sinh tất phần tử Do phần tử với hay , vành tất ma trận vuông cấp lấy hệ số tổng phần tử khả nghịch nên cho khả nghịch Khi tồn qui cho với Vì khả nghịch nên ta có qui Ta có nên ta thấy Do thứ tự Theo định lý Goldie vành Goldie nguyên tố Giả sử cho Với qui Do Ta viết với , , điều dẫn đến vành nguyên tố nên ta , tương ứng với Nhận xét Do tích hai phần tử qui qui nên thật nhóm cộng sinh tất phần tử qui Bổ đề 3.1.2 Cho vành Goldie nguyên tố vành thương Giả sử Đặt với Khi đó, ta tìm qui cho miền nguyên Chứng minh Giả sử kết sai, có nghĩa khơng miền ngun Ta có thể cho Hơn khơng miền ngun Do ta tìm ta Vì Như khả nghịch suy Do Nếu Điều sinh tất phần tử qui Vì bổ đề 3.1.1 ta thấy vơ lý! qui nên qui với vành nên theo phần (2) 3.2 Một số kết vành nguyên tố Định lý 3.2.1 Cho vành Goldie nguyên tố vô hạn giả sử cho Khi có một thứ tự Chứng minh Nếu với thứ tự thể phần tử thể nên phần tử qui, kết hiển nhiên giả sử Nếu Vì vơ hạn nên phải vơ hạn , Đặt khác không gian vectơ phải Theo bổ đề 3.1.2 ta viết với với ta cần có , với Nếu , ta cần chứng minh , ta có suy , khơng gian véctơ phải Hơn (do khơng gian véctơ có Suy xảy vành nguyên tố) nên , với không gian thực vô hạn nên hợp Vì với Do Khi Đặt Ta thấy với thể Đặt Đặt Theo chứng minh trên miền nguyên Chúng Vì Vậy qui Để điều ta đặt Ta có , cho , khơng gian véctơ trái không gian véctơ trái không gian thực Ta nên ta Theo ta có vào ta được: Vì Vì miền nguyên ta gặp mâu thuẫn! vành Noether nguyên tố vơ hạn (cũng cho vành Noether đơn) Hệ 3.2.2 cho có vành Hệ 3.2.3 ngun tố vơ hạn (cũng cho vành Artin đơn vơ hạn) có đơn cho vị thì có Ta thấy hệ 3.2.3 trường hợp đặc biệt kết Posner Schneider Chúng ta mở rộng trường hợp vành Artin đơn hệ 3.2.2 cho vành đơn tổng quát, nhiên phải có điều kiện ràng buộc vành phải có đơn vị, tức là: vành đơn vơ hạn có đơn vị giả sử Định lý 3.2.4 Cho cho Khi Khi Chứng minh Giả sử khơng có thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng qt hóa khơng tầm thường nên theo định lý 2.5.11, nguyên thủy có iđêan phải tối thiểu Với mở rộng centroid Tuy nhiên, vành đơn có đơn vị, tâm iđêan phải tối thiểu có đơn vị Nhưng Định lý 3.2.5 Cho Artin nên theo hệ 3.2.3 có một vành nguyên tố cho mở rộng tâm tồn Chứng minh Giả sử Khi khơng tầm thường Do Hơn nữa, vành đơn có mâu thuẫn với phải tối tiểu Vì , tâm khác cho có cho với thỏa mãn đồng thức đa thức dạng tổng quát hóa mở rộng centroid vơ hạn Ta có vành ngun thủy có iđêan thể (theo kết 2.3.11) bậc hữu hạn Theo cách xây dựng , tồn iđêan Vì với iđêan phải Hơn nữa, khơng thể lũy linh, Do nguyên tố nên Vì iđêan phải khác nên khơng thể lũy linh Do cho với Vì Thực tương tự định lý 1, ta đặt khơng gian véctơ Theo tính chất nguyên tố , Điều cho ta phần tử nên với , Và Hơn cho khơng gian với Do thể thuộc nên trường vô hạn , từ có phần tử cho với tâm với , Đặt , nên ta có phần tử , nên có nên ta nên Trong biểu thức ta thay , ta nhận phần tử cho trước với cho với Ta có với vành chia Tất phần tử Đặt , mà tích chúng lại 0, ta gặp mâu thuẫn! Nhận xét Thật không rõ ràng giả thiết vành nguyên tố để đảm bảo mở rộng centroid vô hạn Nhưng centroid vô hạn chắn mở rộng centroid vơ hạn Do ta có hệ sau Hệ 3.2.6 Cho vành nguyên tố mà centroid vơ hạn Ta có tồn Nhận xét Nếu khơng thể có có đặc số centroid vơ hạn, nên vành với Kết luận Trong khuôn khổ báo nội dung luận văn, lớp vành ngun tố mà ta khơng thể tìm hệ thức dạng với Đó lớp vành  Vành Goldie nguyên tố vô hạn  Vành Noether nguyên tố vô hạn  Vành Artin nguyên tố vô hạn  Vành nguyên tố vô hạn hay tổng quát vành đơn vô hạn  Vành nguyên tố có mở rộng centroid vơ hạn  Vành ngun tố có centroid vơ hạn  Vành ngun tố có đặc số Mục tiêu mà đề tài hướng tới ta làm mạnh thêm kết đến mức nào, tức ta làm yếu giả thiết kèm theo vành nguyên tố đến đâu để kết không thay đổi? Tài liệu tham khảo Amitsur S.A (1965), Generalized Polynomial Identities and Povotal Monomial, Transactions of American Mathematical Society, vol 114, pp 210-226 Hersein I.N (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America, USA Hersein I.N., Small Lance W (1979), Some Comments on Prime Rings, Journal of Algebra, vol 60, pp.223-228 Lam T.Y (1998), Lectures on modules and rings, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Martindale 3rd Wallace S (1969), Prime rings satisfying a generalized polynomial identity, Journal of Algebra, vol 12, pp.576-584 Zelmanowitz J (1969), A shorter proof of Goldie's theorem, Canad Bull 12, pp.597-602 ... Mối liên hệ vành khơng giao hốn Mệnh đề 1.2.9 Vành đơn vành nguyên tố Mệnh đề 1.2.10 Vành nguyên tố vành nửa nguyên tố Mệnh đề 1.2.11 Vành đơn có đơn vị vành nửa đơn Chứng minh vành đơn có đơn... cấu vành qui von Neumann vành nguyên tố mở rộng centroid Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.9 , trường vành nguyên tố vành nguyên tố Mặt khác tâm vành nguyên tố miền nguyên Do miền nguyên Theo mệnh đề. .. dạng với Đó lớp vành  Vành Goldie nguyên tố vô hạn  Vành Noether nguyên tố vô hạn  Vành Artin nguyên tố vô hạn  Vành nguyên tố vô hạn hay tổng quát vành đơn vơ hạn  Vành ngun tố có mở rộng