(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn

(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn(Luận văn thạc sĩ) Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍➀◆● ❇❆❖ ✣❆ ❈Ü❈ ❱⑨ ❚❾P ✣❆ ❈Ü❈ ✣❺❨ ❚❘❖◆● Cn ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✕ ✷✵✶✻ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍➀◆● ❇❆❖ ✣❆ ❈Ü❈ ❱⑨ ❚❾P ✣❆ ❈Ü❈ ✣❺❨ ❚❘❖◆● Cn ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ●■❷■ ❚➑❈❍ ▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆❣÷í✐ ữợ ✕ ✷✵✶✻ ✐ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝✱ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ❧➦♣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝ ✈➔ ❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ữủ ró ỗ ố t ✷✵✶✻ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣ ✐✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❡♠ ❧✉ỉ♥ ữủ sỹ ữợ ú ù t t ❝õ❛ ●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉ ✭✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ P❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ■✮✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ✈➔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ tr✐ ➙♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❡♠ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ t❤➛② ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❡♠✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ ♥❤➔ tr÷í♥❣✱ ❇❛♥ ❈❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ t♦→♥✱ ❜❛♥ ỏ s qỵ t ổ ợ rữớ ❤å❝ ❙÷ P❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t tr t ỳ tự qỵ ụ ữ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝✳ ❊♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ♥❤➜t tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❤é trñ ✈➔ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❉♦ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü õ õ ỵ t ổ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✻ ◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❍➡♥❣ ✐✐✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✐✐ ▼ư❝ ❧ö❝ ✐✐✐ ▼ð ✤➛✉ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✷ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✷ ✶✳✶ ❍➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ỏ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✶✳✷ ▼✐➲♥ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✸ ❚➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✹ ❇❛♦ ✤❛ ❝ü❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✺ ❉á♥❣ ❞÷ì♥❣✱ ✤â♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✻ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✕❆♠♣❡r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✼ ✣ë ✤♦ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷ ❇❛♦ ✤❛ ❝ü❝ ✈➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn ✷✵ ✷✳✶ ❚➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✈➔ ❜❛♦ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✷ ❇❛♦ ỹ ỗ t tr Cn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✐✈ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣ ✸✷ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✸✸ ✶ ▼ð ✤➛✉ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ởt ố tữủ q trồ t ự ỵ tt t ỹ ởt ỏ ữợ ữủ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➔ tr➯♥ ✤â ❤➔♠ ❜➡♥❣ −∞✳ ❉♦ log✱ ♠♦❞✉♥ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➔ ❤➔♠ ỏ ữợ t ỹ ỏ ữợ ỏ t ỹ ❧➔ ♠ð rë♥❣ tü ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➟♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜❛♦ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❝ü❝ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠æ t↔ sü ♠ð rë♥❣ ❝→❝ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤â ❝ơ♥❣ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♠ð rë♥❣ ❝→❝ t➟♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉ ✈➔ P❤↕♠ ❍♦➔♥❣ ❍✐➺♣ ✈➲ ❜❛♦ ✤❛ ❝ü❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❤✐➲✉ ❝❤✐➲✉ (Cn , n ≥ 2)✳ ◆❣♦➔✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ỏ ữợ ỏ ữợ ỗ ỏ ữỡ õ ✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡ ✲ ❆♠♣❡r❡✱ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ■■ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❜❛♦ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ ỗ t ởt tr ũ ởt t t ỵ 2.1.3 ỵ 2.2.1✮ ✈➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ tê♥❣ q✉→t ✈➲ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♠✐➲♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝ô♥❣ ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ỡ ỵ 2.1.1 ữỡ tự ỏ ữợ ỏ ữợ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✳ ❍➔♠ u : X → [−∞, +∞) ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ tr➯♥ X ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ α ∈ R t➟♣ Xα = {x ∈ X : u(x) < α} ❧➔ ♠ð tr♦♥❣ X ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû D ❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ C✳ ❍➔♠ u : D [, +) ỏ ữợ tr D ♥➳✉ ♥â ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ tr➯♥ D ✈➔ t t tự ữợ tr tr D ợ D tỗ t > s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ ≤ r ≤ ρ t❛ ❝â u(ω) ≤ 2π 2π u(ω + reit )dt ú ỵ r ợ tr t ỗ t tr D ữủ ỏ ữợ tr D ỵ t ỏ ữợ tr D SH(D) ú ỵ ỏ ữợ f : D → C ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr D t log |f | ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ f ≡ t❤➻ ❦➳t q✉↔ ❧➔ rã r➔♥❣✳ ●✐↔ sû f ≡ tr➯♥ D✳ ❑❤✐ ✤â rã r➔♥❣ log |f | ❧➔ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ D✳ ◆➳✉ f (z0 ) = t❤➻ ❝❤å♥ δ > s❛♦ ❝❤♦ f = tr➯♥ B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ}✳ ❑❤✐ ✤â log |f | ❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ tr➯♥ B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ} ♥➯♥ ữủ tọ ợ tự rữớ ủ f (z0 ) = 0✳ ❑❤✐ ✤â log |f (z0 )| = −∞ ✈➔ ❞♦ ✤â ✭✶✳✶✮ ❧✉ỉ♥ ✤ó♥❣✳ ✣à♥❤ ỵ s t t ỏ ữợ ❜➜t ❜✐➳♥ q✉❛ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ C✳ ●✐↔ sû f : D1 → D2 ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ C u ỏ ữợ tr D2 t u f ỏ ữợ tr D1 ỵ ự t ỏ ữợ t ữỡ ự u f ỏ ữợ tr ộ ❝♦ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐ E1 ●✐↔ sû E1 ❧➔ ♠✐➲♥ ♥❤÷ ✈➟②✳ ❑❤✐ ✤â E2 = f (E1 ) ❤á❛ trì♥ {un } ∈ C ∞ (E2 ) s❛♦ ❝❤♦ un D1 ✳ D2 ✳ ❈❤å♥ ❞➣② ❤➔♠ ✤✐➲✉ u tr➯♥ E2 ✳ ❚❛ ❝â ∆un ≥ tr➯♥ E2 ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ❚❛ ❝â ∆(un ◦ f ) = (∆(un ) ◦ f )|f |2 tr➯♥ D1 ❉♦ ✤â un ◦ f ❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr E1 ữ un f u f tr➯♥ E1 ♥➯♥ u ◦ f ❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr D1 ỵ ữủ ự ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ●✐↔ sû D ⊂ Cn ❧➔ t➟♣ ♠ð✱ u : D → [−∞, +∞) ❧➔ ❤➔♠ ♥û❛ tử tr ổ ỗ t tr t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝õ❛ D✳ ❍➔♠ u ❣å✐ ❧➔ ỏ ữợ tr D ợ a ∈ D ✈➔ b ∈ Cn ✱ ❤➔♠ λ −→ u(a + b) ỏ ữợ tr➯♥ ♠å✐ ✹ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ {λ C : a + b D} ỵ P SH(D) t ỏ ữợ tr♦♥❣ D✳ ❚❛ ❝â ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ỏ ữợ ữ s u P SH(D) t❤➻ eu ∈ P SH(D)✳ ✰✮ ◆➳✉ u ∈ P SH(D), u ≥ ✈➔ α ≥ t❤➻ uα ∈ P SH(D)✳ ✰✮ ◆➳✉ u1 , u2 ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ➙♠ tr➯♥ t➟♣ ♠ð D ⊂ Cn ✈➔ log u1 , log u2 ∈ P SH(D) t❤➻ u1 , u2 ∈ P SH(D) ✈➔ log(u1 + u2 ) ∈ P SH(D)✳ ●✐↔ sû u : X → [−∞, +∞) ❧➔ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥✱ ❦❤ỉ♥❣ ỗ t tr t tổ ❝õ❛ D ⊂ Cn✳ ❑❤✐ ✤â u ∈ P SH(D) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ a ∈ D, b Cn s ỵ {a + b : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D t❛ ❝â u(a) ≤ 2π 2π u(a + reiθ b)dθ := l(u, a, b) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿ ▲➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ s✉② r❛ tø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ 1.1.5✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✿ ●✐↔ sû a ∈ D, b ∈ Cn ✈➔ ①➨t U = {λ ∈ C : a + λb ∈ D} ❑❤✐ ✤â U ❧➔ t➟♣ ♠ð tr➯♥ C✳ ✣➦t v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U ự v() ỏ ữợ tr U ✳ ▼✉è♥ ✈➟② ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ tä ♥➳✉ λ0 U tỗ t > s ≤ r < ρ t❤➻ v(λ0 ) ≤ 2π 2π v(λ0 + reiθ )dθ ❚ø a + λ0 b ∈ U ✱ ♥➳✉ ❝â ρ > s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ |λ| < ρ t❤➻ a + λ0 b + λb ∈ D✳ ❱ỵ✐ ≤ r < ρ t❛ ❝â {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ D✳ ❉♦ ✤â tø ❣✐↔ t❤✐➳t u(a + λ0 b) ≤ 2π 2π u(a + λ0 b + rbeiθ )dθ ✶✾ ◆❣♦➔✐ r❛ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜❛♦ ✤❛ ❝ü❝ t❛ ❝➛♥ tỵ✐ ❤❛✐ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❜✐➳t ❝õ❛ ❊❞✐❣❛r✐❛♥ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✳ ●✐↔ sû D ❧➔ ♠ët t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ E ❧➔ t➟♣ ❧♦↕✐ Fσ ❧➔ ❝♦♥ ❝õ❛ D✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ t➟♣ D D ✈➔ ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♥ ♠ð U ❝õ❛ D t❤ä❛ ♠➣♥ ED∗ ∩ ∂U = ∅ t❛ õ ỵ (z, E D , D ) = ω(z, E ∩ U ∩ D , U ∩ D ), ∀z ∈ U ∩ D ●✐↔ sû D ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ tr♦♥❣ Cn ✈➔ E ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ❝♦♥ ✤➛②✱ ✤â♥❣ ❝õ❛ D✳ ❑❤✐ ✤â ợ t tữỡ ố D D tỗ t ởt ỏ ữợ tr➯♥ D t❤ä❛ ♠➣♥ ✭❛✮ ϕ = −∞ tr➯♥ E ∩ D ✳ ✭❜✮ eϕ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ D ✈➔ ỏ ữợ t trỡ ợ C ∞ tr➯♥ D \E ✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✼✳✹✳ ✷✵ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❇❛♦ ✤❛ ❝ü❝ ✈➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn ✷✳✶ ❚➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✈➔ ❜❛♦ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn ❑➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ỵ s õ r ủ ởt t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② ✈ỵ✐ ♣❤➛♥ ❜ị ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② ❦❤→❝ s➩ ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr➯♥ ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥✳ ●✐↔ sû D ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ tr♦♥❣ Cn ✈➔ ❝❤♦ E ⊂ D ❧➔ ♠ët t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛②✱ ✤â♥❣ ❝õ❛ D✳ ●✐↔ sû F ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ❝♦♥ ✤➛② ❝õ❛ D\E ✳ ❑❤✐ ✤â✿ ợ t tữỡ ố D D✱ t➟♣ (E ∪ F ) ∩ D ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ D ✳ ✭❜✮ ◆➳✉ D ❧➔ ỗ F t Fσ ✈➔ Gδ tr♦♥❣ D\E ✱ ❦❤✐ ✤â E ∪ F ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ D✳ ✣➦❝ ❜✐➺t FD E F ỵ ự ♠✐♥❤✳ ✭❛✮ ❚ø ❇ê ✤➲ 1.7.4 t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ởt ỏ ữợ tr D s ❝❤♦ ϕ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ D \E ✈➔ ϕ = −∞ tr➯♥ D ∩ E ✳ ▲➜② ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ỏ ữợ v tr D\E s v −∞✱ v ≡ −∞ tr➯♥ F ✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ j ≥ t❛ ✤➦t ✷✶  v − aj   max{ + ϕ, −2j } + |aj | ϕj =   −2j tr➯♥ D ∩ {ϕ ≥ −2j } tr➯♥ D ∩ {ϕ < −2j }, tr♦♥❣ ✤â aj := sup v(z) z∈D ∩{ϕ≥−2j } ❈❤✉é✐ ϕ := ϕj /2j ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr D j0 õ trỹ t s r r➡♥❣ ϕ ≡ −∞ tr➯♥ (E ∪ F ) ∩ D ❱ỵ✐ z0 ∈ D\(E ∪ F )✱ t❛ ❝â v(z0 ) > −∞ ✈➔ ϕ(z0 ) > −∞✱ ❞♦ ✤â ❝â j0 ✤õ ❧ỵ♥ s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ j ≥ j0 t❛ ❝â✿ ϕj (z0 ) ≥ ϕ(z0 ) + v(z0 ) − aj + |aj | ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ϕ(z0 ) > −∞✳ ❱➻ ✈➟② (E ∪ F ) ∩ D ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr➯♥ D ✳ ✭❜✮ ✣÷đ❝ s✉② r❛ trü❝ t✐➳♣ tø ✭❛✮ ✈➔ ❇ê ✤➲ 1.4.5✳ ●✐↔ sû D, E, F ữ tr ỵ (2.1.1) ●✐↔ sû r➡♥❣ F ∩ E = ∅ ✈➔ F ❧➔ t➟♣ ❧♦↕✐ Fσ ✈➔ Gδ tr♦♥❣ D\E ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â F ∩ D ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ tr D ợ t tữỡ ố D ❝õ❛ D✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ sû ❞ö♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t tø ♠ö❝ ✹ ❝õ❛ ❬✺❪✳ ❈❤å♥ ❤❛✐ t➟♣ ♠ð U1 ✈➔ U2 t❤ä❛ ♠➣♥ F ⊂ U1 ⊂ D, E ⊂ U2 ⊂ D ✈➔ U1 ∩ U2 = ∅ ✣➦t U := U1 ∪ U2 ✳ ứ ỵ 2.1.1 t õ FD E F ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ♥❣❤➽❛ ❧➔ FD∗ ∩ ∂U = ∅✳ ✷✷ ❈❤å♥ ♠✐➲♥ ❝♦♥ D ❝õ❛ D s❛♦ ❝❤♦ D D D ỵ 1.7.3 t õ (z, F ∩ D , D ) = ω(z, F ∩ U ∩ D , U ∩ D ), ∀z ∈ U D ú ỵ r U D ❧➔ ❤đ♣ rí✐ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ♠ð U1 ∩ D ✈➔ U2 ∩ D ✳ ❈❤♦ ♥➯♥ ω(z, F ∩ U ∩ D , U ∩ D ) = 0, z ∈ U2 ∩ D ❱➻ ✈➟② ω(z, F ∩ D , D ) = 0, z ∈ U2 ∩ D ✣➦❝ ❜✐➺t ✤✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ E ∩ D ✳ ❉♦ ✤â (F ∩ D )− = F ∩D ✳ D ❈✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ ỵ tr t r➡♥❣ F ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ D ✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥â✐ r➡♥❣ sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ❧➔ ❝â ❣✐ỵ✐ sỷ D ỗ tr Cn, n ≥ ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D s❛♦ ❝❤♦ S := {z ∈ D : f (z) = 0} ❧➔ ♠ët ✤❛ t↕♣ ❝♦♥ ♣❤ù❝ ✤è✐ ❝❤✐➲✉ ✶ tr♦♥❣ D✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ❝♦♥ E ❝õ❛ D\S ✱ t➟♣ ED∗ ∩ S ởt t ỹ tữỡ ố ợ S ỵ ự ỵ 2.1.3 t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ✈➲ sü tử ỏ ữợ tr ❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ♣❤ù❝✳ ❈❤♦ D ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ s✐➯✉ ỗ tr Cn f ❤➻♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ D s❛♦ ❝❤♦ S := {z ∈ D : f (z) = 0} ❧➔ ♠ët ✤❛ t↕♣ ❝♦♥ ♣❤ù❝ ✤è✐ ❝❤✐➲✉ ✶ tr♦♥❣ D✳ ●✐↔ sû {uj }j≥1 ❧➔ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr D s D lim uj (ξ) = ✈ỵ✐ ♠å✐ j ≥ 1✳ ✭❜✮−1 ≤ uj ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ j ≥ 1✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✹✳ ✷✸ ✭❝✮uj ↑ ✭❤✳❦✳♥✮ tr➯♥ D✳ ✭❞✮ supp(ddcuj )n K ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ❝õ❛ D\S ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ j ✳ ❑❤✐ ✤â uj |S ↑ tữỡ ố ợ ữủ tr S ✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t vj := uj |S ✳ õ vj ỏ ữợ ❝❤➦♥ tr➯♥ S ✳ ❍ì♥ ♥ú❛ vj ❧➔ ❤➔♠ t➠♥❣✳ ❚❛ ♣❤↔✐ ❝❤➾ r❛ v := ( lim vj )∗ ỗ t j tr S ú ỵ r vj ≤ v ≤ tr➯♥ S ✈ỵ✐ ♠å✐ j ✳ ❑❤✐ ✤â tø ✭❛✮ s✉② r❛ lim ξ→∂D,ξ∈S v(ξ) = ❙❛✉ ❦❤✐ ❝❤✐❛ f ❜ð✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❧ỵ♥✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ f D < 1✳ ❚❛ ✤÷đ❝ 0≤ D −uj ddc (log |f |) ∧ ddc un−1 ≤ j − log |f |(ddc uj )n D ứ ỵ tư ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❇❡❞❢♦r❞ ✲ ❚❛②❧♦r t❛ ❝â✿ − log |f |(ddc uj )n = lim j→∞ D − log |f |(ddc uj )n = K ❑➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✶✮✱✭✷✳✷✮ t❛ ✤÷đ❝✿ −uj ddc log |f | ∧ (ddc uj )n−1 = lim j→∞ D ❇➙② ❣✐í t❛ →♣ ỵ r r ữủ vj (ddc vj )n−1 = S uj ddc (log |f |) ∧ (ddc uj )n−1 D ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ −vj (ddc vj )n−1 = lim j→∞ S ú ỵ r v vj ❉♦ ✤â −v(ddc vj )n−1 = lim j→∞ S ỵ tử ỡ ❇❡❞❢♦r❞ ✲ ❚❛②❧♦r t❛ ✤÷đ❝ (ddc vj )n−1 → (ddc v)n−1 tr➯♥ S t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❞á♥❣✳ ❉♦ ✤â −v(ddc v)n−1 = 0✳ ❱➻ S ✈➟② (ddc v)n−1 = {v t❤➻ fj (z ) = 2πi |z1 |=r f (z1 , z )z1j−1 dz1 ❱➻ ✈➟② ✭✷✳✾✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tø t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ÷ỵ❝ ❧÷đ♥❣✳ ❑➳t q✉↔ ❝✉è✐ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tø ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✲ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✈➲ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ộ ụ tứ ự ỵ s ự ỗ tớ sỷ ỵ tữ tứ ợ j ≥ 1✱ ✤➦t aj := − log( fm K ) m≥j+1 ❚ø ✭✷✳✾✮ ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❛✮ t❛ ❝â aj ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ sè t❤ü❝ t➠♥❣ ❞➛♥ ✤➳♥ ∞✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ u(z ) = lim sup j→∞ log |fj (z )| , z ∈ Cn−1 aj ❚ø ✭✷✳✾✮ t❛ ❝â u ≤ tr➯♥ Cn−1 ✳ ❉♦ ✤â u∗ ❧➔ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ tr➯♥ Cn−1 ✈➔ u∗ ≤ tr➯♥ Cn−1 ✳ ❱➻ u(α) = u∗ (α) = t ỵ ỹ t s r u∗ ≡ tr➯♥ Cn−1 ✳ ✣➦t A := {z Cn1 : u(z ) = 0} ỵ ✼✳✶ tr♦♥❣ ❬✸❪ ✱ A ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✭ tr♦♥❣ Cn−1 ✮✳ ❱➻ ✈➟② ✤➸ ❝â ✭✐✮ ✈➔ ✭✐✐✮ ♥â ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ / A ✈➔ β ∈ C t❤➻ ✤✐➸♠ a := (0, α , β) ∈ / (Γf )∗Cn+1 ✳ ✣➛✉ t✐➯♥✱ t❛ ✤➦t S := {(z1 , , zn , f (z1 , , zn )) : < |z1 | < 3/2, |zi | < 1, ∀2 ≤ i ≤ n} ✷✽ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ S ❧➔ ❜ë ♣❤➟♥ ❝õ❛ Γf ✳ ▲➜② ♠ët ❞➣② {rk }k≥1 ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ < rk , rk ↑ ∞ ✈➔ {a} ∪ S ⊂ {(z1 , , zn+1 ) ∈ Cn+1 : max(|z1 |, , |zn+1 |) < r1 } ❱➻ u(α ) = 0✱ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ♠ët ❞➣② js ↑ ∞ s❛♦ ❝❤♦ log |fjs (α )| = s→∞ ajs ✭✷✳✶✵✮ lim ❚✐➳♣ ✤â t❛ ✤➦t ✈ỵ✐ k ≥ ∆k := {(z1 , , zn+1 ) ∈ Cn+1 : max(|z1 |, , |zn+1 |) < rk } ❈è ✤à♥❤ k ≥ 1✱ t❛ s➩ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ỏ ữợ vk tr k s ❝❤♦ vk ≡ −∞ tr➯♥ S tr♦♥❣ ✤â vk (a) > −∞✳ ✣➸ ❦➳t t❤ó❝ ✤✐➲✉ ♥➔② t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ j s fm (z ) js uk,s (z1 , , zn+1 ) := log |(zn+1 − f0 (z) − m )z1 | js z m=1 j s js fm (z )z1js −m | = log |((zn+1 − f0 (z))z1 − js m=1 ❚ø ✭✷✳✾✮ t❛ ❝❤å♥ M > s❛♦ ❝❤♦ fm θ(∆k ) < M m ✈ỵ✐ ♠å✐ m ≥ 1✱ tr♦♥❣ ✤â θ : (z1 , z ) −→ z ✳ ✣➦t l := max(rk , M, f0 K ) ú ỵ r l > 1✳ ❚❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✉ tr➯♥ ∆K j uk,s s ≤ log(2l + rkm−js M m ) js m=1 j s ≤ log(2l + l2m−js ) js m=1 1 ≤ log(2l + js ljs ) < log(2js ljs ) < + log l js js ✭✷✳✶✶✮ ✷✾ ✈ỵ✐ ∀s ≥ s0 ✤õ ❧ỵ♥✳ ❚ø ✭✷✳✾✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ log |fjs (α )| = −∞ s→∞ js lim ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✭✷✳✶✵✮ t❛ ✤÷đ❝ log |fjs (α )| − log l − aj s js lim = +∞ ✈➔ lim = aj s→∞ js s→∞ − s − log l − js ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ①➨t ❞➣② ❝♦♥ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû log |fjs (α )| − log l − 1 js 0< < , ∀s ≥ aj s − s − log l − js , s ≥ ajs s(− − log l − 1) js ❑❤✐ ✤â λs ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❈❤å♥ λs := − →s≥1 λs ( →s≥1 log |fjs (α )| − log l − 1) > −∞ js aj λs (− s − log l − 1) = −∞ js ✭✷✳✶✷✮ ✭✷✳✶✸✮ ❱➻ ✈➟②✱ tø ✭✷✳✶✶✮ ❝❤✉é✐ λs (uk,s − log l − 1) vk := ✭✷✳✶✹✮ s≥s0 ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr k st t tứ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ uk,s t❛ ❝â a = (0.α , β) ✈➔ s ≥ 1✳ uk,s (a) = log |fjs (α )| js ❚ø ✭✷✳✶✷✮ t❛ ❝â vk (a) = λs ( s≥s0 log |fjs (α )| − log l − 1) > −∞ js ✸✵ ✣→♥❤ ❣✐→ s❛✉ tr➯♥ S ✤÷đ❝ ❞ü❛ tr➯♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝õ❛ f uk,s (z, f (z)) ≤ |fm (z )| aj s js log(( )|z | ) ≤ − m js |z | j s m≥j +1 ✭✷✳✶✺✮ s ❚ø ✭✷✳✶✸✮✱✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ✭✷✳✶✺✮ t❛ s✉② r❛ vk ≡ −∞ tr➯♥ S ✳ ❱➻ S ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛ t➟♣ ✤❛ t↕♣ ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ Γf ♥➯♥ vk ≡ −∞ tr➯♥ Γf ∩ ∆˜k ✳ ❱➻ ✈➟② ①→❝ ✤à♥❤ ữủ ởt ỏ ữợ vk ❜✐➺t✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ a∈ / (Γf ∩ ∆k )− ∆k ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ 1.4.3 ✈➔ ❇ê ✤➲ 1.4.4 ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ✈➨t ❝↕♥ {vk } ❝õ❛ Cn+1 t❛ ✤÷đ❝ a ∈ / (Γf )∗Cn+1 ✳ ❚ø ✤â ✭✐✮ ✈➔ ✭✐✐✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣ ợ t t tr trữớ ủ log |fj | ỏ ữợ tr Cn1 ợ j j0 ỵ r ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t u(α) = t❛ s✉② r❛ u ≡ tr➯♥ Cn−1 ✳ ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✭✐✮✱ Γf ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn+1 ✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ Cn\H ✳ ●✐↔ sû fj (z ) f (z) = f0 (z) + j≥1 z1j ❧➔ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ▲❛✉r❡♥t ❝õ❛ f sỷ r tỗ t ởt số ổ ❝õ❛ ❝❤➾ sè j s❛♦ ❝❤♦ fj ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❦❤➢♣ ỡ õ ợ j tỗ t ởt ❞➣② {jk }k≥1 ↑ ∞ s❛♦ ❝❤♦ Γf˜ ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn+1 ✱ tr♦♥❣ ✤â f˜ ❧➔ ỏ ữợ fj (z ) f(z) = f0 (z) + 1≤j≤j0 z1j fjk (z ) + k≥1 z1jk ự ứ tt tỗ t ởt lm ↑ ∞, l1 > j0 s❛♦ ❝❤♦ fl m ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr➯♥ Cn−1 ✳ ❚ø ✭✷✳✾✮✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①➨t ❞➣② ❝♦♥✱ t❛ ❝♦ ✸✶ t❤➸ ❣✐↔ sû f lm K≤ ✭✷✳✶✻✮ (1/2)lm , ∀m ≥ 1, tr♦♥❣ ✤â K ❧➔ ✤❛ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ Cn−1 ✳ ❈❤å♥ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ {lmk } ↑ ∞ ♥❤❛♥❤ ✤➳♥ ♥é✐ lm1 := l1 ✈➔ log |flmk (0)| > − , ∀k ≥ lmk+1 k ✭✷✳✶✼✮ ❚ø ✭✷✳✶✻✮ ✈➔ ✭✷✳✶✼✮ t❛ ✤÷đ❝ log |flmk (0)| lim k→∞ f lm s log = K s≥k+1 ✣➦t jk := lmk ✈➔ fj (z ) f˜(z) := f0 (z) + 1≤j≤j0 z1j fjk (z ) + k≥1 z1jk ❚ø ✣à♥❤ ❧➼ 2.2.1✭✐✐✐✮✱ Γf˜ ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn+1 ✳ ✸✷ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣ ◆❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✿ • ◆❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ỏ ữợ ỏ ữợ ỗ ỏ ữỡ õ t tỷ r ã P trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ỹ ỗ t ởt tr➯♥ ♣❤➛♥ ❜ò ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✈➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♠✐➲♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝ô♥❣ ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥✳ ❉♦ ✈➜♥ ✤➲ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤è✐ ♣❤ù❝ t↕♣✱ ❤ì♥ ♥ú❛ ❞♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ♠➦❝ ❞ị ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣ ♥❤÷♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤â tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❚→❝ ❣✐↔ ữủ ỳ ỵ õ õ qỵ ❝õ❛ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ q✉❛♥ t➙♠ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ✸✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉ ✈➔ ▲➯ ▼➟✉ ỡ sữ s ỵ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✷❪ ◆❣✉②❡♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐❡✉ ❛♥❞ P❤❛♠ ❍♦❛♥❣ ❍✐❡♣ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧P❧✉r✐♣♦❧❛r ❍✉❧❧s ❛♥❞ ❈♦♠♣❧❡t❡ P❧✉r✐♣♦❧❛r ❙❡ts✧✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✹✵✭✷✮✱ ♣♣✳ ✹✵✾ ✲ ✹✷✻✳ ❬✸❪ ❇❡❞❢♦r❞✱ ❊✳✱ ❚❛②❧♦r✱ ❆✳ ✭✶✾✽✷✮✱ ✧❆ ♥❡✇ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✧✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳✱ ✶✹✾✱ ♣♣✳ ✶ ✲ ✹✵✳ ❬✹❪ ❊❧ ▼✐r✱ ❍✳ ✭✶✾✽✹✮✱ ✧❙✉r ❧❡ ♣r♦❧♦♥❣❡♠❡♥t ❞❡s ❝♦✉r❛♥ts ♣♦s✐t✐❢s ❢❡r♠❡s✧✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳✱ ✶✺✸✭✶ ✲ ✷✮✱ ♣♣✳ ✶ ✲ ✹✺✳ ❬✺❪ ❊❞✐❣❛r✐❛♥✱ ❆✳✱ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ ❏✳ ✭✷✵✵✷✮✱ ✧❉❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❧✉r✐♣♦❧❛r ❤✉❧❧s ♦❢ ❣r❛♣❤s ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✧✱ ❆♥♥✳ ■♥st✳ ❋♦✉r✐❡r ✭●r❡♥♦❜❧❡✮✱ ✺✹✭✻✮✱ ♣♣✳ ✷✵✽✺ ✲ ✷✶✵✹✳ ❬✻❪ ▼❛✉ ❍❛✐✱ ▲✳✱ ❉✐❡✉ ◆✳ ◗✳✱ ❱❛♥ ▲♦♥❣✱ ❚✳ ✭✷✵✵✹✮✱ ✧❘❡♠❛r❦s ♦♥ P❧✉r✐♣♦✲ ❧❛r ❤✉❧❧s✧✱ ❆♥♥✳ P♦❧♦♥✳ ▼❛t❤✳✱ ✽✻✱ ♣♣✳ ✷✷✺ ✲ ✷✸✻✳ ❬✼❪ ❩❡r✐❛❤✐✱ ❆✳ ✭✶✾✽✾✮✱ ✧❊♥s❡♠❜❧❡s ♣❧✉r✐♣♦❧❛✐r❡s ❡①❝❡♣t✐♦♥❡❧s ♣♦✉r ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ♣❛rt✐❡❧❧❡ ❞❡s ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s✧✱ ❆♥♥✳ P♦❧♦♥✳ ▼❛t❤✳✱ ✺✵✱ ♣♣✳ ✽✶ ✲ ✽✾✳ ... |fj (z )| , z ∈ Cn? ??1 aj ❚ø ✭✷✳✾✮ t❛ ❝â u ≤ tr➯♥ Cn? ??1 ✳ ❉♦ ✤â u∗ ❧➔ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ tr➯♥ Cn? ??1 ✈➔ u∗ ≤ tr➯♥ Cn? ??1 ✳ ❱➻ u(α) = u∗ (α) = 0✱ t ỵ ỹ t s r u tr➯♥ Cn? ??1 ✳ ✣➦t A := {z ∈ Cn? ??1 : u(z ) =... −→ z✳ ✭✐✐✮ ❚➟♣ π((Γf )∗C ∩ ({0} × Cn) ) ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ tr♦♥❣ Cn? ??1✳ ✭✐✐✐✮ ◆➳✉ fj ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❦❤➢♣ ♥ì✐ ✭ tr➯♥ Cn? ??1✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ j ✤õ ❧ỵ♥ t❤➻ Γf ❧➔ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ✤➛② tr♦♥❣ Cn+ 1✳ n+1 n+1 ✣➸ ❝❤ù♥❣ ỵ 2.2.1... Cn ✈➔ fj (j tr➯♥ Cn? ??1✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ fj 1/j K → ✈ỵ✐ ✭✷✳✽✮ , ∀z ∈ Cn H ≥ 1) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t K ❝õ❛ Cn? ??1 ✭✷✳✾✮ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❝❤♦ ♠ët ❞➣② {fj }j≥1 ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ Cn? ??1 t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉