CHUYÊN đề dãy số cấp số CỘNG cấp số NHÂN

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP Bài Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * với n mà thử trực tiếp làm sau:  Bước Kiểm tra mệnh đề với n   Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n  k  Đó phương pháp quy nạp tốn học, hay gọi tắt phương pháp quy nạp Một cách đơn giản, ta hình dung sau: Mệnh đề n  nên theo kết bước 2, với n    Vì với n  nên lại theo kết bước 2, với n    3, Bằng cách ấy, ta khẳng định mệnh đề với số tự nhiên n  * Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên) thì:  Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n  p;  Bước 2, giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  p phải chứng minh với n  k  DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC… A Phương pháp giải Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P (n)  Q (n) ) với n  n0 , n0   ta thực bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q (n0 ) chứng minh P(n0 )  Q (n0 ) Bước 2: Giả sử P(k )  Q(k ); k  , k  n0 , ta cần chứng minh P (k  1)  Q(k  1) B Bài tập tự luận n(n  1) Câu Chứng với số tự nhiên n  ta ln có:     n  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Chứng minh với số tự nhiên n  ta ln có:     2n   n 1.3.5  2n  1 Câu Chứng minh với n  , ta có bất đẳng thức:  2.4.6.2n 2n  n 1 x n ( x n 1  1)  x   Câu Chứng minh với n  1, x  ta có bất đẳng thức:   Đẳng thức xảy xn    nào? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu Cho hàm số số nguyên Chứng minh f :  , n  f ( x)  f ( y )  x y  f  x, y  (1)thìta có   f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  x  x   xn   f  xi  , i  1, n (2) n n   Câu Chứng minh với số tự nhiên n  , ta ln có n(n  1)(2n  1) a 12  2   (n  1)2  n  n 2n  b    n   3 4.3n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu a Chứng minh với số tự nhiên n  ta có:       cos  2n 1 (n dấu căn) nx (n  1) x sin 2 b Chứng minh đẳng thức sin x  sin x  sin nx  với x  k 2 với n  x sin Câu Chứng minh với n  ta có bất đẳng thức: sin sin nx  n sin x x   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu n  1 a Chứng minh với số tự nhiên n  , ta có :      n b 3n  3n  với số tự nhiên n  ; 2.4.6.2n c  2n  với số tự nhiên n  ; 1.3.5  2n  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 Cho hàm số f xác định với x thoả mãn điều kiện: f ( x  y )  f ( x) f ( y ), x, y   (*) Chứng minh với số thực x số tự 2n   x  nhiên n ta có: f  x    f  n      Câu 11 Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: an  16 n –15n –1 225 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 12 Chứng minh với số tự nhiên n  A(n)  n  3n  chia hết cho Câu 13 Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: Bn   n  1 n   n  3   3n  3n Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời (n > 2) tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối hai điểm điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 Chứng minh tổng n – giác lồi (n  3) (n  2)1800 Câu 16 a Chứng minh với n  , ta ln có an   n  1 n    n  n  chia hết cho 2n b Cho a, b nghiệm phương trình x  27 x  14  Đặt S  n   a n  b n Chứng minh với số nguyên dương n S (n) số nguyên không chia hết cho 715 c Cho hàm số f :    thỏa f (1)  1, f (2)  f (n  2)  f (n  1)  f (n) Chứng minh rằng: f (n  1)  f (n  2) f (n)  (1) n n d Cho pn số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng: 22  pn e Chứng minh số tự nhiên khơng vượt qua n ! biểu diễn thành tổng không n ước số đôi khác n ! Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 17 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x   Đặt an  x1n  x2n Chứng minh rằng: a an  6an 1  an n  b an số nguyên an không chia hết cho với n  Câu 18 a Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n  ), ba mặt phẳng ln cắt khơng có bốn mặt phẳng có điểm chung Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền? b Cho n đường thẳng nằm mặt phẳng đóhai đường thẳng ln cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy Chứng minh n đường thẳng chia mặt phẳng n2  n  miền thành Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 n ak   2k  1 k, k  * Sn   ak  1.4  3.8  5.12    2n  1 4n k 1 n n n  Sn    2k  1 4k  8 k  4 k k 1 k 1 k 1 4n  n  1 2n  1 2n  n  1 4n  1  2n  n  1  3 20.11.39  2860 Vậy Sn  1.4  3.8  5.12    2n  1 4n  S10   Sn  Câu 25 Cho tổng S n  1.2  3.4  5.6    2n  1 2n Tính giá trị S50 A 169150 B 155000 C 165050 Lời giải D 165000 Chọn A Ta có n ak   2k  1 2k , k  * S n   ak  1.2  3.4  5.6    2n  1 2n k 1 n n n  S n    2k  1 2k  4 k  2 k k 1 k 1 k 1 4n  n  1 2n  1 n  n  1 4n  1  n  n  1  n  n  1 4n  1 50.51.199 Vậy S n  1.2  3.4  5.6    2n  1 2n   S50   169150 3  Sn  Câu 26 Cho tổng S n  1.2  2.5  3.8   n  3n  1 Mệnh đề là: A S6  650 B S8  576 C S10  150 D S12  850 Lời giải Chọn B Ta có n ak  k  3k  1 , k  * S n   ak  1.2  2.5  3.8   n  3n  1 k 1 n n n  Sn   k  3k  1  3 k   k k 1 k 1 k 1 n  n  1 2n  1 n  n  1   n  n  1 2 Vậy S8  1.2  2.5  3.8   8.23  82   1  576  Sn  Câu 27 Tìm x biết:  x  1.2    x  2.5    x  3.8     x  10.29   1200 A x  B x  C x  Lời giải D x  10 Chọn D Ta có  x  1.2    x  2.5   x  3.8    x  10.29   1200  10 x  1.2  2.5  3.8   10.29   1200  10 x  1100  1200  x  10 Câu 28 Cho tổng S n  1.3  3.5  5.7    2n  1 2n  1 Công thức Sn là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A n   n  1 2n  1  3 C n  n  1 2n  1   n  n  1 2n  1   B 3 D  n  1 2n  1  6 Lời giải Chọn A Ta có n ak   2k  1 2k  1 , k  * S n   ak  1.3  3.5  5.7    2n  1 2n  1 k 1 n n n  S n    2k  1 2k  1  4 k  1 k 1  Sn  k 1 k 1 n   n  1 2n  1  3 2n  n  1 2n  1 n   3 Câu 29 Cho: 1.3  4.5  9.7   n  2n  1 n  n  1 Biết:  n     n  Công thức Sn là: n 3 3 n  n  1  3n  5n  1 A n  n  1  3n  5n  1 C n  n  1 3n  1 B n  n  1 5n  1 Lời giải D Chọn C Ta có n ak  k  2k  1 , k  * Sn   ak  1.3  4.5  9.7   n  2n  1 k 1 n n n  Sn   k  2k  1  2 k   k k 1  Sn  k 1 n2  n  1 2  k 1 n  n  1 2n  1  n  n  1  3n2  5n  1 Câu 30 Tìm x biết:  x  x  1.2    x  x  2.5    x  x  3.8     x  x  13.38   2444 A x   x  B x  2  x  C x  2  x  3 Lời giải D x   x  3 Chọn B Ta có x  x  1.2    x  x  2.5    x  x  3.8     x  x  13.38   2444  13  x  x   1.2  2.5  3.8   13.38   2444  13  x  x   132.14  2444 x   13  x  x   2366  2444  x  x      x  2 Câu 31 Tìm x  [0;  ] biết:  2sin x  1.2    2sin x  2.5    2sin x  3.8     sin x  13.38   2392 A x   B x   C x   D x  Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lời giải Chọn A Ta có  2sin x  1.2    2sin x  2.5   2sin x  3.8    2sin x  13.38  2392  26sin x  1.2  2.5  3.8   13.38   2392  26sin x  132.14  2392  26sin x  2366  2392  sin x   x     0;   Câu 32 Cho tổng: 1.4  2.7  3.10   n  3n  1 với n  * Biết: S k  294 Hoán vị k phần tử là: A 5040 B 620 C 120 Lời giải D 720 Chọn D Ta có n ak  k  3k  1 , k  * S n   ak  1.4  2.7  3.10   n  3n  1 k 1 n n n  Sn   k  3k  1  3 k   k k 1  Sn  k 1 k 1 n  n  1 2n  1 n  n  1   n  n  1 2 Sk  294  k  k  1  294  k  2k  k  294   k   6!  720 Câu 33 Cho tổng: S k  1.2  2.5  3.8   n  3n  1 với n  * Biết: S k  576 Khi hình vng có cạnh k  m  có diện tích là: A 64m2 B 64cm2 C 81m Lời giải D 81cm2 Chọn A Ta có n ak  k  3k  1 , k  * S n   ak  1.2  2.5  3.8   n  3n  1 k 1 n n n  Sn   k  3k  1  3 k   k k 1 k 1 k 1 n  n  1 2n  1 n  n  1  Sn    n  n  1 2 S k  576  k  k  1  576  k  k  576   k  Vậy diện tích hình vng 82  64 m Câu 34 Cho tổng:  3.4  5.9    2n  1 n với n  * Tính S62  S52 : A 469606 B 469650 C 469656 Lời giải D 46965 Chọn C Ta có Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 n ak   2k  1 k , k  * Sn   ak   3.4  5.9    2n  1 n k 1 n n n  Sn    2k  1 k  2 k   k k 1 k 1  Sn  k 1 n  n  1 n  n  1 2n  1 n  n  1  3n  n  1   6 2  6.7  3.62   1  S6   791  S62  625681   S62  S52  469656  5.6  3.5   1   395  S52  156025  S5   u1   Câu 35 Cho dãy số un  xác định sau:  un2 u   u , n  1, 2,  n1 n 2017  Tính tổng Sn  u u1 u2     n u2 u3 un1   un   A Sn  2017    B Sn  2017    C Sn  2017  un  1 D Sn  2017  un1   un  Lời giải : Chọn A Ta có: un 1  un    un2 u  , n  1, 2, 3,  n  2017    2017 un1  un un1  u u1 u2     n u2 u3 un 1  1   1   1  1   2017                 un1 un   un un1    u1 u2   u2 u3       2017     2017     u1 un1   un1  u12 u 2018 2017  S1    u1  1  2017 2017 2017 u2 2018 2018 2017 Thay n=1 vào đáp án, ta nhận đáp án A Ngồi ra, tính u2  u  2039 Câu 36 Cho dãy số  un  có:  Hãy tính tổng Sn  u1  u2   un n un1  un   2011 ( n  1) A Sn  26n  2n   2011   n  n  1 C Sn  26n  2n   2011 n  n  1     B Sn  26n  2n   2011 D Sn  26n  2n   2011 Lời giải Chọn C Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ n  n  1 n  n  1 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  un  2039     n 1   2011  n  1 n 1 1  2011  n  1 1  26  n  2011n  2011  28           2011     n  Sn  26  21  2011.1  26  2  2011.2   26  2n  2011.n   26.n  21  2   n   26n  2n   2011 n  n  1 Ngoài ra, tính u2  u1  21  2011  2039   2011  4052  S2  u1  u2  2039  4052  6091 Thay n  vào đáp án, ta đáp án C Câu 37 Cho dãy số  un  , xác định u1  un un1   2n  1 un  Tính tổng 2017 số hạng dãy số 2016 4035 4034 A B C 2017 4034 4035 D 2017 2016 Lời giải Chọn C un 1  un1   2n  1 un  1  un   2n  1   un1 un  2n  1 un  Ta có un1  Đặt  , ta có 1   4n  Suy un  vn1   n  1       n       n  1    v1  2n  n  1   n  1  2n2  2 1   Do un  n  n  2n  1 4034  Vậy S2017   4035 4035 un  Câu 38 Cho dãy số xác định un  4 n  n  n  n  2n  n  n3  3n  3n  , n  Tính tổng S  u1  u2   u20184 1 A 2016 B 2017 C 2018 D 2019 Lời giải Ta có: un  n3  n n   n n    n  1  n  4  n  n   n   n  n 1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    4 n  n 1  n  n 1  n 1  n n  n 1    n 1  n n 1  n  n 1  n 4  n 1  n Do S       20184    20184   1  20184    2018  2017 Câu 39 Cho dãy số  u n  xác định u1  số hạng dãy số đó? 4036 4035 A B 4035 4034 - Ta có: un un 1  ,  n  *  Tính tổng 2018  2n  1 un  4038 4037 Lời giải C D 4036 4037  2n  1 un  1     4n      n  1    4n   un un 1 un  un 1  Tương tự ta đươc: 1 4n  8n     4.1     4.2      4n     2n  2n  n  1  un1 u1  un 1   un  2  4n  8n   2n  1 2n  3  2n  1 2n  1 n   uk   k 1  1  2n  n  2018 2n 4036    uk  2n  2n  4037 k 1 Câu 40 Cho dãy số  an  xác định a1  5, an 1  q.an  với n  1, q số, q  , q  Biết công thức số hạng tổng quát dãy số viết dạng an   q n 1   Tính    ? A 13 B D 16 C 11 Lời giải Cách Ta có: an 1  k  q  an  k   k  kq   k  1 q Đặt  an  k  1  q.vn  q 1   q n v1   Khi  q n 1.v1  q n 1  a1  k   q n 1     1 q      q n 1 n 1  n 1 Vậy an   k  q n 1    k  q    q     1 q  1 q   1 q  1 q Do đó:   5;         2.3  11 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  q n 1 1 q TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Cách Theo giả thiết ta có a1  5, a2  5q  Áp dụng công thức tổng quát, ta   q11 11 a   q     1 q 5      , suy , hay    1 5q    q     a   q 21    q   q    1 q       2.3  11 Câu 41 Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội khác Biết tổng ba số 148 , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T  a  b  c  d 101 100 100 101 A T  B T  C T   D T   27 27 27 27 hạng đầu Lời giải   ac  b  Ta có bd  c   a  b  c  148  Và cấp số cộng có u1  a 1  2  3 , u4  b , u8  c Gọi x công sai cấp số cộng Vì cấp số nhân có cơng bội khác nên x  b  a  x Ta có :   4 c  a  x Từ 1  4 ta : a  a  x    a  x   ax  x  Do x  nên a  x Từ  3   , suy 3a  10 x  148  16 b   a  64   Do :   c    x  256  d  27  Vậy T  a  b  c  d  100 27 Câu 42 Cho dãy số U n  xác định bởi: U  bằng: 3280 A 6561 25942 D 59049 243 Lời giải U U n 1 Un Theo đề ta có: U n 1  mà U  hay  U n  n 1  3n n 1 n 3 B 29524 59049 U n 1 U U U n 1  U n Tổng S  U1     10 3n 10 C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 10 U U2 1   U3     1    ;       ; … ; 10    3 3 3  3 3 10   1 U  Hay dãy  n  cấp số nhân có số hạng đầu U  , công bội q  3  n  Nên ta có Khi S  U1  310  59048 29524 U U3 U10         2.310 10 2.310 59049 Câu 43 Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành cấp số nhân theo thứ tự số khác , biết 1 1      10 tổng chúng 40 Tính giá trị S với S  abcde a b c d e A S  42 B S  62 C S  32 D S  52 Lời giải Gọi q  q   công bội cấp số nhân a , b , c , d , e Khi 1 1 , , , , cấp số a b c d e q nhân có cơng bội Theo đề ta có   q5 a  q  40   q5  a  q  40  a  b  c  d  e  40       1    a2q4  1 1 1        10 q   1  a b c d e  q   10  10  a q  q  1 a 1  q  Ta có S  abcde  a.aq.aq aq aq  a5 q10 Nên S   a q10    a q   45 Suy S  45  32 5u  5u1  u2  u2  Câu 44 Cho dãy số  un  thỏa mãn  Giá trị nhỏ n để un  2.32018 bằng: * un 1  3un n   A 2017 B 2018 C 2019 D 2010 Lời giải 5u1  5u1  u2  u2  1  * u  u  n      n 1 n Từ 1 có 5u1  5u1  u2  u2    5u1  u2   5u1  u2    5u1  u2   5u1  u2  5u1  u2  Từ   có un 1  3un  u2  3u1 Giải hệ  u1  u2  3u1 u1  Dãy  un  cấp số nhân với  có SHTQ: un  2.3n 1 với n   * q  un  2.32018  2.3n 1  2.32018  n   2018  n  2019 Vậy giá trị nhỏ thỏa mãn 2019 Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 45 Cho cấp số nhân  un  có cơng bội q thỏa  1 1 1 u1  u2  u3  u4  u5  49         u1 u2 u3 u4 u5  u  u  35  Tính P  u1  4q A P  24 B P  29 C P  34 Lời giải D P  39 Nhận xét: Nếu u1 , u2 , u3 , u4 , u5 cấp số nhân với cơng bội q tạo thành cấp số nhân với công bội q     q5   q5 1  u1   49  Do từ giả thiết ta có  q   u1      q    u1  u1q  35 Phương trình 1  u1 1 1 , , , , u1 u2 u3 u4 u5 1  2 q  49  q       u1 q  49  u1q  7 q  u1  q  q  1  : vô lý 42 u1  28 u1  28   Với u1q  Thay vào   , ta u1   35  u1  28 Vậy   Khi q   q   Với u1q  7 Thay vào   , ta u1   35  u1  42 Suy q   u1  q  29 Câu 46 Cho dãy số tăng a, b, c  c   theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a , b  8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng a , b  8, c  64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính giá trị biểu thức P  a  b  2c 184 A P  Lời giải B P  64 C P  ac  b ac  b   Ta có a  c   b    a  2b  16  c   2 ac  64a   b   a  c  64    b   92 D P  32 1  2  3 Thay (1) vào (3) ta được: b  64a  b  16b  64  4a  b    c 8  a  a  b  16  c   Kết hợp (2) với (4) ta được:    4a  b  b  4c  60  Thay (5) vào (1) ta được:  5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  c  36  c   c   4c  60   9c  424c  3600    100  c  36  c    c   Với c  36  a  4, b  12  P   12  72  64 2 Câu 47 Cho bố số a , b, c, d biết a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q  ; cịn b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm q biết a  d  14 b  c  12 A q  18  73 24 B q  19  73 24 C q  20  73 24 D q  21  73 24 Lời giải Giả sử a , b, c lập thành cấp số cộng cơng bội q Khi theo giả thiết ta có: b  aq, c  aq  aq  d  2aq   b  d  2c   a  d  14  a  d  14  b  c  12 a  q  q   12 Nếu q   b  c   d (vơ lí) Nếu q  1  b   a; c  a  b  c  (vơ lí) Vậy q  0, q  1, từ (2) (3) ta có: d  14  a a  1  2  3 12 thay vào (1) ta được: q  q2 12q 14q  14q  12 24q    12q  q  13q   q  q2 q  q2 q  q2   q  1 12q  19q     q  Vì q  nên q  19  73 24 19  73 24 Câu 48 Cho ba số a , b , c ba số liên tiếp cấp số cộng có công sai Nếu tăng số thứ thêm 1, tăng số thứ hai thêm tăng số thứ ba thêm ba số ba số liên tiếp cấp số nhân Tính  a  b  c  A 12 B 18 C Lời giải D Chọn D b  a  +) a , b , c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng có cơng sai d    c  a  +) Ba số a  , a  , a  ba số hạng liên tiếp cấp số nhân   a  3   a  1  a    a  a   a  8a   2a   a   T  a  b  c  3a   Câu 49 Cho ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x  y A x  y  10 B x  y  C x  y  D x  y  Lời giải Chọn C Do ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có: S  x  y  10 1  Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Ta lại có ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: P  x y  16   Từ 1 ,  2 suy hai số x ; 2y nghiệm phương trình X  S X  P  hay X  X  10 X  16    X  Theo yêu cầu toán x  y    Câu 50 Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un ) biết u1  u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng A 1 B 1 C 1 D Lời giải Chọn B (un ) cấp số nhân lùi vô hạn có cơng bội q , suy q  u3  u1 q  q , u  u1 q  q Mà u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng nên u1  u4  2.u3 Từ ta có  q  2.q  q  2.q    (q  1)(q  q  1)   q  q    1 q  1  q   ( q  ).Vậy S  u1     1 q 2  1 1 1 1 q   Câu 51 Ba số phân biệt có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân, coi số hạng thứ , thứ , thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để tổng chúng 820 ? A 20 B 42 C 21 D 17 Lời giải Gọi ba số x , y , z Do ba số số hạng thứ , thứ thứ 44 cấp số cộng nên ta có: x ; y  x  7d ; z  x  42d (với d công sai cấp số cộng) Theo giả thiết, ta có: x  y  z  x  x  d  x  42d  x  49d  217 Mặt khác, x , y , z số hạng liên tiếp cấp số nhân nên: d  y  xz   x  7d   x  x  42d   d  4 x  d      4 x  d  Với d  , ta có: x  y  z  217 217 2460   Suy n  820 : 3 217  4 x  d  x   Với 4 x  d  , ta có:  Suy u1    3 x  49d  217 d   n  20  2u1   n  1 d  n  2.3   n  1 n  Do đó, S n  820   820    820   n   41 2  Vậy n  20 Câu 52 Cho khai triển Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 P  x   1  x 1  x 1  3x  1  2017 x   a0  a1 x  a2 x2   a2017 x2017 Tính T  a2  1  22   20172  2  2016.2017  A      2017.2018  B      2016.2017    2  Lời giải C D  2017.2018    2  Chọn D Ta có a2  1     2017       2017    2015.(2016  2017)  2016.2017  1.0  2.1  1     2016 1    2015   2017 1    2016   2a2  1    2017   1    2017    2017.(1    2017)  12  22   2017  Khi đó, ta có T  a2  2a2  12  22   2017  2    2017    2   1 1    2017   1    2017    2017 1    2017   2017.2018 2017.2018  2017.2018        2 2  Câu 53 Cho dãy số  un  thỏa mãn u1  2018 un1  2018 A 4072325 un  un2 với n  Giá trị nhỏ n để un  B 4072324 C 4072326 Lời giải D 4072327 Chọn A Từ giả thiết suy un  0, n  Ta có un1  Đặt  un  un2 un 1  1  2  un un1 un 1 , v1  1   nên   cấp số cộng có cơng sai un 2018  v1   n  1  Để un  , n   un12  1  n  suy   n1 un 2018 2018 1  2018   2018  (n  1)  2018 un 20182 1  2018  n  4072325  2018 2018 Vậy giá trị nhỏ n thỏa mãn điều kiện 4072325  n  1 Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 54 Cho cấp số cộng  un  có số hạng dương, số hạng đầu u1  tổng 100 số hạng 14950 Tính giá trị tổng 1 S    u2 u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3 u2018 u2017  u2017 u2018 A 1  1   3 6052  B  6052 C 2018 D Lời giải Chọn A Gọi d công sai cấp số cộng Khi đó: S100  100u1  100.99 d  100  4950d  14950  d  Do u2018  u1  2017 d  6052 Ta có: uk 1 1 u  uk  1   k 1    d d  uk uk  uk uk 1 uk uk 1 uk 1 uk uk 1 uk  uk 1       Do đó:  1   1   1                 d  u1 d  u2017 u2  d  u2 u3  u2018 S   1      d  u u2018       1   1   3 6052  Câu 55 Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu tổng 100 số hạng đầu 14950 Giá trị tổng A 1    u1u2 u2u3 u49u50 49 74 B 148 49 148 Lời giải C D 74 Gọi d công sai cấp số cộng Ta có S100  50  2u1  99d   14950 với u1   d  Đặt S  1    u1u2 u2u3 u49u50 Ta có S d  u u u u u u d d d 1 147        50 49    1  u1u2 u2u3 u49u50 u1u2 u u3 u49u50 u1 u50  49.3 148 Với d  nên S  49 148 Câu 56 Cho cấp số cộng S  un  có u1  tổng 100 số hạng đầu 10000 Tính tổng 1    u1u2 u2u3 u99u100 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A S  100 201 B S  200 201 C S  198 199 D S  99 199 Lời giải Chọn D Gọi d công sai cấp số cộng cho Ta có: S100  50  2u1  99d   10000  d   2S  200  2u1 2 99 2    u1u2 u2u3 u99u100  u2  u1 u3  u2 u u    99 100 u1u2 u u3 u99u100  1 1 1 1         u1 u2 u2 u3 u98 u99 u99 u100  1 1 198     u1 u100 u1 u1  99d 199 S 99 199 u1  u5  u u  u u  u u   u 2018 u2019  u 2019 u 2020 Câu 57 Cho cấp số cộng (u n ) biết:  Tính S  2 3 2019 u10  u2  4080499 4078380 4082420 4088483 A S  B S  C S  D S  3 3 Lời giải Chọn C u1  u5  2u  4d  u  2d  u1     Ta có:  d  u10  u2  u1  9d  (u1  d )  d  u u  u2 u3  u3 u   u2018 u2019  u2019 u 2020 S 2019  2019.S  u1.u2  u2 u3  u3 u4   u2019 u2020  2019.S  1.2  2.3  3.4   2019.2020  3.2019.S  1.2.3  2.3.3  3.4.3   2019.2020.3  3.2019.S  1.2.3  2.3.(4  1)  3.4.(5  2)   2019.2020.(2021  2018)  3.2019.S  1.2.3  2.3.4  1.2.3  3.4.5  2.3.4   2019.2020.2021  2018.2019.2020  3.2019.S  2019.2020.2021 S 4082420 Câu 58 Phương trình x   m  1 x  2m   (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 4 A m  m   B m  m   9 D m  m  1 m  2 Lời giải Chọn B Đặt t  x , t  Phương trình trở thành: t   m  1 t  2m   (2) Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C m4 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t  t1   '   m  1   m  1     P 0  2m    m0 S0   m  1    Khi PT(2) có bốn nghiệm là:  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi:   t  t  2 t 1  t  t1  t  t    t1  t  t1 t  t   m  1 Theo định lý viet thì:   t1t2  m   m4 t1  9t1   m  1   9m  32m  16    m   t t  m   1  Vậy m  m   giá trị cần tìm Câu 59 Gọi S tổng tất giá trị m để phương trình  x  x  3  x  2m   có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng có cơng sai lớn Tính S A S  1 B S   C S  2 Lời giải Chọn A x  Ta có:  x  x  3  x  2m     x  3   x  2m D S  4 Ba nghiệm lập thành cấp số cộng có cơng sai lớn nên có trường hợp: TH1: CSC 3 ; ; 2m Suy d  ; m  (thỏa mãn) TH2: CSC 3 ; 2m ; Suy d  2; m   (loại) 7 TH3: CSC 2m ; 3 ; Suy d  ; m   (thỏa mãn) Suy S    1 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 ... n Xét dãy số tự nhiên lẻ Số 2017 số hạng thứ mấy? A 2017 B 1008 C 1009 D 2015 2n Số số hạng thứ dãy số un  ? 41 n 1 A B C D 10 2n  Cho dãy số  un  biết un  Số số hạng thứ dãy số n1... u3 , , un , u1 số hạng đầu, um số hạng cuối II CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Dãy số cho phương pháp mô tả Dãy số cho phương pháp truy hồi Cách cho dãy số phương pháp... Bài SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Lý thuyết Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : *   n  u n Người ta thường viết dãy số dạng