Về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Chủ tịch Hội đồng T.M Tập thể hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh GS TSKH Đặng Hùng Thắng HÀ NỘI - 2015 LÍI CAM ĐOAN Tơi xin cam oan nhỳng kát quÊ trỡnh by luên ỏn l mợi Cỏc kát quÊ viát chung vợi thƯy hợng dăn GS TSKH ng Hựng Th-ng v TS Nguyạn Thnh, ó ủc sỹ ỗng ý cừa cỏc thƯy hợng dăn a vo luên ỏn Nhỳng kát quÊ ủc trình bày luªn án trung thüc chưa tøng đưđc cơng bè b§t kỳ cơng trình khỏc Tỏc giÊ luên ỏn TrƯn Xuõn Quý i LI CM N Luên ỏn ủc hon thnh dợi sỹ quan tõm, ởng viờn, khớch lằ v hợng dăn tên tỡnh cõa GS TSKH Đ°ng Hùng Th-ng TS Nguy¹n Thành Nhân dàp tác gi£ xin đưđc bày tä lịng biát n sõu s-c cừa mỡnh ối vợi hai ThƯy Tác gi£ xin đưñc c£m ơn Ban Giám hi»u, Khoa Tốn - Tin, Trưíng ĐH Khoa håc, ĐHTN; Bë mơn Xác su§t Thèng kê, Ban chõ nhi»m Khoa Tốn - C - Tin hồc, Phũng sau Ôi hồc, Ban giỏm hiằu Trớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiờn H Nởi, Khoa Sau Ôi hồc, HQGHN ó tÔo nhiÃu iÃu kiằn thuªn lđi st q trình làm nghiên cùu sinh Tác gi£ xin c£m ơn thành viên cõa seminar Toỏn tỷ ngău nhiờn, ó tÔo iÃu kiằn cho tỏc gi£ trình bày giúp tác gi£ kiºm tra k¸t qu£ nghiên cùu Tác gi£ xin gûi líi c£m ơn tỵi q NAFOSTED, trđ kinh phí cho tác gi£ trình nghiên cùu Cuèi cùng, tác gi£ xin bày tä lịng bi¸t ơn thành viên cừa Ôi gia ỡnh, ó luụn ởng viờn, chia s ché düa vúng ch-c v· måi m°t NCS Tr¦n Xn Q ii Mưc lưc Líi cam đoan Líi c£m ơn B£ng ký hi»u Mð đ¦u Chương Mët số kián thực chuân b 1.1 Mởt số kát quÊ và lý thuyát phờ cừa toỏn tỷ tuyán tớnh tĐt đành 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Toỏn tỷ ngău nhiờn tuy¸n tính 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 iii Chng o phờ ngău nhiờn v nh lý phờ cho toỏn tỷ ngău nhiờn tuy¸n tính 2.1 Đành lý phê cho tốn tû ng v toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán 2.2 o phờ ngău nhiờn suy r 2.2.1 2.2.2 Chng Toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng trờn khụng gian unitary xỏc suĐt 3.1 Khụng gian Banach xỏc su 3.2 Toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủ 3.3 Liờn hủp cừa toỏn tỷ ngău n khụng gian Hilbert xỏc suĐt Kát luên v kián ngh Kát luên Ki¸n nghà v· nhúng nghiên cùu ti¸p theo Danh mưc cơng trình khoa hồc cừa tỏc giÊ liờn quan án luên ỏn Ti li»u tham kh£o Ch¿ möc iv B£ng ký hi»u A, F -Ôi số B(S) Têp cỏc ỏnh xÔ o ủc b chn trờn S B(X) -Ôi số Borel cừa X C[a, b] Khơng gian hàm sè liên tưc [a, b] H Khụng gian Hilbert xỏc suĐt h.c.c HƯu ch-c ch-n L(X, Y ) Têp cỏc toỏn tỷ tuyán tính liên tưc tø X vào Y L(X) Tªp tốn tû tuy¸n tính liên tưc tø X vào X LX0 () Têp hủp cỏc bián ngău nhiờn X-giỏ tr L0() Têp hủp cỏc bián ngău nhiờn thỹc hoc phực L+0() Têp hủp cỏc bián ngău nhiờn thỹc khụng õm LH0 () Têp hủp cỏc bián ngău nhiờn H-giỏ tr K Trưíng sè thüc ho°c phùc (Ω, F, P ) Khụng gian xỏc suĐt Ưy p-lim Giợi hÔn cừa sỹ hởi tử theo xỏc suĐt Q Têp hủp cỏc sè húu t R Tªp hđp sè thüc r(T ) Bán kính phê cõa tốn tû tuy¸n tính T R(T ) Mi·n giá trà cõa tốn tû tuy¸n tính T (T ) Têp phờ cừa toỏn tỷ tuyán tớnh T X,Y Các khơng gian Banach xác su§t v Mð đ¦u Lý chån đ· tài Mơi trưíng chỳng ta ang sống l mởt mụi trớng ngău nhiờn, bà can thi»p tác đëng bði nhân tố ngău nhiờn Chớnh vỡ vêy m GiÊi tớch mụi trớng ngău nhiờn (gồi t-t l GiÊi tớch ngău nhiên) mët lĩnh vüc Toán håc phát triºn nhanh v mÔnh cÊ và lý thuyát v ựng dửng Mởt số lủng lợn cỏc bi bỏo và GiÊi tớch ngău nhiên đưđc tóm t-t Math.Review minh chùng đi·u ú GiÊi tớch ngău nhiờn mang tớnh liờn ngnh, cú quan hằ mêt thiát vợi nhiÃu chuyờn ngnh toỏn hồc khỏc Lý thuyát toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh l mët nhúng hưỵng nghiên cùu lỵn cõa Gi£i tích ngău nhiờn Toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh thu hỳt đưđc sü quan tâm cõa nhi·u nhà nghiên cùu khơng ch¿ bði sü mð rëng tø t§t đành sang ngău nhiờn cừa lý thuyát cỏc toỏn tỷ tuyán tớnh m cũn và tƯm ựng dửng rởng lợn cừa nhi·u ngành khoa håc khác N¸u lý thuyát cỏc toỏn tỷ tuyán tớnh tĐt nh l mởt lõu i ỗ sở cừa toỏn hồc, ó tớch ly đưđc mët nëi dung h¸t sùc phong phú, k¸t qu£ phương pháp cõa đưđc ùng dưng nhi·u ngành khác cõa tốn håc lý thuy¸t toỏn ựng dửng thỡ lý thuyát toỏn tỷ ngău nhiờn tuy¸n tính cịn non tr´ ð giai oÔn phỏt trin ban Ưu Hiằn tÔi lý thuyát cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh ó thu ủc mởt số kát quÊ mợi, lý thỳ cựng vợi nhiÃu bi tốn cịn bä ngä (xem [38]-[48]) Hơn nûa th¸ k tr lÔi õy, hợng nghiờn cựu ny ó nhên đưđc sü quan tâm cõa nhi·u nhà tốn håc thu ủc nhiÃu kát quÊ Tuy nhiờn, phƯn lợn cỏc kát quÊ nghiờn cựu cừa lý thuyát toỏn tỷ ngău nhiờn lÔi têp trung vo phng trỡnh toỏn tỷ ngău nhiờn, chừ yáu l im bĐt ởng ngău nhiờn, m rëng k¸t qu£ mët cách riêng l´, khơng h» thống Khi Ưu vợi cỏc kát quÊ nghiờn cựu và im bĐt ởng ngău nhiờn l O Hans v A Spacek nhúng năm 1950 (xem [25]-[28]) Sau k¸t qu£ này, nhi·u k¸t qu£ mð rëng đưđc chùng minh Lý thuyát toỏn tỷ ngău nhiờn thỹc sỹ ủc tiáp thờm sực mÔnh bi sỹ ới cừa cỏc cn sách Random integral equations (1972) cõa A.T Bharucha-Reid Vỵi k¸t qu£ nghiên cùu cõa A.V Skorohod tác gi£ cuèn sách Random Linear Operators (1984), nghiên cùu toỏn tỷ ngău nhiờn khụng gian Hilbert, xem xột sỹ hởi tử yáu v mÔnh cừa cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn, hm cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn, phng trỡnh v tớch phõn ngău nhiờn ó thu hỳt nhiÃu nh tốn håc mð rëng k¸t qu£ cõa lý thuy¸t toỏn tỷ ngău nhiờn NhiÃu nh toỏn hồc ó thnh cơng vi»c mð rëng k¸t qu£ Cư thº hơn, g¦n nhóm nghiên cùu đùng đ¦u Guo Tiexin ó thu ủc nhiÃu kát quÊ ngău nhiờn húa k¸t qu£ cõa gi£i tích hàm (xem [20]-[24]) Trong nợc, dăn Ưu l GS ng Hựng Th-ng cựng nhúm hồc trũ, tứ cuối nhỳng nm 1980 tr lÔi õy bt Ưu nghiờn cựu và lý thuyát toỏn tỷ ngău nhiên thu nhi·u k¸t qu£ (xem [38]-[48]) Cư th, và hợng im bĐt ởng ngău nhiờn v phng trỡnh ngău nhiờn ủc cụng bố cỏc cụng trỡnh tiờu biu l [2],[46],[48]; thỏc trin toỏn tỷ ngău nhiờn [3],[45] Mët chõ đ· lỵn thèng cõa lý thuyát toỏn tỷ tuyán tớnh (tĐt nh) l lý thuyát phê tốn tû tuy¸n tính (gåi t-t lý thuy¸t phê) Theo sü hiºu bi¸t cõa chúng tơi, k¸t qu£ nghiên cùu v· lý thuy¸t phê tốn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh án cũn tng ối Thành thû chån đ· tài nghiên cựu cho luên ỏn l: Và o phờ ngău nhiờn v toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh vợi hy vồng gt hỏi ủc nhỳng kát quÊ mợi lnh vỹc nghiờn cựu Ưy hựa hàn ny Mửc tiờu nghiờn cựu Tỡm ủc dÔng ngău nhiờn cừa cỏc nh lý phờ tĐt nh (chng hÔn nh nh lý biu diạn phờ cừa toỏn tỷ chuân t-c, tốn tû tü liên hđp ) Nói cách khác mưc tiêu luªn án mð rëng đành lý phê cừa toỏn tỷ tuyán tớnh tĐt nh sang trớng hủp toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh ối tủng nghiờn cựu Cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh trờn khụng gian Hilbert Phương pháp nghiên cùu Luªn án sû dửng cỏc cụng cử v kát quÊ cừa xỏc suĐt, gi£i tích, gi£i tích hàm (lý thuy¸t tốn tû tuy¸n tính, khơng gian Hilbert), lý thuy¸t đë đo véc t, lý thuyát xỏc suĐt trờn cỏc khụng gian vụ hÔn chiÃu í ngha khoa hồc v thỹc tiạn Cỏc kát quÊ cừa luên ỏn bờ sung v lm phong phỳ thờm và lý thuyát cỏc toỏn tỷ ngău nhiên tuy¸n tính N¸u lý thuy¸t phê tốn tỷ tuyán tớnh tĐt nh ó cú rĐt nhiÃu ỏp dửng phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh Ôo hm riêng, vªt lý håc có sð đº hy vồng rơng lý thuyát phờ cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuy¸n tính s³ tìm đưđc áp dưng phương trình vi phõn ngău nhiờn, phng trỡnh Ôo hm riờng ngău nhiên, vªt lý thèng kê, vªt lý lưđng tû CĐu trỳc luên ỏn Luên ỏn ủc trỡnh by ba chương Chương 1: Trình bày thèng nh§t mët sè khái ni»m b£n mët sè k¸t qu£ cõa tác gi£ khác mà đưđc sû dưng ph¦n sau cừa luên ỏn Trợc tiờn chỳng tụi trỡnh by lÔi mởt số khỏi niằm v kát quÊ và toỏn tỷ tuyán tớnh tĐt nh, o phờ tĐt nh, tích phân cõa hàm đo đưđc bà ch°n đèi vỵi o phờ tĐt nh v mởt số kát quÊ liờn quan, chng hÔn Tng tỹ, ta cng cú lim lim h n m ˜ Vì vªy hΦu, vi • Mi·n giá trà cõa R(Φ) tồn bë khơng gian H: Xột v l phƯn tỷ bĐt k H Xột ỏnh xÔ : M L0 cú | u| kvkkuk thỡ tỗn tÔi v u ∈Mh ˜ ∗ ∗ ∗ v=Φ v =Φ v ã n ỏnh: Thỹc vêy, GiÊ sỷ u = θ Tø chùng minh R(Φ) = H ta có v ∈ D(Φ) cho u = Φv Khi • ˜ R˜H ˜−1 Φ tü liên hđp: Vì l n ỏnh v () = nờn tỗn tÔi Ψ = Φ : ˜ H→H H Vì Φ đèi xùng, Ψ đèi xùng Tø D(Ψ) = Ψ suy ∗ = Ψ Tương tü trớng hủp toỏn tỷ tuyán tớnh tĐt nh, ta thu đưđc Ψ = (Φ ) ˜−1 Vì vªy ta có (Φ) ˜∗−1 = (Φ ) ˜ ˜∗ Φ = Φ K¸t qu£ sau cho ta mối liờn hằ giỳa toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh tỹ liờn hủp v toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh chuân t-c nh lý 3.3.7 Gi£ sû Φ : D(Φ) → H toán tû ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh tỹ liờn hủp v α sè phùc thäa mãn Im(α) 6= Đ°t Φα = αI − Φ Khi Φα : D(Φ) H l song ỏnh v ỏnh xÔ ngủc () l toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh chuân t-c 74 −1 :H→H Chùng minh Trưỵc tiên ta chùng minh Bê đ· sau Bê đ· 3.3.8 N¸u Φ : D() H l toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh tỹ liờn hủp thỡ úng Thỹc vêy, xét (vn) ∈ D(Φ), limn = v limn Φvn = g Khi vỵi méi u ∈ D(Φ) hu, gi = limhu, Φvni = limhΦu, vni = hΦu, vi n n ∗ ∗ ∗ Đi·u suy v ∈ D(Φ ) Φ v = g Tø đi·u ki»n Φ = Φ ta suy r¬ng v ∈ D(Φ) Φv = g Như vªy Bê đ· 3.3.8 đưñc chùng minh Xét α = a + bi Ta có kΦαuk = hαu − Φu, αu − Φui = hibu + (au − Φu), ibu + (au − Au)i = 2 |b| kuk + kau − Φuk + ihbu, au − Φui − ihau − Φu, bui Vì Φ đèi xùng, nên ta có hu, Φui ∈ L0(Ω) Vì vªy hbu, au − Φui = bakuk − bhu, Φui ∈ L0(Ω) Tø ta có 2 2 2 kΦαuk = |b| kuk + kau − Φuk > |b| kuk Vì b 6= 0, Φαu = θ nên suy u = θ Do Φα đơn ánh Ti¸p theo, s³ chùng minh r¬ng R(Φ α) = H Theo Bê đ· 3.3.8 Φ đóng, vªy Φα đóng Xét Φ đưđc Φ − α − α : R(Φα) → H D¹ dàng kiºm tra l toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh Tứ Φ α tốn tû đóng, nên Φ − α đóng Ngồi ra, vỵi méi v ∈ R(Φα), v = Φαu ta có 2 2 − α vk kvk = kΦαuk > kbk kuk = kbk kΦ suy − α vk kΦ −1 kbk kvk h.c.c 75 Do vªy Φ − α bà ch°n Tø suy tốn tỷ D( ) vêy, giÊ sỷ rơng (un) D( un suy tỗn tÔi limn ) = R() úng Thªt cho limn un = u Tø Đành lý 3.2.5 = g Vì Φ − α − α ) đóng, ta thu đưđc u ∈ D(Φ Ti¸p theo, ta s³ chùng minh R(Φα) = H theo Đành lý 3.1.17, đi·u ki»n đõ đº ch¿ ra, n¸u v⊥R(Φα) thỡ v = Thỹc vêy, vợi mồi u H ta có Φαu ∈ R(Φα) vªy = hΦαu, vi = hαu − Φu, vi = αhu, vi − hΦu, vi = αhu, vi − hu, Φvi = αhu, v − Φvi = hu, (¯αI − Φ)vi Do (¯αI − Φ)v = θ suy v = θ αI¯ − Φ = Φα¯ đơn ánh − Do đó, Φ α : H → H l toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh b ch°n Tương tü trưíng hđp t§t đành, ta có − ∗ α ) (Φ Φ −1 − α¯ − (Φα) (Φ − ∗ α ) Vì vªy, (Φα) (Φ −1 ∗ = (Φ −1 α) α¯ ) − = (Φα) (Φ −1 −1 = (¯αI − Φ) − = (Φ α¯ ) ta có đi·u ph£i chùng minh 76 α¯ −1 )(Φα) − = (Φ = −1 α¯ )(Φα) = ( ) () Kát luên v kián ngh Kát luên Cỏc kát qừa chớnh cừa luên ỏn l: ã a khỏi niằm o phờ ngău nhiờn, chựng minh nh lý phờ cho cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh chuân t-c v toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh Hermit ã a khỏi niằm o phờ ngău nhiờn suy rởng, xõy dỹng ủc tớch phõn ối vợi o phờ ngău nhiờn suy rëng Chùng minh đưđc đành lý hëi tư bà chn ối vợi o phờ ngău nhiờn ã Chựng minh ủc rơng mồi o phờ ngău nhiờn suy rëng (C, B(C)) có b£n đë đo phờ ngău nhiờn Kát quÊ ny ủc trỡnh by Đành lý 2.2.9 • Đành nghĩa khái ni»m tốn tû ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh ã Phỏt biu v chựng minh nh lý 3.2.6 cho toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh tứ khụng gian Hilbert xỏc suĐt H vo khụng gian cỏc bián ngău nhiờn nhên giỏ trà phùc bà ch°n ch¿ ủc biu diạn nh tớch ngău nhiờn trờn H (cú th xem õy l phiờn bÊn ngău nhiờn cừa biu diạn Riesz quen biát và biu diạn phiám hm tuyán tớnh tĐt nh b chn) 77 ã Nghiờn cựu toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh chuân t-c, toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh ối xựng v toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh tỹ liên hđp khơng gian Hilbert xác su§t H Ch¿ iÃu kiằn à toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tưđng tuy¸n tính đèi xùng nûa bà ch°n có thº m rởng thnh toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tính tü liên hđp (Đành lý 3.3.6) Có thº xem õy l mởt phiờn bÊn ngău nhiờn húa cừa nh lý Friedrichs - Stone - Wintner trưíng hđp t§t đành cho tốn tû tuy¸n tính đèi xùng nûa bà chn ã Chựng minh ủc rơng náu : D() H l toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tính tü liên hđp α sè phùc vỵi ph¦n £o khác khơng −1 Φα = αI − Φ : D(Φ) → H song ánh (Φα) : H H l toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh chuân t-c Kián ngh và nhỳng nghiờn cựu tiáp theo Hợng nghiờn cựu tiáp theo cừa luên án mët sè v§n đ· sau: Trong Chương cừa luên ỏn ó chựng minh ủc rơng mồi o phờ ngău nhiờn suy rởng trờn (C, B(C)) cú bÊn l o phờ ngău nhiờn Cõu häi đ°t li»u k¸t qu£ cịn cho mồi o phờ ngău nhiờn suy rởng trờn khơng gian đo b§t kỳ (S, A) hay khơng? nh ngha o phờ ngău nhiờn trứu tủng v nghiờn cựu nh lý phờ cho toỏn tỷ ngău nhiờn tuy¸n tính trøu tưđng Nghiên cùu Lý thuy¸t nûa nhúm cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh b chn: Cho H không gian Hilbert Ký hi»u L H b () l têp cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh b chn trờn H Cho ỏnh xÔ T : [0, +∞) → 78 L H b (Ω) thäa mãn đi·u ki»n sau T (0) = I, T (t + s) = T (t)T (s) Ta gåi T (t) chn t>0 l nỷa nhúm cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh b Bi toỏn: Tỡm phiờn bÊn ngău nhiờn cho k¸t qu£ kinh điºn cõa lý thuy¸t nûa nhúm cỏc toỏn tỷ tuyán tớnh tĐt nh cho lý thuyát cỏc toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh Tỡm mët sè ùng döng cö thº cho qu£ nghiên cựu lý thuyát cừa luên ỏn Tuy nhiờn, vỡ iÃu ki»n thíi gian lüc nên tác gi£ chưa giÊi quyát ủc cỏc vĐn à trờn Tỏc giÊ hy vồng rơng nhỳng vĐn à ny s sợm ủc giÊi quy¸t 79 Danh mưc cơng trình khoa håc cõa tỏc giÊ liờn quan án luên ỏn Cỏc kát quÊ cõa luªn án đưđc báo cáo hëi nghà: Hëi th£o tèi ưu tính tốn khoa håc l¦n thù 9, 20-23/4/2011, Ba vì, Hà Nëi Hëi nghà Khoa håc Khoa Toán - Cơ - Tin håc, Trưíng ĐH Khoa håc Tü nhiên Hà Nëi, 2014 Và đưđc cơng bè báo: [1] Thang D.H., Quy T.X (2014), Spectral Theorem for Random Opera-tors, Southeast Asia Bulletin for Mathematics,(accepted) [2] Thang D.H., Thinh N., Quy T.X (2014), Generalized Spectral Random Measures, J Theor Probab, 27, pp.576-600, (SCI) [3] Quy T.X., Thang D.H., Thinh N (2015), Abstract Random Linear Operators on Probabilistic Unitary Spaces, J Korean Math Soc, (ac-cepted), (SCIE) 80 Tài li»u tham khÊo Tiáng Viằt [1] PhÔm Thá Anh (2015), im bĐt đëng điºm trùng cõa tốn tû hồn tồn ngău nhiờn v ựng dửng, Luên ỏn tián s toỏn hồc, Ôi hồc Quốc gia H Nởi [2] TÔ Ngồc nh (2012), Mởt số vĐn à và phng trỡnh ngău nhiờn, Luên ỏn tián s toỏn hồc, Ôi hồc Quốc gia H Nởi [3] TrƯn MÔnh Cớng (2011), Thỏc trin toỏn tỷ ngău nhiờn khụng gian Banach khÊ ly, Luên ỏn tián s toỏn hồc, Ôi hồc Quốc gia H Nởi [4] Nguyạn Viát Phỳ, Nguyạn Duy Tián (2004), C s lý thuyát xỏc suĐt, NXB Ôi hồc Quốc gia Hà Nëi [5] Đ°ng Hùng Th-ng (2006), Quá trình ngău nhiờn v tớnh toỏn ngău nhiờn, NXB Ôi hồc Quèc gia Hà Nëi [6] Đ°ng Hùng Th-ng (2013), Xác suĐt nõng cao, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi [7] Nguyạn Thnh (2006), Tớch phõn ngău nhiờn Ito v toỏn tỷ ngău nhiờn khụng gian Banach, Luên ỏn tián s toỏn hồc, Ôi hồc Quốc gia H Nởi 81 [8] Nguyạn Duy Tián, ng Hựng Th-ng (2001), Cỏc mụ hỡnh xỏc suĐt v ựng dửng phƯn 2: Quỏ trỡnh dứng v ựng dửng, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi [9] Nguyạn Duy Tián (2001), Cỏc mụ hỡnh xỏc suĐt v ựng dửng phƯn 3: GiÊi tớch ngău nhiờn, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi Tiáng Anh [10] Astrom K J (1970), Introduction to Stochastic Control Theory, Aca-demic Press, New York [11] Birman M S., Solomjak M Z (1987), Spectral theory of SelfAdjoint Operators in Hibert sapce, D Reidel Pub Com, Holland [12] Chow Y S., Teicher H (1997), Probability Theory Independence, In-terchangeability, Martingale, Springer, New York [13] Bharucha-Reid A.T (1972), Random intergral equations, Academic Press, New York and London [14] Billingsley P (1999), Convergence of Probability measures, Willey, New York [15] Conway J B (1990), A Course in Functional Analysis SpringerVerlag [16] Diestel J., Uhl J J (1977), Vector Meaures AMS Providence, Rhode Island [17] Dorogovstev A A (1986), On application of Gaussian random operator to random elements, Theor.veroyat.i.priment 30, pp.812-814 82 [18] Dunford N., Schwarts J T (1963), Linear Operator, Part II, Interscience Publishers, NewYork [19] Feller W (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed Wiley, New York [20] Guo T (1999), Some basic theories of random normed linear spaces and random inner product spaces, Acta Anal Funct Appl, 1(2), pp.160–184 [21] Guo T (2010), Relations between some basic results derived from two kinds of topologies for a random locally convex module, Journal of Functional Analysis, 258, pp.3024–3047 [22] Guo T., Shi G (2011), The algebraic structure of finitely generated L (F, K)− modules and the Helly theorem in random normed modules Journal of Mathematical Analysis and Applications, 381, pp.833-842 [23] Guo T., Xiao H., Chen X (2009), A basic strict separation theorem in random locally convex modules Nonlinear Analysis 71, pp.3794-3804 [24] Guo T., Yang Y (2012), Ekeland’s variational principle for an L −valued function on a complete random metric space, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 389, pp.1-14 [25] Hans O (1957), Random fixed point theorems, Czechoslovak Academic Sciences, pp.105-125 [26] Hans O (1957), Generalized Random Variables, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Fuctions, and Random Processes,(1956), pp.61-103 83 [27] Hans O (1957), Inverse and adjoint transforms of linear bounded random transforms, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Fuctions, and Random Processes,(1956), pp.127-133 [28] Hans O (1961), Random Operator Equations, Proc 4th Berkeley Symp on Math Statist and Probability (1960), Vol II pp.185-202 [29] Kwapie´n S., Woyczy´nski W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkhăauser, Boston [30] Ledoux M., Talagrand M (1991), Probability in Banach spaces, Springer-Verlag [31] Menger K (1942), Statistical Metrics Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 28, pp.535-537 [32] Mingzhu W (2012), The Bishop-Phelps theorem in complete random normed modules endows with the (ε, λ)− topology, Journal of Mathe-matical Analysis and Applications 391, pp.648-652 [33] Nashed M.Z., Engl H.W (1979), Random generalized inverses and ap-proximate solution of random equations In: BharuchaReid A.T (Ed.) Approximate Solution of random equations, Elsevier /North-Holland, New York-Amsterdam, pp.149-210 [34] Olga H., Endre P (2001), Fixed Point Theory in Probabilistic Metric Spaces, Kluwer Academic Publishers [35] Schweizer B., Sklar A (1983), Probabilistics Metric Spaces, Elsevier North Holland, New York [36] Skorokhod A.V (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Company, Dordrecht 84 [37] Sunder V.S (1998), Functional Analysis: Spectral Theory, Birkhauser Verlag, Boston-Berlin [38] Thang D.H (1987), Random Operator in Banach space, Probab Math Statist 8, pp.155-157 [39] Thang D.H (1995), The adjoint and the composition of random oper-ators on a Hilbert space, Stochastic and Stochastic Reports 54, pp.53-73 [40] Thang D.H (1998), On the Composition of Random Operators on Ba-nach Spaces, Vietnam Journal of Mathematics 26, pp.137-145 [41] Thang D.H (1999), On the Sample Continuity of Random Mappings, Vietnam Journal of Mathematics 27, No1, pp.7-21 [42] Thang D.H (1999), On the Regularity of Random Mappings, Acta Mathematica Vietnamica, 24, No1, pp.15-25 [43] Thang D.H., Thinh N (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J.Math 58, pp.257-276 [44] Thang D.H (2008), Transforming random operators into random bounded operators, Random Oper Stoch Equ 16, pp.293-302 [45] Thang D.H., Cuong T.M (2009), Some procedures for extending ran-dom operators, Random Oper Stoch Equ 17, pp.359-380 [46] Thang D.H., Anh T.N (2010), On random equations and applications to random fixed point theorems, Random Oper Stoch Equ 18, pp.199-212 85 [47] Thang D.H., Thinh N (2013), Generalized random linear operators on a Hilbert space, Stochas Int J Prob Stochas Process 85, pp.1040-1059 [48] Thang D.H., Anh P.T (2013), Random fixed points of completely ran-dom operators, Random Oper Stoch Equ 21, pp.1-20 [49] Xaing Wang, Bhaskara Rao, Deli Li (1995), Some results on strong limmit theorems for (LB)-space-valued random variables, Statisitcs & Probability Letters, 23, pp.247-251 [50] Weidmann (1980), Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer Ver-lag, New York Inc [51] Zhu K (1993), An introduction to operator algebras, CRC Press, Inc 86 Ch mửc ỏnh xÔ ngău nhiờn, Hermit, 13 14 đë đo phê, 12 chu©n t-c, 11 đë o phờ ngău nhiờn, Hermit, 11 30 suy rởng, 35 liờn hủp, khụng gian xỏc suĐt Ưy ừ, 14 liờn hủp, 23 toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh tỹ liờn hủp, 11 toỏn tỷ ngău nhiờn chiáu, 34 toỏn tỷ ngău nhiờn suy rởng tuyán tớnh chuân t-c, 25 đèi xùng, 27 bà ch°n h¦u ch-c ch-n, 15 bà chn, 27 chuân ngău nhiờn, 53 chuân t-c, 27 liờn tửc, 27 khụng gian nh chuân xỏc suĐt, 53 khụng gian Banach xác su§t, 55 khơng gian Hilbert xác su§t, 59 tỹ liờn hủp, 27 toỏn tỷ ngău nhiờn trứu tủng tuyán tớnh, 63 khụng gian tuyán tớnh xỏc suĐt, 52 đèi xùng, 72 khơng gian unitary xác su§t, 56 úng, 64 liờn tửc ngău nhiờn, 14 b chn, 64 tớch ngău nhiờn, chuân t-c, 72 56 toỏn tỷ, liên tưc, 64 tü liên hđp, 72 đèi xùng, 11 chuân t-c, 13 87 toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh, 14, 15 b chn, 17 b chn ngău nhiờn, 17 liờn hủp, 23 suy rởng, 25 toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tớnh Hermit, 25 toỏn tỷ ngău nhiờn tuyán tính liên hđp, 23 88 ... NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN... = T x ∈ R(T ) toán tû tø H2 vào H1 Vỵi tốn tû T tø H1 vào H2 a ∈ K, tốn tû aT đưđc xác đành sau D(aT ) = aD(T ), (aT )x = a(T x) vỵi x ∈ D(aT ) Xét hai toán tû S, T tø H1 vào H2, toán tû têng... tốn tû tø H1 vào H2 T toán tû tø H2 vào H3 tốn tû tích T S đưđc đành nghĩa sau D(T S) = {x ∈ D(S) : Sx ∈ D(T )}, (T S)x = T (Sx) vỵi x ∈ D(T S) Gi£ sû S T hai toán tû tø H1 vào H2 Toán tû T đưñc