(Luận án tiến sĩ) về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Chủ tịch Hội đồng T.M Tập thể hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh GS TSKH Đặng Hùng Thắng HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết viết chung với thầy hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh, đồng ý thầy hướng dẫn đưa vào luận án Những kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Trần Xuân Quý i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm, động viên, khích lệ hướng dẫn tận tình GS TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hai Thầy Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin, Trường ĐH Khoa học, ĐHTN; Bộ mơn Xác suất Thống kê, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng sau Đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, Khoa Sau đại học, ĐHQGHN tạo nhiều điều kiện thuận lợi suốt trình làm nghiên cứu sinh Tác giả xin cảm ơn thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên, tạo điều kiện cho tác giả trình bày giúp tác giả kiểm tra kết nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, hỗ trợ kinh phí cho tác giả trình nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thành viên đại gia đình, ln động viên, chia sẻ chỗ dựa vững mặt NCS Trần Xuân Quý ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kết lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính tất định 1.1.1 Toán tử tuyến tính liên tục 1.1.2 Toán tử liên hợp 1.1.3 Toán tử tự liên hợp, Hermit, chuẩn tắc 10 1.1.4 Định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc, toán tử Hermit 12 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 14 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 14 1.2.2 Một số tính chất 16 1.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 17 1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp 23 1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính 25 iii Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 2.2 29 Định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit 30 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 34 2.2.1 Toán tử ngẫu nhiên chiếu 34 2.2.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 35 Chương Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng không gian unitary xác suất 51 3.1 Không gian Banach xác suất 52 3.2 Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính 63 3.3 Liên hợp toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính khơng gian Hilbert xác suất Kết luận kiến nghị 70 77 Kết luận 77 Kiến nghị nghiên cứu 78 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 Chỉ mục 87 iv Bảng ký hiệu A, F σ-đại số B(S) Tập ánh xạ đo bị chặn S B(X) σ-đại số Borel X C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] H Không gian Hilbert xác suất h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(X) Tập toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị L0 (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên thực phức L+ (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên thực không âm LH (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên H-giá trị K Trường số thực phức (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất Q Tập hợp số hữu tỷ R Tập hợp số thực r(T ) Bán kính phổ tốn tử tuyến tính T R(T ) Miền giá trị tốn tử tuyến tính T σ(T ) Tập phổ tốn tử tuyến tính T X,Y Các khơng gian Banach xác suất v Mở đầu Lý chọn đề tài Môi trường sống môi trường ngẫu nhiên, bị can thiệp tác động nhân tố ngẫu nhiên Chính mà Giải tích mơi trường ngẫu nhiên (gọi tắt Giải tích ngẫu nhiên) lĩnh vực Tốn học phát triển nhanh mạnh lý thuyết ứng dụng Một số lượng lớn báo Giải tích ngẫu nhiên tóm tắt Math.Review minh chứng điều Giải tích ngẫu nhiên mang tính liên ngành, có quan hệ mật thiết với nhiều chuyên ngành toán học khác Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính hướng nghiên cứu lớn Giải tích ngẫu nhiên Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu khơng mở rộng từ tất định sang ngẫu nhiên lý thuyết tốn tử tuyến tính mà cịn tầm ứng dụng rộng lớn nhiều ngành khoa học khác Nếu lý thuyết tốn tử tuyến tính tất định lâu đài đồ sộ toán học, tích lũy nội dung phong phú, kết phương pháp ứng dụng nhiều ngành khác toán học lý thuyết tốn ứng dụng lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính cịn non trẻ giai đoạn phát triển ban đầu Hiện lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thu số kết mới, lý thú với nhiều tốn cịn bỏ ngỏ (xem [38]-[48]) Hơn nửa kỷ trở lại đây, hướng nghiên cứu nhận quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết Tuy nhiên, phần lớn kết nghiên cứu lý thuyết toán tử ngẫu nhiên lại tập trung vào phương trình tốn tử ngẫu nhiên, chủ yếu điểm bất động ngẫu nhiên, mở rộng kết cách riêng lẻ, không hệ thống Khởi đầu với kết nghiên cứu điểm bất động ngẫu nhiên O Hans A Spacek năm 1950 (xem [25]-[28]) Sau kết này, nhiều kết mở rộng chứng minh Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên thực tiếp thêm sức mạnh đời sách Random integral equations (1972) A.T Bharucha-Reid Với kết nghiên cứu A.V Skorohod tác giả sách Random Linear Operators (1984), nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên khơng gian Hilbert, xem xét hội tụ yếu mạnh toán tử ngẫu nhiên, hàm toán tử ngẫu nhiên, phương trình tích phân ngẫu nhiên Đã thu hút nhiều nhà toán học mở rộng kết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Nhiều nhà tốn học thành cơng việc mở rộng kết Cụ thể hơn, gần nhóm nghiên cứu đứng đầu Guo Tiexin thu nhiều kết ngẫu nhiên hóa kết giải tích hàm (xem [20]-[24]) Trong nước, dẫn đầu GS Đặng Hùng Thắng nhóm học trị, từ cuối năm 1980 trở lại bắt đầu nghiên cứu lý thuyết toán tử ngẫu nhiên thu nhiều kết (xem [38]-[48]) Cụ thể, hướng điểm bất động ngẫu nhiên phương trình ngẫu nhiên cơng bố cơng trình tiêu biểu [2],[46],[48]; thác triển toán tử ngẫu nhiên [3],[45] Một chủ đề lớn “chính thống” lý thuyết tốn tử tuyến tính (tất định) lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính (gọi tắt lý thuyết phổ) Theo hiểu biết chúng tôi, kết nghiên cứu lý thuyết phổ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính đến cịn tương đối Thành thử chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Về độ đo phổ ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính” với hy vọng gặt hái kết lĩnh vực nghiên cứu đầy hứa hẹn Mục tiêu nghiên cứu Tìm dạng ngẫu nhiên định lý phổ tất định (chẳng hạn định lý biểu diễn phổ toán tử chuẩn tắc, toán tử tự liên hợp ) Nói cách khác mục tiêu luận án mở rộng định lý phổ tốn tử tuyến tính tất định sang trường hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Đối tượng nghiên cứu Các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng công cụ kết xác suất, giải tích, giải tích hàm (lý thuyết tốn tử tuyến tính, khơng gian Hilbert), lý thuyết độ đo véc tơ, lý thuyết xác suất không gian vô hạn chiều Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án bổ sung làm phong phú thêm lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Nếu lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính tất định có nhiều áp dụng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, vật lý học có sở để hy vọng lý thuyết phổ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính tìm áp dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên, phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên, vật lý thống kê, vật lý lượng tử Cấu trúc luận án Luận án trình bày ba chương Chương 1: Trình bày thống số khái niệm số kết tác giả khác mà sử dụng phần sau luận án Trước tiên chúng tơi trình bày lại số khái niệm kết tốn tử tuyến tính tất định, độ đo phổ tất định, tích phân hàm đo bị chặn độ đo phổ tất định số kết liên quan, chẳng hạn Tương tự, ta có ˜ lim lim Φun , vm = lim un , Φ∗ v = lim u, Φ∗ v = u, Φv n m n n ˜ v = u, Φv ˜ điều suy Φ ˜ đối xứng Vì Φu, ˜ tồn khơng gian H: Xét v phần tử bất • Miền giá trị R(Φ) ˜ → L0 xác định Γu = u, v Ta kỳ H Xét ánh xạ Γ : M có |Γu| v u v u M ˜ Theo Định lý 3.2.6 với u ∈ M ˜ cho Γu = u, v ∗ tồn v ∗ ∈ M u ∈ M Φu, v ∗ = u, v ∗ M M ˜ Vì vậy, với ∀u ∈ M ˜ ∩ D(Φ∗ ) = N = u, v Do v ∗ ∈ M ˜ ∗ v = Φ∗ v ∗ = Φv ˜ đơn ánh: Thực vậy, Giả sử Φu ˜ = θ Từ chứng minh R(Φ) ˜ =H •Φ ˜ cho u = Φv ˜ Khi ta có v ∈ D(Φ) ˜ = Φu, ˜ v = suy u = θ u, u = u, Φv ˜ đơn ánh R(Φ) ˜ = H nên tồn Ψ = Φ ˜ −1 : • Φ tự liên hợp: Vì Φ ˜ đối xứng, Ψ đối xứng Từ D(Ψ) = H suy H → H Vì Φ Ψ = Ψ∗ Tương tự trường hợp toán tử tuyến tính tất định, ˜ ∗ )−1 Vì ta có (Φ) ˜ −1 = (Φ ˜ ∗ )−1 Φ ˜ =Φ ˜ ∗ ta thu Ψ∗ = (Φ Kết sau cho ta mối liên hệ tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc Định lý 3.3.7 Giả sử Φ : D(Φ) → H toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp α số phức thỏa mãn Im(α) = Đặt Φα = αI − Φ Khi Φα : D(Φ) → H song ánh ánh xạ ngược (Φα )−1 : H → H toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc 74 Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau Bổ đề 3.3.8 Nếu Φ : D(Φ) → H toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp Φ đóng Thực vậy, xét (vn ) ∈ D(Φ), limn = v limn Φvn = g Khi với u ∈ D(Φ) u, g = lim u, Φvn = lim Φu, = Φu, v n n Điều suy v ∈ D(Φ∗ ) Φ∗ v = g Từ điều kiện Φ = Φ∗ ta suy v ∈ D(Φ) Φv = g Như Bổ đề 3.3.8 chứng minh Xét α = a + bi Ta có Φα u = αu − Φu, αu − Φu = ibu + (au − Φu), ibu + (au − Au) = |b|2 u + au − Φu + i bu, au − Φu − i au − Φu, bu Vì Φ đối xứng, nên ta có u, Φu ∈ L0 (Ω) Vì bu, au − Φu = ba u − b u, Φu ∈ L0 (Ω) Từ ta có Φα u = |b|2 u + au − Φu |b|2 u Vì b = 0, Φα u = θ nên suy u = θ Do Φα đơn ánh Tiếp theo, chứng minh R(Φα ) = H Theo Bổ đề 3.3.8 Φ đóng, Φα đóng Xét Φ−1 α : R(Φα ) → H Dễ dàng kiểm tra Φ−1 α toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính Từ Φα tốn tử đóng, nên Φ−1 α đóng Ngồi ra, với v ∈ R(Φα ), v = Φα u ta có v = Φα u b u = b suy Φ−1 α v b −1 75 v h.c.c Φ−1 α v −1 Do Φ−1 α bị chặn Từ suy tốn tử D(Φα ) = R(Φα ) đóng Thật vậy, giả sử (un ) ⊂ D(Φ−1 α ) cho limn un = u Từ Định lý 3.2.5 suy −1 −1 tồn limn Φ−1 α un = g Vì Φα đóng, ta thu u ∈ D(Φα ) Tiếp theo, ta chứng minh R(Φα ) = H theo Định lý 3.1.17, điều kiện đủ để ra, v⊥R(Φα ) v = Thực vậy, với u ∈ H ta có Φα u ∈ R(Φα ) = Φα u, v = αu − Φu, v = α u, v − Φu, v = α u, v − u, Φv = α u, v − Φv = u, (¯ αI − Φ)v Do (¯ αI − Φ)v = θ suy v = θ α ¯ I − Φ = Φα¯ đơn ánh Do đó, Φ−1 α : H → H tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính bị chặn Tương tự trường hợp tất định, ta có ∗ ∗ −1 (Φ−1 = (¯ αI − Φ)−1 = Φ−1 α ) = (Φα ) α ¯ −1 −1 (Φα )−1 (Φα−1 ¯ ) = (Φα ¯ )(Φα ) ∗ −1 −1 −1 ∗ −1 −1 ta có = (Φ−1 Vì vậy, (Φα )−1 (Φ−1 α ) (Φα ) ¯ )(Φα ) ¯ ) = (Φα α ) = (Φα ) (Φα điều phải chứng minh 76 Kết luận kiến nghị Kết luận Các kết qủa luận án là: • Đưa khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên, chứng minh định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit • Đưa khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng, xây dựng tích phân độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Chứng minh định lý hội tụ bị chặn độ đo phổ ngẫu nhiên • Chứng minh độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng (C, B(C)) có độ đo phổ ngẫu nhiên Kết trình bày Định lý 2.2.9 • Định nghĩa khái niệm tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính • Phát biểu chứng minh Định lý 3.2.6 cho toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính từ khơng gian Hilbert xác suất H vào không gian biến ngẫu nhiên nhận giá trị phức bị chặn biểu diễn tích ngẫu nhiên H (có thể xem phiên ngẫu nhiên biểu diễn Riesz quen biết biểu diễn phiếm hàm tuyến tính tất định bị chặn) 77 • Nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc, tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp không gian Hilbert xác suất H Chỉ điều kiện đủ đề toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng nửa bị chặn mở rộng thành toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp (Định lý 3.3.6) Có thể xem phiên ngẫu nhiên hóa Định lý Friedrichs - Stone - Wintner trường hợp tất định cho tốn tử tuyến tính đối xứng nửa bị chặn • Chứng minh Φ : D(Φ) → H toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp α số phức với phần ảo khác khơng Φα = αI − Φ : D(Φ) → H song ánh (Φα )−1 : H → H toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc Kiến nghị nghiên cứu Hướng nghiên cứu luận án số vấn đề sau: Trong Chương luận án chứng minh độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng (C, B(C)) có độ đo phổ ngẫu nhiên Câu hỏi đặt liệu kết cho độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng không gian đo (S, A) hay không? Định nghĩa Độ đo phổ ngẫu nhiên trừu tượng nghiên cứu định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trừu tượng Nghiên cứu Lý thuyết nửa nhóm tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: Cho H không gian Hilbert Ký hiệu LH b (Ω) tập tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn H Cho ánh xạ T : [0, +∞) → 78 LH b (Ω) thỏa mãn điều kiện sau T (0) = I, T (t + s) = T (t)T (s) Ta gọi T (t) t nửa nhóm tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Bài tốn: Tìm phiên ngẫu nhiên cho kết kinh điển lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính tất định cho lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Tìm số ứng dụng cụ thể cho nghiên cứu lý thuyết luận án Tuy nhiên, điều kiện thời gian lực nên tác giả chưa giải vấn đề Tác giả hy vọng vấn đề sớm giải 79 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Các kết luận án báo cáo hội nghị: Hội thảo tối ưu tính tốn khoa học lần thứ 9, 20-23/4/2011, Ba vì, Hà Nội Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Hà Nội, 2014 Và công bố báo: [1] Thang D.H., Quy T.X (2014), Spectral Theorem for Random Operators, Southeast Asia Bulletin for Mathematics,(accepted) [2] Thang D.H., Thinh N., Quy T.X (2014), Generalized Spectral Random Measures, J Theor Probab, 27, pp.576-600, (SCI) [3] Quy T.X., Thang D.H., Thinh N (2015), Abstract Random Linear Operators on Probabilistic Unitary Spaces, J Korean Math Soc, (accepted), (SCIE) 80 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Thế Anh (2015), Điểm bất động điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên ứng dụng, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Tạ Ngọc Ánh (2012), Một số vấn đề phương trình ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Mạnh Cường (2011), Thác triển toán tử ngẫu nhiên không gian Banach khả ly, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Thịnh (2006), Tích phân ngẫu nhiên Ito tốn tử ngẫu nhiên không gian Banach, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội 81 [8] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001), Các mô hình xác suất ứng dụng phần 2: Quá trình dừng ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng phần 3: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [10] Astrom K J (1970), Introduction to Stochastic Control Theory, Academic Press, New York [11] Birman M S., Solomjak M Z (1987), Spectral theory of Self-Adjoint Operators in Hibert sapce, D Reidel Pub Com, Holland [12] Chow Y S., Teicher H (1997), Probability Theory Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York [13] Bharucha-Reid A.T (1972), Random intergral equations, Academic Press, New York and London [14] Billingsley P (1999), Convergence of Probability measures, Willey, New York [15] Conway J B (1990), A Course in Functional Analysis SpringerVerlag [16] Diestel J., Uhl J J (1977), Vector Meaures AMS Providence, Rhode Island [17] Dorogovstev A A (1986), On application of Gaussian random operator to random elements, Theor.veroyat.i.priment 30, pp.812-814 82 [18] Dunford N., Schwarts J T (1963), Linear Operator, Part II, Interscience Publishers, NewYork [19] Feller W (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed Wiley, New York [20] Guo T (1999), Some basic theories of random normed linear spaces and random inner product spaces, Acta Anal Funct Appl, 1(2), pp.160–184 [21] Guo T (2010), Relations between some basic results derived from two kinds of topologies for a random locally convex module, Journal of Functional Analysis, 258, pp.3024–3047 [22] Guo T., Shi G (2011), The algebraic structure of finitely generated L0 (F, K)− modules and the Helly theorem in random normed modules Journal of Mathematical Analysis and Applications, 381, pp.833-842 [23] Guo T., Xiao H., Chen X (2009), A basic strict separation theorem in random locally convex modules Nonlinear Analysis 71, pp.3794-3804 [24] Guo T., Yang Y (2012), Ekeland’s variational principle for an L −valued function on a complete random metric space, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 389, pp.1-14 [25] Hans O (1957), Random fixed point theorems, Czechoslovak Academic Sciences, pp.105-125 [26] Hans O (1957), Generalized Random Variables, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Fuctions, and Random Processes,(1956), pp.61-103 83 [27] Hans O (1957), Inverse and adjoint transforms of linear bounded random transforms, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Fuctions, and Random Processes,(1956), pp.127-133 [28] Hans O (1961), Random Operator Equations, Proc 4th Berkeley Symp on Math Statist and Probability (1960), Vol II pp.185-202 [29] Kwapie´ n S., Woyczy´ nski W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkhăauser, Boston [30] Ledoux M., Talagrand M (1991), Probability in Banach spaces, Springer-Verlag [31] Menger K (1942), Statistical Metrics Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 28, pp.535-537 [32] Mingzhu W (2012), The Bishop-Phelps theorem in complete random normed modules endows with the (ε, λ)− topology, Journal of Mathematical Analysis and Applications 391, pp.648-652 [33] Nashed M.Z., Engl H.W (1979), Random generalized inverses and approximate solution of random equations In: Bharucha-Reid A.T (Ed.) Approximate Solution of random equations, Elsevier /North-Holland, New York-Amsterdam, pp.149-210 [34] Olga H., Endre P (2001), Fixed Point Theory in Probabilistic Metric Spaces, Kluwer Academic Publishers [35] Schweizer B., Sklar A (1983), Probabilistics Metric Spaces, Elsevier North Holland, New York [36] Skorokhod A.V (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Company, Dordrecht 84 [37] Sunder V.S (1998), Functional Analysis: Spectral Theory, Birkhauser Verlag, Boston-Berlin [38] Thang D.H (1987), Random Operator in Banach space, Probab Math Statist 8, pp.155-157 [39] Thang D.H (1995), The adjoint and the composition of random operators on a Hilbert space, Stochastic and Stochastic Reports 54, pp.5373 [40] Thang D.H (1998), On the Composition of Random Operators on Banach Spaces, Vietnam Journal of Mathematics 26, pp.137-145 [41] Thang D.H (1999), On the Sample Continuity of Random Mappings, Vietnam Journal of Mathematics 27, No1, pp.7-21 [42] Thang D.H (1999), On the Regularity of Random Mappings, Acta Mathematica Vietnamica, 24, No1, pp.15-25 [43] Thang D.H., Thinh N (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J.Math 58, pp.257-276 [44] Thang D.H (2008), Transforming random operators into random bounded operators, Random Oper Stoch Equ 16, pp.293-302 [45] Thang D.H., Cuong T.M (2009), Some procedures for extending random operators, Random Oper Stoch Equ 17, pp.359-380 [46] Thang D.H., Anh T.N (2010), On random equations and applications to random fixed point theorems, Random Oper Stoch Equ 18, pp.199212 85 [47] Thang D.H., Thinh N (2013), Generalized random linear operators on a Hilbert space, Stochas Int J Prob Stochas Process 85, pp.10401059 [48] Thang D.H., Anh P.T (2013), Random fixed points of completely random operators, Random Oper Stoch Equ 21, pp.1-20 [49] Xaing Wang, Bhaskara Rao, Deli Li (1995), Some results on strong limmit theorems for (LB)-space-valued random variables, Statisitcs & Probability Letters, 23, pp.247-251 [50] Weidmann (1980), Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer - Verlag, New York Inc [51] Zhu K (1993), An introduction to operator algebras, CRC Press, Inc 86 Chỉ mục ánh xạ ngẫu nhiên, 14 Hermit, 13 độ đo phổ, 12 chuẩn tắc, 11 độ đo phổ ngẫu nhiên, 30 Hermit, 11 liên hợp, suy rộng, 35 tự liên hợp, 11 không gian xác suất đầy đủ, 14 toán tử ngẫu nhiên chiếu, 34 liên hợp, 23 tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tốn tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính tắc, 25 đối xứng, 27 bị chặn hầu chắn, 15 bị chặn, 27 chuẩn tắc, 27 chuẩn ngẫu nhiên, 53 liên tục, 27 không gian định chuẩn xác suất, 53 tự liên hợp, 27 không gian Banach xác suất, 55 khơng gian Hilbert xác suất, 59 tốn tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính, 63 khơng gian tuyến tính xác suất, 52 đối xứng, 72 không gian unitary xác suất, 56 đóng, 64 liên tục ngẫu nhiên, 14 bị chặn, 64 tích ngẫu nhiên, 56 chuẩn tắc, 72 tốn tử, liên tục, 64 tự liên hợp, 72 đối xứng, 11 chuẩn tắc, 13 87 toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, 14, 15 bị chặn, 17 bị chặn ngẫu nhiên, 17 liên hợp, 23 suy rộng, 25 toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit, 25 tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp, 23 88 ... tuyến tính Chương 2: Trình bày phần kết luận án biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính: trước tiên chúng tơi đưa định nghĩa độ đo phổ ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên chiếu độ đo phổ ngẫu nhiên. .. nhiên định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 2.2 29 Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit 30 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng... 1.2.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 17 1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp 23 1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính 25 iii Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên định