Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

Bằng tiếp cận có tính kiến tạo, nghiên cứu này thiết kế các nhiệm vụ toán học hỗ trợ HS trong việc kiến tạo khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Kết quả nghiên cứu cho thấy, việc thực nghiệm cho phép HS hình thành các giả thuyết; kiểm nghiệm, bác bỏ những quan niệm sai và kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số một cách dễ dàng hơn.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol 58, pp 162-171 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn THỰC NGHIỆM TOÁN HỌC TRONG VIỆC KIẾN TẠO KIẾN THỨC VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ Phạm Sỹ Nam Trường trung học phổ thông chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An Email: phamsynampbc@gmail.com Tóm tắt Giới hạn hữu hạn hàm số khái niệm toán học khó học sinh (HS) giỏi khái niệm điển hình cho tư tưởng tiên tiến tốn học Khi trình bày định nghĩa khái niệm này, sách giáo khoa dành cho HS chuyên toán giới thiệu hai loại định nghĩa: theo ngôn ngữ dãy theo ngôn ngữ epsilon-delta Việc tổ chức dạy học để HS kiến tạo hai định nghĩa điều khó khăn Bằng tiếp cận có tính kiến tạo, nghiên cứu thiết kế nhiệm vụ toán học hỗ trợ HS việc kiến tạo khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số Kết nghiên cứu cho thấy, việc thực nghiệm cho phép HS hình thành giả thuyết; kiểm nghiệm, bác bỏ quan niệm sai kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số cách dễ dàng Từ khóa: Lí thuyết kiến tạo, giới hạn hữu hạn hàm số Đặt vấn đề Khái niệm giới hạn hàm số khái niệm khó để dạy để hiểu Khi trình bày khái niệm sách giáo khoa dành cho HS chuyên toán tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên 2x2 − xét dãy số (xn ) khác quan ví dụ xét hàm số f (x) = x−2 tâm đến việc trả lời câu hỏi: Nếu lim xn = lim f (xn )? Sau tổng quát hóa kết đến: Định nghĩa 1: Giả sử (a; b) khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp (a; b) | {x0 } Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số (xn ) tập hợp (a; b) | {x0 } (tức xn ∈ (a; b) xn = x0 với n) mà lim xn = x0 , ta có lim (xn ) = L [1; 153] Định nghĩa nêu lên mối liên hệ chặt chẽ khái niệm giới hạn dãy số giới hạn hàm số Điều tạo nên số thuận lợi cho việc hình thành khái niệm giới hạn hàm số từ khái niệm dãy số có giới hạn tính chất, định lí giới hạn dãy số chuyển sang tính chất, định lí giới hạn hàm số cách tự nhiên Tuy 162 Thực nghiệm toán học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số nhiên, để thuận lợi việc tìm giới hạn định nghĩa chứng minh số tính chất đặc trưng cho giới hạn hàm số, sách giáo khoa trình bày thêm định nghĩa theo ngôn ngữ epsilon-delta sau: Định nghĩa 2: “Giả sử (a; b) khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp (a; b)\{x0 } Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với số dương nhỏ tùy ý ε, tồn số dương δ cho x ∈ (a; b)\{x0 }, x cách x0 khoảng khơng q δ f (x) cách L khoảng không ε ” [1; 154] Có hướng kết nối định nghĩa với định nghĩa việc dựa quan sát giá trị xn gần với x0 giá trị f (xn ) gần với L Điều với dãy số xn → x0 nên với số gần x0 Tuy nhiên, việc nhận điều không dễ Finzer & Nick (1998) nghiên cứu thao tác mơ hình tốn học động cho thấy đặc điểm hoạt động khẳng định vai trò chúng việc hỗ trợ HS xây dựng kiến thức toán học Các mơ hình, thiết kế phần mềm hình học động thao tác động tạo cách tiếp cận dạy học toán học trường Thực tiễn dạy học cho thấy việc sử dụng mơ hình động giúp HS giải vấn đề dễ dàng Trong viết này, tập trung vào câu hỏi nghiên cứu: Làm để HS kiến tạo kiến thức khái niệm giới hạn hàm số thông qua thực nghiệm mơ hình động? 2.1 Nội dung nghiên cứu Cơ sở lí luận Theo quan điểm nhà kiến tạo: - Học tập cá nhân hoạt động thụ động mà hoạt động tích cực, tức là, cá nhân hành động môi trường để xây dựng kiến thức - Quá trình xây dựng kiến thức q trình phát triển, khơng phải trình tĩnh mà trình động - Kiến thức hình thành thơng qua q trình liên ảnh hưởng việc học tập trước liên quan với việc học tập Trong trình học tập, HS sáng tạo kiến thức cách tự tích cực sử dụng kinh nghiệm có để giải mâu thuẫn phát sinh để đạt hiểu biết chung với thông tin - Kiến thức khơng phải lời giải thích thật, mà hợp lí hóa kinh nghiệm cá nhân Như vậy, cá nhân xây dựng kiến thức, tình giống nhau, giống Theo Kan- tơ: “Mọi nhận thức người quan sát, từ đến khái niệm kết thúc tư tưởng” [3; 255] Trong câu nói sử dụng thuật ngữ “quan sát”, “khái niệm”, “tư tưởng” G.Polya diễn đạt lại câu 163 Phạm Sỹ Nam sau: “Việc học tập hành động thụ cảm, từ đến từ khái niệm phải kết thúc rèn luyện đặc điểm mẻ tư chất trí tuệ” [3; 255] Thường tồn ý kiến công thức hóa: “cách tốt để học tự khám phá lấy” [3; 254] Điều phù hợp với quan điểm nhà kiến tạo cho HS tự xây dựng nên kiến thức cho thân Lictenbe (nhà vật lí người Đức kỉ XVIII) bổ sung vào nét đặc sắc: “Những mà thân anh buộc phải khám phá, để lại tiềm thức anh đường nhỏ mà anh lại sử dụng cần thiết” Như vậy, dạy học cần phải tạo điều kiện cho HS tự kiến tạo, tự khám phá kiến thức Tuy nhiên, để việc kiến tạo kiến thức thành công đạt kết cao không q nhiều thời gian việc “khám phá” cần đặt môi trường học tập với dụng ý sư phạm giáo viên (GV) Vận dụng điều dạy học, yêu cầu HS ý vào hình ảnh mà em quan sát nhằm hình thành ý tưởng kiến thức học 2.2 Thiết kế nghiên cứu Trong việc thiết kế nghiên cứu ý đến yếu tố sau: Kế hoạch thiết kế, ý tưởng thiết kế thiết kế nhiệm vụ toán học cụ thể Kế hoạch thiết kế giáo viên Trong thiết kế hoạt động học tập: - GV cần tập trung vào tầm quan trọng khái niệm chủ chốt, không tập trung sâu vào giai đoạn dạy học chung miêu tả chung chung, chẳng hạn, dạy học giới hạn hàm số tập trung vào hoạt động để thông qua hoạt động làm rõ trình tự việc khẳng định giới hạn hàm số f (x) L x dần tới a, là: xét ε số dương nhỏ tùy ý cho trước, sau cần chứng tỏ tồn số δ cho: Nếu |x − a| < δ |f (x) − L| < ε - Giáo viên cần có kế hoạch cho hoạt động để ứng phó với câu trả lời sai HS - Giáo viên có kế hoạch lâu dài để phát triển hiểu biết sâu sắc HS kiến thức giới hạn hàm số dạy - Khi giảng dạy, giáo viên cần đưa ví dụ cụ thể, quen thuộc dễ hiểu để giúp HS hiểu kiến thức giới hạn hàm số Ý tưởng thiết kế giảng dạy Khái niệm giới hạn hàm số khái niệm khó dạy khó hiểu, lúc khơng thể giúp HS hiểu định nghĩa Ý tưởng thiết kế giảng dạy là: Đầu tiên, tạo hoạt động để HS hiểu khái niệm cách trực giác, sau tiến hành hoạt động nhằm giúp HS hiểu xác định nghĩa Trong q trình thực hoạt động trên, HS có ý tưởng định liên quan đến khái niệm, chúng tơi đặt câu hỏi có kết thúc mở nhằm tạo hội để HS đề xuất ý tưởng 164 Thực nghiệm toán học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số sáng tạo Hoạt động nhằm giúp HS nhận thức khái niệm cách trực giác x dần tới a f (x) dần tới L Các hoạt động sau nhằm mơ tả cách xác f (x) dần tới L x dần tới a Việc mô tả tiến hành theo cấp độ Đầu tiên, HS xác định khoảng cách x a phải bé để |f (x) − 8| nhỏ số cụ thể cho trước Cấp độ 2, nhằm tạo niềm tin tồn khoảng giá trị x để |f (x) − 8| nhỏ số dương tùy ý Các cấp độ tiền đề cho cấp độ hình thức định nghĩa khái niệm mà muốn HS đạt sau là: cho trước số dương ε nhỏ tùy ý ln tìm số δ để với |x − 2| < δ |f (x) − 8| < ε Thiết kế nhiệm vụ toán học Điều quan trọng chọn nhiệm vụ hoạt động tốn học phù hợp với HS Chìa khóa cho việc hiểu là: - Nhiệm vụ cần phải thiết kế để khuyến khích tích cực tư HS - Nhiệm vụ cần phải kết nối kiến thức kinh nghiệm có HS - Một loạt công cụ nên sử dụng để hỗ trợ hiểu biết HS quan niệm tốn học có liên quan đến nhiệm vụ Để có liệu cho việc trả lời câu hỏi nghiên cứu, thiết kế hoạt động, lấy thực nghiệm HS chuyên toán lớp 11 Phiếu học tập số Hình 2x2 − Giới thiệu: Hình vẽ (Hình 1) đồ thị hàm số f (x) = Với x = x−2 f (x) hoàn toàn xác định Xét dãy số xn = + , giá trị n thay đổi giá trị xn n thay đổi Em khảo sát với mơ hình cách: 165 Phạm Sỹ Nam - Thay đổi giá trị n cách kéo rê trượt tham số Hãy quan sát thay đổi đối tượng khác - Thay đổi độ dài đơn vị cách kéo điểm trục hoành xa tới gần gốc tọa độ Câu hỏi 1: Em thay đổi giá trị n cách kéo rê đầu mút n cho biết n dần tới dương vơ cực f (xn ) dần tới số nào? Hình Chúng ta lấy dải màu đỏ, có hình chiếu vng góc trục hoành [2 − δ, + δ] \ {2} , lấy ảnh tất điểm thuộc [2 − δ, + δ] \ {2} , ta đoạn hình chiếu vng góc dải màu xanh trục tung Khi thay đổi kích thước dải màu đỏ cách kép rê đầu mút δ màu đỏ, kích thước dải màu xanh thay đổi Khi độ cao dải màu xanh nhỏ độ dài đoạn [8 − ε, + ε] , hình trịn trang hình có màu xanh với dịng chữ “ở bên trong” Ngược lại, dịng chữ “khơng bên trong” xuất Hãy thao tác với mơ hình trả lời câu hỏi 2, sau đây: Câu hỏi 2: Để f (x) sai khác số nhỏ 0,1; 0,01 khoảng cách x phải nhỏ bao nhiêu? Hãy điền kết vào bảng sau: Với |x − 2| < |f (x) − 8| < 0, Với |x − 2| < |f (x) − 8| < 0, 01 Câu hỏi 3: Bây thực trò chơi, nhóm người, người thứ đưa số nhỏ 0,01, nhiệm vụ người cịn lại thử tìm xem |x − 2| nhỏ để f (x) sai khác số nhỏ số mà người thứ đưa ra, sau hai người đổi vai trị cho Tiếp theo, em điền kết vào bảng sau: 166 Thực nghiệm toán học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số Với |x − 2| < |f (x) − 8| < Với |x − 2| < |f (x) − 8| < Câu hỏi Cho ε số dương nhỏ tùy ý Liệu tìm số δ để với |x − 2| < δ |f (x) − 8| < ε khơng? Giải thích Sau HS kiến tạo khái niệm phát phiếu học tập số Phiếu học tập số Câu hỏi Để chứng minh hàm số f (x) có giới hạn L x dần tới a ta làm nào? Câu hỏi Em quan sát hình ảnh đồ thị hàm số hình 1và đưa nhận xét tồn giới hạn hàm số x dần tới số a, tính đơn điệu hàm số khoảng (−∞; 2) , (2; +∞) , mối quan hệ tính đơn điệu, giá trị hàm số khoảng kết giới hạn hàm số Từ nhận xét trên, em đề xuất kết kiến thức giới hạn hàm số Giải thích (nếu có thể) 2.3 Kết nghiên cứu Trong phần tập trung vào kết sau: Sự tương tác HS, giáo viên hỗ trợ HS gặp khó khăn, xử lí giáo viên với kết đúng, giáo viên ứng phó với câu trả lời sai HS Sự tương tác HS Trong trình theo dõi làm việc nhóm, chúng tơi thấy rằng: đa số HS tích cực hoạt động để đưa kết chung cho nhóm Các nhóm thay thao tác với mơ hình động mà chúng tơi cung cấp Trong thao tác, nhóm cử thành viên thao tác với mơ hình động, thành viên ghi chép kết quả, thành viên lại quan sát đề xuất hướng giải gặp khó khăn, việc thao tác luân phiên thay đổi thành viên Trong q trình thao tác nhóm gặp khó khăn thao tác với mơ hình, số nhóm thảo luận giải khó khăn, điều thú vị với nhóm khơng giải nêu khó khăn có thành viên nhóm khác lên hỗ trợ Giáo viên hỗ trợ HS gặp khó khăn Trong q trình theo dõi nhóm thực hoạt động HS gặp khó khăn việc trả lời câu hỏi GV đặt thêm câu hỏi đưa thêm yêu cầu nhằm hỗ trợ HS Khi thực thao tác với mơ hình để trả lời cho câu hỏi câu hỏi phiếu học tập số 2, có số nhóm dịch chuyển n q nhanh nên khơng thấy rõ thay đổi giá trị f (xn ) tương ứng, trường hợp yêu cầu HS dịch chuyển cho tăng (giảm) giá trị n lên đơn vị để nhận thấy rõ thay đổi Khi thực phiếu học tập số hai, ban đầu nhiều nhóm đưa hai kết quả, chúng tơi khuyến khích em cố gắng tìm thêm kết khác 167 Phạm Sỹ Nam việc tập trung quan sát vào hình ảnh có q trình hình thành khái niệm, nêu yêu cầu cụ thể Chẳng hạn: “Xét với dãy số xn , lim xn = 1, em tính lim f (xn ) Em có nhận xét lim f (xn ) f (1) Từ khái quát kết gì?” “Dễ thấy hàm số cho đồng biến (−∞; 2) , lim f (x) = 8, em so x→2 sánh giá trị hàm số f (x) x ∈ (−∞; 2) Từ đề xuất kết cho trường hợp tổng quát.” “Dễ thấy hàm số cho đồng biến (2; +∞) , lim f (x) = 8, em so x→2 sánh giá trị hàm số f (x) x ∈ (2; +∞) Từ đề xuất kết cho trường hợp tổng quát.” “Xét (0 : +∞) f (x) > 4, so sánh lim f (x) 4, với a ∈ (0; +∞) Từ x→a kết khái qt điều gì? ” Xử lí GV với kết Trong trình thực hoạt động, có nhiều kết tốt nhóm đưa ra, có kết nằm dự đốn chúng tơi, có kết nằm ngồi dự đốn Đối với kết chúng tơi u cầu HS làm rõ sở phát sinh kết chứng minh chúng (nếu có thể) Có kết mà vốn kiến thức em chưa chứng minh được, theo chúng tơi điều đáng quý, điều quan trọng HS tự khám phá kết khám phá kết (đối với HS) tạo động lực, tích cực tìm hiểu sâu kiến thức học Việc thực hoạt động nhằm giúp HS nhận rằng: Bằng trực giác, x tiến sát khác f (x) tiến gần Khi thực tất nhóm cho kết 1 giảm đúng, có nhóm trình bày cụ thể “khi n tăng + giảm f + n n dần đến ” Tuy nhiên, để đạt thông tin chi tiết giá trị hàm f (x) thay đổi x gần 2, yêu cầu HS trả lời câu hỏi Mục đích câu hỏi nhằm giúp HS nhận cách cụ thể |x − 2| nhỏ |f (x) − 8| nhỏ 0,1; 0,01 Trong kết thu từ nhóm, tất nhóm cho kết đưa nhiều giá trị khác thỏa mãn yêu cầu câu hỏi Khi tổng hợp kết nhóm, điều gây cho số HS ngạc nhiên, câu hỏi em nêu lên là: “Tại có nhiều giá trị thỏa mãn?” Câu hỏi tạo hội thú vị, chúng tơi u cầu nhóm suy nghĩ trả lời, câu trả lời thu là: “khi |x − 2| nhỏ số nhỏ số lớn số đó” Điều làm làm rõ nghĩa thuật ngữ “tồn số δ ” định nghĩa sau này, thuật ngữ mà HS cần hiểu định nghĩa epsilon-delta, đồng thời giúp HS nhận có vơ số số Câu hỏi nhằm tạo cho HS niềm tin rằng, cho trước số dương (sau kí hiệu ε ) dù nhỏ đến ta ln tìm số dương (sau kí hiệu δ ) để với |x − 2| < δ |f (x) − 8| < ε Kết nhóm đưa Tuy nhiên, điều 168 Thực nghiệm toán học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số cảm nhận ban đầu, để có chứng minh chặt chẽ mặt toán học, HS cần trả lời câu hỏi Trong kết cho câu hỏi 4, nhóm đưa giá trị δ khác nhau, có 10 ε ε nhóm cho giá trị δ = , có nhóm đưa kết δ < 2 Trong thực phiếu học tập số 2, chúng tơi thu nhiều loại kết quả, chia thành loại sau: i Kết phương pháp chứng minh hàm số f (x) có giới hạn L x dần tới a Có 10 nhóm cho rằng: “để chứng minh hàm số f (x) có giới hạn L x dần tới a ta chứng minh với dãy số (xn ) , lim xn = a lim f (xn ) = L, có nhóm cho rằng: “đầu tiên xét số dương nhỏ tùy ý cho trước, sau cần chứng tỏ tồn số δ cho |f (x) − L| < ε, ∀ |x − a| < δ, x = a ” Như vậy, kết giúp HS có tri thức phương pháp, kết cần thiết cho việc vận dụng lí thuyết học vào giải tập ii Kết tồn giới hạn Có nhóm cho rằng: “giới hạn hàm số x dần tới số có nhất” Vì chứng minh kết vượt ngồi khả HS, chúng tơi thơng báo kết Chúng có yêu cầu thêm “em đề xuất cách chứng minh giới hạn hàm số f (x) x dần tới a khơng tồn ” Có nhóm vận dụng phép phủ định mệnh đề để đưa kết có hai dãy số xn , x′n mà lim xn = lim x′n = a lim f (xn ) = lim f (x′n ) lim f (x) không tồn Kết cho HS phương x→a x→a x→a pháp để chứng minh giới hạn hàm số khơng tồn Có nhóm dựa vào: “ lim xn = 2, lim f (xn ) = (xn + 2) = ” để đưa kết quả: “ Cho f (x) = ax + b, lim xn = x0 lim f (xn ) = ax0 + b ” Khi chúng tơi u cầu chứng minh, có nhóm thực chứng minh iii Kết dạng bất đẳng thức Có nhóm cho kết quả: “Hàm số f (x) đồng biến khoảng chứa (a; b), lim f (x) = L f (x) < L ∀x ∈ (a; b) ” Có nhóm cho kết quả: “Hàm số x→b f (x) đồng biến khoảng chứa (a; b), lim f (x) = L f (x) > L∀x ∈ (a; b) ” Có x→a nhóm cho kết quả: “nếu f (x) > m với khoảng I chứa x0 , trừ x0 , lim f (x) = L x→x0 L ≥ m ” Có nhóm cho kết quả: “nếu f (x) < m với khoảng I chứa x0 , trừ x0 , lim f (x) = L L ≤ m ” Có nhóm dựa kết để khái quát: x→x0 “nếu f (x) > g(x) với D lim f (x) ≥ lim g(x) ” x→x0 x→x0 Giáo viên ứng phó với câu trả lời sai HS Trong kết thảo luận HS, bên cạnh kết đúng, có số nhóm đưa câu trả lời sai Nhằm giúp HS nhận sai lầm mình, chúng tơi tiến hành sau: Nêu quan niệm sai trước lớp yêu cầu tất nhóm kiểm chứng GV sử dụng cách sau để hỗ trợ việc kiểm chứng HS: 169 Phạm Sỹ Nam - GV đưa phản ví dụ yêu cầu HS kiểm tra, đối chiếu với câu trả lời - GV yêu cầu HS thực thêm hoạt động để thơng qua hoạt động HS nhận sai lầm - GV yêu cầu HS sử dụng kiến thức học để kiểm tra kết mình, kết mà em đưa thường dựa vào hình ảnh thu mơ hình chưa chứng minh chặt chẽ Khi đưa kết cho câu hỏi số 1, có nhóm cho rằng: “Khi n dần tới dương vơ cực giá trị f (xn ) 8”, kết có từ quan sát tăng giá trị n điểm đỏ thể thay đổi giá trị f (xn ) không di chuyển, nhằm giúp HS nhận sai lầm này, đặt câu hỏi ” biết xn = 2, liệu f (xn ) khơng? ” Bằng việc tính cụ thể f (xn ) = (xn + 2) kết hợp xn = HS nhận sai lầm Trong kết cho câu hỏi phiếu học tập số 1, có nhóm đưa kết ε ε δ > , trường hợp này, đặt câu hỏi “Liệu |x − 2| < < δ có suy 2 |f (x) − 8| = |x − 2| < ε không?” Việc kiểm tra điều giúp HS nhận sai lầm Trong kết phiếu học tập số Có nhóm cho kết “Cho hàm số f (x) xác định x0 , limxn = x0 limf (xn ) = f (x0 ) ” Kết hàm số f (x) liên tục, nhiên khái niệm hàm số liên tục HS chưa học, tình này, ra cho HS trường hợp không thỏa mãn, chẳng hạn yêu cầu HS  −1 x < xét với hàm số f (x) = x = , với việc vẽ đồ thị hàm số, HS nhận  x > kết khơng Có hai nhóm cho rằng: “nếu f (x) > m với khoảng I chứa x0 , trừ x0 , lim f (x) = L L > m” Nhằm giúp HS nhận sai lầm này, x→x0 yêu cầu HS quan sát lại kết có thực phiếu học tập số 1, “xét (2; +∞) f (x) > 8, so sánh lim f (x) ” x→2 Như vậy, q trình thao tác, khơng phải lúc HS khám phá kết đúng, mà để đến kiến thức đắn HS phải trải qua q trình q trình khơng tránh khỏi quan niệm sai, khó khăn Việc giải vấn đề đòi hỏi HS tích cực suy nghĩ tìm hướng giải cần trợ giúp GV việc gợi ý, yêu cầu HS thực hoạt động cần thiết để đối tượng bộc lộ dấu hiệu cần nghiên cứu kiểm tra tính đắn quan niệm Trong việc giải thích tính đắn quan niệm, nên yêu cầu HS sử dụng nhiều hình thức khác sử dụng mơ hình trực quan, sử dụng suy luận Ở cần lưu ý rằng, việc thao tác với mơ hình trực quan cho dấu hiệu diễn tả lời hình thức mơ tả 170 Thực nghiệm toán học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số Kết luận Giới hạn hàm số khái niệm có tính trừu tượng cao, định nghĩa giới hạn phát biểu hai dạng: theo ngôn ngữ dãy theo ngơn ngữ epsilon- delta nên GV gặp khó khăn việc tổ chức dạy học để hình thành chúng Việc hiểu chất khái niệm tiền đề quan trọng cho việc nắm vững khái niệm Giải tích sau Trong q trình giảng dạy theo tiến trình chúng tơi thấy rằng: Việc vận dụng Lí thuyết kiến tạo với hỗ trợ mơ hình động tạo cho HS hội khám phá Toán học HS thực hành nhiều có hội thể lực thân, để từ có dự đốn đặc điểm khái niệm cần lĩnh hội, xây dựng cho hiểu biết đắn khái niệm Bên cạnh câu trả lời mà GV mong đợi, xuất câu trả lời sai lầm, chưa đầy đủ, hội để GV có hoạt động thích hợp nhằm giúp HS có hiểu biết tránh sai lầm Mơ hình động thực cầu nối quan trọng việc dạy học khái niệm trừu tượng khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn chẳng hạn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng, 2010 Tài liệu chun tốn Đại Số Giải tích 11 Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Finzer W., Jackiw N., 1998 Dynamic manipulation of mathematics objects Key Curriculum Press, USA [3] G Polya, 2010 Sáng tạo toán học Nxb Giáo dục Việt Nam [4] Phuc N D M., Nam P S., 2012 Experiment school mathematics in constructing knowledge of infinitesimal small quantities Proceedings of the 5th Annual Conference ICER 2012, International Conference on Educational Research: Challenging Education for Future Change, Khon Kaen University, Thailand, pp 309-319 ABSTRACT Doing mathematics experiment in order to construct knowledge of the finite limit of a function A finite limit of a function is a difficult Mathematical concept, even for good students, and also a typical notion for a necessary ideology of advanced mathematics When presenting the definition of this concept, textbooks for Mathematical gifted student introduce both kinds of definitions: sequence version and epsilon-delta version The organization for students to construct both definitions is difficult Using a constructivist approach, this study used mathematical tasks that support students in constructing the concept of the finite limit of a function The results show that experimentation using dynamic manipulations enables students to form and verify hypotheses, reject the wrong ones and construct the knowledge about the finite limit of a function in an easier way 171 .. .Thực nghiệm toán học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số nhiên, để thuận lợi việc tìm giới hạn định nghĩa chứng minh số tính chất đặc trưng cho giới hạn hàm số, sách giáo... diễn tả lời hình thức mơ tả 170 Thực nghiệm tốn học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số Kết luận Giới hạn hàm số khái niệm có tính trừu tượng cao, định nghĩa giới hạn phát biểu hai... Tuy nhiên, điều 168 Thực nghiệm toán học việc kiến tạo kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số cảm nhận ban đầu, để có chứng minh chặt chẽ mặt toán học, HS cần trả lời câu hỏi Trong kết cho câu hỏi