KỸ NĂNG đọc đồ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN để GIẢI một số bài TOÁN LIÊN QUAN

Muốn làm được các bài tập trên học sinh phải có kỹ năng đọc đồ thị (bảng biến thiên), vận dụng linh hoạt các kiến thức được học ở chương hàm số để giải quyết những bài tập này. Nhằm góp phần giúp các em trong kỳ thi sắp tới mà tôi chọn chuyên đề: “kỹ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên để giải một số bài toán liên quan”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TAM ĐẢO Chuyên đề : “ KỸ NĂNG ĐỌC ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN” 1) Ngươi thưc hiên:……………… 2) Đôi tương bôi dương hoc sinh lơp 12 3) Dư kiên sô tiêt 03 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong đề thi THPTQG 2019 mã đề 101: Câu Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A  2;0  B  2;  � C  0;  D  0;  � Câu Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên A y  x  3x  B y   x3  x  C y  x  x  Câu 14 Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: D y   x  x  Hàm số cho đạt cực tiểu A x  B x  C x  1 Câu 16 Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: D x  3 Số nghiệm thực phương trình f  x    A B C Câu 28 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: D Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C  x  sau: Câu 35 Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu f � x f�  x �  3 1  �   Hàm số y  f   x  nghịch biến khoảng đây? A  4;  � B  2;1 D C  2;  D  1;   x  liên tục � có đồ thị hình vẽ bên Câu 36 Cho hàm số f  x  , hàm số y  f � Bất phương trình f  x   x  m ( m tham số thực) nghiệm với x � 0;  A m �f    B m �f   C m  f    D m  f   Câu 43 Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên A B C  x  sau Câu 46 Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên hàm số f � Số nghiệm thực phương trình f  x  x   Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D D - Muốn làm tập học sinh phải có kỹ đọc đồ thị (bảng biến thiên), vận dụng linh hoạt kiến thức học chương hàm số để giải tập Nhằm góp phần giúp em kỳ thi tới mà chọn chuyên đề: “kỹ đọc đồ thị, bảng biến thiên để giải số toán liên quan” A CƠ SỞ LÝ THUYẾT - Từ bảng biến thiên đồ thị ta lấy đc thông số sau: 1, Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số 2, Cực trị (nếu có): số cực trị, tọa độ điểm cực trị 3, Giá trị max khoảng đoạn, nửa khoảng 4, Tiệm cận đứng, ngang (nếu có) 5, Hàm số tương ứng với đồ thị (hoặc BBT) 6, Biện luận số nghiệm phương trình 7, Dấu hệ số … Trước tiên cần ghi nhớ tính chất hàm số sau HÀM SỐ BẬC BA : y  ax3  bx2  cx  d Tập xác định: D  � Đạo hàm: y'  3ax2  2bx  c , � b2  3ac �  : Hàm số có cực trị � �0 : Hàm số tăng giảm � Đạo hàm cấp 2: y''  6ax  2b , y''  � x   x  b 3a b 3a hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Giới hạn: Nếu a  thì: lim y  �; lim y  � x�� x�� y  �; lim y  � Nếu a  thì: xlim �� x�� Bảng biến thiên đồ thị: Trường hợp a  : * � b2  3ac  : Hàm số có cực trị x � y' y �� *  b�  3ac x1 CĐ   x2 �  � CT � y� 0, x �: Hàm số tăng � x � �  y' � y � Trường hợp a  : * � b2  3ac  : Hàm số có cực trị x � x1  y'  � y * ��   b�  3ac � x2 CĐ  CT y� 0, x � : x y' � Hàm số giảm � � �  � y � Một số tính chất hàm số bậc ba Hàm số có cực đại cực tiểu khi: � b2  3ac  � a � Hàm số đồng biến � � � �  b2  3ac �0 � � a � Hàm số nghịch biến � � � �  b2  3ac �0 � (x) : f(x)  f � (x).g(x)  rx  q Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho f� (x) thì: f(x1)  rx1  q; f(x2 )  rx2  q Nếu x1,x2 hai nghiệm f� Khi đường thẳng qua điểm cực trị y  rx  q Đồ thị ln có điểm uốn I tâm đối xứng đồ thị Đồ thị cắt Ox điểm phân biệt � hàm số có hai cực trị trái dấu Đồ thị cắt Ox hai điểm phân biệt � đồ thị hàm số có hai cực trị cực trị nằm Ox Đồ thị cắt Ox điểm � hàm số khơng có cực trị hàm số có hai cực trị dấu Tiếp tuyến: Gọi I điểm uốn Cho M �(C) * Nếu M �I ta có tiếp tuyến qua M tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( a  ), lớn (nếu a  ) * Nếu M khác I có tiếp tuyến qua M HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG : y  ax4  bx2  c TXĐ: D  � Đạo hàm: y� 4ax3  2bx  2x(2ax2  b) � y� � x  x2   * Nếu ab �0 y có cực trị x0  * Nếu ab  y có cực trị x0  0; x1,2  �  Đạo hàm cấp 2: * Nếu ab �0 b 2a b � � y�  12ax2  2b, y�  � x2   6a đồ thị khơng có điểm uốn b 2a * Nếu ab  đồ thị có điểm uốn Bảng biến thiên đồ thị: * a  0,b  : Hàm số có cực trị x x1 � x2 �  y' y    � � CĐ CT CT * a  0,b  : Hàm số có cực trị x � x1  y' CĐ y  � � x2   CĐ � CT * a  0,b �0 : Hàm số có cực trị x y' y � �  � �  CT * a  0,b �0 : Hàm số có cực trị x y' �  y � Tính chất: 0 CĐ �  � * Đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a �0) cắt trục hoành điểm phân biệt lập thành cấp số cộng phương trình: aX2  bX  c  có nghiệm dương phân biệt thỏa X1  9X2 * Nếu đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đỉnh nằm Oy * Nếu đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị đường thẳng d' đối xứng với d qua Ox tiếp tuyến đồ thị HÀM SỐ NHẤT BIẾN: y  ax  b , ac �0 cx  d � d� TXĐ: D  �\ � c � Đạo hàm: y� * Nếu * Nếu m0 m � ad  bc (cx  d)2 m  ad  bc , Đặt ta có: hàm số tăng khoảng xác định hàm số giảm khoảng xác định Các đường tiệm cận : x   d c tiệm cận đứng y  a c tiệm cận ngang Bảng biến thiên đồ thị : * m0 x �   y' d c  || a c � y a c * x � m : �   y' y � d c �  || a c � � a c Đồ thị hàm số biến gọi hypebol vng góc có tâm đối xứng � d a� I � ; �, � c c� giao điểm đường tiệm cận SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT DẤU CỦA CÁC HỆ SỐ: a>0 Hệ số a: dựa vào hình dáng đồ thị a , đơn vị đồ thị + Tịnh tiến ( G) xuống + Tịnh tiến ( G) sang trái y = f ( x) - p y = f ( x + p) y = f ( x - p) Oxy , + Đối xứng M qua trục hồnh ta + Đối xứng M qua trục tung ta M '( x '; y') M '( x '; y') với với � x' = x � � � �y' = - y � x' = - x � � � �y' = y Chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: Từ đồ thị (C) hàm số y=f(x) ta suy đồ thị hàm số y  f ( x ) Qui tắc: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) hàm số y= f(x) nằm phía trục hồnh + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) hàm số y = f(x) nằm trục hoành qua trục hoành - Và bỏ phần đồ thị nằm trục hoành Ta đồ thị hàm số y  f ( x) Minh họa 10 y  f  x sau Dựa vào đồ thị ta có phương trình f  x  m có � m nghiệm phân biệt � m � Ví dụ 11 (Câu 43 mã đề 101- 2019) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên B C D Số nghiệm thực phương trình f  x  3x   A Lời giải Đáp án B  1  � x  �1 Đặt t  x  3x , ta có: t �  3x  ; t � Bảng biến thiên: Xét phương trình: f  x  3x   / Phương trình  1 trở thành f  t   với t �� Từ đồ thị hàm số y  f  x  ban đầu, ta suy đồ thị hàm số y  f  t  sau: 29 / Suy phương trình f  t   có nghiệm t1  2  t2  t3   t4 Từ bảng biến thiên ban đầu ta có: +) x  3x  t1 có nghiệm x1 +) x  3x  t4 có nghiệm x2 +) x  3x  t2 có nghiệm x3 , x3 , x5 +) x  x  t3 có nghiệm x6 , x7 , x8 Vậy phương trình f  x  3x   có nghiệm Dạng 4: Các toán liên quan đến đồ thị đạo hàm  x  sau: Ví dụ (Câu 35 mã đề 101- 2019) Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu f � x � � 3 1   f�    x 0 Hàm số y  f   x  nghịch biến khoảng đây? A  4;  � B  2;1 C  2;  Lời giải D  1;  Đáp án B 3   x  1 � 3 x2 � ��  2x  x 1 � �  2 f �   2x  � f �   2x  � � Ta có y� Vì hàm số nghịch biến khoảng  �;1 nên nghịch biến  2;1  x  liên tục � có Ví dụ (Câu 36 mã đề 101- 2019) Cho hàm số f  x  , hàm số y  f � đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x   x  m ( m tham số thực) nghiệm với x � 0;  A m �f    B m �f   C m  f    D m  f   30 Lời giải Đáp án B Ta có f  x   x  m, x � 0;  � m  f  x   x, x � 0;   *  x  ta có với x � 0;  f �  x  Dựa vào đồ thị hàm số y  f � Xét hàm số g  x   f  x   x khoảng  0;  g�  x  f �  x    0, x � 0;  Suy hàm số g  x  nghịch biến khoảng  0;  Do  * ۳ m g    f    x  Ví dụ (Câu 46 mã đề 101- 2019) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên hàm số f � sau Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Lời giải Đáp án C Cách � x  a, a � �; 1 � x  b, b � 1;0  �  x   có nghiệm tương ứng � Từ bảng biến thiên ta có phương trình f � x  c , c � 0;1   � � x  d , d � 1; � � /   x  1 f �  x  2x  Xét hàm số y  f  x  x  � y� 2 � x 1 �2 x  2x  a � x 1  �  �  x  1 f � x2  2x  b  x  x   � �f � x2  x   � � Giải phương trình y� � � � x2  x  c � � x2  x  d � 2 Xét hàm số h  x   x  x ta có h  x   x  x  1   x  1 �1, x �� Phương trình x  x  a,  a  1 vô nghiệm 31  1  2  3  4 Phương trình x  x  b,  1  b   có hai nghiệm phân biệt x1; x2 không trùng với nghiệm phương trình  1 Phương trình x  x  c,   c  1 có hai nghiệm phân biệt x3 ; x4 khơng trùng với nghiệm phương trình  1 phương trình   Phương trình x  x  d ,  d  1 có hai nghiệm phân biệt x5 ; x6 không trùng với nghiệm phương trình  1 phương trình   phương trình  3  có nghiệm phân biệt nên hàm số y  f  x  x  có điểm cực Vậy phương trình y� trị Cách  x   có nghiệm tương ứng Từ bảng biến thiên ta có phương trình f � � x  a, a � �; 1 � x  b, b � 1;0  � � x  c, c � 0;1 � � x  d , d � 1; � �   x  1 f �  x2  2x  Xét hàm số y  f  x  x  � y� � x 1 �2 x  x  a  1 � x   � y�  �  x  1 f � x2  x  b  2  x  x   � �f � x2  x   � � � � � x  x  c  3 � � x2  x  d  4 � Vẽ đồ thị hàm số h  x   x  x / Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình  1 vơ nghiệm Các phương trình  2 ; 3 ; 4 phương trình có nghiệm Các nghiệm phân biệt  có nghiệm phân biệt nên hàm số y  f  x  x  có điểm cực Vậy phương trình y� trị  x Ví dụ (Câu 50 mã đề 101- 2018) Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  Hai hàm số y  f �  x  có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị y  g �  x hàm số y  g � 32 � � 3� Hàm số h  x   f  x    g �2 x  �đồng biến khoảng đây? 31 � � � 5� �9 � � A �5; � 31 � � � � C � ; �� B � ;3 � � � 25 � � � � � D �6; Lời giải Chọn B  x  A  a;10  , a � 8;10  Khi ta có Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y  f � �f  x    10,  x   a �f  x    10,   x  � � ��� 3� �� 3� 3 25 x  ��5, �2 x   11 �g � x  ��5, �x � �g � 4 �� 2� �� 2� 3� � � x  �  x  f �  x  4  g� Do h� � � �x  Kiểu đánh giá khác: � 3� x  �  x  f �  x  4  2g� Ta có h� � � �4 2� � � Dựa vào đồ thị, x �� ;3 �, ta có  2x  � 25  x   , f  x    f  3  10 ; � 3� x  � f     , g � 2 � 2� � 3� �9 � �9 � x  � 0, x �� ;3 � Do hàm số đồng biến � ;3 �  x  f �  x  4  g� Suy h� � 4 � � � � � � Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm � thỏa f ( 2) = f ( - 2) = đồ thị hàm số y= f� ( x) có dạng hình vẽ bên 33 Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng khoảng sau: � 3� - 1; � � A � � � � B ( - 2; - 1) � 2� C ( - 1;1) D ( 1; 2) Lời giải Chọn D ( x) ta lập bảng biến thiên y = f ( x) sau: Dựa vào đồ thị hàm số y = f � Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) �0, " x �� = f ( x) f � ( x) Xét hàm số y = ( f ( x ) ) , ta có y � ( x) > 0, " x �( 1; 2) �( �; - 2) nên hàm số y = ( f ( x) ) nghịch biến Do Oxyz f � khoảng ( - �; - 2) ( 1; 2)  x  hình vẽ Ví dụ Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f � Đặt g  x   f  x   x  x  2018 Mệnh đề đúng? A Hàm số g  x  đồng biến  1; 3 B Hàm số g  x  đồng biến  3;  C Hàm số g  x  đồng biến  0; 3 D Hàm số g  x  nghịch biến  0; 3 Lời giải Chọn B  x  f �  x  x  Ta có: g �  x  � f �  x    x   1 Xét: g �  x  đồ thị y   x  ta thấy: Dựa vào đồ thị hàm số y  f � 34  x  nằm “phía trên” đồ thị y   x  x � 3; 1 � 3;  � Đồ thị hàm số y  f � Do đó:  1 � x � 3; 1 � 3;  � Vậy hàm số g  x  đồng biến  3; 1  3;  � , hàm số g  x  nghịch biến  �;  3  1; 3 Vậy khẳng định B 35 III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Nhận biết – Thông hiểu Câu (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) y Đồ thị hình bên hàm số nào? A y = - x2 + x - B y = - x3 + 3x +1 C y = x4 - x2 +1 D y = x3 - 3x +1 x O Câu Đồ thị hình bên hàm số nào? y A y = ( x +1) ( 1- x) B y = ( x +1) ( 1+ x) 2 C y = ( x +1) ( 2- x) D y = ( x +1) ( 2+ x) -1O 2 Câu Đồ thị sau hàm số nào? A y = - x3 +1 B y =- x3 + 3x + C y = - x3 - x + D y = - x3 + Câu Cho hàm số y = f ( x) xy'- � -� có bảng biến thiên sau: -1 + Đồ thị thể hàm số 36 - y = f ( x) ? +� + +� -2 x y y y B A -1 x -1 O y C -2 x -1 O x O -2 D -1 x O -4 -2 (Đáp án : A) Câu Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Chọn đáp án đúng? A Hàm số có hệ số y a< B Hàm số đồng biến khoảng ( - 2;- 1) ( 1;2) -1 O -2 C Hàm số khơng có cực trị D Hệ số tự hàm số khác y y Câu Đồ thị hình bên hàm số nào? A y =- x + x + B y = x4 - 2x2 + C y = x4 - 4x2 + D y = x4 - 2x2 + x -1 O Câu Đồ thị sau2đây hàm số nào? y A y = x4 - 2x2 1- B y = - -12x4 + Ox - C y = - x4 + 2x-12 - D y = - x4 + 2x2 +1 y x y y Câu Đồ thị hình bên hàm số nào? A y = - x4 - 2x2 + B y = - x4 - 2x2 - C y = - x4 + 2x2 + D y y = x + 2x + A -1 O O Câu Đồ thị sau hàm số nào? 37 -1 x y = x4 + x2 + x x Câu 10 Cho hàm số y = f ( x) xy'- � y+� B y = x4 - x2 + C y = x4 - x2 +1 D y = x4 + x2 +1 có bảng biến thiên sau Chọn phát biểu sai? 0 + -3 -1 y +� + +� - -4 -4 A Hàm số đồng biến khoảng ( - 1;0) y ( 1;+�) B Hàm số đạt cực đại x = C Đồ thị hàm số cho biểu diễn hình bên D Hàm số cho y = x4 - 2x2 - Câu 11 Đồ thị sau hàm số nào? y  O x A y= x +1 2x +1 B y= x +3 2x +1 C y= x 2x +1 D y= x- 2x +1 Vận dụng Câu 12 Cho hàm số đây? A y = x3 - 6x2 + 9x có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số y y y = - x3 + 6x2 - 9x B C D y = x +6 x +9 x y = x3 - 6x2 + 9x x y = x - 6x2 + x Câu 13 Cho hàm số đây? 38 O Hình y = x3 + 3x2 - x -3 -1 O Hình có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số y y x -2 -1 O x -2 -3 -2 -1 O Hình A B y = x + x - Hình C y = x3 + 3x2 - y = f ( x) Câu 14 Cho hàm số D y = x + 3x2 - y =- x3 - 3x2 + liên tục � có đồ thị hình y (I) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) y khoảng ( (II) Hàm số đồng biến 1;2) y (III) Hàm số có ba điểm cực trị (IV) Hàm số có giá trị lớn Số mệnh đề mệnh đề là: x -1 A B Câu 15 Cho hàm số  y= x 2x +1 y= x 2x +1 y y 2 O B Câu 16 Cho hàm số 39 C x y= y=  O x Hình x x +1 x+2 2x - D có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số đây? Hình A O C y= x x +1 D y= x x +1 có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số đây? y y 2 O -2 O -2 x -2 -2 Hình A �x + � � y=- � � � � � � 2x - 1� Hình y= B Câu 16 Cho hàm số x +2 C 2x- y= x+2 2x - D x +2 y= 2x - y = x3 + bx2 + cx + d y y y x O x y x x x O O O (I) (II) (III) (IV) Các đồ thị đồ thị biểu diễn hàm số cho? A (I) B (I) (III) Câu 17 Cho hàm số D (III) (IV) y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d y O C (II) (IV) y y x y x x x O O (I) (II) (III) O (IV) Trong mệnh đề sau chọn mệnh đề đúng: A Đồ thị (I) xảy a< f '( x) = B Đồ thị (II) xảy a�0 có hai nghiệm phân biệt f '( x) = có hai nghiệm phân biệt f '( x) = vơ nghiệm có nghiệm kép D Đồ thị (IV) xảy a> f '( x) = có có nghiệm kép C Đồ thị (III) xảy a> Câu 18 Cho đường cong ( C ) có phương trình y = f ( x) = 1vị, ta đường cong có phương trình sau đây? 40 x2 Tịnh tiến ( C ) sang phải đơn A y = - x2 + 4x + B y = - x2 + 4x - Câu 19 Tịnh tiến đồ thị hàm số y= x- 2x + C y = 1- x2 + sang phải D y = 1- x2 - đơn vị, sau lên đơn vị ta đồ thị hàm số đây? A y= 11x 2x +1 B y= x- +5 2x + C y= x- +5 2x + D y= 11x + 22 2x + Câu 20 Bảng biến thiên sau hàm số x  -1 - y’ y + - + -3   -4 A y  x  3x   -4 B y  x  3x  C y  x  x  D y  x  x  Câu 21 Bảng biến thiên sau hàm số nào? x  y’ - y  +   A y  x  3x  B y   x  3x  C y  x  3x  D y   x  3x  Câu 22 Bảng biến thiên sau hàm số nào? x -1  y’ + y 2x  x 1 +  A y    B y  x 1 2x  C y  2x  x 1 D y  x2 1 x Câu 23 Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Vận dụng cao 41 ( x) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a  b  c Câu 24 Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f � hình vẽ Mệnh đề đúng? A f (c)  f (a)  f (b) B f (c)  f (b)  f (a ) C f (a)  f (b)  f (c) D f (b)  f (a )  f (c ) Câu 25 Cho hàm số y  f  x  xác định �\  0 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau x � 1 y'  y �    � 2 � � � Tìm tất giá trị tham số thực m cho đường thẳng d : y  m  cắt đồ thị hàm số y  f  x A m  điểm có tung độ nhỏ B m  C m �0 D Không có giá trị thực m thỏa mãn IV ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 10 11 12 13 D C D A B B B A D D C D B 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 B 42 A B C B A C C A A A C 43 ... hàm số để giải tập Nhằm góp phần giúp em kỳ thi tới mà chọn chuyên đề: ? ?kỹ đọc đồ thị, bảng biến thiên để giải số toán liên quan? ?? A CƠ SỞ LÝ THUYẾT - Từ bảng biến thiên đồ thị ta lấy đc thông số. ..  , bảng biến thiên hàm số f � Số nghiệm thực phương trình f  x  x   Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D D - Muốn làm tập học sinh phải có kỹ đọc đồ thị (bảng biến thiên) ,... Lời giải Đáp án B Ta dựa vào đồ thị chọn a  Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ âm nên c  Do đồ thị hàm số có cực trị nên b  Ví dụ Bảng biến thiên hình bên bảng biến thiên bốn hàm số đáp