CHUYÊN ĐỀ HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

CHUYÊN ĐỀ : HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU I.Mục tiêu: + Học sinh nắm :- Định nghĩa hai tam giác -Ba trường hợp tam giác -Các trường hợp tam giác vuông + Rèn cho học sinh kĩ năng: -Quan sát góc,các cạnh tương ứng - Kĩ vẽ hình ghi giả thiết kết luận toán chứng minh hai tam giác theo trường hợp: c.c.c c.g.c ;g.c.g -Thông qua trường hợp tam giác là:c.g.c g.c.g Xây dựng nên trường hợp tam giác vuông -Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận.Chính xác biết vận dụng kiến thức hình học vào giải tốn thực tế II.Cơ sở xây dựng chuyên đề: Nội dung chương tình hành: Chuyên đề : Hai tam giác nằm trương trình Hình Học lớp tập I Lí xác định chuyên đề: Chuyên đề hai tam giác coi chuyên đề quan trọng, xuyên suốt chương trình hình học cấp hai lên khối lớp THPT.Riêng mơn hình học lớp ba trường hợp tam giác thường vận dụng để: + Chứng minh :hai tam giác nhau.Hai đoạn thẳng nhau.hai góc nhau.Hai đường thẳng vng góc Hai đường thẳng song song Ba điểm thẳng hàng +Tính: Các độ dài đoạn thẳng,tính số đo góc,tính chu vi,diện tích,… + So sánh: Các độ dài đoạn thẳng,các góc,… III CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Định nghĩa hai tam giác Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng ∆ ABC ∆ A’B’C’ có: ∆ ABC = ∆ A’B’C’ Ba trường hợp hai tam giác (trình bày phần phương pháp) 3.Các trường hợp tam giác vng (trình bày phần phương pháp) IV CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU A.: Trường hợp thứ cạnh-cạnh- cạnh (c.c.c) a.Định lí: Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác ∆ ABC vµ ∆ A’B’C’ cã: AB = A’B’ AC = A’C’ BC = B’C’ => ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (c.c.c) Ví dụ 1:( Bài 65-Trang 89-Sách Bồi dưỡng Toán 7- tập 1) Cho ∆ABC (AB AB = AC’ (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ ABC ∆ A’CB có : BC cạnh chung AB = A’C (chứng minh trên) Vì O điểm nằm điểm A , C A’ , B Nên BA’ = CA Vậy ∆ ABC = ∆ A’CB (c.c.c) Bài 2:(Bài 64 Tr 88 - Sách Bồi dưỡng Toán Tập 1) Cho tam giác ABC có góc nhọn đường cao AH Dựng điểm D cho AB đường trung trực đoạn HD dựng điểm E cho AC đường trung trực đoạn thẳng HE Nối DE cắt AB I cắt AC K Chứng minh rằng: a, AD = AE b, ∆AID=∆AIH Giải a, Vì AB đường trung trực đoạn HD nên: AD = AH (1) Vì AC đường trung trực đoạn HE nên: AH = AE (2) Từ (1) (2) : AD = AE b, Xét ∆ AID ∆ AIH có : AI cạnh chung AD = AH (chứng minh trên) ID = IH (vì I nằm đường trung trực đoạn DH) Vậy ∆ AID = ∆ AIH (c.c.c) B.: Trường hợp thứ hai cạnh-góc- cạnh (c.g.c) 1.Định lí: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác ABC A’B’C’ có: AB  A'B'� � ABC  A ' B ' C ˆ Bˆ  B' ��  c  g  c BC  B'C � � *Chú ý: Người ta chứng minh rằng: Nếu hai tam giác nhọn có hai cặp cạnh đơi cặp góc khơng xen tương ứng hai tam giác nhau.( ví dụ 5) Ví dụ 3:(Bài 39 Tr 47 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với hai trung điểm M M’ cạnh BC B’C’ Chứng minh nếu: BC = B’C’ ; AM = A’M’  AMC =  AMC hai tam giác Giải => MC = M’C’ Xét ∆ AMC ∆ A’M’C’ có: AM = A’M’ (gt)  AMC =  AMC (gt) MC = M’C’ (cmt) Nên ∆ AMC = ∆ A’M’C’ (c.g.c) => (hai góc tương ứng) AC = A’C’ (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ ABC ∆ A’B’C’ có: BC = B’C’ (gt) (cmt) AC = A’C’ (cmt) => ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (c.g.c) Ví dụ 4:(Bài 42 Tr 50 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với hai trung điểm D D’ cạnh BC B’C’ Chứng minh nếu: AD = A’D’ ; AC = A’C’  DAC =  DAC hai tam giác Giải Xét ∆ ACD ∆ A’C’D’ có: AC = A’C’ (gt) AD = A’D’ (gt)  DAC =  DAC (gt) => ∆ ACD = ∆ A’C’D’ (c.g.c) => (hai góc tương ứng) CD = C’D’ (hai cạnh tương ứng) Từ đó: BC = ( 2CD = C’D’) = B’C’ Xét ∆ ABC ∆ A’B’C’ có: AC = A’C’ (gt) (cmt) BC = B’C’ (cmt) => ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (c.g.c) Ví dụ 5:(Bài 88 Tr 98 - Sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Chứng minh hai cạnh góc khơng xen tam giác hai cạnh góc khơng xen tương ứng tam giác hai tam giác Giải Kẻ AH  BC (H thuộc BC) A’H’  B’C’ ( H’ thuộc B’C’) Từ ta có: Xét ∆AHB ∆A’H’B’ có: Cạnh huyền AB = A’B’(gt) (gt)  ∆AHB = ∆A’H’B’(cạnh huyền - góc nhọn)  (hai góc tương ứng) (1) AH = A’H’ ( hai cạnh tương ứng) Xét hai tam giác vng AHC A’H’C’ có: Cạnh huyền AC = A’C’(gt) AH = A’H’ ( cmt)  ∆ AHC = ∆ A’H’C’( cạnh huyền- cạnh góc vng)  (2) Từ (1) (2) => Xét ∆ ABC ∆A’B’C’ có: (gt) AB = A’B’ (gt) (cmt) =>∆ ABC ∆A’B’C’ (g.c.g) 2.Hệ Nếu hai cạnh góc vng tam giác vuông hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng ∆ ABC = ∆ A’B’C’ có: AB = A’B’ =1v AC = A’C’ => ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (c.g.c) Ví dụ 6:(Bài 52 Tr 60 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho hai đoạn thẳng AD BC nhau, nửa mặt phẳng bờ AB vng góc với AB Gọi O giao điểm AC với BD Chứng minh: OA = OB =OC = OD Hướng dẫn => AD // BC Mà AD = BC (gt) nên ∆AOD = ∆BOC (g.c.g) => AC BD cắt trung điểm O đoạn (1) ∆ABC ∆BAD có : AB cạnh chung = 1v AD = BC (gt)  ∆ABC = ∆BAD (c.g.c)  AC = BD (2) Từ (1) (2) suy :OA = OB =OC = OD *Chú ý: Từ toán ta suy kết quan trọng là: Trong tam giác vng, đoạn thẳng nối đỉnh góc vng với trung điểm cạnh huyền nửa cạnh huyền Chẳng hạn: OA = OB = OD = \f(1,2 BD ; OB = OA = OC = \f(1,2 AC c) Một số tập áp dụng Bài 1:(Bài 49 Tr 58 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho tam giác ABC trung điểm M cạnh AB Trên tia đối MC lấy điểm D cho MD = MC Chứng minh ∆ABC = ∆ BAD Giải Xét ∆ AMC ∆ BMD có: AM = MB (gt) (đối đỉnh) MC = MD (gt)  ∆ AMC = ∆ BMD (c.g.c)  AC = BD (hai cạnh tương ứng) (hai góc tương ứng) Xét ∆ABC ∆ BAD có: AC = BD (cmt) (cmt) AB cạnh chung => ∆ABC = ∆ BAD (c.g.c) C : Trường hợp thứ ba góc- cạnh- góc (g.c.g) 1*Định Lí: Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Xét ∆ ABC ∆A’B’C’có: BC = B’C’ => ∆ ABC=∆A’B’C’(g.c.g) Ví dụ 7:(Bài 59 Tr 66 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với tia phân giác cắt BC D, cắt B’C’ D’ Chứng minh nếu: AB = A’B’ , AD = A’D’ hai tam giác Giải Vì (gt) nên (= = ) = Xét ∆ABD ∆A’B’D’ có: AB = A’B’ (gt) (cmt) AD = A’D’ (gt)  ∆ABD = ∆A’B’D’ (c.g.c)  (hai góc tưong ứng) Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có: (gt) AB = A’B’ (gt) (cmt)  ∆ABC ∆A’B’C’(g.c.g) Ví dụ 8:(Bài 61 Tr 68 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho hai tam giác AHB A’H’B’ vuông H H’, với AH = A’H’ Kéo dài BH B’H’ đoạn HC = H’C’ Chứng minh ∆ ABC = ∆A’B’C’ Giải Vì (gt) nên (góc phụ ) Xét ∆AHB ∆A’H’B’ có: AH = A’H’ (gt) = 900 (gt) (cmt) => ∆AHB = ∆A’H’B’ (g.c.g) => AB = A’B’ (hai cạnh tương ứng) BH = B’H’ (hai cạnh tương ứng) Theo giả thiết HC = H’C’ nên: BH + HC = B’H’ +H’C’ Hay BC = B’C’ Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có: AB = A’B’ (cmt) BC = B’C’ (cmt) (gt)  ∆ABC ∆A’B’C’(c.g.c) 2.Hệ a.Hệ 1:Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng E Xét ∆ ABC ∆ DEF có: B = 90 BC = EF  ∆ABC = ∆ DEF (cạnh huyền-góc nhọn) A C D F b)Hệ 2:Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng Xét ∆ ABC ∆A’B’C’ có: = 900 AC = A’C’  ∆ABC = ∆ A’B’C’(g.c.g) Ví dụ 9:( Bài 319 Trang 159 sách 405 tập tốn 7) Cho hình bên, có Oz tia phân giác góc xOy, MA  Ox, MB  Oy, MC = MD Chứng minh : a) MA = MB b) = Giải a) Xét ∆AOM (  OAM = 900) ∆ BOM (  OBM = 900) có: OM cạnh chung  AOM =  BOM (Oz tia phân giác) Do :∆AOM = ∆ BOM (cạnh huyền - góc nhọn)  MA = MB (hai cạnh tương ứng) b) Xét ∆AMC (  MAC = 900) ∆ BMD (  MBD = 900) có: MC = MD (gt) MA = MB (câu a) Do :∆AMC = ∆ BMD (cạnh huyền - cạnh góc vng) =>  ACM =  BDM (hai góc tương ứng) c) Một số tập áp dụng Bài 1:(Bài 60 Tr 67 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với tia phân giác cắt BC D, cắt B’C’ D’ Chứng minh nếu: AD = A’D’ , hai tam giác Giải Vì (gt) nên (= = ) = ∆ACD ∆A’C’D’ có hai cặp góc ( ) Nên : ( định lý tổng ba góc cuả tam giác) Xét ∆ACD ∆A’C’D’ có: (cmt) AD = A’D’ (gt) (cmt)  ∆ACD ∆A’C’D’ (g.c.g)  AC = A’C’ (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có: AC = A’C’ (cmt) (gt) (gt) Do ∆ABC = ∆A’B’C’(g.c.g) Bài 2:(Bài 82 Tr97 - sách Bồi dưỡng Toán Tập 1) Cho tam giác ABC có AB = AC Lấy điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho AD = AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) ∆ KBD = ∆ KCE Hướng dẫn: a) ∆ABE = ∆ACD (c.g.c) => BE = CD (hai cạnh tương ứng) b) ∆ABE = ∆ACD (câu a) => (hai góc tương ứng) Và (hai góc tương ứng) Do : Mặt khác : AB =AC AD = AE Trừ vế với vế ta có: AB - AD = AC - AE => BD = CE ∆ KBD = ∆ KCE (g.c.g) Bài 3:( Bài 320a Trang 159 sách 405 tập toán 7) Cho tam giác ABC cân A ( < 90 0) Vẽ BH  BC ( H thuộc AC), CK  AB ( K thuộc AB) Chứng minh AH = AK Giải Xét ∆ABC cân A => AB = AC Xét ∆HAB ∆KAC có:  AHB =  AKC = 900 AB = AC (cmt)  HAB góc chung => ∆HAB = ∆KAC (cạnh huyền - góc nhọn) => AH = AK(hai cạnh tương ứng) Bài 4:( Bài 93a Trang 70 - sách Phân loại số phương pháp giải tốn hình học THCS) Cho hai tam giác cân ABC (AB = AC) A’B’C’ (A’B’ =A’C’) Dựng AH A’H’ theo thứ tự vng góc với BC B’C’ Chứng minh ∆ ABC = ∆A’B’C’ AH = A’H’ Giải Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh đuờng phân giác Ta có : (1) (2) (3) Từ (1), (2) (3)=> Do ta có : ∆HAB = ∆H’A’B’ (g.c.g)  AB = A’B’ (hai cạnh tương ứng) Và HB = H’B’ (hai cạnh tương ứng)  BC = B’C’ Hai tam giác cân ABC A’B’C’ có cạnh bên (AB = A’B’) cạnh đáy (BC = B’C’) nên ∆ ABC = ∆A’B’C’ (c.c.c) * Ngồi ta sử dụng thêm phương pháp sau để chứng minh hai tam giác 4) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai tam giác Nếu ∆ ABC = ∆DEF; ∆ DEF = ∆HIK ∆ ABC= ∆HIK 5) Phương pháp 5: Kẻ thêm hình phụ để chứng minh hai tam giác Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc BAC N cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE = \f(AB+AC,2 Lời giải: a) Xét ∆ANE ∆ANF có: ANF = = 900 AN cạnh chung ∆ EAN =  FAN (gt)  ∆ANE = ∆ANF (g.c.g)  AE = AF ( hai cạnh tương ứng) b) Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF K Xét ∆BME ∆CMK có:  BME =  CMK (đối đỉnh) BM = MC (gt)  BME =  CMK (sole )  ∆BME = ∆CMK (g.c.g)  BE = CK (hai cạnh tương ứng) (1) Vì AE = AF nên tam giác AEF cân A => Mà (đối đỉnh) (sole trong) => => ∆ CFK cân C => CK = CF (2) Từ (1) (2) => BE = CF (đpcm) c) Ta có : AE = AB + BE AF = AC - FC  AE + AF = AB + BE +AC - FC = AB + AC Mà AE = AF => 2.AE = AB + AC  AE = \f(AB+AC,2 Ví dụ 12: Cho tam giác ABC vng A với \f(AB,AC = \f(3,4 BC = 15cm Tia phân giác góc C cắt AB D Kẻ DE BC (E thuộc BC) a) Chứng minh: AC = CE b) Tính độ dài AB, AC c) Trên tia AB lấy điểm F cho AF = AC Kẻ tia Fx  FA cắt tia DE M Tính góc DCM Hướng dẫn: a) Chứng minh ∆ACD = ∆ECD (cạnh huyền- góc nhọn)  AC = CE (hai cạnh tương ứng) b) \f(AB,AC = \f(3,4 (gt)  \f(AB,3 = \f(AC,4  \f(AB2,9 = \f(AC2,16 = \f(AB2+AC2,9+16 = \f(BC2,25 = \f(152,25 = AB2 = 9.9= 81=> AB = cm AC2 = 9.16 = 144 => AC = 12 cm c) Kẻ Cy  Fx cắt K Ta thấy AC = AF = FK = CK = CE Và = 900 Chứng minh ∆CEM= ∆CKM (cạnh huyền- cạnh góc vng) => = ( hai góc tương ứng) Mà = + = \f(1,2 = \f(1,2 900 = 450 III.CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TỔNG HỢP Chúng ta thường vận dụng phương pháp chứng minh để : - Chứng minh: hai tam giác nhau, hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau; hai đường thẳng vng góc ; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng ; ba đường thẳng đồng quy … - Tính : độ dài đoạn thẳng ; tính số đo góc ; tính chu vi ; diện tích ; … - So sánh : độ dài đoạn thẳng ; so sánh góc ; … Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC ; N trung điểm BC Chứng minh : a) AM tia phân giác góc BAC b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng ; c) MN đường trung trực đoạn thẳng BC Hướng dẫn: a) Xét ∆AMB ∆ AMC có : AB = AC (gt) ; AM chung ; MB = MC (gt) Do : ∆ AMB = ∆ AMC (c.c c) =>  BAM =  CAM (hai góc tương ứng) Vậy AM phân giác góc BAC (đpcm) b) Xét ∆ ANB ∆ ANC có : AB = AC (gt) ; AN chung ; NB = NC (gt) Do : ∆ANB = ∆ ANC (c – c – c) =>  BAN =  CAN ( hai góc tương ứng) Hay AN phân giác góc BAC Vì AM, AN phân giác góc BAC nên hai tia AM AN trùng Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng c) Theo câu b) ∆ANB = ∆ANC (c – c – c) =>  ANB =  ANC (hai góc tương ứng) Mà  ANB +  ANC =  BNC = 1800  ANB =  ANC = 900 => AN  BC hay MN  BC Mặt khác NB = NC (gt) nên MN đường trung trực BC Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, AB Trên tia đối tia MB MC lấy tương ứng hai điểm D E cho MB = MD NC = NE Chứng minh : a) AD = AE ; b) Ba điểm A, E, D thẳng hàng Hướng dẫn: a) Xét ∆ MAD ∆ MCB có : MB = MD (gt)  AMD =  CMB ( hai góc đối đỉnh) MA = MC (gt) Do ∆ MAD = ∆ MCB (c – g – c), suy AD = BC (1) Chứng minh tương tự ta có AE = BC (2) Từ (1) (2) suy AD = AE b) Vì ∆ MAD = ∆ MCB (chứng minh trên) nên  MAD =  MCB Hai góc vị trí so le nên AD // BC Chứng minh tương tự ta có AE // BC Qua điểm A có hai đường thẳng AD AE song song với BC Theo tiên đề Ơcơlit hai đường thẳng trùng Hay ba điểm A, E , D thẳng hàng  ... A’B’C’ Ba trường hợp hai tam giác (trình bày phần phương pháp) 3.Các trường hợp tam giác vng (trình bày phần phương pháp) IV CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU A.: Trường hợp thứ... Vậy ∆ AID = ∆ AIH (c.c.c) B.: Trường hợp thứ hai cạnh-góc- cạnh (c.g.c) 1.Định lí: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác ABC A’B’C’ có: AB  A'B'� � ABC  A... hai tam giác nhọn có hai cặp cạnh đôi cặp góc khơng xen tương ứng hai tam giác nhau. ( ví dụ 5) Ví dụ 3:(Bài 39 Tr 47 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS) Cho hai tam