Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán và ôn luyện cho học sinh khối 12 chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng, bản thân tôi nhận thấy học sinh gặp không ít khó khăn khi giải bài tập hình học không gian. Đặc biệt là các bài toán chứng minh quan hệ song song, vuông góc, các bài toán tính khoảng cách, xác định góc, tính diện tích của các hình, thể tích các khối đa diện. Nhất là đối với học sinh khối 12 – THPT, ngành học GDTX lại càng gặp nhiều khó khăn do kiến thức hình học của các em bị hổng nhiều ở cấp 2 và khả năng tư duy, tưởng tượng hình không gian còn hạn chế. Có rất nhiều bài toán trong chương trình THPT ngành học GDTX, khi sử dụng phương pháp tọa độ thì được giải quyết một cách đơn giản hơn, nhưng theo phân phối chương trình chỉ có một tiết dành cho giáo viên giới thiệu và hướng dẫn học sinh.Việc sử dụng phương pháp toạ độ để giải toán một phần giúp các em giải một số dạng toán toán dễ hơn, hiệu quả hơn cũng đồng thời giúp các em thấy được mối liên hệ giữa các phần kiến thức, giữa Toán học với thực tiễn. Từ đó ngoài việc phát triển tư duy, khả năng quy lạ về quen còn mang đến cho các em muốn và yêu thích học Toán hơn.
1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRUNG TÂM GDTX-HN TỈNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tác giả: Nguyễn Phú Hiệp Chức vụ: Trưởng phòng Chuyên môn Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX-HN tỉnh Bắc Giang Bắc Giang, tháng năm 2020 A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong q trình giảng dạy mơn Tốn ơn luyện cho học sinh khối 12 chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh vào trường Đại học - Cao đẳng, thân nhận thấy học sinh gặp khơng khó khăn giải tập hình học khơng gian Đặc biệt tốn chứng minh quan hệ song song, vng góc, tốn tính khoảng cách, xác định góc, tính diện tích hình, thể tích khối đa diện Nhất học sinh khối 12 – THPT, ngành học GDTX lại gặp nhiều khó khăn kiến thức hình học em bị hổng nhiều cấp khả tư duy, tưởng tượng hình khơng gian cịn hạn chế Có nhiều tốn chương trình THPT ngành học GDTX, sử dụng phương pháp tọa độ giải cách đơn giản hơn, theo phân phối chương trình có tiết dành cho giáo viên giới thiệu hướng dẫn học sinh Việc sử dụng phương pháp toạ độ để giải toán phần giúp em giải số dạng toán toán dễ hơn, hiệu đồng thời giúp em thấy mối liên hệ phần kiến thức, Toán học với thực tiễn Từ ngồi việc phát triển tư duy, khả quy lạ quen mang đến cho em muốn u thích học Tốn Với mong muốn nâng cao lực giải tốn hình học không gian học sinh lớp 12, chọn nghiên cứu đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học khơng gian”, với hy vọng cung cấp thêm phương pháp giải toán để học sinh tự tin, giải số dạng tốn hình học khơng gian II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu thực trạng học mơn hình học khơng gian học sinh lớp 12 - Giới thiệu đến q thầy giáo, giáo dạy mơn tốn khối THPT em học sinh lớp 12 , ngành học GDTX cách chi tiết phương pháp tọa độ giải tốn hình học không gian - Làm tài liệu tham khảo giúp học sinh củng cố kiến thức; biết cách vận dụng linh hoạt kiến thức hình học, phương pháp tọa độ không gian để giải tốn hình học khơng gian - Giúp học sinh nắm phương pháp khác giải tốn hình học không gian; đáp ứng nhu cầu nhiều học sinh lớp 12 việc ôn tập, rèn kỹ giải tốn chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT, xét tuyển hệ Cao đẳng Đại học III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12 khối THPT, ngành học GDTX Phạm vi nghiên cứu: Trung tâm GDTX-HN tỉnh Bắc Giang IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Thu thập tài liệu, điều tra, khảo sát thực tế, dạy thực nghiệm, tìm hiểu lực giải tốn hình học không gian học sinh lớp 12 Trung tâm GDTX-HN tỉnh B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Phương pháp toạ độ xem phương pháp đại số hố tốn hình học Bằng phương pháp này, học sinh chủ yếu làm việc với số, khơng cần tư hình học nhiều tạo hứng thú cho học sinh giải tốn hình học khơng gian Kiến thức cần nhớ 1.1 Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian kiến thức liên quan - Hệ trục tọa độ Đề vng góc rOxyz hệ gồm trục Ox, Oy, Oz đôi r r vng góc với gốc O, với i, j, k véc tơ đơn vị tương ứng trục Ox, Oy, Oz 1.2 Tọa độ điểm véc tơ, phép tốn véc tơ hệ tọa độ Oxyz 1.3 Tích có hướng hai véc tơ ứng dụng: r uuur uuu AB, AC � + Diện tích tam giác ABC : SΔABC = � � � uuur uuur uuuu r � AA' AB, AD + Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: VABCD.A'B'C'D' = � � � 1.4 Các cơng thức tính góc r ur u.u ' r ur + Góc hai đường phẳng: cos(; ') r ur với u , u ' véctơ u u' phương hai đường thẳng , ' rr u.n r + Góc đường thẳng mp( ) : sin r r với u véctơ u.n r phương ; n véctơ pháp tuyến mp( ) r ur n.n ' + Góc mp( ) mp( ) : cos r ur n n' r ur với n, n ' véctơ pháp tuyến mp( ) mp( ) 1.5 Các cơng thức tính khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mp( ) có phương trình Ax By Cz D là: d ( M , ( )) Ax0 By0 Cz0 D A2 B C + Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng qua điểm M0, có véctơ uuuuuur r � M M ,u � r � � d(M ,Δ)= r phương u là: u r ur uuuuuur' � � u,u' M M � � r ur + Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d(Δ, Δ')= , với � � u,u' � � r ur u , u ' véc tơ phương , ' ; M0, M0’ điểm nằm , ' 1.6 Các hệ thức lượng tam giác (hệ thức lượng tam giác vuông, Định lí hàm số Cosin, Định lí hàm số Sin, ) 1.7 Phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng 1.8 Phương trình mặt cầu 1.9 Bổ sung kiến thức hình học khơng gian a, Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin góc mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu S ' S cos b, Cho khối chóp S.ABC Trên SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta ln có: V S A ' B 'C ' V S ABC SA ' SB ' SC ' SA SB SC Phương pháp chung để giải toán Sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian chương trình Tốn 12 chủ yếu để giải quyêt toán: chứng minh quan hệ vng góc; tính khoảng cách, góc, diện tích, thể tích Việc giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ có trở nên đơn giản phương pháp thông thường hay không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vng góc vec tơ đơn vị trục Bài toán thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, ý đến vị trí gốc tọa độ O đỉnh góc vng, tâm mặt cầu … Chú ý: Có số tốn ta phải dựng thêm hình trước chọn hệ trục tọa độ để chọn hệ tọa độ phù hợp với toán cần giải Bước 2: Dựa vào điều kiện toán để xác định toạ độ điểm, phương trình đường mặt cần thiết hệ trục toạ độ (có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Chú ý: Ở số toán, trước xác định tọa độ điểm ta phải tính độ dài số cạnh số đoạn thẳng Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào: + Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ); + Dựa vào quan hệ hình học như: nhau, vng góc, song song, phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước để tìm tọa độ; + Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng; + Dựa vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Chuyển tính chất hình học giả thiết kết luận tốn sang tính chất đại số giải tích, đưa tốn tốn đại số, giải tích Sử dụng kiến thức phương pháp toạ độ không gian để giải tốn Một số dạng tốn thường gặp - Tính độ dài đoạn thẳng; - Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; - Tính góc hai đường thẳng; tính góc đường thẳng mặt phẳng; tính góc hai mặt phẳng; - Tính thể tích khối đa diện; - Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng hình đa diện; - Chứng minh quan hệ song song, vng góc Nhận dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ khơng gian Đó tốn liên quan đến: a Hình lập phương, hình hộp chữ nhật b Hình chóp tam giác SABC có SA (ABC), đáy ABC tam giác vuông A c Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng d Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O SO (ABCD) e Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA (ABCD) f Hình chóp có đáy đa giác có mặt bên nằm mặt phẳng vng góc với đáy g Tứ diện đều, hình chóp tam giác đều, hình lăng trụ đứng h Một số tốn khác Chú ý: Đối với toán này, giáo viên cần hướng dẫn cho học viên cách chọn hệ trục toạ độ thích hợp, thuận lợi cho việc xác định toạ độ điểm để giải phương pháp toạ độ II CƠ SỞ THỰC TIỄN - Mơn Tốn nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng làm tảng cho nhiều mơn học khác, có nhiều ứng dụng thực tiễn sống; - Nhận thức mơn hình học học sinh lớp 12 khối THPT, ngành học GDTX có nhiều hạn chế, lực phân tích tổng hợp kém, thường dựa vào hình thức bên ngồi, nhận thức chủ yếu dựa vào quan sát được, chưa biết phân tích để nhận đặc trưng, nên khó phân biệt hình thay đổi vị trí chúng khơng gian hay thay đổi kích thước; - Việc dạy học mơn hình học khơng gian khó, học sinh tiếp thu chậm thường hay nhầm lẫn nên hiệu chưa cao III THỰC TRẠNG - Chất lượng đầu vào khối THPT, ngành học GDTX thấp; - Có q nhiều lỗ hổng kiến thức học sinh dễ chán nản khơng ham thích học Tốn, đặc biệt mơn hình học Khả tiếp thu học sinh hạn chế chưa linh động việc xử lý tình Tốn học đơn giản; - Đối với giáo viên qua trình giảng dạy chưa thực khơi dậy niềm say mê hứng thú học tập mơn tốn, đặc biệt mơn hình học khơng gian IV CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Biện pháp 1: Giúp học sinh nhận dạng toán - Giáo viên cần trọng nhiều đến việc chuẩn bị nội dung, từ tìm thuật Tốn đơn giản, giúp học sinh bước hiểu kiến thức, biết phương pháp giải tốn có hứng thú học tập mơn hình học không gian Biện pháp 2: Giúp học sinh kỹ vẽ hình - Vẽ hình kĩ hình học quan trọng, cần rèn luyện thường xuyên theo mức độ thích hợp, từ thấp đến cao Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phương pháp, kỹ vẽ hình khơng gian Biện pháp 3: Giúp học sinh nắm vững vận dụng quy tắc , cơng thức liên quan đến hình học - Giáo viên giúp học sinh nắm vững cơng thức tính chu vi, diện tích hình hình học, cơng thức tính khoảng cách, thể tích khối đa diện, qui tắc có kĩ vận dụng thành thạo - Với toán cụ thể cần: Bước 1: Hiểu yêu cầu toán (yếu tố biết, cần tìm) Bước 2: Lập kế hoạch giải (công thức áp dụng, quy tắc liên quan) Bước 3: Trình bày cách giải Bước 4: Kiểm tra đánh giá Biện pháp 4: Đánh giá xác lực học tập học sinh để từ phân loại đối tượng Giáo viên hướng dẫn, phân tích giúp học sinh phát sai lầm hướng giải để khắc phục; tạo điều kiện để giúp học sinh tự đánh giá đánh giá bạn trình học tập rèn luyện Các ví dụ minh họa Bài (Câu 28- Mã đề 102, Đề thi thức THPT Quốc gia năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA a Khoảng cách hai đường thẳng BD, SC A a 30 21a 21 B C 21a 21 D a 30 12 Lời giải z S I D A B x y K C Chọn hệ trục toạ độ Axyz hình vẽ, đơn vị trục đơn vị độ dài Khi đó: A(0; 0; 0) ; B(a; 0; 0); C(a; 2a; 0); D(0; 2a; 0), S(0; 0; a) a� � Gọi I K theo thứ tự trung điểm SA BD, I �0; ; � � � 10 Vì SC// IK nên khoảng cách hai đường thẳng BD, SC khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (IBD) x y 2z � x y z 2a Mặt phẳng (IBD) có phương trình: a 2a a Khoảng cách từ điểm S(0; 0; a) đến mặt phẳng (IBD): x y z 2a 2a 2a 21 d S ,( IBD) 21 21 Ta chọn đáp án C Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A, BC 2a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A a B a 2 C a D a z S C A y B Lời giải x Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A, BC 2a Suy ra: AB = AC = a Chọn hệ trục toạ độ Axyz hình vẽ, đơn vị trục đơn vị độ dài Khi đó: A(0; 0; 0) ; B( a ; 0; 0); C(0; a ; 0); S(0; 0; a) Mặt phẳng (SBC) có phương trình: x y z � x y z 2a a a a 17 Giả sử hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz hình vẽ với O �A, đơn vị trục đơn vị độ dài Ta tìm khoảng cách đường chéo D’B hình lập phương đường chéo AB’ mặt bên (ABB’A’) Với hệ toạ độ chọn ta có: A 0; 0; ; B 0; a; ; C a; a; ; B’ 0; a; a ; D’ a; 0; a r uuuur Đường thẳng AB’ có véctơ phương u = AB' = (0;1;1) qua điểm A 0;0;0 a ur uuuur u' Đường thẳng D’B có véctơ phương = BD' = (1;-1; 1) qua điểm B 0; a; a r ur �1 1 0 � uuur � u, ; ; = 2; 1;-1 Ta có: AB = (0; a; 0) ; � � � u' �= � �-1 1 1 -1 � Vận dụng cơng thức tính khoảng cách đường thẳng chéo ta có: r ur uuu r � � u,u' � AB 2.0+1.a -1.0 a � d(AB', D'B)= = = r ur � 2 +12 +12 u.u' � � � Bài Cho tam giác OAB vng O, đường thẳng vng góc với (OAB) O lấy điểm C a) Chứng minh tứ diện OABC có ba cặp cạnh đối diện vng góc với b) Từ O vẽ OH (ABC) H Chứng minh H trực tâm tam giác ABC c) Chứng minh Lời giải: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC 18 Giả sử OA = a, OB = b, OC = c Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ Ta có: A(a; 0; 0); B(0; b; 0) C(0; 0; c) a) Bằng phương pháp toạ độ, dễ chứng minh OABC, OB BC, OC AB Vậy tứ diện OABC có cặp cạnh đối diện vng góc với b) Vì A, B, C nằm trục Ox, Oy, Oz nên mp(ABC) có phương x y z (1) trình a b c r �1 1 � OH (ABC) u Vì nên đường thẳng OH có véctơ phương � ; ; � �a b c � � �x a t � � Do phương trình tham số đường thẳng OH là: �y t , t �� � b � �z c t � Vì H = OH � ABC nên toạ độ H(x; y; z) nghiệm hệ gồm (1) , (2) �1 1 � ��2 � t � t 1 �a b c � a b2 c2 � � � � 1 Suy ra: H = � ; ; � �a( 12 12 12 ) b( 12 12 12 ) c( 12 12 12 ) � a b c a b c � � a b c � � uuur � � 1 � AH � a; ; 1 1 1 � �a( 12 12 12 ) b( ) c ( ) � a b c a b c � � a b c uuur uuur 1 AH BC= 0 = � AH BC 1 1 1 a b2 c a b2 c Tương tự ta chứng minh BH AC Vậy H trực tâm ABC 1 c) OH = 2 1 � �1 1 � �1 1 � �1 a �2 � b �2 � c �2 � �a b c � �a b c � �a b c � = 1 �1 1 � �2 2 � �1 1 � �a b c � �2 � a2 b2 c2 �a b c � (2) 19 Suy : 1 1 1 = + + = + + OH a b c OA2 OB OC Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC= a , cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Lời giải: z A B M C A' y B' C' x Theo giả thiết: tam giác ABC tam giác vuông, AB = BC= a Suy ra: tam giác ABC tam giác vuông cân B Chọn hệ tọa độ Oxyz cho B’ trùng với gốc tọa độ O, C’ �Ox, A’ �Oy, B �Oz Khi ta có: B’ = (0 ; ; 0) , C’ = (a ; ; 0) , A’ = (0 ; a ; 0) B = (0 ; ; a ), C = (a ; ; a ) , A = (0 ; a ; a ) �a � M trung điểm cạnh BC, suy M = � ; 0; a � �2 � *Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ a2 - Diện tích tam giác ABC là: S = BA.BC = (đvdt) 2 - Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài chiều cao a , diện tích đáy a2 a2 a3 (đvdt) tích là: V = a = (đvtt) 2 20 * Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C uuuu r �a r uuur � uuuu Ta có: AM = � ; - a; � ; B'C = a; 0; a , B'A = 0; a; a �2 � uuuu r uuuu r � a2 � �= � AM ,B'C -a 2; ;- a � � � � � ; � � � uuuu r uuuu r uuur a 3 a3 � � AM ,B'C �B'A = - a =� 2 - Khoảng cách hai đường thẳng AM B’C là: a3 uuuu r uuuu r uuur a3 � AM ,B'C � a � �B'A d(AM,B'C)= = = = (đvđd) uuuu r uuuu r 4 � � a 7a AM ,B'C � � 2a + + a 2 Bài 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy có độ dài a; đường cao có độ dài b Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng qua AB trung điểm M cạnh SC Lời giải: Hình chóp S.ABCD hình chóp nên đáy ABCD hình vng chân đường cao hạ từ S tâm O đáy; SO (ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ (với I, J trung điểm AB, BC) Khi ta có: �a a � �a a � �a a � �a a � A � ; ;0 �; B � ; ;0 �; C � ; ;0 � ; D � ; ;0 � ; S(0;0;b) �2 � �2 � �2 � �2 � �a a b � M trung điểm SC nên M � ; ; �; �4 � 21 uuuu r �-3a 3a b � uuur AB =(0; a; 0) ; AM = � ; ; � �4 � a uuu r uuuu r � � � AB, AM � � �= �3a � �4 b ;b 0 3a ; 3a 4 a 3a � � �ab ; 0; 3a � =� � � � � �2 � r uuu r uuuu r �a a � �làm véctơ pháp AB, AM Mặt phẳng (ABM) qua A � ; ;0 �nhận véctơ n = � � � 2 � � tuyến có phương trình: ab � a � � a � 3a ( z 0) �x � �y � � 2� � 2� 2 ab x 3a z a b � 2abx + 3a z - a 2b = 4 Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABM) là: d 2ab.0 3a 2b a 2b 4a 2b 9a 2ab 9a 4b Nhận xét: Đối với tốn ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho tia Ox tia OA, tia Oy tia OB giải Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, có cạnh a; đường cao SO (ABCD) SO = a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC, AB Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ ( với I, J trung điểm AB, BC), đơn vị trục đơn vị độ dài �a a � �a a � � a a � � a a � ; 0� ; B � ; ; �; C � ; ; �; D � ; ;0 �; S(0; 0; a) �2 � �2 � �2 � �2 � uur �a a � SC � ; ; a � Đường thẳng SC có véctơ phương là: �2 � Khi đó: A � ; uuu r Đường thẳng AB có véctơ phương: AB (0; a; 0) 22 a uur uuur � �2 a ; a � � SC, AB Ta có: � �= � �a 0 � uuur BC (a;0;0) a a ; 0 a a � a � �� a ;0; =� � � � �� � Khoảng cách hai đường thẳng chéo SC AB là: a2 uuu r uuu r uuur a ( a ) 0.0 a3 � SC, AB � 2a � �.BC d uuu r uuu r = = a = (đvđd) � SC , AB � a � � a4 Bài 13 ( Đề thi Đại học- Cao đẳng khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = SA= a , AD = a SA vuông góc với mp(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh (SAC) (SMB) b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Axyz hình vẽ Khi ta có: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a ; 0); S(0; 0; a); C(a; a ; 0) � a � �a a a � M� 0; ;0 � ; � ; N�; 2 2� � � � a) Chứng minh (SAC) (SMB) uu r uuu r uuur 2 � AS ,AC � mp (SAC) có véctơ pháp tuyến n = � �= -a 2; a ; uur uuur uur �-a 2 2� -a � � SM ,SB �= � ;- a ; mp (SMB) có véctơ pháp tuyến n = � � 2 � � uu r uur n n � (SAC) (SMB) 23 �x a at � � a t , t �� b) Đường thẳng BM có phương trình tham số �y � � z0 � � x at ' � Đường thẳng AC phương trình tham số �y a 2t ' , t ' �� � z0 � �1 a � ; 0� Do I = MB �AC � I � a; 3 � � Thể tích tứ diện ANIB là: VANIB = uuur uuu r uur a a a2 a2 a3 � �.AI = + = AN , AB � � 3 2 36 Bài 14 (Bài 1, phần Ôn tập cuối năm, trang 99- SGK HH 12 ) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB=3cm, BC = 5cm, AC = AD = 4cm a, Tính thể tích tứ diện ABCD b, Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Lời giải : z D A C y B x Xét tam giác ABC có: AB + AC =25; BC =25 Suy ra: AB2 AC2 BC2 Theo định lý Pitago đảo ta có tam giác ABC vuông A Vậy AB, AC, AD đơi vng góc a) Thể tích tứ diện ABCD là: V = �1 �1 AD � AB.AC � 4.3.4 8(cm ) �2 �6 24 b) Chọn hệ tọa độ Oxyz cho điểm A trùng với gốc tọa độ O, B �Ox, C �Oy, D �Oz Khi ta có: A = (0; 0; 0) , B = (3; 0; 0) , C = (0; 4; 0), D = (0; 0; 4) Mặt phẳng (BCD) qua điểm B = (3; 0; 0), C = (0; 4; 0), D = (0; 0; 4) có x y z dạng: + + = (phương trình theo đoạn chắn) 4 � 4x+3y+3z -12=0 Khoảng cách từ điểm A = (0; 0; 0) đến mp(BCD): 4x+3y+3z -12=0 là: d A, BCD 12 42 32 32 12 34 (cm) 17 34 Bài tập tự luyện Bài (Câu 24, Mã đề 103, Đề thi thức THPT Quốc gia năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A 5a B 3a C 6a 3a D Bài (Câu 32, Mã đề 103, Đề thi thức THPT Quốc gia năm 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA OB a , OC 2a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng OM AC A 2a B 5a C 2a 2a D Bài (Câu 40, Đề thi minh họa Tốt nghiệp THPT lần năm 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB = 2a, AC= 4a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC A 2a B a C a 3 D a Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: AC’ (A’BD); AC’ (CB’D’) Bài (Đề thi Đại học- Cao đẳng khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D b) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N 25 Bài 6: (Đề thi đại học Vinh 2000-2001) Cho hình hộp lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh Gọi E, F tương ứng trung điểm cạnh AB, DD1 a) Chứng minh EF//(BDC1) tính độ dài đoạn EF b) Gọi K trung điểm cạnh C1D1 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (EFK) xác định góc hai đường thẳng EF BD Bài (Đề thi khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AB=3cm; BC = 5cm; AC = AD = 4cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, đường cao SO a, góc A 60o a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Bài (Đề thi Đại học- Cao đẳng khối A năm 2002) Cho hình tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Bài 10 (Đề thi Đại học- Cao đẳng khối D năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA (ABC) SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, với AB = a; AD=2a, cạnh SA (ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60o Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM= a , mặt phẳng (BCM) cắt SD điểm N Tính thể tích khối chóp SBCNM? Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AD Biết � 900 , cạnh SA= a SA vng góc với đáy, tam giác AB = a , BC= a, BAD SCD vng C Tính thể tích khối tứ diện SBCD Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt bên SAB tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD, độ dài cạnh SA = a Gọi M trung điểm SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng CD, AM theo a Bài 14 (Câu 4- Đề thi Tốt nghiệp THPT năm 2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A SC =2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm M cạnh AB Góc đường thẳng SC (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 26 Bài 15 (Câu 7- Đề thi THPT quốc gia năm 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC V HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Trong q trình dạy học mơn hình lớp 12 dạy ơn thi tốt nghiệp mơn hình học khơng gian, áp dụng biện pháp đạt kết tốt hẳn so với năm trước: Học sinh tiếp thu tốt, nắm vững kiến thức rèn kỹ giải dạng toán Đặc biệt, học sinh hiểu chất cơng thức tính khoảng cách, diện tích hình, thể tích khối đa diện Học sinh thấy tự tin, hứng thú giải tốn hình học không gian phương pháp tọa độ giải toán C KẾT LUẬN I Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI CƠNG TÁC Với việc trình bày phương pháp chung để giải tốn với ví dụ minh họa giúp làm phong phú thêm giảng cho thầy giáo, giáo q trình giảng dạy mơn hình học khơng gian ; học sinh hiểu biết cách trình bày II KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Có thể áp dụng cho học sinh lớp 12 khối THPT ngành học GDTX việc ôn thi tốt nghiệp THPT, đăng ký xét tuyển hệ Cao đẳng, Đại học Đề tài sử dụng cho học sinh khối THPT có lực học từ trung bình trở lên III BÀI HỌC KINH NGHIỆM, HƯỚNG PHÁT TRIỂN - Thực tế tốn hình học khơng gian có liên quan đến khoảng cách, diện tích, thể tích,… khó học sinh em phải biết, hiểu nhớ đầy đủ hệ thống kiến thức đồng thời phải biết vận dụng kiến thức nhuần nhuyễn giải tốn có liên quan Vì vậy, học sinh thường gặp khó khăn hay lẫn lộn đặc điểm, thuộc tính, khái niệm, cơng thức, Do việc giải tốn hình học khơng gian học sinh phụ thuộc nhiều vào phương pháp dạy học người thầy Đối với loại tốn điển hình, giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải cẩn thận, tập luyện nhiều ví dụ tương tự, hướng dẫn học sinh thực điều sau: nhận dạng, xác định u cầu, tóm tắt tốn, phát tình quen thuộc, chuyển tốn, phát biểu dạng toán quen thuộc giải tốn theo quy trình; - Qua q trình tiến hành thực nghiệm, với số kết ban đầu mà đề tài đạt trình bày bên trên, nhận 27 thấy đề tài phù hợp với học sinh lớp 12 khối THPT ngành học GDTX có học lực từ trở lên - Để áp dụng đa số học sinh đòi hỏi người giáo viên phải nỗ lực nhiều việc củng cố lại kiến thức mà học sinh bị hổng học sinh phải tích cực, ham mê học tập, tự trang bị cho kiến thức kỹ giải tốn hình học khơng gian IV KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận - Việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình khơng gian giúp cho học sinh giải số toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song, chứng minh hai mặt phẳng vng góc đơn giản nhiều so với phương pháp giải thông thường nâng cao hiệu học tập học sinh trường - Phương pháp khơng q khó học sinh trung bình yếu nên em áp dụng đơn giản mau chóng nhiều so với phương pháp thông thường chủ yếu dạy cho em cách chọn hệ trục cho phù hợp để toán trở nên đơn giản - Hướng dẫn học sinh giải tốn cần có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Vì thực tế dạy tốn dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải tốn hình thức chủ yếu Do vậy, từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho em cách suy nghĩ, cách giải vấn đề đặt ra, nhằm bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo em - Việc vận dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình khơng gian áp dụng để giải số tốn có mối liên hệ vng góc Phương pháp cịn áp dụng để giải tốn góc, thể tích,… Kiến nghị - Đối với giáo viên: cần tìm tịi, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp để tìm cách giải hay đơn giản, ngắn gọn phù hợp với trình độ học sinh nhiều tạo nên hứng thú, say mê học mơn hình khơng gian cho em Sai sót điều khó tránh khỏi, tơi xin trân trọng ý kiến đóng góp nhận xét độc giả Bắc Giang, ngày tháng năm 2020 Người viết 28 Nguyễn Phú Hiệp 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12 – Tác giả: Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Bài tập hình học 12 – Tác giả: Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) Hình học 12 (Sách giáo viên) – Tác giả: Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Hình học 11 - Tác giả: Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Bài tập hình học 11 – Tác giả: Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) Hình học 11 (Sách giáo viên)) – Tác giả: Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Phương pháp giải tốn hình học – Tác giả: Lê Hồng Đức, NXB ĐHSP Đề thi tuyển sinh đại học, đề thi THPT quốc gia năm 30 NHẬN XÉT CỦA HĐKH TRUNG TÂM GDTX –HN TỈNH ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 31 NHẬN XÉT CỦA HĐKH SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BẮC GIANG ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ...2 Bắc Giang, tháng năm 2020 A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong trình giảng dạy mơn Tốn ơn luyện cho học sinh khối 12 chuẩn bị... tốn hình học khơng gian học sinh lớp 12, chọn nghiên cứu đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ giải toa? ?n hình học khơng gian”, với hy vọng cung cấp thêm phương pháp giải tốn để học sinh tự tin, giải... Vậy G trọng tâm tam giác AB’D’ b) Phương trình mp(C’BD) là: x + y - z - a = Suy (C’BD)//(AB’D’) Do khoảng cách mp(C’BD) mp(AB’D’) khoảng cách từ điểm �a a 2a � G � ; ; �tới mp(C’BD): x + y - z