Phương Pháp Tọa Độ Giải Toán hình học không gian

123doc Tải tài liệu lên 123docTải thêm 100% tải lên • Phuong phap toa do giai toan Hinh hoc khong gian.docx Phuong phap toa do giai toan hinh hoc khong gian Tên tài liệu() Danh mục Kỹ Năng Mềm Mẫu Slide Kinh Doanh Tiếp Thị Kinh Tế Quản Lý Tài Chính Ngân Hàng Biểu Mẫu Văn Bản Giáo Dục Đào Tạo Giáo án Bài giảng Công Nghệ Thông Tin Kỹ Thuật Công Nghệ Ngoại Ngữ Khoa Học Tự Nhiên Y Tế Sức Khỏe Văn Hóa Nghệ Thuật Nông Lâm Ngư Thể loại khác Danh mục Hóa học Văn Mẫu Ngữ văn Vật lý Toán học Sinh học Lịch sử Địa lý GDCDGDNGLL Âm nhạc Mỹ thuật Thể dục Công nghệ Tin học Tiếng anh Giáo dục hướng nhiệp Mầm non Mẫu giáo Tiểu học Cao đẳng Đại học Tư liệu khác Từ khóa () phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gian×phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian×các phương pháp giải toán hình học không gian 11×các phương pháp giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian 11× phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gianphương pháp vectơ trong giải toán hình học không giangiải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độphương pháp giải toán hình học không giancác phương pháp giải toán hình học không gian 11các phương pháp giải toán hình học không gianphương pháp giải toán hình học không gian 11phương pháp giải toán hình học không gian 12phương pháp giải toán hình học không gian oxyzphương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 +giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ+phương pháp giải toán hình học không gian 12+phương pháp giải toán hình học không gian oxyz+phương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 Mô tả Để có thứ hạng cao tại kết quả tìm kiếm Chọn giá bán Miễn phí2.000đ3.000đ4.000đ5.000đ7.000đ10.000đ15.000đ20.000đ38.000đ50.000đ77.000đ100000đTự đặt giá File đính kèm File đính kèm Chỉ chấp nhận định dạng file ZIPRAR (tối đa 32MB) Thêm vào bộ sưu tập Lưu Hỗ trợ khách hànginfo123doc.orgYahooSkypeGiúp đỡCâu hỏi thường gặpĐiều khoản sử dụngQuy định chính sách bán tài liệuHướng dẫn thanh toánGiới thiệu123doc là gì?Video giới thiệuFacebookGoogle+Copyright © 20102015 123Doc. Design by 123DOC 123doc Tải tài liệu lên 123docTải thêm 100% tải lên • Phuong phap toa do giai toan Hinh hoc khong gian.docx Phuong phap toa do giai toan hinh hoc khong gian Tên tài liệu() Danh mục Kỹ Năng Mềm Mẫu Slide Kinh Doanh Tiếp Thị Kinh Tế Quản Lý Tài Chính Ngân Hàng Biểu Mẫu Văn Bản Giáo Dục Đào Tạo Giáo án Bài giảng Công Nghệ Thông Tin Kỹ Thuật Công Nghệ Ngoại Ngữ Khoa Học Tự Nhiên Y Tế Sức Khỏe Văn Hóa Nghệ Thuật Nông Lâm Ngư Thể loại khác Danh mục Hóa học Văn Mẫu Ngữ văn Vật lý Toán học Sinh học Lịch sử Địa lý GDCDGDNGLL Âm nhạc Mỹ thuật Thể dục Công nghệ Tin học Tiếng anh Giáo dục hướng nhiệp Mầm non Mẫu giáo Tiểu học Cao đẳng Đại học Tư liệu khác Từ khóa () phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gian×phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian×các phương pháp giải toán hình học không gian 11×các phương pháp giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian 11× phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gianphương pháp vectơ trong giải toán hình học không giangiải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độphương pháp giải toán hình học không giancác phương pháp giải toán hình học không gian 11các phương pháp giải toán hình học không gianphương pháp giải toán hình học không gian 11phương pháp giải toán hình học không gian 12phương pháp giải toán hình học không gian oxyzphương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 +giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ+phương pháp giải toán hình học không gian 12+phương pháp giải toán hình học không gian oxyz+phương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 Mô tả Để có thứ hạng cao tại kết quả tìm kiếm Chọn giá bán Miễn phí2.000đ3.000đ4.000đ5.000đ7.000đ10.000đ15.000đ20.000đ38.000đ50.000đ77.000đ100000đTự đặt giá File đính kèm File đính kèm Chỉ chấp nhận định dạng file ZIPRAR (tối đa 32MB) Thêm vào bộ sưu tập Lưu Hỗ trợ khách hànginfo123doc.orgYahooSkypeGiúp đỡCâu hỏi thường gặpĐiều khoản sử dụngQuy định chính sách bán tài liệuHướng dẫn thanh toánGiới thiệu123doc là gì?Video giới thiệuFacebookGoogle+Copyright © 20102015 123Doc. Design by 123DOC 123doc Tải tài liệu lên 123docTải thêm 100% tải lên • Phuong phap toa do giai toan Hinh hoc khong gian.docx Phuong phap toa do giai toan hinh hoc khong gian Tên tài liệu() Danh mục Kỹ Năng Mềm Mẫu Slide Kinh Doanh Tiếp Thị Kinh Tế Quản Lý Tài Chính Ngân Hàng Biểu Mẫu Văn Bản Giáo Dục Đào Tạo Giáo án Bài giảng Công Nghệ Thông Tin Kỹ Thuật Công Nghệ Ngoại Ngữ Khoa Học Tự Nhiên Y Tế Sức Khỏe Văn Hóa Nghệ Thuật Nông Lâm Ngư Thể loại khác Danh mục Hóa học Văn Mẫu Ngữ văn Vật lý Toán học Sinh học Lịch sử Địa lý GDCDGDNGLL Âm nhạc Mỹ thuật Thể dục Công nghệ Tin học Tiếng anh Giáo dục hướng nhiệp Mầm non Mẫu giáo Tiểu học Cao đẳng Đại học Tư liệu khác Từ khóa () phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gian×phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian×các phương pháp giải toán hình học không gian 11×các phương pháp giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian 11× phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gianphương pháp vectơ trong giải toán hình học không giangiải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độphương pháp giải toán hình học không giancác phương pháp giải toán hình học không gian 11các phương pháp giải toán hình học không gianphương pháp giải toán hình học không gian 11phương pháp giải toán hình học không gian 12phương pháp giải toán hình học không gian oxyzphương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 +giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ+phương pháp giải toán hình học không gian 12+phương pháp giải toán hình học không gian oxyz+phương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 Mô tả Để có thứ hạng cao tại kết quả tìm kiếm Chọn giá bán Miễn phí2.000đ3.000đ4.000đ5.000đ7.000đ10.000đ15.000đ20.000đ38.000đ50.000đ77.000đ100000đTự đặt giá File đính kèm File đính kèm Chỉ chấp nhận định dạng file ZIPRAR (tối đa 32MB) Thêm vào bộ sưu tập Lưu Hỗ trợ khách hànginfo123doc.orgYahooSkypeGiúp đỡCâu hỏi thường gặpĐiều khoản sử dụngQuy định chính sách bán tài liệuHướng dẫn thanh toánGiới thiệu123doc là gì?Video giới thiệuFacebookGoogle+Copyright © 20102015 123Doc. Design by 123DOC v123doc Tải tài liệu lên 123docTải thêm 100% tải lên • Phuong phap toa do giai toan Hinh hoc khong gian.docx Phuong phap toa do giai toan hinh hoc khong gian Tên tài liệu() Danh mục Kỹ Năng Mềm Mẫu Slide Kinh Doanh Tiếp Thị Kinh Tế Quản Lý Tài Chính Ngân Hàng Biểu Mẫu Văn Bản Giáo Dục Đào Tạo Giáo án Bài giảng Công Nghệ Thông Tin Kỹ Thuật Công Nghệ Ngoại Ngữ Khoa Học Tự Nhiên Y Tế Sức Khỏe Văn Hóa Nghệ Thuật Nông Lâm Ngư Thể loại khác Danh mục Hóa học Văn Mẫu Ngữ văn Vật lý Toán học Sinh học Lịch sử Địa lý GDCDGDNGLL Âm nhạc Mỹ thuật Thể dục Công nghệ Tin học Tiếng anh Giáo dục hướng nhiệp Mầm non Mẫu giáo Tiểu học Cao đẳng Đại học Tư liệu khác Từ khóa () phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gian×phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian×các phương pháp giải toán hình học không gian 11×các phương pháp giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian 11× phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gianphương pháp vectơ trong giải toán hình học không giangiải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độphương pháp giải toán hình học không giancác phương pháp giải toán hình học không gian 11các phương pháp giải toán hình học không gianphương pháp giải toán hình học không gian 11phương pháp giải toán hình học không gian 12phương pháp giải toán hình học không gian oxyzphương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 +giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ+phương pháp giải toán hình học không gian 12+phương pháp giải toán hình học không gian oxyz+phương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 Mô tả Để có thứ hạng cao tại kết quả tìm kiếm Chọn giá bán Miễn phí2.000đ3.000đ4.000đ5.000đ7.000đ10.000đ15.000đ20.000đ38.000đ50.000đ77.000đ100000đTự đặt giá File đính kèm File đính kèm Chỉ chấp nhận định dạng file ZIPRAR (tối đa 32MB) Thêm vào bộ sưu tập Lưu Hỗ trợ khách hànginfo123doc.orgYahooSkypeGiúp đỡCâu hỏi thường gặpĐiều khoản sử dụngQuy định chính sách bán tài liệuHướng dẫn thanh toánGiới thiệu123doc là gì?Video giới thiệuFacebookGoogle+Copyright © 20102015 123Doc. Design by 123DOC 123doc Tải tài liệu lên 123docTải thêm 100% tải lên • Phuong phap toa do giai toan Hinh hoc khong gian.docx Phuong phap toa do giai toan hinh hoc khong gian Tên tài liệu() Danh mục Kỹ Năng Mềm Mẫu Slide Kinh Doanh Tiếp Thị Kinh Tế Quản Lý Tài Chính Ngân Hàng Biểu Mẫu Văn Bản Giáo Dục Đào Tạo Giáo án Bài giảng Công Nghệ Thông Tin Kỹ Thuật Công Nghệ Ngoại Ngữ Khoa Học Tự Nhiên Y Tế Sức Khỏe Văn Hóa Nghệ Thuật Nông Lâm Ngư Thể loại khác Danh mục Hóa học Văn Mẫu Ngữ văn Vật lý Toán học Sinh học Lịch sử Địa lý GDCDGDNGLL Âm nhạc Mỹ thuật Thể dục Công nghệ Tin học Tiếng anh Giáo dục hướng nhiệp Mầm non Mẫu giáo Tiểu học Cao đẳng Đại học Tư liệu khác Từ khóa () phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gian×phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian×các phương pháp giải toán hình học không gian 11×các phương pháp giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian 11× phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gianphương pháp vectơ trong giải toán hình học không giangiải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độphương pháp giải toán hình học không giancác phương pháp giải toán hình học không gian 11các phương pháp giải toán hình học không gianphương pháp giải toán hình học không gian 11phương pháp giải toán hình học không gian 12phương pháp giải toán hình học không gian oxyzphương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 +giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ+phương pháp giải toán hình học không gian 12+phương pháp giải toán hình học không gian oxyz+phương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 Mô tả Để có thứ hạng cao tại kết quả tìm kiếm Chọn giá bán Miễn phí2.000đ3.000đ4.000đ5.000đ7.000đ10.000đ15.000đ20.000đ38.000đ50.000đ77.000đ100000đTự đặt giá File đính kèm File đính kèm Chỉ chấp nhận định dạng file ZIPRAR (tối đa 32MB) Thêm vào bộ sưu tập Lưu Hỗ trợ khách hànginfo123doc.orgYahooSkypeGiúp đỡCâu hỏi thường gặpĐiều khoản sử dụngQuy định chính sách bán tài liệuHướng dẫn thanh toánGiới thiệu123doc là gì?Video giới thiệuFacebookGoogle+Copyright © 20102015 123Doc. Design by 123DOC 123doc Tải tài liệu lên 123docTải thêm 100% tải lên • Phuong phap toa do giai toan Hinh hoc khong gian.docx Phuong phap toa do giai toan hinh hoc khong gian Tên tài liệu() Danh mục Kỹ Năng Mềm Mẫu Slide Kinh Doanh Tiếp Thị Kinh Tế Quản Lý Tài Chính Ngân Hàng Biểu Mẫu Văn Bản Giáo Dục Đào Tạo Giáo án Bài giảng Công Nghệ Thông Tin Kỹ Thuật Công Nghệ Ngoại Ngữ Khoa Học Tự Nhiên Y Tế Sức Khỏe Văn Hóa Nghệ Thuật Nông Lâm Ngư Thể loại khác Danh mục Hóa học Văn Mẫu Ngữ văn Vật lý Toán học Sinh học Lịch sử Địa lý GDCDGDNGLL Âm nhạc Mỹ thuật Thể dục Công nghệ Tin học Tiếng anh Giáo dục hướng nhiệp Mầm non Mẫu giáo Tiểu học Cao đẳng Đại học Tư liệu khác Từ khóa () phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gian×phương pháp vectơ trong giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian×các phương pháp giải toán hình học không gian 11×các phương pháp giải toán hình học không gian×phương pháp giải toán hình học không gian 11× phương pháp tọa độ hóa trong hình học không gianphương pháp vectơ trong giải toán hình học không giangiải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độphương pháp giải toán hình học không giancác phương pháp giải toán hình học không gian 11các phương pháp giải toán hình học không gianphương pháp giải toán hình học không gian 11phương pháp giải toán hình học không gian 12phương pháp giải toán hình học không gian oxyzphương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 +giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ+phương pháp giải toán hình học không gian 12+phương pháp giải toán hình học không gian oxyz+phương pháp giải toán hình học không gian lớp 12 Mô tả Để có thứ hạng cao tại kết quả tìm kiếm Chọn giá bán Miễn phí2.000đ3.000đ4.000đ5.000đ7.000đ10.000đ15.000đ20.000đ38.000đ50.000đ77.000đ100000đTự đặt giá File đính kèm File đính kèm Chỉ chấp nhận định dạng file ZIPRAR (tối đa 32MB) Thêm vào bộ sưu tập Lưu Hỗ trợ khách hànginfo123doc.orgYahooSkypeGiúp đỡCâu hỏi thường gặpĐiều khoản sử dụngQuy định chính sách bán tài liệuHướng dẫn thanh toánGiới thiệu123doc là gì?Video giới thiệuFacebookGoogle+Copyright © 20102015 123Doc. Design by 123DOC

Toán không gian VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhân dân ta có truyền thống hiếu học, có ý chí học tập vươn lên Tinh thần tất tương lai em, sẵn sàng chịu khó, chịu khổ nuôi học tập nên người, trở thành truyền thống, tập quán dân tộc Tinh thần tạo nên nguồn lực định mà toàn xã hội giải mâu thuẫn quy mô điều kiện phát triển giáo dục Đặc biệt giai đoạn phát triển khoa học công nghệ nay, trình độ tri thức người bước cải thiện phát triển rõ rệt Đáp ứng nhu cầu học tập người dân nguồn lực phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học nhân dân Vì dạy học người giáo viên cần tạo cho học sinh phát triển lực trí tuệ, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học tập, biết nhận biết vấn đề góc độ khác nhau,tìm tòi cũ mới, cũ để bước hình thành kiến thức Để phát huy tính tực học sinh, người giáo viên phải đặt học sinh vào tình có vấn đề tạo cho em thách thức trước vấn đề Việc hướng dẫn học sinh giải toán dừng lại việc cung cấp cho học sinh giải mẫu mà phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt mối quan hệ ràng buộc giả thiết kết luận toán, bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải toán Từ thực tế giảng dạy, rút số kinh nghiệm việc hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ không gian để giải số toán hình học không gian, giúp em cảm thấy thoải mái tiếp thu chủ động giải toán hình học không gian.Tôi chọn chuyên đề với mong muốn chia sẻ đồng nghiệp, đồng môn ; để góp phần cộng đồng trách nhiệm, chung sức để tìm biện pháp nâng cao chất lượng dạy học môn toán trường vùng sâu, vùng xa trường THPT Thanh Bình II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi Khái niệm vectơ không gian đưa vào nội dung chưng trình lớp 11, làm công cụ nghiên cứu quan hệ vuông góc hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, hai mặt phẳng khoảng cách số đối tượng hình học không gian Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc không gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu Mặt khác số kiến thức vectơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ không gian chương trình hình học lớp 12, công cụ hữu ích để giải nhiều toán hình học không gian Khó khăn Không học sinh chưa nhận thức tầm quan trọng việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình định hướng phương pháp giải toán mà em làm cách máy móc, lập luận thiếu cứ, không xác, dôi lúc không phân biệt đâu giả thiết, đâu phần cần chứng minh Do kết không mong đợi Đây nội dung khó học sinh lớp 12 Do chưa tìm phương pháp thích hợp để giải toán nên nhiều vướng mắc, từ thiếu hứng thú học tập.Để giúp 1 Toán không gian em mau chóng tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi nỗ lực tâm cao thầy trò Số liệu thống kê Qua thống kê sơ điểm môn toán lớp; 12A1 ; 12A10 năm học 2007 - 2008, lớp 12A3 ; 12A8 , năm học 2008 - 2009, cụ thể kết qủa kiểm tra sau : + Bài kiểm tra tiết (2007 - 2008 ), 92 kiểm tra có : • • • • diểm tỷ lệ 5,4 % 14 điểm 6, tỷ lệ 15,2 % 27 điểm tỷ lệ 29,4 % 46 điểm tỷ lệ 50,0 % + Bài kiểm tra tiết (2008 - 2009 ), 90 kiểm tra có : • diểm tỷ lệ 7,8 % • 19 điểm 6, tỷ lệ 21,1 % • 26 điểm tỷ lệ 28,9 % • 38 điểm tỷ lệ 42,2 % Trong lớp nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết môn toán cuối năm học 2006 - 2007 xếp loại trung bình yếu Qua tìm hiểu, cảm nhận số em có học lực yếu có em có kỹ tính toán tương đối tốt khả vận dụng kiến thức học vào giải toán qúa hạn chế III NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp Réné Descartes cho xuất “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học phương pháp toạ độ đánh dấu bước tiến mạnh mẽ toán học Descartes nhà toán học thiên tài khai sinh phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ đời giúp người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp người đạt đến đạt đến đỉnh cao khái quát hoá trừu tương hoá toán học nhiều lĩnh vực Quy trình dạy học hiểu tổ hợp thao tác giáo viên học sinh tiến hành theo trình tự định đối tượng nhận thức Chẳng hạn, quy trình bốn bước Polya để giải toán gồm : • • • • Bước : Tìm hiểu nội dung toán Bước : Xây dựng thuật giải Bước : Thực thuật giải Bước : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt dạy hình học hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa biết vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức toạ độ điểm, toạ độ vectơ công thức có liên quan vào giải toán Để giải toán phương pháp toạ độ ta thực theo bước sau : • Bước : Thực việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, ý đến vị trí gốc O, chuyển toán cho toán hình học giải tích • Bước : Giải toán hình học giải tích nói 2 Toán không gian • Bước : Chuyển kết luận toán hình học giải tích sang tính chất hình học tương ứng Tuy nhiên qua thực tế , việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải toán thật không đơn giản học sinh, qúa trình trừu tượng hoá khái quát hóa việc rèn luyện tư toán học Do vậy, thông qua số toán cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải toán hình học không gian phương pháp toạ độ Các dạng toán thường gặp : • Độ dài đoạn thẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách hai đường thẳng • Góc hai đường thẳng • Góc đường thẳng với mặt phẳng • Góc hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh quan hệ song song, vuông góc Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâmg cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, nêu định nghĩa số tính chất sau : z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho : ( x; y, z ) v = x.i + y j + z.k ⇔ v = ( x; y; z ) OM = x.i + y j + z.k = M ( x; y; z ) Với : a = (a1; a2 , a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) , ta có : • • a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 • k a.b = a b cos(a, b) r a = a12 + a22 + a32 O i j x y M1 • a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = Tích có hướng hai vectơ • [ a, b ] = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) r r r r r r  a, b  ⊥ a  a , b  ⊥ b •   ;  Tọa độ cá vectơ đơn vị : r i = ( 1;0;0 ) r j = ( 0;1;0 ) r k = ( 0;0;1) • a phương với b ⇔ [ a, b ] = O r r r r r r   ⇔ a  , b c = • a, b, c đồng phẳng 3 Toán không gian Năm 2008, thực chuyên đề : “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình” nhận nhiều góp ý quý Thầy Hội đồng chuyên môn Sở Lần này, cố gắng tìm hiểu sâu nội dung :” Vận dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian”làm sơ sở ôn tập cho học sinh lớp 12, chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào cuối năm học a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc đôi Do đó, mô hình chứa cạnh vuông góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ Cụ thể : Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD A' B' C ' D ' z Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho : A’ A(0;0;0) ; B (a; 0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0) A '(0;0; a) ; B '(a; 0; a) ; C '( a; a; a) ; D'(0;a;a) D’ B’ C’ Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho : D A A(0; 0;0) ; B( a; 0;0) ; C ( a; b; 0) ; D(0; b;0) x A '(0;0; c) ; B '( a;0; c) ; C '( a; b; c) ; D'(0;b;c) y C B Với hình hộp đáy hình thoi ABCD A' B' C ' D' z Chọn hệ trục tọa độ cho : A’ D’ O’ - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD B’ - Trục Oz qua tâm đáy y C A D O B C x Với hình chóp tứ giác S.ABCD z Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ S Giả sử cạnh hình vuông a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vuông  a  a  A − ;0;0 ; C  ;0;0     Khi :   a   a  B  0; − ;0÷ ÷; D  0; ; ÷ ÷; S (0;0; h)     D A y O B C x Với hình chóp tam giác S.ABC z Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ S A I H B Cx y Toán không gian Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  a  a  A  − ; 0; ÷; B  ;0;0 ÷  2  Khi :   a   a  C  0; ;0÷ ÷; S  0; ; h ÷ ÷     Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) z ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = b chiều cao h S Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 ) y D A O D ( 0; b;0 ) ; S (0; 0; h) B C x Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD) z S ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) y D A O B C x Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ ABC vuông A z Tam giác ABC vuông A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) S y C A B x Toán không gian S ( 0; 0; h ) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ ABC vuông B Tam giác ABC vuông B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi : A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) z S x y S ( a; 0; h ) C A B Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vuông C ∆ ABC vuông C CA = a; CB = b z S chiều cao h H trung điểm AB y x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi : B H A A ( a;0; ) ; B ( 0; b;0 ) C a b S ( ; ; h) 2 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vuông A ∆ ABC vuông A AB = a; AC = b chiều cao h z S H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) a S (0; ; h) C A y H B x Toán không gian Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân S ∆ ABC vuông cân C Tam giác ABC vuông cân C có CA = CB = a đường cao h z S H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0)  a   a  C ;0;0 ÷; A  0; ;0 ÷    Khi :  a   B  0; − ;0 ÷; S ( 0;0; h )   y H A B x C b Bài tập áp dụng Bài toán Cho tứ diện OABC có tam giác OAB,OBC,OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi α , β , γ góc hợp mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt 2 phẳng (ABC).Chứng minh : cos α + cos β + cos γ = ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ; B(0; b;0) C (0;0; c) ; C AB = (−a ; b ; 0) O AC = (−a ; ; c) A x Tìm vectơ pháp tuyến : • Mặt phẳng (ABC) • Mặt phẳng (OBC) • Mặt phẳng (OCA) • Mặt phẳng (OAB) Sử dụng công thức tính góc hai mặt phẳng: [ γ y C’ B ] n = AB, AC = (bc ; ac ; ab) i = ( 1, 0, 0) : Ox ⊥ (OBC) j = ( 0, 1, 0) : Oy ⊥ (OCA) k = ( 0, 0, 1) : Oz ⊥ (OAB) cos α = b.c b c + c a + a 2b Toán không gian cos β = cos α = cos( (OBC), ( ABC ) ) cos β = cos( (OBC), ( ABC) ) cos γ = cos( (OBC), ( ABC ) ) Kết luận cos γ = c.a b c + c a + a 2b a.b b c + c a + a 2b b c + c a + a 2b cos α + cos β + cos γ = 2 =1 b c + c a + a 2b 2 2 Bài toán Bằng phương pháp toạ độ giải toán sau : Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a a.Chứng minh đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D ' ) b.Chứng minh giao điểm đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) d.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DA' C ) ( ABB' A' ) ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O ≡ A(0;0;0) ; A’ A' (0;0; a ) B(a;0;0) ; B ' (a;0; a ) B’ C (a; a;0) ; C ' (a; a; a ) D (0; a;0) ; D ' (0; a; a ) G x  A' C ⊥ AB' ⇒ A' C ⊥ ( AB' D' )  A ' C ⊥ AD '  Nếu C’ D A B a Chứng minh : A' C ⊥ ( AB' D' ) D’ y C  A' C = (a; a;−a )    AB' = (a;0; a)   AD' = (0; a; a) Ta có :   A' C AB' = a + − a =  A' C ⊥ AB' ⇔  2  A' C ⊥ AD' Vì  A' C AD' = + a − a = Nên A' C ⊥ mp( AB' D' ) b Chứng minh : G trọng tâm tam giác AB' D' Phương trình tham số đường thẳng A' C Gọi G = A' C ∩ ( AB' D' ) Toạ độ giao điểm G đường thẳng A' C mặt phẳng ( AB' D' ) Toán không gian x = t  A' C :  y = t (t ∈ R) z = a − t  Phương trình tổng quát mặt phẳng ( AB' D' ) ( AB' D' ) : x + y − z = Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( AB' D' ) [ ] n1 = AB', AD' = (−a ;−a ; a ) a  x =  x = t  y = t a   ⇔ y =  z = a − t  2a  x + y − z =  z =  nghiệm hệ :  a a 2a  G ; ;   3  (1) x A + x B ' + xD ' a  =  xG = 3  y A + y B ' + yD ' a  =  yG = 3  z A + z B ' + z D ' 2a  =  zG = 3 (2)  Mặt khác : So sánh (1) (2), kết luận Vậy giao điểm G đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c Tính d ( ( AB' D ' ), (C ' BD) ) Phương trình tổng quát mặt phẳng (C ' BD) (C ' BD) : x + y − z − a = Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng (C ' BD) [ ] n2 = C ' B, C ' D = (a ; a ;− a ) d Tính cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) Oy ⊥ ( ABB' A' ) ⇒ Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j = (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) : [ ] n3 = DA', DC = (0; a ;−a ) = a (0;1;−1) 2 ( AB' D' ) : x + y − z = Ta có : (C ' BD) : x + y − z − a = ⇒ ( AB' D ' ) // (C ' BD) ⇒ d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) = d ( B, ( AB' D' ) ) = a Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j = (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) : n3 = (0;1;−1) cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = ( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = 45 ⇒ o Bài toán Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Chứng minh hai đường chéo B' D' A' B hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B' D' A' B Hướng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : Bài giải z A’ B’ O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ; B(0; a;0) ; B' (0; a; a ) D’ C’ y A x B C D Toán không gian C (a; a;0) ; C ' (a; a; a ) D(a;0;0) ; D' (a;0; a ) Chứng minh B' D' A' B chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ Ta có : B ' D' = (a;− a;0) B' D '; A' B, BB' không đồng [B' D', A' B] = (a ; a ; a ) [B' D', A' B].BB' = a ≠ A' B = (0; a;− a) ; phẳng Cần chứng minh tích hỗn hợp ba vectơ 2 ⇒ ba vectơ B' D'; A' B, BB' không đồng phẳng hay B' D' A' B chéo B' D '; A' B, BB' khác Tính d ( B' D ' , A' B ) d ( B ' D' , A' B ) = BB' = (0;0; a ) d ( B ' D' , A' B ) = [ B ' D', A' B ].BB' a3 a +a +a 4 = a3 a = a 3 [ B ' D', A' B ] Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) Gọi M trung điểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; S A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) M N Ta có : C (−2;0;0) ; D(0;−1;0) ; M (−1;0; ) ( ) ( SA = 2;0;−2 ; BM = − 1;−1; 1a.Tính góc SA BM 10 ) C D x A O B y Ta có : 10 Toán không gian Gọi α góc SA BM Sử dụng công thức tính góc hai đường thẳng ( ) cos α = cos SA, BM = SA.BM SA BM = ⇒ α = 30o 1b Tính khoảng cách SA BM [ SA, BM ] = (−2 ;0;−2) ; AB = (−2;1;0) Chứng minh SA BM chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo [ SA, BM ] AB = ≠ Tính thể tích khối chóp S.ABMN MN // AB // CD ⇒ N trung điểm SD    0;− ;   Toạ độ trung điểm N  Dễ dàng nhận thấy : MN = ( ABM ) ∩ ( SCD) VS ABMN = VS ABM + VS AMN Trong : VS ABM VS AMN = [ SA, SM ].SB = [ SA, SM ].SN d ( SA, BM ) = [ SA, AB] = 2 = 8+4 SA = (2;0;−2 ) ; SM (−1;0;− ) SB = (0;1;−2 ) ; SM (−1;0;− ) ⇒ [ SA, SM ] = (0;4 ;0) 2 [ SA, SM ].SB = = 6 2 = [ SA, SM ].SN = = 6 VS ABM = VS AMN Kết luận [ SA, BM ] AB Vậy VS ABMN = VS ABM + VS AMN = (đvtt) Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 với A(0;−3;0) ; B( 4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) Tìm toạ độ đỉnh A1 ; C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1 B1 ) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O (0;0;0) ; Với : A1 B1 M C1 A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4)  A (0;−3;4) ⇒ C1 (0;3;4) Toạ độ trung điểm M A1B1   M  2;− ;4)    11 z A x B O C y 11 Toán không gian Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) Viết phương trình mp ( BCC1B1 ) Tìm bán kính mặt cầu (S) R = d ( A, ( BCC1B1 ) ) Phương trình mặt cầu (S) : Phương trình mặt phẳng (P) : Tìm vectơ pháp tuyến (P)  AM ⊂ ( P ) ⇒ nP = [ AM , BC1 ]   BC1 // ( P )   AM =  2; ;4    ; BC1 = (−4;3;4) Ta có : A1 (0;−3;4) ∈ mp(Oyz) C1 (0;3;4) ∈ mp(Oyz) Vectơ pháp tuyến mp ( BCC1B1 ) n = [ BC , BB1 ] = (12; 16; 0) Phương trình tổng quát mp ( BCC1B1 ) : ( BCC1B1 ) : x + y − 12 = R= Bán kính mặt cầu (S) : (S) : x + ( y + 3) + z = 24 576 25 Vectơ pháp tuyến (P) : nP = [ AM , BC1 ] = (−6;−24;12) Phương trình mặt phẳng (P) : ( P ) : x + y − z + 12 = Bài toán Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : ∆ABC có : AB + AC = BC = 25 nên D vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau O ≡ A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; A Tính : AH = d ( A, ( BCD) ) B H C y I x Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 12 Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) ( BCD) : x y z + + = ⇔ x + y + 3z − 12 = 4 d ( A, ( BCD) ) = − 12 16 + + = 12 34 = 17 34 12 Toán không gian Bài toán Cho hai nửa đường thẳng Ax By vuông góc với nhận AB = a (a > 0) đoạn vuông góc chung Lấy điểm M Ax điểm N By cho AM = BN = 2a Xác định tâm I tính theo a bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BI Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Dựng Ay ' // By ⇒ Ax ⊥ Ay ' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy' z sau : A(0;0;0) ; B (0;0; a ) ; M (2a;0;0) B N A N (0;2a; a ) Toạ độ trung điểm I MN a  Ia ; a ;  2  M y I y' x Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên 1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :  Ax ⊥ By   Ax ⊥ Ay ' 1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN a  Ia ; a ;   MN tâm trung điểm  mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN = a (−2 ; ; 1) Bán kính mặt cầu : R= MN 3a = 2 Ta có : AM = (2a;0;0) ; Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM BI chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a  BI =  a; a;−   ; AB = (0;0; a)  [ AM , BI ] = (0; a ;2a ) d ( AM , BI ) = [ AM , BI ] AB [ AM , BI ] = 2a 5 Bài toán Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hướng dẫn 13 Bài giải z 13 Toán không gian Dựng hình : Gọi O tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau :  a  a a  h ; 0; ÷  − ÷  − ; − ; h ÷ ÷   ; E   a a h a a  ;− ; ÷  ;− ;0 ÷  − ÷ 2÷ 4     M N Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Chứng minh MN AC chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo P M y O(0;0;0) ; S ( 0;0; h ) ;  a  a  ;0;0 ÷ ;0;0  −  ÷ ÷  ÷     D A ;C  a   a   0;  0;− ;0  ;0    2   ; B  Toạ độ trung điểm P SA P S E A D O B C N x uuuu r  3a h  uuur MN =  ; 0; − ÷ ; BD = (0; − a 2;0) 2÷   Vì : MN BD = ⇒ MN ⊥ BD uuuu r uuur  ah   MN , AC  =  0; − ;0 ÷    ÷   Ta có : uuuu r  a h AM =  0; − ; ÷ 2÷   uuuu r uuur uuuu r a2h  MN , AC  AM = ≠0   Vì : ⇒ MN AC chéo d ( MN , AC ) = [ MN , AC ] AM [ MN , AC ] = a 2h =a a 2h2 Bài toán Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A; AD = a, AC = b, AB = c a Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh : 2S ≥ abc ( a + b + c ) Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ 14 Bài giải z 14 Toán không gian cho A(0;0;0) Khi : D B ( c; 0;0 ) ; C ( 0; b;0 ) D ( 0;0; a ) uuur BC = −c; b;0 ) Ta có : uuur ( BD = ( −c;0; a ) uuur uuur  BC , BD  = ( ac; ac; bc )   Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a 2b + b 2c ≥ 2ab 2c b c + c a ≥ 2abc c a + a 2b ≥ 2a 2bc y C A x B a Tính diện tích S tam giác BCD uuur uuur 2 S =  BC , BD  = a b + a c + b 2c 2 2S ≥ abc ( a + b + c ) b Chứng minh : Ta có : abc ( a + b + c ) = a 2bc + b ac + c ab ≤  b2 + c   a + c   a + b2  ≤ a  ÷+ b  ÷+ c  ÷       = a 2b + a 2c + b 2c = 2S ∆BCD Bài toán 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  a   a  A  0; ;0 ÷ ; B  − ;0; ÷ ÷    Khi :  a   a   a  C  ;0;0 ÷; S  0; ;h÷ ÷; H  0; ;0 ÷ ÷ 2       a a h a a h M  − ; ; ÷ ; ÷ ÷; N  ; ÷  12   12  uuuu r  a 5a h  AM =  − ; − ; ÷ 12 ÷   uuur  a 5a h  AN =  ; − ; ÷ 12 ÷ 4  Bài giải z S M N B I y A H C x + Pháp vectơ mp (AMN) : ur uuuu r uuur  ah 5a  n1 =  AM , AN  =  0; ; ÷ 24 ÷   + Pháp vectơ mp (SBC) : 15 15 Toán không gian uur  a a  SB =  − ; − ; −h ÷ ÷   uuu r a a  SC =  ; − ; −h ÷ ÷ 2  ur uu r ur uu r ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 = a h 15a a h 15a ⇔− + =0⇔ = 24.6 16 24 uu r uur uuu r  a2  n2 =  SB, SC  =  0; −ah; ÷ ÷   Diện tích tam giác AMN : S ∆AMN = 2 uuuu r uuur  AM , AN  = a h + 75a2   16 24 15a 75a a 10 = + = 90a = 242 242 48 16 đvdt Bài toán 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a ; SA = a ; SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Gọi H hình chiếu vuông góc S AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) 2 2 Ta có : SA + SB = a + 3a = AB ⇒ ∆SAB vuông S ⇒ SM = a Do : ∆SAM ⇒ SH = Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : H (0;0;0) ; S  a 3  a   0; 0; ÷ ÷  − ; 0; ÷   ; A  ; B  3a   a   ;0;0 ÷  − ; 2a; ÷   ;  ; M D  3a  a   ; 0; ÷  ; a;0 ÷  2  ; N uuur  a a 3 SM =  ;0; − ÷ ÷ 2  uuu r  3a a 3 SN =  ; a; − ÷ ÷   uur  3a a 3 SB =  ; 0; − ÷ ÷   uuu r  a a 3 SD =  − ; 2a; − ÷ ÷   uuur DN = ( 2a; −a;0 ) 16 A a D K H x B y M N C + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN = VSMNB + VSMND uuur uuu r  a2 a2 a2   SM , SN  =     ;− ; ÷ ÷   3 uuur uuu r uur uuur uuu r uuu r  SM , SN  SB = a  SM , SN  SD = 3a     2 ; r uur a 3 uuur uuu  VSMNB =  SM , SN  SB = 12 u u u r u u u r u u u r a3 VSMND =  SM , SN  SD = VS BMDN = VSMNB + VSMND = a3 a3 a3 + = 12 16 Toán không gian + Công thức tính góc SM, DN + Tính cosin góc SM, DN a2 cos ( SM , DN ) = = 2 a 3a + 4a + a 4 uuur uuur SM DN cos ( SM , DN ) = uuur uuur SM DN Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : ( ( 0; a;0 ) ) ( a;0; ) ; B’ 0;0; a ;C a   ; 0; ÷  M uuuu r a  uuur AM =  ; − a;0 ÷ u B 2  ; ' C = a;0; − a uuuu r AB ' = 0; − a; a ( A’ C’ B(0;0; 0) A B’ ) ( ) Chứng minh AM B’C chéo uuuur uuuur    AM , B ' C  =  a 2; a ; a ÷     y A B M C x + Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A ' B ' C ' = AA '.S ∆ABC = a 2 đvtt + Khoảng cách AM B’C uuuu r uuuur uuuu r  AM , B ' C  AB ' = a   Vì : ⇒ AM B’C chéo uuuu r uuuur uuuu r  AM , B ' C  AB '   d ( AM , B ' C ) = uuuu r uuuur  AM , B ' C    a a = = 2a + a + a 17 17 Toán không gian · · Bài toán 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , BAD = ABC = 90 AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : A(0; 0;0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D ( 0; 2a; ) ( 0;0; 2a ) M ( 0; 0; a ) ; S ; N B ( ) uuur uuu r uur  SM , SC  SB = a   uuur uuu r uuu r  SM , SC  SN = −a   y C x uuur uuu r SM = ( 0;0; − a ) SC = ( a; a; − a ) ; uuur uur SB = ( a; 0; −2a ) SN = ( 0; a; −a ) ; uuur uuu r  SM , SC  = a ; − a ;   D A ( 0; a; a ) uuuu r uuur MN = ( 0; a;0 ) BC = ( 0; a;0 ) ; uuur MB = ( a;0; −a ) N M + Chứng minh BCNM hình chữ nhật uuuu r uuur  MN = BC ⇒ r uuur  uuuu MN MB =  BCNM hình chữ nhật + Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a VSMCB VSMCN VS BCNM = VSMCB + VSMCN r uur a uuur uuu =  SM , SC  SB = 6 r uuu r a3 uuur uuu =  SM , SC  SN = 6 VS BCNM = VSMCB + VSMCN a3 = đvtt Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD); SA = 2a α Mặt phẳng ( ) qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : 18 M N 18 Toán không gian A(0; 0; 0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D ( 0; 2a;0 ) ( 0;0; 2a ) D A y ; S Đặt AM = h ( < h < 2a ) ⇒ M ( 0; 0; h ) B C x Xác định vị trí điểm M uuuu r uuur BM = ( − a;0; h ) BC = ( 0; a;0 ) ; uuuu r uuur  BM , BC  = −ah;0; −a = − a ( h;0; a )   uuur AC = ( a; a;0 ) = a ( 1;1;0 ) ( ) Pháp vectơ mặt phẳng Vectơ phương đường thẳng AC : uuur r AC = ( a; a;0 ) = a ( 1;1;0 ) ⇒ u = ( 1;1;0 ) mặt phẳng Ta có :  MN = ( α ) ∩ ( SAD ) ⇒ MN / / BC / / AD   BC / / AD BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ BM ∆ABM vuông cân A ⇒ BM = a a MN = AD = 2 (α) : uur uuuu r uuur uur nα =  BM , BC  ⇒ nα = ( h; 0; a ) ( α ) hợp với AC góc 300 uur r n 1.h + 1.0 + 0.a α u ⇔ sin 300 = uur r = nα u + + h2 + + a h ⇔ = ⇔ h = h2 + a 2 h2 + a ⇔ h = a ⇒ M trung điểm SA  MN / / BC ⇒  BM ⊥ BC  + BCNM hình thang vuông + Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM 3a 2 = BM ( MN + BC ) = Bài toán 15 Cho hình chóp O.ABC có OA = a; OB = b; OC = c đôi vuông góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải z C Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O (0; 0;0) A 19 ( a; 0;0 ) ;B M ( 0; b;0 ) ; C ( 0; 0; c ) O y 19 Toán không gian d ( M , (OBC ) ) = ⇒ xM = d ( M , (OAB) ) = ⇒ zM = B H d ( M , (OCA) ) = ⇒ yM = E A ⇒ M ( 1; 2;3 ) uuu r a;0;0 ) ⇒ OA = (a;0;0) ( A uuu r 0; b;0 ) ⇒ OB = (0; b;0) ( B uuur 0;0; c ) ⇒ OC = (0; 0; c) ( C x +Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC = uuu r uuu r uuur OA, OB  OC = abc   + Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 a =  a = b = c  ⇔ b =   + + = c =  Giải hệ :  a b c x y z + + =1 (ABC) : a b c M ∈ ( ABC ) ⇒ + + = a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 3 + + ≥ 33 = 33 a b c a b c abc ⇒ abc ≥ 27 a = 3  MinVO ABC = 27 ⇔ = = ⇒ b = a b c c =  1= Bài toán 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c Tính góc SB mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O = AC ∩ BD S ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO = SC − OC = a − a2 a = 2 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau :  a 2  0; 0; ÷ ÷ O (0;0;0) ; S   ; 20 y A D O B C x 20 Toán không gian  a  a  ; 0; ÷ ; 0;0 ÷  −  ÷ ÷  ; C  D A  a   a   0;   0;− ; ;0     2   ; B  Phương trình mặt phẳng (SCD) x a (SCD): ⇔ x+ y+z− + y a 2 + z a 2 =1 a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 a a3 VS ABCD = SO.S ABCD = a = 3 b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD): a =0 x+ y+z− − d ( A, ( SCD) ) = a =0 a a − 2 = a a = 3 · · Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ABC = BAD = 90 AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : A(0; 0;0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D ( 0; 2a; ) ( 0;0; 2a ) H ; S uur SB = a;0; −a uuu r SC = a; a; −a uuu r SD = 0; 2a; −a uuu r uuu r  SC , SD  = a 2; a 2; 2a   ( ( ( ) ) ( =a I A ) ( 1;1; ) B x ) + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A SB Phương trình tham số SB : D y C +uuu Chứng minh tam giác SCD vuông r uuur SC = ( a; a; −2a ) CD = ( −a; a;0 ) ; uuu r uuur SC.CD = ⇒ SC ⊥ CD ⇒ Tam giác SCD vuông C + Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H : 21 21 Toán không gian SB :  x = a + at  y =   z = a 2t ( (t ∈R ) + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ r n = 1;1; ( ) làm pháp vectơ (SCD) : 1( x − 0) + 1( y − 0) + 2( z − a 2) = ) H ( x; y; z ) ∈ SB ⇒ H a + at ; 0; a 2t uuur AH = (a + at ; 0; a 2t ) uuur uur AH ⊥ SB ⇔ AH SB = ⇔ 3a 2t + a = ⇔ t = −  2a a 2 ⇒ H  ; 0; ÷ ÷   + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x + y + z − 2a = 2a a + − 2a a 3 d ( H , ( SCD ) ) = = IV KẾT QỦA Song song với việc tiếp thu kiến thức toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường mặt, qua việc sử dụng công cụ dùng phương pháp tọa độ trong không gian em chủ động hơn, tự tin tiếp xúc với toán hình học không gian Thật vậy, tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp năm dự tuyển sinh vào trường Đại học Cao đẳng hàng năm học sinh lớp 12, em hướng dẫn giải số tập liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian Qua khảo sát, nhìn chung em biết vận dụng linh hoạt, biết nhận biết vấn đề xác định tọa độ điểm liên quan hệ trục tọa độ Kết khảo sát qua tập sau : Bài Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN ⊥ A' C Bài Cho tứ diện ABCD có AB,AC.AD đôi vuông góc với A Gọi M điểm tam giác BCD α , β , γ góc AM mặt 2 phẳng (ABC), (CAD) ,(DAB) Chứng minh : sin α + sin β + sin γ = Kết qủa : Bài Số HS làm 91 89 Số HS đạt yêu cầu 77 69 Đạt tỷ lệ % 84,6 77,5 Tuy kết qủa chưa thật mong đợi, với trách nhiệm người thầy, chừng mực bớt băn khoăn học trò bớt ngán ngại gặp toán hình bước biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải toán hình V BÀI HỌC KINH NGHIỆM 22 22 Toán không gian Để giúp học sinh học tốt môn toán nói chung ,qua thực tế giảng dạy thông qua việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải toàn hình, đúc kết số kinh nghiệm sau : Học sinh cần có chuẩn bị trước đến lớp Bởi chuẩn bị học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức người lần hoàn thành mà trải qua từ đến biết, từ đơn giản đến phức tạp Chuẩn bị giúp học sinh xác định ý cần ý học lớp, làm sở đề xuất ý kiến với giáo viên vương mắc có liên quan đến học Hướng dẫn học sinh phát huy khả quan sát Quan sát toán học nhằm hai mục đích: thứ thu nhận kiến thức mới, thứ hai vận dụng kiến thức để giải tập Mỗi dựng hình, yêu cầu học sinh ý thao tác mối quan hệ thao tác nhằm bước nâng cao lực nhận thức trước vấn đề dù đơn giản hay phức tạp Nắm vững phương pháp nhớ khoa học Trí nhớ việc trải qua giữ lại đầu qúa trình tâm lí tái Sự việc trải qua nói việc người ta cảm biết được, suy nghĩ qua thể nghiệm.Việc làm lại tập hướng dẫn giải tương tự trình tái hiện, mục đích cuối trí nhớ Điều có ý nghĩa lớn với việc học giải toán hình học Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán xác Thể qua nội dung : đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định toạ độ điểm hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết trình bày toán cách lôgích VI KẾT LUẬN Tôi nghĩ : tiến thành đạt học sinh mục đích cao cả, nguồn động viên tích cực người thầy Do vậy, mong ước chia sẻ với quý đồng nghiệp số suy nghĩ sau : Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên em; đừng vội nóng nảy kẻo chúng sợ mà nảy sinh tư tưởng mặc cảm nghĩ bị bỏ rơi; tìm điều tốt chúng để kịp thời động viên chúng, tạo điều kiện cho chúng ngày tiến bộ, bước chủ động, tự tin học tập Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Vì thực tế dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải toán hình thức chủ yếu Do vậy, từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho em cách suy nghĩ, cách giải vấn đề đặt ra, nhằm bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo em Điều cuối làm để học sinh cảm thấy hứng thú say mê học môn toán ? Thiết nghĩ nỗi ưu tư riêng tôi, ưu tư mong ước nhiều đồng nghiệp học sinh Giải ưu tư đòi hỏi nơi giáo viên không lòng nhiệt tình với nghề, với môn mà phải có nghệ thuật ứng xử, có phương pháp giảng dạy tốt hết cảm thông, thấu hiểu hoàn cảnh học sinh Đây động lực thúc người thầy ngày vươn lên, vững vàng bục giảng 23 23 Toán không gian Rất mong nhận nhiều góp ý, sẻ chia qúy đồng nghiệp VII TÀI LIỆU THAM KHẢO  Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên       -Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 2000 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Tạ Mân - NXB Giáo dục, 2000 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục, 2000 Các toán phương pháp vectơ phương pháp toạ độ - Nguyễn Mộng Hy NXB Giáo dục, 1998 Làm để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 Phương pháp toạ độ không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội bộ, 2000 Báo Toán học Tuổi trẻ, số tháng 11/1995 số tháng 2/1999 NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Thanh Lam 24 24 ... trục toạ độ Oxyz thích hợp, ý đến vị trí gốc O, chuyển toán cho toán hình học giải tích • Bước : Giải toán hình học giải tích nói 2 Toán không gian • Bước : Chuyển kết luận toán hình học giải tích... bớt băn khoăn học trò bớt ngán ngại gặp toán hình bước biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải toán hình V BÀI HỌC KINH NGHIỆM 22 22 Toán không gian Để giúp học sinh học tốt môn toán nói chung... bộ, bước chủ động, tự tin học tập Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Vì thực tế dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải toán hình thức chủ