đề thi chọn HSG quốc gia 2019 môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm 180 phút, không kể giao đề) Ngày thi: 24/10/2013 Câu (5,0 điểm) 13  x   x với x   0;1  Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn Cho hàm số y  1  x   x  Câu (5,0 điểm)  xy  xy  y z   2y 3z  4x Giải hệ phương trình    1 x  y  z   89 x y z   Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  , D điểm thuộc cung BC không chứa A, gọi H, I, K chân đường vng góc kẻ từ D đến cạnh AB AC BC BC, CA, AB Xác định vị trí điểm D để tổng S    đạt giá trị nhỏ DK DI DH Câu (5,0 điểm) Tìm tất đa thức P  x  có hệ số thực thỏa mãn: P  x  1  P  x   3x  3x  1, x  R HẾT  Thí sinh không sử dụng tài liệu  Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh…………………… ……………… Số báo danh……… -1- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 180 phút, không kể giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 25/10/2013 Câu (5,0 điểm) Cho dãy số thực  xn   x0  2013  xác định sau:  x  x  n  n  xn  xn2 Tìm lim n  n Câu (5,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n để phương trình  x  1n    x n   x  n  có nghiệm nguyên Câu (5,0 điểm) Chứng tỏ 1008 số ngun dương khơng vượt q 2014, ln tồn số chia hết cho số khác Câu (5,0 điểm) Cho tứ diện ABCD , cạnh AB , AC AD lấy điểm M , N P cho AB  k AM , AC  k AN AD   k  1 AP với k  tùy ý Chứng minh mặt phẳng  MNP  luôn qua đường thẳng cố định HẾT  Thí sinh không sử dụng tài liệu  Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh…………………… ……………… Số báo danh……… -1- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Câu Ngày thi: 24/10/2013 Đáp án 13 Cho hàm số y  1  x   x  1  x   x với x   0;1 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn TXĐ: D   0;1 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số M(x;y) thuộc đồ thị là: Điểm y '  x  x  13x  x 13 Có y '  x  x  13x  x = 3x.2  x  x.2  x2  2 2 1  13    x    x    x   x  2  2  13 = 13 x      x  =16 4 3x   x  46   y Max y '  16  x   x  x  15  x  0;1    Phương trình tiếp tuyến cần lập là:  46 10  y  16  x    15  y  16 x  5   xy  xy  y z   2y 3z  4x Giải hệ phương trình sau:    1 x  y  z   89 x y z    xy  xy  y z  11  2y 3z  4x    1   x  y  z   89 x4 y z  1 3      Từ (3) suy z  , kết hợp với (1) suy y  0; x  Từ (2) ta có: -1- 1 1 3x 2y 3z    x 1 x 1 y 1 z 1 x x x y y z z z =        x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 *  88 x3 y2 z3  x  1  y  1  z  1 4x y 3z =    y 1 x 1 y 1 z 1 x x x x y z z z        x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 z 1 z 1 z 1 *  88 x4 z3 y  x  1  y  1  z  1 4x 2y 2z =    z 1 x 1 y 1 z 1 x x x x y y z z        x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 *  88 x4 y2 z2  x  1  y  1  z  1 Từ bất đẳng thức ta được: 12  84  82  83  x  1  y  1  z  1 12 x yz 12 12  x  1  y  1  z  1 x8 y z  x  1  y  1  z  1 x12 y z 12  x  1  y  1  z  1 Nhân vế với vế bđt:  x  1  y  1  z  1 89 8 x4 y z  x  1  y  1  z  1 x 32 y16 z 24 32 16  x  1  y  1  z  1 24 =  89 x y z  1, kết hợp với (3) dấu “=” x y z , kết hợp với (2) ta   x 1 y 1 z 1 x y z    x 1 y 1 z 1 xảy nên: -2- thỏa mãn (1) Vậy hệ có nghiệm x  y  z  Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  , D điểm thuộc x yz cung BC không chứa A  O; R  , gọi H, I, K chân đường vng góc kẻ từ D đến cạnh BC, CA, AB Xác định vị trí điểm D để tổng AB AC BC đạt giá trị S   DK DI DH nhỏ   MDC  Vẽ DM ( M  BC ) thỏa mãn BDA AB MC DAB đồng dạng DCM nên  DK DH AC BM DBM đồng dạng DAC nên  DI DH AB AC BC MC BM BC BC Do đó: S       2 DK DI DH DH DH HD HD Để S nhỏ HD lớn D điểm cung BC khơng chứa A Tìm tất đa thức P  x  có hệ số thực thỏa mãn: 1 1 P  x  1  P  x   3x  3x  1, x  R P  x  1  P  x   3x  3x  1, x  R  P  x  1  x3  P  x   x3  3x  3x  1, x  R  P  x  1   x  1  P  x   x , x  R 1 Đặt Q  x   P  x   x , (1)  Q  x  1  Q  x  (2) Cho x giá trị: x  0;1;2;3; , từ (2) ta được: Q    Q 1  Q    Q    , từ suy phương trình (2) có vơ số nghiệm x  N nên Q  x  1  Q  x    Q  x   a , với a số, suy P  x   x  a -3- 1 Thử lại: P  x  1   x  1  a , P  x   3x  3x   x  a  x  x  =  x  1  a nên P  x  1  P  x   3x  3x  1, x  R Vậy P  x   x  a , với a số - Hết - -4- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Câu Ngày thi: 25/10/2013 Đáp án Cho dãy số thực  xn   x0  2013  xác định sau:  x  x  n  n  xn  Điểm xn2 Tìm lim n  n Từ xn 1  xn  1  xn21  xn2   1  xn2  xn xn  x12  x02   2  x2  x1    xn2  x02  2n     x  x2   n n 1 Kết hợp (1), (2) ta được: 1 xn21  xn2    xn2    n  1 x0  2n 2n ' 1  2  x2  x1     x  x   1  2    x2  x   n n 1 n 1  1 1  xn2  x12  2( n  )  (    ) 2 n1 11 1  x12  2( n )       21 n  x12  2n  12   12   112   n12   x12  2n   1  n     11 1  n  1n    x12  2n   1 n1   n -1-  xn2  x12  2n  n Tóm lại : từ     ta có : x02  2n  xn2  x12  2n    n  1 x02 x2 x 2 n  2 n n n n  x12 Mà Lim  x02    2;  n  n   Vậy n Lim  n   n 2 1  2 n  xn2 Lim n  2; n Tìm tất số nguyên dương n để phương trình  x  1n    x n   x  n  có nghiệm nguyên Trường hợp : n số tự nhiên chẵn  x   n    x  n   x   n  , x  R x     dấu    xảy  1  x  vô nghiệm 3  x    n không thỏa mãn Trường hợp : n = 1, phương trình có nghiệm nguyên  x  5   n  thỏa mãn Trường hợp : n số tự nhiên lẻ  n   Nếu nghiệm nguyên x số chẵn vế trái phương trình số lẻ, vơ lý Vậy nghiệm ngun có phải số lẻ : Đặt :  x   2y  , phương trình trở thành : 1  2y n    2y n    2y n   y n  (  y )n  (  y )n   yn  n  Cnk  1 y k  k 0 n  Cnk y k  k 0    y n  Cn0  Cn2 y   Cnn1y n 1     y n   Cn2 y   Cnn1 y n1      2y Cn2   Cnn1y n   y n  2 y  y  1 y  2 Kiểm tra : không thỏa mãn Kết luận : n  Chứng tỏ 1008 số nguyên dương không vượt q 2014 ln tồn số chia hết cho số khác -2- Giả sử cho 1008 số nguyên dương a1 , a2 , , a1008 không 2014 Ta biểu diễn số  k qi với ki ngun khơng âm, cịn qi số ngun dương lẻ, qi  2014 , i  1,1008 Chỉ có 1007 số nguyên dương lẻ nhỏ 2014 Vậy 1008 số nguyên dương lẻ q1 , q2 , , q1008 nhỏ 2014 Theo nguyên lý Diricblet tồn i, j cho qi  q j ứng với hai số i 1 k  ki qi , a j  j q j , ki  k j k j  ki (i, j  1,1008)  a j   a j (điều phải chứng minh) Cho tứ diện ABCD , cạnh AB , AC AD lấy điểm M , N P cho AB  k AM , AC  k AN AD   k  1 AP với k  tùy ý Hãy chứng minh mặt phẳng  MNP  luôn qua đường thẳng cố định Gọi I trung điểm cạnh AD Xét tam giác ABD : đường thẳng BI lấy điểm E cho BE nhận I làm trung điểm      MP  AP  AM  AD  AB Từ giả thiết ta có : k 1 k  1 Mặt khác :      ME  AE  AM  BD  AM ( ABCD hình bình hành)     AD  AB  AB k    k  1   ME  AD  AB   k   Từ  1    hai véc tơ : MP , ME phương Vậy MP qua điểm E cố định Tương tự NP qua điểm P cố định ( I trung điểm CF ) Tóm lại mặt phẳng  MNP  luôn qua đường thẳng cố định EF (Điều phải chứng minh) Hết -3- 1 .. . ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 180 phút, không kể giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 25/10/2013 Câu (5, 0.. . ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm 180 phút, không kể giao đề) Ngày thi: 24/10/2013 Câu (5, 0.. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Câu Ngày thi: 24/10/2013 Đáp án 13 Cho hàm số