Một phân lớp theo một số lớp con của các toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn trên các tập mờ trực cảm

Bài viết giới thiệu lần đầu một phân lớp theo các lớp con của các toán tử t-chuẩn biểu diễn được và t-đối chuẩn biểu diễn được cho các tập mờ trực cảm. Các tính chất của các lớp con này cũng được trình bày.

UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Nhận bài: 16 – 02 – 2016 Chấp nhận đăng: 18 – 06 – 2016 http://jshe.ued.udn.vn/ MỘT PHÂN LỚP THEO MỘT SỐ LỚP CON CỦA CÁC TOÁN TỬ T-CHUẨN VÀ T-ĐỐI CHUẨN TRÊN CÁC TẬP MỜ TRỰC CẢM Rỗn Thị Ngân Tóm tắt: Sự phân lớp theo lớp toán tử t-chuẩn t-đối chuẩn kết quan trọng lơgic mờ Tốn tử t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn được định nghĩa tìm hiểu Deschrijver G cộng [8] Trong báo này, giới thiệu lần đầu phân lớp theo lớp toán tử t-chuẩn biểu diễn t-đối chuẩn biểu diễn cho tập mờ trực cảm Các tính chất lớp trình bày Từ khóa: tập mờ trực cảm; tốn tử lơgic mờ trực cảm; t-chuẩn mờ trực cảm; t-đối chuẩn mờ trực cảm; t-chuẩn mờ trực cảm t- biểu diễn được; t-đối chuẩn mờ trực cảm t- biểu diễn được; Giới thiệu Năm 1983, K.T Atanassov đề xuất khái niệm tập mờ trực cảm mở rộng trực tiếp khái niệm tập mờ Lotfi Zadel (1965) Tiếp nối thành tựu ứng dụng quan trọng lý thuyết mờ, lý thuyết mờ trực cảm dần khẳng định tính hữu hiệu toán thực tế chẩn đoán y khoa, bầu cử, ước lượng rủi ro kinh doanh,… Trong lý thuyết tập mờ, toán tử t-chuẩn t-đối chuẩn đóng vai trị quan trọng, chúng sử dụng để định nghĩa tổng quát phép tốn giao, hợp tập mờ, từ góp phần xây dựng luật thành phần hệ thống suy diễn Vì cần nghiên cứu sâu sắc tính chất tốn tử Trong lý thuyết mờ trực cảm vậy, báo cáo đề cập tới các t-chuẩn, t-đối chuẩn mờ trực cảm tbiểu diễn được, tức hình thành từ t-chuẩn t-đối chuẩn mờ Dựa tính chất Archimedean, lũy linh, chặt t-chuẩn, t-đối chuẩn mờ, báo đưa phân lớp quan trọng t-chuẩn, tđối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn * Liên hệ tác giả Roãn Thị Ngân Trường Đại học Tài nguyên Môi trường Hà Nội Email: rtngan@hunre.edu.vn Định nghĩa 1.1 [3] Xét X tập không rỗng, tập mờ trực cảm A không gian X cho bởi: A=  x,  A ( x), A ( x)  x X , hàm  A : X →0,1 ,  A : X →  0,1 hàm thuộc hàm không thuộc thỏa mãn điều kiện:   A ( x) + A ( x)  1, x  X  A ( x), A ( x) độ thuộc độ không thuộc x vào A  Định nghĩa 1.2 [2] Tập L quan hệ thứ tự   L L định nghĩa sau: L = {( x1 , x2 ) | x1 , x2 [0,1], x1 + x2  1} ( x1 , x2 )  L ( y1 , y2 )  x1  y1 , x2  y2 , ( x1 , x2 ) = L ( y1 , y2 )  x1 = y1 , x2 = y2 ,  x  y1 , x2  y2 ( x1 , x2 )  L ( y1 , y2 )    x1 = y1 , x2  y2 ( x1 , x2 ),( y1 , y2 )  L Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),19-28 | 19 Roãn Thị Ngân ( Mệnh đề 1.3 [2] Tập L ,  L  ) dàn đầy đủ với phần tử trung hòa 0L = (0,1),1L = (1,0)  Chú ý: Từ trở đi, x  L ta kí hiệu x = ( x1 , x2 )  L pr1 x, pr2 x ánh xạ chiếu lên thành phần thứ thành phần thứ hai x Ta có pr1 x = x1 , pr2 x = x2 Định nghĩa 1.4 [2] Phủ định mờ trực cảm   ánh xạ N : L − L không tăng N Phủ N   định N cuộn  ( N ( x ) ) = x, x  L Ví dụ 1.5 Phủ định chuẩn N N s s cho bởi: ( x ) = N s ( x1, x2 ) = ( x2 , x1 ) , x  L Định nghĩa 1.6 [2] Một t-chuẩn mờ trực cảm ánh xạ T:: ( L )2 − L thỏa mãn, với x, y, z  L* : * T ( x,1L ) = x (điều kiện biên); * T ( x, y ) = T ( y , x) (điều kiện giao hoán); * T ( x, T ( y, z )) = T (T ( x, y ), z ) (điều kiện kết hợp); * T ( x, y) L T ( x, y), x L x, y L y (điều kiện tăng) Định nghĩa 1.7 [2] Một t-đối chuẩn mờ trực cảm ánh xạ S:: ( L )2 − L thỏa mãn, với * * S ( x,0L ) = x (điều kiện biên); * S ( x, y) = S ( y, x) (điều kiện giao hoán); * S ( x, S ( y, z)) = S (S ( x, y), z) (điều kiện kết hợp); * S ( x, y)  L S ( x, y), x L x, y L y (điều kiện tăng) Định nghĩa 1.8 [2] Một t-chuẩn mờ trực cảm T gọi đối ngẫu với t-đối chuẩn S ngược lại, tồn phủ định mờ trực cảm N cho  hai điều sau thỏa mãn, với x, y  L : 20 (S ( N ( x ) , N ( y ))) Định nghĩa 1.9 [6] Một t-chuẩn mờ trực cảm T gọi t-biểu diễn tồn t-chuẩn T t-đối chuẩn S [0,1] thỏa mãn, với x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S gọi t-biểu diễn tồn t-chuẩn T tđối chuẩn S [0,1] thỏa mãn, với x, y  L : Định nghĩa 1.10 [6] T-đối chuẩn mờ trực cảm đối  ngẫu qua phủ định mờ trực cảm cuộn N L t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn t-biểu diễn T-chuẩn mờ trực cảm đối ngẫu qua phủ định  mờ trực cảm cuộn N L t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn t-biểu diễn Định nghĩa 1.11 Một t-chuẩn mờ trực cảm T gọi Archimedean với x  L \ {0L ,1L }: T ( x, x) L x Định nghĩa 1.12 Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S:được gọi Archimedean với x  L \ {0L ,1L }: S:( x, x) L x Định nghĩa 1.13 Một t-chuẩn mờ trực cảm T gọi là: * lũy linh nếu: x, y  L \ {0L }, T ( x, y) = 0L x, y, z  L : T ( x, y ) = N (T ( N S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )) ( 0L ) = 1L , N (1L ) = 0L  S ( x, y ) = N ( x ) , N ( y ))) , * chặt nếu: x, y  L \ {0L }, T ( x, y)  0L Định nghĩa 1.14 Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S: gọi là: * lũy linh nếu: x, y  L \ {1L }, S:( x, y) = 1L * chặt nếu: x, y  L \ {1L }, S:( x, y)  1L Tôi đưa hai định lý sau: ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),19-28 Định lý 1.15 Cho T t-chuẩn mờ trực cảm  t-biểu diễn được, với x, y  L : chặt (xem [1]) Do đó, tốn tử cho thuộc lớp  SS Ví dụ 2.3 Tốn tử T sau toán tử thuộc lớp T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )), Nếu T S Archimdean T Archimedean  Chứng minh: Với x  L \{0L ,1L }: toán tử T S Archimdean T ( x1, x1 )  x1, S ( x2 , x2 )  x2 , kéo nên theo T ( x, x) L x cảm t-biểu diễn được, với x, y  L : S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )) Nếu T S Archimdean S Archimedean Chứng minh: Tương tự phần chứng minh Định lý 1.15, ta có Định lý 1.16 chứng minh Sau đây, đưa phân lớp tốn tử, ví dụ với họ tốn tử quan trọng Sau tơi trình bày mệnh đề liên quan Một số lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn a Lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn chặt-  SS (xem [5]) Ví dụ 2.4 Tốn tử T sau tốn tử thuộc lớp  SS :  x + y2 + ( 2 − 2) x2 y2  x1 y1 ,    + −  x + y − x y + ( 2 − 1) x2 y2 )( 1 1)  (  Chứng minh: Ta chứng minh 1, 2  ( 0, + ) ; 1  2 :  x2 + y2 + ( 2 − ) x2 y2  / 1 + ( 2 − 1) x2 y2    x2 + y2 + ( 1 − ) x2 y2  / 1 + ( 1 − 1) x2 y2  (2.1) Thật vậy, ta có + (  − 1) x2 y2  0,    1 + ( 2 − 1) x2 y2  1 + ( 1 − 1) x2 y2   Ta lại có, 1, 2  ( 0, + ) ; 1  2 : (2.1)   x2 + y2 + ( 2 − ) x2 y2  1 + ( 1 − 1) x2 y2    x2 + y2 + ( 1 − ) x2 y2  1 + ( 2 − 1) x2 y2  Định nghĩa 2.1 Một t-chuẩn mờ trực cảm T gọi chặt-chặt, t-biểu diễn tồn t-chuẩn chặt T t-đối chuẩn chặt S  [0,1] cho, với x, y  L :  ( 1 − 1) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 2 − ) x2 y2 + ( 2 − )( 1 − 1) x22 y22  ( 2 − 1) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 1 − ) x2 y2 + ( 1 − )( 2 − 1) x22 y22 T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 ))  ( 1 − 2 ) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 2 − 1 ) x2 y2 + Ví dụ 2.2 Tốn tử T sau toán tử thuộc lớp  SS : ( 2 − )( 1 − 1) − ( 1 − )( 2 − 1)  x22 y22   ( 1 − 2 ) x2 y2 ( x2 + y2 ) + ( 2 − 1 ) x2 y2 T ( x, y ) = ( x1 y1, x2 + y2 − x2 y2 ) + ( 2 − 1 ) x22 y22  Chứng minh: Toán tử cho t-chuẩn mờ trực cảm (xem [3]) Toán tử T ( x, y ) = xy tchuẩn   0, T ( x, y) = 1  2  0, T ( x, y) = Định lý 1.16 Cho S t-đối chuẩn mờ trực chặt, kí hiệu  SS :  x + y2 + (  − 2) x2 y2  x1 y1 ,   + (1 −  )( x + y − x y )  + (  − 1) x2 y2 1 1   T ( x, x) = (T ( x1, x1 ), S ( x2 , x2 )) Do S( x, y ) = x + y − xy t-đối chuẩn mờ có tính mờ có tính chặt (xem [1]) Tốn tử  ( 2 − 1 ) x2 y2 (1 − x2 − y2 + x2 y2 )   ( 2 − 1 ) x2 y2 (1 − x2 )(1 − y2 )  (ln đúng) Kết hợp (2.1) với Ví dụ 2.3, ta có điều phải chứng minh 21 Rỗn Thị Ngân Ví dụ 2.5 Tốn tử T sau toán tử thuộc lớp  SS : x k +1 + x k y − x k +1 y + xy k + y k +1 − xy k +1 − x k +1 y k − x k y k +1 + x k +1 y k +1 0    1, ( x1 − 1)( y1 − 1) T ( x, y ) = (log  (1 + ),  −1 (1− x2 − 1)(1− y2 − 1) − log  (1 + )),  −1 (xem [5]) Ví dụ 2.6 Tốn tử T sau toán tử thuộc lớp  SS :  T ( x, y ) =  x1 y1, x22 + y22 − x22 y22   ( ( Chứng minh: x2 + y − x2 y (x Thật vậy, (2.3) tương đương với: + y − x2 y ) ) )      x + y − xy, thật vậy:  x k +1 + y k +1 − x k +1 y k +1  x k y − x k +1 y + xy k − xy k +1 − x k +1 y k − x k y k +1 + x k +1 y k +1   x k −1 − x k + y k −1 − y k − x k y k −1 − x k −1 y k + x k y k  ( + (x ) ( ) (  x k −1 − x k + y k −1 − y k + x k y k − x k y k −1 y −x k k k −1 k y )0 ) (1 − x ) + y (1 − y ) + x k y k −1 ( y − 1) + x k −1 y k ( x − 1)   x k −1 (1 − x ) (1 − y k ) + y k −1 (1 − y ) (1 − x k )  x k −1 k −1 (luôn đúng) Do đó, từ (2.2) (2.3) suy x k +1 + y k +1 − x k +1 y k +1  ( x + y − xy ) k +1 hay  x + y − xy  x + y − x y  (x x + y + xy + x y − xy ( x + y )   xy + x y − xy ( x + y )  x + y − xy  k +1 + y k +1 − x k +1 y k +1 ) k +1  x + y − xy , k  2, k  N 2 (luôn đúng) Kết hợp điều vừa chứng minh với Ví dụ 2.2, ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.7 Tốn tử T sau toán tử thuộc lớp  SS :  T ( x, y) =  x1 y1, x2a + y2a − x2a y2a  ( ) ( ) Chứng minh: xa + y a − xa y a 1 a ,a a    1, a  N  x + y − xy (*) phương pháp qui nạp: * Với a=2, (*) * Giả sử (*) với a = k, k  2, k  N , tức x k + y k − x k y k  ( x + y − xy ) , ta phải chứng k minh (*) với a=k+1 Thật vậy, ta có: ( x + y − xy )k +1 = ( x + y − xy )k ( x + y − xy ) , kết hợp với điều giả sử (*) với a=k, suy ra: ( x + y − xy )k +1  ( x k + y k − x k y k ) ( x + y − xy ) Bây ta chứng minh: (x k + y k − xk y k 22 b Lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn lũy linh-lũy linh,  NN Định nghĩa 2.8 Một t-chuẩn mờ trực cảm T gọi lũy linh-lũy linh, t-biểu diễn tồn t-chuẩn lũy linh T t-đối chuẩn lũy linh S [0,1] cho, với x, y  L : T ( x, y ) = (T ( x1, y1 ), S ( x2 , y2 )) Ví dụ 2.9 Tốn tử T sau toán tử thuộc lớp  NN : T ( x, y ) = (  ( x1 + y1 − 1) ,1  ( x2 + y2 ) ) Chứng minh: Toán tử cho t-chuẩn mờ trực cảm (xem [3]) Toán tử T ( x, y ) =  ( x + y − 1) t-chuẩn mờ có tính lũy linh (xem [1]) Toán tử S( x, y ) =  ( x + y ) t-đối chuẩn mờ có tính lũy linh (xem [1]) Do toán tử cho thuộc lớp  NN ) ( x + y − xy )  x k +1 + y k +1 − x k +1 y k +1 ( 2.2 ) Kết hợp (*) với Ví dụ 2.2, ta có điều phải chứng minh ( 2.3) Ví dụ 2.10 Tốn tử T sau tốn tử thuộc lớp  NN : ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),19-28 T ( x, y) = (0  x1 + y1 − 3x1 y1 − , x1 + y1 − x1 y1 1 (xem [5]) Ví dụ 2.13 Tốn tử T sau toán tử thuộc lớp  NN : x2 + y2 + x2 y2 ) − x2 y2 a  0, T ( x, y ) = ( ( Chứng minh: - Khơng khó để kiểm tra pr1T ( x, y ) tchuẩn mờ (thỏa mãn điều kiện định nghĩa t-chuẩn mờ) pr2 T ( x, y ) t-đối chuẩn mờ (thỏa mãn điều kiện định nghĩa t-đối chuẩn mờ) - Dễ thấy t-chuẩn pr1T ( x, y ) t-đối chuẩn pr2 T ( x, y ) có tính lũy linh ( ,1  x2a + y2a x1a + y1a  - Nếu x1 + y1 − 3x1 y1 − x2 + y2 + x2 y2 + x1 + y1 − x1 y1 − x2 y2  x1 + y1 − x1 y1 − + x2 + y2 + x2 y2 x1 + y1 − x1 y1  x1 + y1 − x1 y1 − − x1 − y1 + 2(1 − x1 )(1 − y1 ) x1 + y1 − x1 y1    pr1T ( x, y ) + pr2T=( x, y ) = - x1 + y1 − x1 y1 = − (1 − x1 )(1 − y1 )  − x2 y2 a x2a + y2a  ta có: x1a + y1a  x2a + y2a  ta có: ( Do ta có: ) vậy: pr1T ( x, y ) + pr2T=( x, y ) = x2a + y2a pr1T ( x, y ) + pr2T ( x, y )  0,1 = a Chứng minh: Ta chứng minh pr1T + pr2T  1, thật - Nếu - Với x, y  L* , ta kiểm tra  ))  a a   x1 + y1 −  x1a + y1a  Nếu ) a  x2a + y2a  ta có x1a + y1a + x2a + y2a  , vơ lý : x1a + y1a + x2a + y2a  ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) = Không xảy trường hợp - Nếu x1a + y1a  x2a + y2a  ta có ( ) ( a ) a pr1T ( x, y ) + pr2T=( x, y ) = x1a + y1a − + x2a + y2a 3x1 + y1 − 3x1 y1 − + 2(1 − x1 )(1 − y1 ) =1 x1 + y1 − x1 y1 Vậy T  NN - Ta chứng minh: (x a ) a + y a −  x + y − 1, tức x a + y a −  ( x + y − 1) a (2.4) Với a=1, (2.4) hiển nhiên Giả sử (2.4) Ví dụ 2.11 Toán tử T sau toán tử thuộc lớp  NN : với a = k  1, k N, nghĩa x k + y k −  ( x + y − 1) k Ta phải chứng minh (2.4) với a=k+1 Thật vậy, ( x + y − 1)k +1 = ( x + y − 1)k ( x + y − 1)  ( x k + y k − 1) ( x + y − 1) 1  2  −1, T ( x, y) = (  (( x1 + y1 − 1)(1 + 1 ) − 1x1 y1 ) ,1  ( x2 + y2 + 2 x2 y2 )) (xem [5]) Ta lại có: ( x + y − 1) ( x + y − 1) − ( x = ( x + x y − x + xy + y − ( x + y − 1) k k +1 k k +1 Ví dụ 2.12 Toán tử T sau toán tử thuộc lớp  NN : k k +1 k k ) + y k +1 − k +1 ) − y − x − y +1 k k +1 = x k y − x k + xy k − y k − x − y + a  0, T ( x, y ) = (  a a   − (1 − x1 ) + (1 − y1 )  = x k ( y − 1) + y k ( x − 1) + (1 − x ) + (1 − y ) ) ,1  ( a x2a + y2a ) a  ,  ( ) ( ) = (1 − y ) − x k + (1 − x ) − y k  23 Rỗn Thị Ngân Do ( x + y − 1)k +1  xk +1 + y k +1 − hay (2.4) chứng minh - Ta chứng minh: x + y  ( x + y) a a a (x a + ya ) a  x + y , tức (2.5) Ta có a −1 (2.5)  x a + y a  x a + y a +  Cak x a −k y k k =1 a −1    Cak x a − k y k k =1 (luôn đúng) Do vậy, từ (2.4) (2.5) suy ra: pr1T ( x, y ) + pr2 T=( x, y )  x1 + y1 − + x2 + y2  ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) −  Hơn nữa, pr1T pr2T tốn tử lơgic mờ có tính lũy linh (xem [5]) Do T  NN c Lớp t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn lũy linh-chặt, kí hiệu  NS Định nghĩa 2.14 Một t-chuẩn mờ trực cảm T gọi lũy linh-chặt, t-biểu diễn tồn t-chuẩn lũy linh T t-đối chuẩn chặt S [0,1] cho, với x, y  L : Chứng minh: Ta có với x, y  [0,1], 1  T ( x, y) = max  ( x + y − + ( a − 1) xy ) ,0  a  Là họ t-chuẩn lũy linh Jane Doe [1] và: ( x1 + y1 − + ( a − 1) x1 y1 ) + x2 + y2 − x2 y2 a ( x1 + y1 − + ( a − 1) x1 y1 ) + − (1 − x2 )(1 − y2 ) a 1 a −1   1 −  + ( x1 + y1 ) + x1 y1 − x1 y1 a a a  =  1  1 = 1 −  + ( x1 + y1 − x1 y1 )  1 −  + =  a a  a a Vậy T ( x, y ) t-chuẩn mờ trực cảm lũy linh-chặt, t-biểu diễn Ví dụ 2.17 Toán tử T sau toán tử thuộc lớp  NS : a  ( 0,1) , T ( x, y) = (( −a + a ( x + y ) + (1 − a ) x y )  0, x 1 1 ) + y2 − x2 y2 Chứng minh: Xét T f = f −1 ( f ( x ) f ( y )  a ) với: f ( x ) = a + (1 − a ) x, f −1 ( x ) = Ta có: Tf x−a , a  ( 0,1) 1− a t-chuẩn lũy linh, T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) T f = f −1 ( a + (1 − a ) x ) ( a + (1 − a ) y )  a f −1 ( f ( x ) f ( y )  a ) Ví dụ 2.15 Toán tử T sau toán tử thuộc lớp  a + ( a − a ) ( x + y ) + (1 − a )2 xy  a  − a   = 1− a  NS : T ( x, y) = (  ( x1 + y1 − 1) , x2 + y2 − x2 y2 ) Chứng minh: Toán tử cho t-chuẩn mờ trực cảm (xem [3]) Toán tử T ( x, y ) =  ( x + y − 1) ( ( = (a ) ) ) − a + ( a − a ) ( x + y ) + (1 − a ) xy  1− a = ( −a + a ( x + y ) + (1 − a ) xy )  Xét 1  a  0, T ( x, y) = (( −a + a ( x + y ) + (1 − a ) x y )  0, x t-chuẩn mờ có tính lũy linh (xem [1]) Toán tử S( x, y ) = x + y − xy t-đối chuẩn mờ có tính Ta có: chặt (xem [1]) Do tốn tử cho thuộc lớp  NS −a + a ( x1 + y1 ) + (1 − a ) x1 y1 + x2 + y2 − x2 y2 Ví dụ 2.16 Toán tử T sau toán tử thuộc lớp  NS : 24 1 1 ) + y2 − x2 y2 = −a + a ( x1 + y1 ) + (1 − a ) x1 y1 + − (1 − x2 )(1 − y2 )  −a + a ( x1 + y1 ) + (1 − a ) x1 y1 + − x1 y1 = −a + + a ( x1 + y1 − x1 y1 ) a  0, T ( x, y) = = −a + + a (1 − (1 − x1 )(1 − y1 ) ) = − a (1 − x1 )(1 − y1 )    1     ( x1 + y1 − + ( a − 1) x1 y1 )  , x2 + y2 − x2 y2  a     Vậy T ( x, y ) t-chuẩn mờ trực cảm lũy linh-chặt t-biểu diễn ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),19-28 Mệnh đề 2.18 Không tồn t-chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn  T cho với x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) với T t-chuẩn chặt S t-đối chuẩn lũy linh Chứng minh: Giả sử với x, y  L : T ( x, y) = (T (u, v), S (a, b)) = (0,1) = 0L* , Vậy T lũy linh Một số lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn a Lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn chặt-chặt, kí hiệu với T t-chuẩn chặt Định nghĩa 3.1 Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S gọi chặt-chặt, t-biểu diễn tồn t-chuẩn chặt T t-đối chuẩn chặt S x2 , y2  (0,1) | S( x2 , y2 ) = Chọn x1  | x1 + x2  1, y1  | y1 + y2  1, T ( x1 , y1 )  0, T chặt Với x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) xét T (x, y) : T ( x1 , y1 ) + S( x2 , y2 )  1, mâu thuẫn Mệnh đề 2.19 Nếu T thuộc vào lớp  SS  NS , T t-chuẩn mờ trực cảm chặt Chứng minh: Giả sử T   NS với x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) cho x, y  L \ {0L }| T ( x, y ) = 0L [0,1] cho, với x, y  L : S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )) Ví dụ 3.2 Một số tốn tử thuộc lớp x2 = y2 = 1, mâu thuẫn Vậy T t-chuẩn mờ trực cảm chặt Tương tự, T   SS t-chuẩn mờ trực cảm chặt Mệnh đề 2.20 Nếu T thuộc vào lớp  NN , T t-chuẩn mờ trực cảm lũy linh Chứng minh: Giả sử T   NN , x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) Do T lũy linh nên: u , v  | T (u , v) =  SS : * S ( x, y) = ( x1 + y1 − x1 y1 , x2 y2 ) * 2  1  0, S * ( x, y ) =  x1 + y1 + ( 1 − 2) x1 y1  x2 y2 ,   2 + (1 − 2 )( x2 + y2 − x2 y2 )   + ( 1 − 1) x1 y1 * 0    1, (1− x1 − 1)(1− y1 − 1) ),  −1 ( x2 − 1)( y2 − 1) log  (1 + ))  −1 S ( x, y ) = (1 − log  (1 + Ta có T ( x1 , y1 ) = 0, S ( x2 , y2 ) = 1, S chặt nên  SS T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )) * a  1, S ( x, y ) = (( x1a + y1a − x1a y1a ) a , x2 y2 ) Chứng minh: Các tốn tử S Ví dụ 3.2 suy từ Ví dụ 2.2 -2.7 Từ đó, ta có điều phải chứng minh b Lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn lũy linh-lũy linh  NN u  u, v  v, T (u , v) = Định nghĩa 3.3 Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S gọi lũy linh-lũy linh, t-biểu diễn tồn t-chuẩn lũy linh T t-đối chuẩn Do S lũy linh nên a, b  1| S (a, b) =  lũy linh S [0,1] cho, với x, y  L : Do T không giảm nên: Ta chọn: x = (u , a) u  + a  1, y = (v, b) v + b  Khi đó: S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )) Ví dụ 3.4 Một số S   NN : 25 Roãn Thị Ngân ( ) * S ( x, y ) =  ( x1 + y1 ) ,0  ( x2 + y2 − 1) * 2  1  −1, S ( x, y ) = ( S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )), x, y  L với T t- S ( x, y) = (1  ( x1 + y1 + 1x1 y1 ), chuẩn chặt S t-đối chuẩn lũy linh  (( x2 + y2 − 1)(1 + 2 ) − 2 x2 y2 )) (  a a 1  x1 + y1  )  SN , S t-đối chuẩn mờ trực cảm chặt ( ,0  − (1 − x2 ) + (1 − y2 ) a a )  a * a  0, S ( x, y ) = (  a a 1  x1 + y1  ) ,(0  ( x a a )) + y2a −    t-đối chuẩn mờ trực cảm lũy linh mờ trực cảm Chứng minh: Giả sử = T = (T , S ) T   NN , với x, y  L : T ( x, y) = (T ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 )), N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) Từ định nghĩa 1.8, ta thu toán tử đối ngẫu với T qua N : S ( x, y) = ( N (1 − S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 ))), − N (T ( N (1 − x2 ), N (1 − y2 )))) chặt S [0,1] cho, với x, y  L : Do S ( x, y) = (S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 )) Ví dụ 3.6 Một số ( ) * a  0, S ( x, y) =   1   x1 + y1 − x1 y1,    ( x2 + y2 − + ( a − 1) x2 y2 )   * a    1  a  0, S ( x, y) = ( x + y − x y , ( −a + a ( x S lũy linh, nên tồn a, b  (0,1) cho S (a, b) = , kéo theo: S   SN : * S ( x, y ) = x1 + y1 − x1 y1 ,0  ( x2 + y2 − 1) , ) + y2 ) + (1 − a ) x2 y2 )  Chứng minh: Các toán tử S Ví dụ 3.2 suy từ Ví dụ 2.14 -2.17 Từ đó, ta có điều phải chứng minh Tương tự, phần trên, mệnh đề sau chứng minh 26 s S = ( S , T )  SN 1  SS N cuộn, giảm chặt, S thuộc  SS Đặc biệt N = N x2 + y2 − 3x2 y2 − ) x2 + y2 − x2 y2 Định nghĩa 3.5 Một t-đối chuẩn mờ trực cảm S gọi chặt-lũy linh, t-biểu diễn tồn t-chuẩn lũy linh T t-đối chuẩn thuộc (  NN ,  SN ) c Lớp t-đối chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn chặt-  NN , S (  NN ,  NS ) S đối ngẫu với T qua phủ định Chứng minh: Các tốn tử S Ví dụ 3.2 suy từ Ví dụ 2.9 -2.13 Từ đó, ta có điều phải chứng minh lũy linh, Mệnh đề 3.9 Nếu S thuộc vào lớp Định lý 3.10 Giả sử toán tử T a x + y + x1 y1 * S ( x, y ) = (1  1 , − x1 y1 0  SS Mệnh đề 3.8 Nếu S thuộc vào lớp * a  0, S ( x, y ) = a Mệnh đề 3.7 Không tồn t-đối chuẩn mờ trực S cảm t-biểu diễn cho x1 , y1  (0,1) | a = − N ( x1 ), b = − N ( y1 ), S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 )) = nên N (1 − S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 ))) = N (0) = pr1 S ( x, y ) t-đối chuẩn lũy linh Do T lũy linh, nên tồn c, d  (0,1) cho T (c, d ) = 0, kéo theo: x2 , y2  (0,1) cho c = − N ( x2 ), d = − N ( y2 ) − N (T ( N (1 − x2 ), N (1 − y2 ))) = ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),19-28 Do pr2 S ( x, y) t-chuẩn lũy linh Vậy S ( x, y)  NN T   SS , sử S chặt, N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) với N ( a ) = Tương tự, điều ngược lại chứng minh Giả T ( x, y ) = (0  ( x1 + y1 − 1),1  ( x2 + y2 ))   NN , nên a, b  (0,1) | S (a, b)  , kéo theo: x1 , y1  (0,1), S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 ))  Khi ta có: S ( x, y ) = (1  0 Do N giảm chặt nên với x1 , y1  (0,1) N (1 − S (1 − N ( x1 ),1 − N ( y1 )))  Do pr1 S ( x, y ) t-đối chuẩn chặt Tương tự, pr2 S ( x, y) t-chuẩn chặt Vậy S ( x, y )  SS 1− a , a  0,1 1+ a x1 + y1 + x1 y1 , − x1 y1 x2 + y2 − 3x2 y2 − )   NN x2 + y2 − x2 y2 (xem Ví dụ 3.4) Ví dụ 3.14 Với x, y  L : T ( x, y) = (0  ( x1 + y1 − 1), x2 + y2 − x2 y2 )  NS , N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) Định lý 3.11 Giả sử toán tử S = ( S1 , T1 ) thuộc  SS (tương ứng  NN ,  SN ) T đối ngẫu với S qua phủ định mờ trực cảm N cuộn, giảm chặt, với N ( a ) = 1− a , a  0,1 1+ a Khi ta có: S ( x, y ) = Ví dụ 3.12 Với x, y  L :  x1 + y1 x + y2 − 3x2 y2 −  ,0     SN x2 + y2 − x2 y2  + x1 y1  (Do kết Ví dụ 3.12, 3.13 x1 + y1 x1 + y1 + x1 y1  ) + x1 y1 − x1 y1 T ( x, y) = ( x1 y1, x2 + y2 − x2 y2 )   SS , Kết luận T = (T2 , S2 ) thuộc  SS (tương ứng  NN ,  NS ) Đặc biệt N =N s = S = ( S1, T1 ) T = (T1, S1 ) N ( x) = ( N (1 − x2 ) ,1 − N ( x1 ) ) với N ( a ) = 1− a , a  0,1 1+ a Khi ta có:  x +y  x2 y2 S ( x, y) =  1 ,   + x1 y1 − x2 − y2 + x2 y2  Ta thấy toán tử S ( x, y) toán tử cụ thể thuộc họ S * ( x, y) Ví dụ 3.2 với S ( x, y) SS  Ví dụ 3.13 Với x, y  L : Trong báo này, tơi trình bày hoàn chỉnh phân lớp theo số lớp t-chuẩn tđối chuẩn t-biểu diễn trực cảm phát triển, mở rộng số kết có [6,7] cho tập mờ trực cảm, chuẩn bị cho nghiên cứu tiếp cho tập mờ tranh – khái niệm đề xuất Bùi Công Cường năm 2013, mở rộng, tổng quát hóa khái niệm tập mờ tập mờ trực cảm 1 = 0, 2 = Do Tài liệu tham khảo [1] Hung T Nguyen, Elbert A Walker (2005), First Course in Fuzzy Logic - second edition, Department of Mathematical Sciences New Mexico State University Las Cruces, New 27 Roãn Thị Ngân Mexico Chapman and hall/crc, Boca Raton London NewYork Washington, D.C [2] Erich Peter Klement and Radco Mesiar (2005), Logical, Algebraic, Analytic and Probabilistic Aspects of Triangular Norms, 1st Edition, Elsevier [3] K.T Atanassov (1983), Intiuitonistic fuzzy sets, VII ITKR's Section, Sofia [4] K.T Atanassov (1999), Intiuitonistic fuzzy sets, Phisica-Verlag, NewYork [5] Adrian I Ban (2006), Intiuitonistic Fuzzy Measures, Theory and Applications, Nova science publishers, Inc NewYork [6] Desch Glad Deschrijver, Chris Cornelis, Etienne E.Kerre (February 2004), On the Representation of Intuitionistic Fuzzy t-Norms and t-Conorms, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol 12, No.1 [7] B.C Cuong, N.Q Thang, R.T Ngan and N.D Hai (2014), A remark on some classes of trepresentable intuitionistic fuzzy t-norms and tconorms, Seminar “Neuro-Fuzzy Systems with Applications” Preprint 03/2014, Institute of Mathematics, June 2014, Hanoi [8] Deschrijver G et al [2003], Fuzzy Sets and Systems, v.133, 227-235 A CLASSIFICATION INTO SUBCLASSES OF INTUITIONISTIC T-NORMS AND T-CONORMS FOR INTUITIONISTIC FUZZY SETS Abstract: A classification into subclasses of t-norm operators and t-conorm operators is an important result of fuzzy logics Trepresentable intuitionistic t-norms and t-representable intuitionistic t-conorms were defined and examined by Deschrijver G et al in [8] In this paper, I introduce for the first time a classification into subclasses of t-representable t-norm operators and t-representable tconorm operators for intuitionistic fuzzy sets Some properties of these subclasses are also presented Key words: intuitionistic fuzzy sets; intuitionistic fuzzy logic operators; intuitionistic fuzzy t-norm; intuitionistic fuzzy t-conorms; trepresentable intuitionistic t-norms; t-representable intuitionistic t-conorms 28 ... 3.2 Một số toán tử thuộc lớp x2 = y2 = 1, mâu thuẫn Vậy T t -chuẩn mờ trực cảm chặt Tương tự, T   SS t -chuẩn mờ trực cảm chặt Mệnh đề 2.20 Nếu T thuộc vào lớp  NN , T t -chuẩn mờ trực cảm. .. minh Sau đây, tơi đưa phân lớp tốn tử, ví dụ với họ tốn tử quan trọng Sau tơi trình bày mệnh đề liên quan Một số lớp t -chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn a Lớp t -chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn chặt-... t -chuẩn T tđối chuẩn S [0,1] thỏa mãn, với x, y  L : Định nghĩa 1.10 [6] T-đối chuẩn mờ trực cảm đối  ngẫu qua phủ định mờ trực cảm cuộn N L t -chuẩn mờ trực cảm t-biểu diễn t-biểu diễn T-chuẩn