Bài báo nói về việc bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học giải các bài toán hình học ở trường Trung học cơ sở (THCS). Từ việc xem xét các trường hợp đặc biệt điển hình của bài toán, giáo viên (GV) giúp học sinh (HS) đề xuất dự đoán về kết quả, từ đó nảy sinh phương hướng giải bài toán đó.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol 59, No 2A, pp 90-94 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC DỰ ĐOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ Lê Văn Cường Trường Trung học sở & Trung học phổ thông Nguyễn Tất Thành, Hà Nội Tóm tắt Bài báo nói việc bồi dưỡng lực dự đoán cho học sinh dạy học giải tốn hình học trường Trung học sở (THCS) Từ việc xem xét trường hợp đặc biệt điển hình toán, giáo viên (GV) giúp học sinh (HS) đề xuất dự đốn kết quả, từ nảy sinh phương hướng giải tốn Thơng qua việc rèn luyện cho HS tìm tịi, dự đốn, phát giải tốn, hình thành phát triển lực giải vấn đề, lực tư sáng tạo cho HS Từ khóa: Năng lực dự đốn, tìm tịi, lực tư duy, lực giải vấn đề Mở đầu Trong dạy học giải tốn hình học trường THCS có nhiều hội để GV phát triển cho học sinh HS lực mị mẫm, dự đốn nói riêng lực tìm tịi, sáng tạo nói chung [1] HS gặp toán chứng minh mà điều cần chứng minh chưa thật cụ thể, chưa biết điểm bắt đầu hay cần dựa vào tri thức biết nào, chưa xác định hướng tìm lời giải tốn Trong tình vậy, GV hướng dẫn HS dự đốn kết tốn thơng qua việc xét trường hợp đặc biệt, cụ thể, dựa phân tích trường hợp để đưa giả thuyết, dự đoán cuối nảy hướng chứng minh [2] Việc bồi dưỡng cho HS lực dự đốn dạy học mơn tốn cần thiết, giúp HS vượt qua khó khăn, tháo gỡ bế tắc việc tìm lời giải cho tốn Cơng việc khơng q phức tạp, phù hợp với đa số HS trường THCS, thực q trình học toán, giải toán hướng dẫn GV Trong viết chúng tơi trình bày nghiên cứu việc bồi dưỡng cho HS lực dự đoán thơng qua việc giải tốn hình học trường THCS Nội dung nghiên cứu Với dạng tốn có cách tiến hành dự đốn kết khác Trước hết cần xây dựng, chọn lọc dạng tốn điển hình chứa nhiều yếu tố việc dự đoán Tiếp theo cần hoạt động mà HS cần thực trình mị mẫm dự đốn kết tốn: bao gồm hoạt động kẻ vẽ, đo đạc, tính toán, quan sát thao tác tư phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa khái quát hóa Việc bồi dưỡng lực dự đoán Liên hệ: Lê Văn Cường, e-mail: cuonglevan@ntthnue.edu.vn 90 Bồi dưỡng lực dự đoán cho học sinh dạy học giải tốn hình học cho HS tiến hành lên lớp thông qua việc GV hướng dẫn HS giải loạt tốn hình học có dạng, từ trang bị cho em tri thức phương pháp việc dự đốn, hình thành phát triển lực dự đốn nói riêng, lực phát giải vấn đề học tập mơn Tốn nói chung Dưới ta vào số tốn cụ thể, mà cách mị mẫm, dự đốn HS tìm lời giải tốn Bài tốn Cho đường trịn (O; R) dây AB cố định khơng đường kính, điểm M di động cung nhỏ AB (O) Đường thẳng (a) qua trung điểm N đoạn thẳng AM vng góc với M B Chứng minh đường thẳng (a) qua điểm cố định Trong toán dạng chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chứa yếu tố cố định yếu tố di động, đường thẳng (a) thay đổi ta cần chứng minh qua điểm cố định I đó, thay đổi đường thẳng (a) thay đổi điểm M cung nhỏ AB (O) Để dự đốn điểm cố định mà đường thẳng (a) ln qua cần xét số vị trí đặc biệt điểm di động M cung nhỏ AB (O) Các vị trí đặc biệt điểm A, điểm B điểm cung nhỏ AB Khi cho điểm M tiến vị trí đặc biệt đó, cần phải xác định vị trí đường thẳng (a) Chỉ cần hai vị trí đường thẳng (a) tìm thấy điểm cố định I mà (a) qua, tức I điểm cắt đường thẳng (a) mà ta xác định Q trình dự đốn sau Trước hết, cho điểm M tiến dần trùng với điểm A đường thẳng M B dần trùng với đường thẳng AB, điểm N trùng với A, đường thẳng (a) vị trí đường thẳng (a1 ), qua A vng góc với AB, cắt đường trịn điểm thứ hai B ′ đối xứng với điểm B qua tâm O Tiếp theo, cho điểm M tiến trùng với điểm B đường thẳng M B tiến trùng với tiếp tuyến (d) (O) B, điểm N trung điểm dây AB, đường thẳng (a) có vị trí đường thẳng (a2 ) qua trung điểm dây AB vng góc với (d) hay song song với BB ′ Điểm cố định phải điểm mà (a1 ) (a2 ) qua Ta thấy (a1 ) cắt (a2 ) trung điểm I dây AB ′ Như ta có dự đốn I điểm cố định mà đường thẳng (a) qua Từ việc dự đoán điểm cố định I trung điểm đoạn thẳng AB ′ , nhiệm vụ HS trở nên dễ dàng hơn, em cần chứng minh đường thẳng (a) luôn qua điểm I Lời giải toán Lấy B ′ điểm đối xứng B qua O, hay BB ′ đường kính (O) Gọi I điểm AB ′ , I điểm cố định Ta có hai đường thẳng B ′ M (a) vng góc với BM , nên (a)//B ′ M Đường thẳng (a) qua trung điểm N AM , suy (a) qua trung điểm I AB ′ Vậy đường thẳng (a) qua điểm I cố định 91 Lê Văn Cường Bài tốn Cho nửa đường trịn đường kính AB, điểm M di động nửa đường trịn Lấy điểm N thuộc tia AM cho AN = BM Chứng minh điểm N thuộc đường trịn cố định M thay đổi Bài tốn này, HS cần chứng minh điểm N nằm đường trịn cố định Tuy nhiên tốn khơng rõ đường tròn nào, GV cần gợi ý, hướng dẫn HS dự đốn đường trịn Ở đây, việc thay đổi điểm N phụ thuộc vào thay đổi điểm M nửa đường trịn cho Vì ta vị trí điểm M để xác định vị trí điểm N Ta xét số vị trí đặc biệt điểm M nửa đường trịn đường kính AB, từ xác định vị trí điểm N Qua vị trí đó, dự đốn quỹ tích điểm N Cần chứng minh điểm N nằm đường tròn cố định nên ta phải tìm ba vị trí điểm N , với ba điểm khơng thẳng hàng có đường trịn qua ba điểm Việc dự đoán tiến hành sau Trước hết, cho điểm M tiến dần trùng với điểm A tia AM dần tia Ax vng góc với AB, thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn cho Điểm N tiến dần điểm A′ nằm tia Ax AA′ = AB Tiếp theo, cho điểm M tiến trùng với điểm B tia AM dần tia AB điểm N tiến dần điểm A Xét vị trí điểm M điểm C cung AB Điểm N thuộc tia AC N A = CB điểm N trùng với C Như ta có ba vị trí điểm N A, C A′ HS dễ dàng nhận thấy ba điểm nằm đường trịn đường kính AA′ Từ có dự đốn điểm N thuộc đường trịn đường kính AA′ cố định Việc chứng minh dự đốn khơng khó khăn HS lớp THCS Lời giải tốn Kẻ tia Ax vng góc với AB, thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn cho Lấy điểm A′ nằm tia Ax cho AA′ = AB Điểm A A′ cố định nên đường trịn đường kính AA′ cố định Theo giả thiết AN = BM mà góc A′ AN góc ABM phụ với góc BAM , AA′ = AB theo cách ta lấy A′ Do hai tam giác ABM A′ AN (c.g.c), suy hai góc tương ứng AM Bvà A′ N A Vì AM B = 900 nên A′ N A = 900 Vậy N thuộc đường trịn đường kính ′ AA cố định Bài tốn Cho hình vng ABCD cạnh a, đường thẳng d thay đổi qua A cắt BC 1 M cắt đường thẳng CD N Chứng minh d thay đổi + đại AM AN lượng không đổi 1 + khơng đổi đường Trong tốn HS cần chứng minh đại lượng AM AN thẳng d thay đổi, nhiên đại lượng hay phụ thuộc vào độ dài cạnh a hình 92 Bồi dưỡng lực dự đốn cho học sinh dạy học giải tốn hình học vng tốn khơng rõ GV cần gợi ý hướng dẫn HS dự đốn điều Ta nên chọn vị trí đường thẳng d cho việc tính tốn độ dài đoạn AM, AN đơn giản từ biết giá trị đại lượng khơng đổi cần chứng minh, lưu ý đường thẳng d phải cắt cạnh BC đường thẳng CD Ta thấy đường thẳng d qua điểm C điểm M N trùng C đoạn thẳng AM AN AC tính được, √ 1 1 + = + = Vậy ta dự đốn AM = AN = AC = a 2 AM AN 2a 2a a 1 đường thẳng d thay đổi thỏa mãn điều kiện tốn đại lượng + = không 2 AM AN a đổi (1) GV giúp HS tìm cách chứng minh đẳng thức (1) Đẳng thức gợi cho HS liên tưởng đến hệ thức tam giác vng, AM, AN hai cạnh góc vng a độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác Nhưng AM, AN nằm đường thẳng AD = a AD⊥DN ta cần tạo tam giác vng có cạnh góc vng AN , đường cao AD, cạnh góc vng cịn lại cạnh vng góc với AN Điều gợi ý cần dựng đường thẳng d′ vng góc với AN , đỉnh cịn lại tam giác giao điểm d′ với đường thẳng DN , gọi điểm M ′ Như ta cần chứng minh AM ′ = AM tốn hồn thành, điều có cách xét hai tam giác ABM ADM ′ Lời giải toán Qua điểm A dựng đường thẳng d′ vng góc với AN, d′ cắt đường thẳng DN M ′ Xét hai tam giác vng ABM ADM ′ có AB = AD = a, BAM = DAM ′ hai góc phụ với góc M AD Do hai tam giác theo dấu hiệu hai tam giác vuông Suy AM = AM ′ Xét tam giác vuông AM ′ N , vng A có đường cao AD = a Theo hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: 1 1 1 + = ⇒ + = AM ′2 AN AD AM AN a 1 Vậy + = đại lượng không đổi 2 AM AN a Bài tốn Trên mặt phẳng có n đường thẳng phân biệt (n ≥ 2), đôi không song song với Hỏi n đường thẳng chia mặt phẳng tạo phần vô hạn mà hai phần khơng có điểm chung (Phần vơ hạn phần mà chứa tia đó)? HS chưa biết n đường thẳng cho chia mặt phẳng tạo phần vơ hạn u cầu tốn Với dạng loại hướng dẫn HS nên xét số giá trị cụ thể n, từ dự đốn kết cần tìm, chứng minh quy nạp toán học chứng minh kết Lời giải tốn Ta xét với n = 2, rõ ràng số phần vô hạn 4; với n = số phần vơ hạn 6; với 93 Lê Văn Cường n = số phần vơ hạn n = số phần n = số phần n = số phần Sau xét ba trường hợp đặc biệt n dựa vào kết HS đề xuất dự đốn: phải số phần vơ hạn ln gấp đôi số đường thẳng xét? Ta thấy phần vô hạn tạo thành hai tia phân biệt có chung gốc tạo thành hai tia số hữu hạn đoạn thẳng Ta cịn thấy số phần vơ hạn số tia biên phần Cứ lần thêm đường thẳng lại có thêm hai tia biên phần vô hạn Như phương pháp chứng minh quy nạp với n đường thẳng đề nêu số phần vơ hạn cần tìm 2n Kết luận Việc rèn luyện phát triển lực dự đốn nói riêng, lực tư nói chung cho HS dạy học hình học trường THCS cần thiết, điều đáp ứng địi hỏi đổi giáo dục theo hướng phát triển phẩm chất lực học sinh Việc thực thơng qua hệ thống toán biện pháp sư phạm phù hợp GV lên lớp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Cảnh Toàn, 1992 Tập dượt cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] G.Pơlya, 2010 Tốn học suy luận có lí Nxb Giáo dục, Hà Nội ABSTRACT Enhancing student competency when teaching geometry in lower secondary school The article is about developing competence in students when teaching geometry in lower secondary school Using specific examples, teachers help students anticipation results and arrive at solutions By teaching students to explore, anticipate and discover while solving a problem, competency in problem solving and creative thinking is increased 94 .. .Bồi dưỡng lực dự đoán cho học sinh dạy học giải tốn hình học cho HS tiến hành lên lớp thông qua việc GV hướng dẫn HS giải loạt tốn hình học có dạng, từ trang bị cho em tri thức... vào độ dài cạnh a hình 92 Bồi dưỡng lực dự đốn cho học sinh dạy học giải tốn hình học vng tốn khơng rõ GV cần gợi ý hướng dẫn HS dự đốn điều Ta nên chọn vị trí đường thẳng d cho việc tính tốn... pháp việc dự đốn, hình thành phát triển lực dự đốn nói riêng, lực phát giải vấn đề học tập mơn Tốn nói chung Dưới ta vào số tốn cụ thể, mà cách mị mẫm, dự đốn HS tìm lời giải tốn Bài tốn Cho đường