Đang tải... (xem toàn văn)
Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 12 có hệ thống các bài toán đầy đủ của lớp 10, 11, 12, các bài toán căn bản và toán khó theo cấu trúc đề, theo từng nhóm bài toán để thí sinh tiếp cận, ôn tập hệ thống cách giải đồng thời nâng cao trình độ, mở rộng kiến thức và phương pháp giải toán, rèn luyện kĩ năng làm bài và giải đúng, giải gọn giải nhanh các bài toán trong kỳ thi Tuyển sinh Đại học sắp tới. Mời các bạn cùng thâm khảo.
Hướng dân giải nhanhf gọn BÀI TOÁN CHỌN LỌC luyện thi đại học >/ Các dạng toán & tốn khó theo chủ đề trọng tâm •/ Nâng cao, mở rộng kiến thức phưdng pháp giải đúng, giải gọn, giải nhanh toán thi kì thi tuyển sinh 0H-CO HịNìCh NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HQC QUOC GIA HÀ NỘI T h s L Í: iio A n ii p h ò N h g iá o ưu tú Hướng dân giải nhanh, gọn BÀI TỐN CHỌN LỌC LUYỆN THI DẠI HỌC •/ Các dạng tốn & tốn khó theo chủ để trọng tâm.' Nâng cao, mở rộng kiên thức phương pháp giải đúng, giải gọn, giải nhanh cấc tốn thi kì thi tuyển sinh ĐH-CĐ NHÀ XT BẢN ĐẬIÌỈ8C QUỐC GIA HÀ NỘI f":í' ^ NHÀ X'lP«BẲN ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI l l i^Hấng Chuôi - Hai Bà Trưng - Hà Nội ĐÍện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896; ' Hấnh chính: (04) 39711899; Tổng biên tạp; (04) 39714897 / Faỉ: (04) 39714899 I / Ị ^ *** / k C h ịu tr c h n h iệ m x u ấ t b ả n : Giám đốọí' Tổng biên tập TS PHẠM THỊ TRÂM Biên tập nội dung LAN HƯƠNG Sửa LÊ THỊ SEN Chế CƠNG TI AN PHA VN Trình bày bia SƠN KỲ Đối tác liên kết xuất CÔNG TI AN PHA VN A - _SÁ C H LÍÊN KẾT 5»5S i@ |S §gj^5S ^$kflì||^í^|S Ị|8^6Ị^Ị5S $5lifl|j|^^^S ^^% 5S 65S 555S ôằô$S ôai!|8^$đ 56^66566555ô HNG DN GII NHANH, GỌN 999 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LUYỆN THI ĐẠI HỌC MâsỐ:lL-165ĐH2014 In 2.000 cuốn, khổ 16 X 24 cm Cơng ti TNHH in Bao bì Hưng Phú Số xuất bản: 536-2014/CXB/ 53-109/ĐHQGHN Quyết định xuất số: 169LK-TN/Q Đ-^B ĐHQGHN Ụa xong nộp lưu chiểu quý II năm 2014 LỜI NĨI ĐẦU Nhằm mục đích giúp bạn học sinh lóp 12 có hệ thơng toán đầy đủ lớp 10, lớp 11, lớp 12; tốn tốn khó theo câ'u trúc đề, theo nhóm tốn để thí sinh tiếp cận, ôn tập hệ thông cách giải thời nâng cao trình độ; mở rộng kiến thức phương pháp giải Toán, rèn luyện kỹ làm giải đúng, giải gọn, giải nhanh toán thi kỳ tuyển sinh Đại học đến, chúrlg biên soạn cuô'n HƯỚNG DẪN GIẢI NHANH, GỌN 999 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LUYỆN THI ĐẠI HỌC Cuổh sách có phần: Phần TỐN GIẢI TÍCH với nội dung khảo sát hàm sơ', tích phân, chứng minh bâ't đẳng thức tìm giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhâ't Phần TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC với nội dung giải phương trìrứi lương giác, tọa độ phẳng, tọa độ khơng gian hình học khơng gian Phần TỐN ĐẠI số với nội dung sô' phức, tổ hợp xác suâ't, giải phương trình, bâ't phương trình, hệ phương trình đại sơ' mũ, logarit Phần CÁC ĐỀ ÔN THI TổNG HỢP theo cấu trúc thi gổm 15 đề có đề kèm hướng dẫn giải hoàn chỉnh đề tự giải có đáp sơ' để kiểm tra kết Các bạn thử thách với 820 toán theo chủ đề 179 toán đề tổng hợp! Dù cơ' gắng kiểm tra q trình biên tập song khơng tránh khỏi sai sót mà tác giả chưa thây hết, râ't mong đón nhận góp ý quý bạn đọc, em học sinh để lần in sau cuốh sách hoàn thiện Mọi ý kiên đóng góp xin liên hệ: - Trung tâm sách giáo dục Alpha 225C Nguyễn Tri Phương, p 9, Q 5, Tp Hổ Chí Minh - Cơng TNHH An Pha VN 50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, Tp Hồ Chí Minh ĐT: 08.62676463 38547464 Email: Alphabookcenter@yahoo.com Xin trân trọng cảm ơn ! Tác giả MỤC LỤC PHÀN 1: TỐN GIẢI TÍCH §1 KHẢO SÁT HÀM SĨ VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN 05 §2 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 41 §3 CHỨNG MINH BÁT ĐẲNG THỨC 70 §4 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHÁT VÀ NHỎ N H Á T 102 PHẦN 2: TỐN LƯỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC § PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 139 §2 TỌA Đ ộ PHẲNG 166 §3 TỌA Đ ộ KHƠNG GIAN 200 §4 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 234 PHÀN 3: TỐN ĐẠI SĨ §1 SĨ PHỨC .265 §2 TỔ HỢP VÀ XÁC SUÁT 289 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI s ố 314 §4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT .347 PHÀN 4: CÁC ĐÈ ÔN THI TỐNG HỢP 374 -999BT- PHÀN 1: TỐN GIÀI TÍCH §1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài 1.1: Tìm giá trị tham số a để hàm số y = f(x) = ax^ - 3x" + 3x + đồng biến R Hướng dẫn giải Tập xác định D = R f'(x) = 3ax" - 6x + Xét a = f ’(x) = - 6x + có đổi dấu: loại Xét a 0, f khơng phải hàm (y' = tối đa điểm) nên điều kiện hàm số đồng biến R f'(x) > 0, Vx [ a >0 í a >0 í a >0 < l ' [a ' l Vậy a > Bài 1.2: Tìm m để hàm số y = X+ m đồng biến khoảng xác định: Hướng dẫn giải D = R \{-m } ^ , Ta có: y = (x + m ) ( m - l ) - [ ( m - l ) x - m ^ + ml 4m ^-2m (x + m)^ (x + m)^ i - = - — Hàm số đồng biến mồi khoảng xác định 2 4m —2m > m < m > ^ Vậy m < m > — Bài 1.3: Tìm a để hàm số:y = f(x) = x^ - ax^ + X + nghịch biến khoảng ( 1; 2) Hưóng dẫn giải Tập xác định D = R f'(x) = 3x^-2ax + Hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) y' < với X e (1; 2) íf(l) < Í4 -2 a < 13 [f(2 )< 13 Vậy a > — -999BT- [ l3 - a < Bài 1.4: Tìm m để hàm số y = + 3x‘ + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài Hướng dẫn giải D = R, y' = 3x^ + 6x + m, A' = - 3m Xét A' < y' > 0, Vx: Hàm ln đồng biến (loại) Xét A' > m < y' = có nghiệm X|, X2 nên rn X| + X2 = -2, X1X2 = — BBT: — 00 +00 X? - + Theo đề bài: X2 - Xi = (X2 - X|)^ = Cí> x^ +X2 - 2X|X2 =9 15 (X2 + Xi) - xi X2 = 9 - —m = 9 m = - — (thoả) Vậy m = - — Bài 1.5: Cho đồ thị hàm số: y = (3a^ - l)x^ - (b^ + l)x^ + 3c^x + 4d có hai điểm cực trị (1; -7 ), (2; - 8) Tính tổng M = a^ + b^+ c'*+ d^ Hướng dẫn giải Đặt A = 3a^ - 1, B = -(b^ + 1), c = 3c^, D - 4d, hàm số cho y = Ax^ + Bx^ + Cx + D có: y' = 3Ax“ + 2Bx + c 3A + 2B + C = A=2 y'(i) = o y'(2) , =0 12A + 4B + C ^ = B = -9 Ta có; t0 a = 2x^ - 3x^, X ^ -999BT- Bằng cách xét hàm số g(x) = 2x^ - 3x^, X lập BBT điều kiện hàm số cho có cực trị g(x) = có nghiệm phân biệt khác -1 < a < Từ tọa độ điểm cực trị suy điểm cực trị nằm (P): y = 3x^ - 6x + cố định Bài 1.7: Cho (Cm): y = x^ + (m - 1)x^ - (m + 3)x - Chứng minh với m, hàm số có cực đại, cực tiểu Viết phưoTig trình đường thang qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị Hướng dẫn giải Ta có y' = 3x“ + 2(m - l)x - (m + 3) ( 39 Vì A'= (m-1)^ + 3(m + 3) = m^ + m + 10= m + — + — >0 I 2j Nên PT ln có nghiệm phân biệt suy với m hàm số có cực đại, cực tiểu Thực phép chia ỵ cho y' ta có: y = x^ + ( m - l ) x - t (m m + 3)x t Y I / ( X m -1 ^ 2(m -l)^ 2(m + 3) m + 2m - 12 +' + X+ • =y u j \ Do XCĐ XCT nghiệm phương trình y' = nên ta có: 2(m - 1)^ 2(m + 3) + 2m - 12 ycĐ ■ 2(m -l)^ 2(m + 3)ì 3) m ^+ 2m -12 - -9 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu m ^+ 2m 12 y =_ —2(m - 1)^ 2(m i x++3)^ ^ ^ 9 ycT = J - ^ J , í x" , i X X Bài 1.8: Cho hàm sô y = — 3x - — Chứng minh hàm sơ có ba điêm x cực trị phân biệt A, B, c tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải x^ -3x^ +1 Ta có; y' = X - + ,X y' = » x ^ - x ^ + I = Đặt f(x) = x^ - 3x‘ + thl f(-l) = -3, f(0)= 1, f(l) = - l,f (3 ) = nên theo tính chât hàm liên tục, phương trình y' = có nghiệm Xa, xb , xc thỏa mãn điêu kiện -1 < Xa < < xb < < xc < Từ suy đpcm Ta có: Xa + xb + Xc = 3,XaXb + xbXc + XcXa = xaXbXc = 27 Từ tính diện tích tam giác ABC s = — -999BT- Bài 1.9: Cho hàm số: y = —3mx^ + (m^ —m) X + Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng X = Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x^ - 6mx + m^ - m (1) Hàm số có CĐ, CT y’ = có hai nghiệm X|, X2 phân biệt [m > A’ = 9m^ - 3(m^ - m) > 2m^ + m > p m < Khi CĐ, CT nằm hai phía đường thẳng X = Xi < < X2 Xi - < < X2 - (Xi -1) (x - 1) < X1X2 - (xi + X2 ) + < «í> 2m + < _ + n/ 37 , m -7m + < C:> -— < m < -— (chọn) 2 Bài 1.10: Cho hàm số: y = x^ - 6x^ + 3mx - m + 2, với m tham số thực Tìm m cho đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách chúng Hướng dẫn giải Ta có y' = 3x^ - 12x + 3m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu chi phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt A' = 36 - 9m > m < Gọi điểm cực trị A(xi; yi) B(X2; y2), theo định lí Viet |x , + X =4 [X|X2 = m Ta có yi= (2m - 8)xi + m + 2, y2 = (2m - 8)X2 + m + AB = -X 2)^ +(2m-8)^(x2 -x^)^ = yj(l + ( m - ) ^ [ ( X ; + X ^ - Xj X2] = V(4m^ - m + ) ( - m ) nên AB = o (4m^ - 32m + 65)(16 - 4m) = 1040 » 4m^ - 48m^ +193m = m(4m^ - 48m + 193) = m = (thỏa mãn) Vậy m = Bài 1.11: Cho hàm số y = ^ —- p X +1 0, p^ + q‘ = Tìm tất giá trị p, q cho khoảng cách hai điểm cực trị AB = s/ĩõ -999BT- Hưóìig dẫn giải (2x + p)(x^+l)-2x(x'*+px + q) -px^ - 2(q - l)x + p Điều kiện để đồ thị có hai điểm cực trị X|, X2 phưcmg trình sau có hai nghiệm phân biệt: px^ + 2(q - l)x = A' > 0, p Cí> (q - 1)^ + p^ > 0: p Khi X, +X2 = ,Xj.X2 = - l nên AB^ = (x,- X 2)^ + 2xj 2X2 Do AB = 10 =((q-l)^+ l-q^)(l + —^ ) ^ ’ 1-q q^ + 4q^ - 5q = q(q^ + 4q - 5) = Chọn nghiệm q = nên p = ± Vậy p = ± 1, q = Bài 1.12: Cho hàm số: y = —x'’ - (3m + l)x^ + (m + l), với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị lập thành tam giác có trọng tâm gơc tọa độ Hướng dẫn giải Ta có y’ = x ^ -2 (3 m + l)x = x[x - (3 m + 1)] y’ = X = x^ = 2(3m + 1) Hàm sổ cho có điểm cực trị 3m + > Ot Cí> m > - — Khi điểm cực trị đồ thị là: A(0; 2m + 2), B(-V6m + ; -9m^ - 4m + 1) C( Vom + ; -9m^ -4 m + 1) Vì hàm số chằn nên tam giác ABC cân A thuộc trục Oy, B, c đổi xứng qua Oy o trọng tâm tam giác ABC » yA + ya + yc = 2m + + 2(-9m^ - 4m + 1) = m =- — /3a, BD = 2a cắt o, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ o , , , , đến măt phăng (SAB) băng —^ Tính thê tích khơi chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABO vng o AO = aVs ; BO = a, ABD = => AABD Do (SAC); (SBD) (ABCD) nên giao tuyến s o (ABCD) Gọi H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH J_ AB DH = aVs OK//DH OK = -D H = ^ 2 => OK AB => AB (SOK) Gọi I hình chiếu o lên SK => OI (SAB) => OI = ^ Tam giác SOK vuông o, OI đưòng cao ^^ = - ^ + - i ^ S O = 01^ OK^ SO^ “ 2VSaS a b c d = S a a b o = 2.0A.0B Vậy thể tích khối chóp Vs.ABCD = —S^BCD-SO = Bài 4.28: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a Trên canh AB lấy điểm M cho AM = ^ , canh AC cắt MD H Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a, tính thể tích khối chóp S.HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a Hướng dẫn giải Hai tam giác vuông AMD DAC có AM AD AD “ DC “ _ nên đồng dạng => ADH = DCH Mà ÃDÌÌ = HDC - 90° ^ ÍÕHC = 90° AADC vuông D: AC^ = AD^ + DC^ => AC = a-s/õ AADC có DH.AC - DA.DC -999BT- DH = DC.DA = 2a>/5 AC ADHC vuông H: HC = Vd C^-DH"' = ^ v5 _ „ 1_ _ 4a^ Do diện tích; Shcd= -DH.HC = — „ ’ ' _ 4a^ Thể tích khối chóp: Vs HCD = —SH.Shcd = • 15 H H E l S D ^ SH X (ABCD) SH1 AC, DH J AC AC1 (SHD) => AC1 HE nên d(SD, AC) = HE 2a ASHD vuông H, nên: — ^ + —4HE = HE^" SH' HD 9a Vậy d(SD; AC) = — Bài 4.29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2^/2a Hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 45° Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thăng AC SD theo a Hướng dẫn giải Gọi H trọng tâm tam giác BCD zẠ Theo giả thiết SH (ABCD) Gọi o = AC n BD s =>CD= - C O = -A C = a 3 => AH = AC - HC = 2a SA tạo với đáy góc 45° suy SAH = 45° => SH = AH = 2a Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD v = - S abcd SH= ia x /^ a = — a® A 3 Gọi M \à trung điểm SB.Mặt phằng (ACM) chửa AC //SD Do d(SD; AC) = d(SD, (ACM)) = d(D, (ACM)) Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2ayj2 ; 0); ' 'rr ' \ / l / Ì r N ĩ^ ± Ệ ^ a \,C ia ; a y Í - ) , ’ \ ' / Ãc = (a ;2 V ^ ;0 ), ÃM = |; ỉ |i ; a j = ^ [ Ã C ; Ã M ] 252 -999B T- ... + 1) Bài 2.9: Tính tích phân: I = f -J x'* - 2x'= +1 _!*_ Hướng dẫn giải 11 1 Ta có: x^ - 2x^ +1 ~ (x + l f (x - 1) ^ ” x - 1 í 1 (x -1) ^ ^ (x + l f (x - l)(x +1) _J. _Ị _ (x + 1) ^ x + x - 1. .. trục x +1 x -1 , X -1 Xét điểm A(0; 1) e (C) d = nên d < 1, d = 1x + x +1 x -1 < nên < X < 1, đó: xét điểm có: 1XI < 1, x +1 X— d=x + ^ = x -l + ^ X+ =-2 + ( x + l) + - ^ > - + V2 X +1 X +1 Dấu... 1) ^ x + x - 1 + ? ?1? ?? + 1In x + x - x +1 x -1 Từ I = x +1 1 (x -1) ^ y/sn 18 ^ dt - ^ t ~ 1/ 2 In3 dx Bài 2 .10 : Tìm nguyên hàm: j —ị: ^ v:x^ +9 Hướng dẫn giải Đặt t = X+ Vx^ + => 1+ dt = ^ +9 J Thì