Chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I-MỤC TIÊU: HS:-Nắm vũng phép biến đổi đông phân thức đại số -rút gọn phân thức -cộng trừ nhân chia phân thức -Rèn luyện kỷ chứng minh tính giá trị biểu thức nhanh hợp lý theo toán II-THỜI LƯNG:7t lý thuyết,ôn luyện &1tKT Tiết 1,2,3 Phần I: ĐỊNH NGHĨA ,TÍNH CHẤT CƠ BẢN ,RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: Ví dụ 1:Cho phân thức a b c a b c ab ac ca M= a b c ab bc ca Hãy rút gọn phân thức M HD:Chú ý ;(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) Do ta đặt a2+b2+c2 =x;ab+ac+bc = y x( x y ) y 2 x y Khi ;(a+b+c) = x + 2y.Ta coù M = x 2y y a2+b2+c2+ab+ac+bc (ĐK:a2+b2+c2 0 ) Ví dụ 2: n 2n Chứng minh với số nguyên n phân số n 3n phân số tối giản HD:Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử mẫu có ước chung lớn Gọi d Ước chung n3+2n n4+3n2+1.Ta có n3+2n d n(n 2n) d => n 2n d (1) n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1 d (n 1) n 2n 1d (2) Từ (1) (2)=>(n4+3n2+1)- (n4+2n2) d 1d d 1 Ví dụ 3: Chứng minh : 1+x+x2+x3+…+x31= (1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) (1+x16) (1) HD:Gọi vế trái A vế phải B Ta có (1-x).A = 1-x32=> (1-x).B = (1-x).(1+x)(1+x2)…(1+x16)=1-x32 x 32 Nếu x 1 A B viết dạng phân thức 1 x ,do A = B Nếu x = 1thì hai vế (1) 32,do A= B Trong hai trường hợp ,đẳng thức (1)đều Luyện tập: Bài 1:Cho a>b>0 thỏa mãn 3a2+3b2 = 10ab Tính giá trị a b biểu thức P = a b 1 HD:Tính P2 =…= mà P>0 =>P = (Vì a>b>0) Baøi 2:Cho x>y>0 vaø 2x2+2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E xy = x y HD:Như Bài 3:Cho a,b,c đôi khác nhau,thõa mãn ab+ac+bc =1.Tính giá trị biểu thức: (a b) (b c) (c a ) a 2bc b 2ca c 2ba a) A = ;b) B = (1 a ) b c a b b c c a HD:a)Ta coù 1+a2= ab+ac +bc +a2=…=(a+b)(a+c) Tương tự 1+b2=…=(b+a)(c+b);1+c2 = =(c+a)(c+b) 2 a b a c (b c) 1 Thay vào biểu thức A= a b (a c)(b a)(b c)(a c)(b c) b)Ta coù a2+2bc-1 = a2+2bc-ba-ca-bc = …=(a-b)(a-c) Tương tự : b2+2ca-1=…= (b-a)(b-c) ;c2+2ab-1= (c-a)(c-b) a b b c c a Thay vào rút gọn ta có B =….= -1 a b b c c a Bài 3:Rút gọn phân thức a (b c ) b (c a ) c (a b) x y z xyz a) A ; b ) B ab ac b bc ( x y ) ( y z ) ( z x) c)C x x 12 x 45 ; x 19 x 33x d) D x y z xyz ( x y ) ( y z ) ( z x) HD: (a b)(b c)( a c) a c (a b)(b c)(b c ) b c D (x y z) A ; B ( x y z) Bài 4:Chứng minh phân số ;C ( x 3) (2 x 5) x ( x 3) (3 x 1) 3x 2n Tối giản với n 2n số tự nhiên HD:Gọi d UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 d 2n2-1 d => n(2n+1)(2n2-1) d => n +1 d =>2n +2 d => (2n +2) – (2n +1)d => 1d => d =1 n5 n 1 Bài 5:Chứng minh phân số : không giản với n n 1 n số nguyên dương HD:Tử mẫu có chứa nhân tử chung n2+n+1>1 x2 y2 z2 Bài 6:Rút gọn biểu thức:A = Cho biết ( y z ) ( z x) ( x y ) :x+y+z = HD:(x+y+z) = => (x+y+z)2 = =>x2+y2+z2 = -2xy-2xz-2yz Thay vaøo mẫu thức ta có A = (14 4)(5 4)(9 4) (214 4) Baøi 7:Rút gọn biểu thức P = (3 4)(7 4)(11 4) (23 4) HD:n4+4 =(n2+2)2-4n2= (n2+2+2n)(n2+2-2n)=[n(n+2)+2][n(n-2)+2] Do P = …= 577 PHẦN II CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: Tieát 4,5,6,7 1 Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức :A = 1 x 1 x 1 x 1 x x8 Giải:Do đặc điểm toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng tùng phân thức 2 4 16 A= 2 4 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x16 2n Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B = 2 (1.2) (2.3) ( ) n(n 1) Giải:Đương nhiên ta QĐMT mà ta tìm cách tách phân thức thành hiệu hai phân thức dùng phương pháp khử liên tiếp n(n 2) 2n (n 1) n 1 Ta coù : 2 2 => B = …=1(n 1) ( n 1) n (n 1) n (n 1) n(n 1) Ví dụ 3:Cho A = 1 1 1 ( ); B ( ); C ( 2) ( x y) x y ( x y) x y x y x y Thực phép tính A+B+C ( y x )( y x ) Giải:Rút gọn biểu thức A = …= 4 ;Tính B+C =…= x y ( x y) 2( y x ) ( x y) x y y x Tính A+B+C = …= 4 x y Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trị biểu thức 2005a b c P= ab 2005a 2005 bc b 2005 ac c Giaûi:Ta QĐMT Thay 2005 =abc abc.a b c 1 =>P = ab abc.a abc bc b abc ac c Luyện tập Bài 1:Rút gọn biểu thức: 1 a) A ; a (a b)(a c ) b(b a )(b c) 1 b) B a (a b)(a c) b(b a )(b c ) c (c a)(c b) c a b 1 ; b) B A HD:A = ab(a b)(a c )(b c) c(c a )(c b) abc Bài 2:Rút gọn biểu thức A = 2 (a b) (b c) (c a) a b b c c a (a b)(b c )(c a ) HD:Đặt a-b =x;b-c =y ; c-a = z =>x+y+z = Ta coù A = 2 x2 y2 z2 0 x y z xyz a b c bc a a c b 0 Chúng minh ba Bài 3:Cho ab bc ac phân thức vế trái có phân thức HD:Biến đổi vế trái ta phân thức có tử thức (a+bc)(a-b-c) = =>a-b+c =0 a+c-b = Bài 4:Cho a,b,c số nguyên đôi khác Chứng minh biểu thức: a3 b3 c3 A= Có giá trị nguyên (a b)( a c) (b a )(b c ) (c a )(c b) a (b c) b (c a ) c (a b) a b c (Phân tích tử thành HD:A = (a b)( a c)(b c) nhân tử) Bài 5:Rút gọn biểu thức ; 12 32 52 2n 1 a) A 1 1 1 1 ; b) B 2n n 33 n 33 n 1.3 2.4 3.5 (n 1)(n 1) 1.2.3.4 ( n 1) 3.4.5 ( n 1) n n HD:A= 2.3.4 n 2.3.4 n n 2n n2 B= ; 2n (2 1)(2 2.1 12 ) (n 1)(n n 1) (2 1)(2 2.1 12 ) (n 1)(n n 1) c)C 1.2.3 (n 1) (2 1)(3 1) (n n 1) 3.4.5 (n 1) (2 1)(3 1) (n n 1) 1.2 7.13.21 (n n 1)(n n 1) 1.2 n n 2(n n 1) n( n 1) n(n 1) 3n(n 1) 3.7.13 (n n 1) Bài 6:Rút gọn biểu thức: 1 1 1 1 a) A ; b) B 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 1 1 c )C 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( n 1)n(n 1) HD: 1 a) (n 1)n n n b) 1 1 1 1 n 1 B Kếtquả (3n 2)(3n 5) 3n 3n 3 3n 2(3n 5) 1 1 (n- 1)(n 2) Kếtquả : (n 1)n(n 1) (n 1)n n(n 1) 4n(n 1) Baøi 7: m n HD:m=1;n=-1 a)Tìm số m,n để : x( x 1) x x b)Ruùt gọn biểu thức:M= 1 1 2 a 5a a a 12 a 9a 20 a 11a 30 1 HD:Tách phân thức: Tương tự (a 2)(a 3) a a 1 1 Bài 8:Cho x+y+z=a Hãy chứng minh:tồn x y z a ba số có số a 1 1 HD:theo toán ta có : … (x+y)(x+z) x y z x yz (y+z) = Baøi 9:Cho a+b+c =0 (a 0; b 0; c 0) Rút gọn biểu thức : a2 b2 c2 A= a b2 c2 b2 c2 a c2 a2 b2 HD:Ta coù a+b+c = =>a3+b3+c3=3abc a3+b3+c3-3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-ac-bc) Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a2-b2-c2=2bc.Tương tự cho trường hợp cò lại b2-c2-a2=2ac; c2-a2-b2 = 2ab a2 b2 c2 a3 b3 c3 Thay vào biểu thức:A = 2bc 2ac 2ab 2abc 1 ab bc ca trịbiểu thức :P Bài 10:Cho 0Tínhgiá a b c c a b 3 HD:Vận dụng công thức x+y+z = => x +y +z = 3xyz AÙp duïng 1 ab bc ca abc abc abc Dó P 3 giaûi : abc a b c c a b c b a Bài 11:Cho a3+b3+c3=3abc.Tính giá trị biểu thức A= c a b b c a HD:Từ a3+b3+c3=3abc (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 … a b c 0 2 a b c ab ac cb 0 c) Neáu a+b+c =0 A = …= -1 Nếu a2+b2+c2-ab-ac-bc =0 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = a=b=c Khi A = Baøi 12:Cho a+b+c = a b a b b c c a c Tính giá trị biểu thức :A = a b a b b c c a c a b b c c a ,ta có HD:Gọi M = a b c c c b c c a c b bc ac a M 1 1 a b a b a b a b ab c (a b)(c a b) 2c 2c 1 1 a b ab ab abc Tương tự cho trường hợp lại: c a b 2(a b c ) A = M M M 3 9 (Vì a3+b3+c3=3abc) a b b c c a abc a b c Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0, 0 Chứng minh x y z 2 ax +by +cz =0 HD:Từ x+y+z =0 => x2 = (y+z)2 Tương tự cho trường hợp lại Do ax2+by2+cz2=a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 =a(y2+2yz+z2)+b(x2+2xz+z2)+c(x2+2xy+y2)= Khai triển ta có =x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1) Thay b+c =-a; a+b =-c; a+c = -b ayz+bxz+cxy = 0( a b c 0 )vào (1)Ta có ax2+by2+cz2=-ax2-by2-cz2=>…=> x y z ax2+by2+cz2=0 Baøi 14:Cho a b c a b c 0Chúng minhrằng : 0 2 b c c a a b (b c) (a c) ( a b) 1 a b c a b c b ba ca c 0 => b c c a a b b c a c b a (a c)(b a ) a b ba ca c Nhân hai vế cho (1) b c (b c ) (a b)(b c)(c a ) Tương tự cho trường hợp lại: b c bc ba a c a ca cb b ; ( ) (3) (a c) (b c )(c a )(a c) (a b) (c a)(a b)(b c ) a b c 0 Cộng (1),(2)và (3)Ta coù 2 (b c) (a c) ( a b) HD:Từ a b c a2 b2 c2 1; Chứng minh 0 b c c a a b b c c a a b a b c 1 Cho a+b+c ta có : HD:Nhân hai vế b c c a a b Baøi 15: a a (b c ) b b(c a ) c c (b a ) a b c bc ca a b a2 b2 c2 a b c a b c bc ca a b =>Điều phải chứng minh ********************************************