Gợi ý : áp dụng phương pháp phản chứng, dựa vào phân số tối giản => vô lí.. là số vô tỉ.[r]
(1)Chủ đề nâng cao:
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT ĐẲNG THỨC CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Tiết 1: Ngày: 02/ 10/ 2009
I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT: A- Phép tính lũy thừa:
1/ an = a.a.a…a ( n thừa số a, n N* ) Quy ước: a1 = a.
2/ am an = am + n.
3/ am : an = am – n ( a ) Điều kiện để am ⋮ an m n.
4/ (am)n = am.n.
5/ (a b)n = an bn.
6/ (a : b)n = an : bn ( b )
7/ am > an ⇔ m > n ( a > )
8/ am > an ⇔ m < n ( < a < )
9/ am = an ⇔ m = n ( a > a 1 )
10/ am = bm ⇔ a = b ( với a,b không âm )
B- Các đẳng thức đáng nhớ: 1/ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.
2/ a2 – b2 = (a – b).(a + b).
3/ (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3.
4/ a3 ± b3 = (a ± b).(a2 ∓ ab + b2).
5/ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
7/ (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3.(a + b).(b + c).(c + a).
8/ a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca).
9/ (a + b)n = an + n
1 ! an – 1.b +
n.(n− 1)
2 ! a
n – 2.b2 + …+ n.(n− 1)
2 ! a
n.bn – + n
1 ! a.bn – + bn.
10/ (a ± b)n ⋮ (a ± b) với a, b nguyên n lẻ.
11/ (a – b)n ⋮ (a – b) với a, b nguyên số tự nhiên n.
C.Tính chất phân thức: 1/ AB=A M
B M với M 2/ A B=
A : M
B: M với M A ⋮ M; B ⋮ M
D.Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
*Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm số hạng, tách hạng tử thành nhiềm hạng tử, thêm bớt hạng tử, tìm giá trị riêng, …
E.Các phép biến đổi thức bậc hai:
1/ √AB=√A √B ( A, B không âm ); 2/
√
AB= √A
(2)3/
¿ A ; A ≥ 0 − A ; A<0 ¿
√
A2=|A|={¿
; 4/ √A có nghĩa A không âm
5/
√
A2 B=|A|.√B ( B ≥ 0 ); 6/¿
A√B=
√
A2B ; A ≥ ;B ≥ 0 A√B=−√
A2B ; A<0 ; B ≥ 0¿{
¿
; 7/
√
A B=√AB
|B| ; A B ≥ 0; B ≠ 0 ;
8/ A
√B= A√B
B ; B>0 ; 9/ A √B ±√C=
A (√B∓√C)
B− C ;B ≥ ;C ≥ ;B ≠ C Tiết 2: Ngày: 02/ 10/ 2008
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dang 1:Phân tích thành nhân tử : 1/ a10 + a5 + 1
Gợi ý: thêm bớt a2 + a, kết a10 + a5 + = (a2 + a + 1).(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1)
2/ a16 + a8b8 + b16
Gợi ý : tách hạng tử a8b8 = 2a8b8 – a8b8, kết :
a16 + a8b8 + b16 = (a8 – a4b4 + b8).(a4 – a2b2 + b2).(a2 – ab + b2).(a2 + ab + b2).
3/ (a + 1).(a + 3).(a + 5).(a + 7) + 15
Gợi ý : Viết lại sau (a + 1).(a + 3).(a + 5).(a + 7) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + 15) + 15
Đặt a2 + 8a + 11 = t , biến đổi tiếp.
4/ (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
Gợi ý : Áp dụng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab.(a + b)
5/ 2a2 + 2b2 – 5ab
Gợi ý : tách -5ab = -4ab – ab 6/ 3a2 + 3b2 – 10ab
Gợi ý : tách -10ab = -9ab – ab 7/ 2 a+7√a+6
Gợi ý : tách 7√a=4√a+3√a
8/ a√a+6 a+11√a+6
Gợi ý : tách 6a = 3a + 3a 11√a=9√a+2√a
9/ 7+2√2+√3+3√6
Gợi ý : tách = + 3√6=√6=2√6 10/
√
a4+5√
a3+2√
a2+10√aGợi ý : đư thừa số ngồi dấu nhóm hợp lí 11/ a√a+a+4
Gợi ý : tách = – nhóm hợp lí 12/ a2+6 a
√a+7 a −6√a+1
Gợi ý : đặt ẩn phụ b=√a⇒b2
(3)Tiết 3,4: Ngày: 09/ 10/ 2009
Dạng 2:Chứng minh số hữu tỉ, số vô tỉ:
1/ Cho a, b, c số hữu tỉ khác a = b + c.Chứng minh:
√
a2+
b2+
c2 số hữu tỉ Gợi ý :
(
1a−1b−
1
c
)
2
=¿ ……
2/ Cho a, b số hữu tỉ dương a3 + b3 = 2a2b2.Chứng minh:
√
1−ab số hữu tỉ Gợi ý : bình phương hai vế a3 + b3 = 2a2b2 rồi suy (a3 – b3)2 = ………
3/Cho a, b, c số hữu tỉ khác đôi một.Chứng minh:
√
(a − b)2+1 (b − c )2+
1
(c − a)2∈ Q Gợi ý : Tương tự
4/ Cho a, b, c số hữu tỉ ab + bc + ca = 1.Chứng minh:
√
(1+a2).(1+b2).(1+c2)∈QGợi ý : + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b).(a + c) ………
5/ Chứng minh:
√
999 9⏟
nCS4 000 0
⏟
nCS0
9 số tự nhiên.
Gợi ý : Đặt k = 111 1
⏟
nCS biến đổi số dấu theo k để số phương 6/ Chứng minh a số tự nhiên khơng phương √a số vô tỉ Gợi ý : áp dụng phương pháp phản chứng, dựa vào phân số tối giản => vô lí 7/ Chứng minh số: √2+√3 ;1+√2+√3;
√
1+√2 ; . số vô tỉGợi ý : áp dụng phương pháp phản chứng kết tập 8/ a) Hãy số thực x mà x x
1
số nguyên ( với x ± ) b) Chứng minh x ± x x
1
số nguyên x x+
x số vô tỉ.
Gợi ý : a) cho x −1
x = từ suy giá trị thực x
b) áp dụng phương pháp phản chứng
9/ Gỉa sử a + b; a2; b2 số hữu tỉ khác 0, số a b số vơ tỉ hay không?
Gợi ý : không thể, lấy phản ví dụ 10/ Chứng minh rằng: 2(√n+1−√n)<
√n<2(√n−√n− 1) với n N *.
Từ suy tổng: S=1+ √2+
1
√3+ +
(4)Gợi ý : chứng minh rằng: 18 < S < 19
Tiết 5,6: - KIỂM TRA 30 PHÚT - Ngày: 02/ 10/ 2009
Dạng 3:Chứng minh đẳng thức:
1/ Chứng minh rằng:
√
4+√7 −√
4 −√7 −√2=0Gợi ý : Đặt M=
√
4 +√7−√
4 −√7 tính M=√2 2/ Chứng minh rằng:√
√7 −√3 −√
√7+√3√
√7 −√4 +√2=0 Gợi ý : Đặt M=√
√7 −√3 −√
√7+√3√
√7 −√4 => M=−√23/ Chứng minh rằng:
√
√5 −√
3 −√
29− 12√5=(√10−√2).(3+√5).√
3 −√5 Gợi ý : chứng minh giá trị vế4/ Chứng minh rằng:
√
1+√
1− x.
[√
(1+ x )3−√
(1− x )3]
2+
√
1− x2 =x √2 ; với −1 ≤ x ≤1 Gợi ý :√
1+√
1 − x2=√
1+|x|2 +
√
1 −|x|2 phân tích thừa số cịn lại thành tích 5/Chứng minh:
(
√x −√x −1−
x −3 √x −1 −√2
)
.(
2
√2 −√x−
√x +√2
√2 x − x
)
=√2−√x
√x ; với ( x ≥ 1; x ≠2 ; x ≠ 3
)
Gợi ý : trục mẫu biến đổi theo thứ tự phép tính 6/ Chứng minh:
(
√x +√y1−√xy+
√x −√y
1+√xy
)
:(
1+x + y +2 xy
1 − xy
)
= 2√xx +1 ; với x ≥ ; y ≥ ; xy ≠ 1
Gợi ý : biến đổi theo thứ tự phép tính
7/Cho biết x, y, z > x.y.z = 4.Chứng minh: √x
√xy+√x +2+
√y √yz +√y+1+
2√z
√zx+2√z +2=1
Gợi ý : nhân tử mẫu hạng tử thứ hai với √x thay số mẫu hạng tử thứ ba √xyz
8/ Chứng minh rằng: a)
√
17√5+38 −√
317√5 −38=4 ; b)√
35+2√13+√
35 −2√13=1 ; c)√
√5+2−√
3√5 −2=1 ; d)√
3 7+5√2+√
37 −5√2=2 Gợi ý : áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).9/ Cho ax3 = by3 = cz3 x+
1
y+
1
z=1 Chứng minh rằng:
3
√
ax2+by2+cz2=√3a+√3b+√3 cGợi ý : đặt ax3 = by3 = cz3 = k từ suy
10/ Cho a=− 1+√2
2 ;b=
−1 −√2
2 Chứng minh rằng: a
+b7=−239 64 Gợi ý : tính tổng a + b tích a.b dùng đẳng thức
ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ - THỜI GIAN: ( 30 PHÚT ) 1/ Phân tích thành tích: ( điểm )
(5)b) a2+6 a√a+7 a −6√a+1
2/ Chứng minh số sau số vô tỉ: ( điểm )
¿
a 2+2√3¿b¿1+√2+√3¿
3/ Chứng minh đẳng thức: (4 điểm)
(
√x +√y1−√xy+
√x −√y
1+√xy
)
:(
1+x + y +2 xy
1 − xy
)
= 2√xx +1 ; với x ≥ ; y ≥ ; xy ≠ 1 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
1/ Phân tích thành tích: ( điểm )
a) ( 1,5 điểm )
2a2 + 2b2 – 5ab = 2a2 – 4ab + 2b2 – ab = 2a(a – 2b) – b(a – 2b) = ( 2a – b)(a – 2b)
b) ( 1,5 điểm )
2/ Chứng minh số sau số vô tỉ: ( điểm )
a) ( 1,5 điểm )
Gỉa sử √2+2√3=m∈Q ⇒14 +4√6=m2⇒
√6=m2−14
4 ( vơ lí ) Vì √6 số vơ tỉ cịn m
2
−14
4 số hữu tỉ b) ( 1,5 điểm )
Giải tương tự câu a)
3/ Chứng minh đẳng thức: (4 điểm)
(
√1−x +√√xyy+√x −√y
1+√xy
)
:(
1+x + y +2 xy
1 − xy
)
= 2√xx +1 ; với x ≥ ; y ≥ ; xy ≠ 1
Giải: Biến đổi vế trái:
(
√1−x+√√xyy+√x −√y
1+√xy
)
:(
1+x + y +2 xy
1− xy
)
¿
(
√x +x√y +√y + y√x +√x −√y − x√y + y√x1− xy
)
:(
1 − xy +x+ y+2 xy
1− xy
)
¿2√x (1+ y )
1 − xy
1 − xy 1+x + y +xy=
2√x (1+ y )
1− xy
1 − xy (1+ x )+ y (1+ x )=
2√x (1+ y ) (1− xy )
(1− xy ) (1+ x ) (1+ y )= 2√x x+1
Vậy:
(
√x +√y 1−√xy+√x −√y
1+√xy
)
:(
1+x + y +2 xy
1 − xy